La construction d'un plan p perpendiculaire au plan a peut se faire de deux manières : I) le plan p est tracé par une droite perpendiculaire au plan a ; 2) le plan p est tracé perpendiculairement à une ligne située dans le plan a ou parallèle à ce plan. Pour obtenir une solution unique, des conditions supplémentaires sont requises. La figure 148 montre la construction d'un plan perpendiculaire au plan défini par le triangle CDE. Une condition supplémentaire ici est que le plan souhaité doit passer par la droite AB. Par conséquent, le plan recherché est déterminé par la droite AB et la perpendiculaire au plan du triangle. Pour tracer cette perpendiculaire au plan CDE, on y prend les fronts CN et l'horizontal CM : si B"F" ± C"N" et B"G 1 CM\ alors BFX du plan CDF. Le plan formé par l'intersection Les droites AB et BF sont perpendiculaires au plan CDE, comment passe-t-elle par la perpendiculaire à ce plan ? La perpendiculaire des traces homonymes des plans peut-elle servir de signe de la perpendiculaire des plans eux-mêmes ? c'est le cas également de la perpendiculaire mutuelle de deux plans se projetant horizontalement, dans lesquels les traces horizontales sont mutuellement perpendiculaires, les traces frontales des plans se projetant frontalement étant mutuellement perpendiculaires, ces plans étant mutuellement perpendiculaires. plan projetant p perpendiculaire au plan de position générale a. Si le plan p est perpendiculaire au plan i et au plan a, alors p 1 est la ligne d'intersection du plan a et du plan i,. "0a 1р et donc h"0u 1 р", quant à l'une des droites du plan р. Ainsi, la perpendiculaire des traces horizontales du plan général et du plan projeté horizontalement correspond à la perpendiculaire mutuelle de ces plans. Evidemment, la perpendiculaire des traces frontales du plan frontalement projeté et du plan de position générale correspond également à la perpendiculaire mutuelle de ces plans. Mais si les traces du même nom de deux plans en position générale sont perpendiculaires entre elles, alors les plans eux-mêmes ne sont pas perpendiculaires entre eux, puisqu'aucune des conditions énoncées au début de cette section n'est remplie. Questions d'auto-test 1. Comment le plan est-il défini dans le dessin ? 2. Quelle est la trace d'un avion sur un plan de projection ? 3. Où se situent la projection frontale de la trace horizontale et la projection horizontale de la trace frontale de l'avion ? L. Comment détermine-t-on sur le dessin si une droite appartient à un plan donné ? 5. Comment construire un point sur un dessin appartenant à un plan donné ? 6. Comment se trouve nt dans le système ? et l'avion de position générale 713 ? 7. Que sont les plans de projection frontale, de projection horizontale et de projection de profil ? 8. Comment le plan frotal en saillie est-il tracé par une ligne droite dans la position générale indiquée sur le dessin ? 9. Quelle position relative deux avions peuvent-ils occuper ? 10. Quel est le signe du parallélisme de deux plans ? 11. Comment les traces du même nom de deux plans parallèles l'un à l'autre se situent-elles mutuellement ? 12. Comment établir la position relative d'une droite et d'un plan ? 13. Quelle est la méthode générale pour construire la ligne d’intersection de deux plans ? 14. Quelle est la méthode générale pour construire le point d'intersection d'une droite avec un plan ? 15. Comment déterminer la « visibilité » lorsqu'une ligne coupe un plan ? 16. Qu'est-ce qui détermine le parallélisme mutuel de deux plans ? 17. Comment tracer un plan parallèle à un plan donné passant par un point ? 18. Comment se situe la projection de la perpendiculaire au plan ? 19. Comment construire des plans mutuellement perpendiculaires ?
La construction de lignes et de plans mutuellement perpendiculaires est une opération graphique importante dans la résolution de problèmes métriques.
La construction d'une perpendiculaire à une droite ou à un plan repose sur la propriété d'un angle droit, qui se formule ainsi : si l'un des côtés de l'angle droit est parallèle au plan de projection et que l'autre ne lui est pas perpendiculaire, puis l'angle est projeté en taille réelle sur ce plan.
Figure 28
Le côté BC de l'angle droit ABC, représenté sur la figure 28, est parallèle au plan P 1. Par conséquent, la projection de l'angle ABC sur ce plan représentera un angle droit A 1 B 1 C 1 =90.
