Il est nécessaire de calculer les sinus des angles non seulement dans un triangle rectangle, mais aussi dans tout autre. Pour ce faire, vous devez tracer la hauteur du triangle (une perpendiculaire à l'un des côtés, abaissée à partir du coin opposé) et résoudre le problème comme pour un triangle rectangle, en utilisant la hauteur comme l'une des jambes.
Comment trouver le sinus d'un angle extérieur d'un triangle
Vous devez d’abord comprendre ce qu’est un angle externe. Nous avons un triangle ABC arbitraire. Si l'un des côtés, par exemple AC, est prolongé au-delà de l'angle BAC et qu'un rayon AO est tracé, alors le nouvel angle OAB sera externe. C'est le sinus que nous rechercherons.
Pour résoudre le problème, nous devons abaisser la perpendiculaire BH de l’angle ABC au côté AC. Ce sera la hauteur du triangle. La manière dont nous résoudrons le problème dépendra de ce que nous savons.
L'option la plus simple est de connaître l'angle BAC. Le problème peut alors être résolu extrêmement facilement. Le rayon OS étant une droite, l'angle OAS = 180°. Cela signifie que les angles OAB et BAC sont adjacents et que les sinus des angles adjacents sont de même amplitude.
Considérons un autre problème : dans un triangle arbitraire ABC le côté est connu : AB=a et la hauteur ВН=h. Nous devons trouver le sinus de l’angle OAS. Puisque nous avons maintenant un triangle rectangle ABH, le sinus de l'angle ABH sera égal au rapport de la jambe BH à l'hypoténuse AB :
- sinBAH = BH/AB = h/a.
C'est aussi simple. Une tâche plus difficile est si la hauteur h et les côtés AC=c, BC=b sont connus et que vous devez trouver le sinus de l'angle OAB.
En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve la branche CH du triangle BCH :
- BC² = BH² + CH² b² = h² + CH²,
- CH² = b² - h², CH = √(b² - h²).
De là, vous pouvez trouver le segment AH du côté AC :
- AH = AC - CH = c - √(b² - h²).
Maintenant, nous utilisons à nouveau le théorème de Pythagore pour trouver le troisième côté AB du triangle ABN :
- AB² = BH² + AH² = h² + (c - √(b² - h²))².
Le sinus de l'angle BAC est égal au rapport de la hauteur BN du triangle au côté AB :
- sinBAC = BH/AH = h/(c - √(b² - h²)).
Puisque les angles OAB et BAC sont adjacents, leurs sinus sont de même amplitude.
Ainsi, en combinant le théorème de Pythagore, la définition du sinus et quelques autres théorèmes (en particulier sur les angles adjacents), vous pouvez résoudre presque la plupart des problèmes concernant les triangles, y compris trouver le sinus d'un angle extérieur. Parfois, des constructions supplémentaires peuvent être nécessaires : tracer une hauteur à partir du coin souhaité, prolonger le côté du coin au-delà de ses limites, etc.
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Par définition, tout angle est constitué de deux rayons divergents qui émergent d’un seul point commun : le sommet. Si l'un des rayons se poursuit au-delà du sommet, cette continuation, avec le deuxième rayon, forme un autre angle - on l'appelle adjacent. L'angle adjacent au sommet de tout polygone convexe est dit externe, car il se situe en dehors de la surface limitée par les côtés de cette figure.
Instructions
Si vous connaissez la valeur du sinus de l'angle interne (??) d'une figure géométrique, vous n'avez pas besoin de calculer quoi que ce soit - le sinus de l'angle externe correspondant (??) aura exactement la même valeur : sin(? ?) = péché(??). Ceci est déterminé par les propriétés de la fonction trigonométrique sin(??) = sin(180°-??). S'il fallait connaître, par exemple, la valeur du cosinus ou de la tangente d'un angle extérieur, il faudrait prendre cette valeur avec le signe opposé.
Il existe un théorème selon lequel dans un triangle, la somme des valeurs de deux angles internes quelconques est égale à la valeur de l'angle externe du troisième sommet. Utilisez-le si la valeur de l'angle interne correspondant à l'angle externe en question (??) est inconnue et que les angles (?? et ??) aux deux autres sommets sont donnés dans les conditions. Trouvez le sinus de la somme des angles connus : sin(??) = sin(??+??).
Un problème avec les mêmes conditions initiales qu’à l’étape précédente a une solution différente. Cela découle d'un autre théorème : celui de la somme des angles intérieurs d'un triangle. Puisque cette somme, selon le théorème, devrait être égale à 180°, la valeur de l'angle interne inconnu peut être exprimée par deux angles connus (?? et ??) - elle sera égale à 180°-??-? ?. Cela signifie que vous pouvez utiliser la formule de la première étape et remplacer l'angle intérieur par cette expression : sin(??) = sin(180°-??-??).
Dans un polygone régulier, la valeur de l'angle externe à n'importe quel sommet est égale à la valeur de l'angle central, ce qui signifie qu'il peut être calculé en utilisant la même formule que lui. Par conséquent, si dans les conditions du problème le nombre de côtés (n) d'un polygone est donné, lors du calcul du sinus de tout angle externe (??), partez du fait que sa valeur est égale à un tour complet divisé par le nombre de côtés. Un tour complet en radians est exprimé par deux fois le nombre Pi, la formule devrait donc ressembler à ceci : sin(??) = sin(2*?/n). Lors du calcul en degrés, remplacez le double Pi par 360° : sin(??) = sin(360°/n).
Dans la section sur la question, le triangle rectangle ABC est donné, l'angle C est droit. Trouver le sinus de l'angle externe au sommet B, si AC = 3 et AB = 5 donné par l'auteur Anastasia Polupan la meilleure réponse est Angle externe d'un triangle. Sinus et cosinus de l'angle externe
Certains problèmes USE nécessitent de trouver le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle extérieur d'un triangle. Qu'est-ce qu'un angle extérieur d'un triangle ?
Rappelons d'abord ce que sont les angles adjacents. Les voici sur la photo. Les angles adjacents ont un côté en commun et les deux autres se trouvent sur la même ligne droite. La somme des angles adjacents est égale.
Angles adjacents
Prenons un triangle et prolongeons un de ses côtés. Un angle au sommet externe est un angle adjacent à un coin. Si un angle est aigu, alors l’angle qui lui est adjacent est obtus, et vice versa.
Angle externe d'un triangle
Noter que:
Rappelez-vous ces relations importantes. Maintenant, nous les prenons sans preuves. Dans la section « Trigonométrie », dans le thème « Cercle trigonométrique », nous y reviendrons.
Il est facile de prouver que l’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
1. Dans un triangle, l'angle est égal à, .Trouvez la tangente de l'angle extérieur au sommet.
Angle externe d'un triangle rectangle
Soit l'angle externe au sommet.
Sachant cela, nous pouvons le trouver en utilisant la formule
On a:
2. Dans un triangle, l'angle est égal à, . Trouvez le sinus de l'angle extérieur au sommet.
Le problème est résolu en quatre secondes. Puisque la somme des angles et est égale, .Alors le sinus de l'angle externe au sommet est également égal.