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans ce plan. Lors de la construction d'une perpendiculaire à partir d'un ensemble de lignes droites appartenant au plan, choisissez des lignes droites de niveau - horizontales et frontales. Dans ce cas, la projection horizontale de la perpendiculaire est réalisée perpendiculairement à l'horizontale, et la projection frontale est perpendiculaire à l'avant. L'exemple présenté à la figure 29 montre la construction d'une perpendiculaire au plan défini par le triangle ABC à partir du point K. Pour ce faire, tracez d'abord les lignes horizontales et frontales dans le plan. Ensuite, à partir de la projection frontale du point K, nous dessinons une perpendiculaire à la projection frontale du frontal, et à partir de la projection horizontale du point - une perpendiculaire à la projection horizontale de l'horizontale. On construit ensuite le point d'intersection de cette perpendiculaire avec le plan en utilisant le plan de coupe auxiliaire Σ. Le point recherché est F. Ainsi, le segment résultant KF est perpendiculaire au plan ABC.
Figure 29
La figure 29 montre la construction d'un KF perpendiculaire au plan ABC.
Deux plans sont perpendiculaires si une ligne située dans un plan est perpendiculaire à deux lignes sécantes de l'autre plan. La construction d'un plan perpendiculaire à ce plan ABC est représentée sur la figure 30. Une droite MN est tracée passant par le point M, perpendiculaire au plan ABC. La projection horizontale de cette droite est perpendiculaire à AC, puisque AC est horizontale, et la projection frontale est perpendiculaire à AB, puisque AB est frontale. Ensuite, une droite arbitraire EF est tracée passant par le point M. Ainsi, le plan est perpendiculaire à ABC et est défini par deux droites sécantes EF et MN.
Figure 30
Cette méthode permet de déterminer les valeurs naturelles des segments en position générale, ainsi que leurs angles d'inclinaison par rapport aux plans de projection. Afin de déterminer la taille naturelle d'un segment à l'aide de cette méthode, il est nécessaire de compléter un triangle rectangle par rapport à l'une des projections du segment. L'autre jambe sera la différence de hauteurs ou de profondeurs des extrémités du segment, et l'hypoténuse sera la valeur naturelle.
Considérons un exemple : La figure 31 montre un segment AB en position générale. Il est nécessaire de déterminer sa taille naturelle et les angles de son inclinaison par rapport aux plans de projection frontaux et horizontaux.
On trace une perpendiculaire à l'une des extrémités du segment sur un plan horizontal. Nous y traçons la différence de hauteur (ZA-ZB) des extrémités du segment et terminons la construction d'un triangle rectangle. Son hypoténuse est la valeur naturelle du segment, et l'angle entre la valeur naturelle et la projection du segment est la valeur naturelle de l'angle d'inclinaison du segment par rapport au plan P 1. L'ordre de construction sur le plan frontal est le même. Le long de la perpendiculaire, nous traçons la différence de profondeur des extrémités du segment (YA-YB). L'angle résultant entre la taille naturelle du segment et sa projection frontale est l'angle d'inclinaison du segment par rapport au plan P 2.
Figure 31
1. Énoncez un théorème sur la propriété des angles droits.
2. Dans quel cas une droite est-elle perpendiculaire à un plan ?
3. Combien de lignes droites et combien de plans perpendiculaires à un plan donné peuvent être tracés passant par un point de l'espace ?
4. À quoi sert la méthode du triangle rectangle ?
5. Comment utiliser cette méthode pour déterminer l'angle d'inclinaison d'un segment en position générale par rapport au plan horizontal des projections ?
| Forme verbale | Forme graphique |
| 1. On sait que pour construire une droite perpendiculaire à un plan, il faut construire une ligne horizontale et une ligne frontale dans le plan. a) Notez que la construction d'une perpendiculaire est simplifiée, puisque les côtés du plan Q(D ABC) sont des droites planes : AB (A 1 B 1 ; A 2 B 2) – avant AC (A 1 C 1 ; A 2 C 2) – horizontale . b) Prendre une ligne droite je point arbitraire K | |
| 2. Par le point K, qui appartient à la droite je, nous effectuons une enquête directe n^Q, c'est-à-dire n 1 ^ UNE 1 C 1 et n 2 ^ UNE 2 B 2 . Le plan souhaité sera déterminé par deux lignes sécantes dont l'une est donnée - je, et l'autre - n est perpendiculaire au plan donné : P( je n)^Q (D ABC) |  |
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Géométrie descriptive - T.V. Khrustaleva
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Vers le chapitre 5
Dans le plan défini par deux droites parallèles, construisez une frontale à une distance de 15 mm de p1 (Fig. 9) :
Vers le chapitre 6
1. Étant donné un plan P(a|| b) et une projection frontale m2 d'une ligne m passant par le point D. Construire une projection horizontale de la ligne m1 telle que la ligne m soit parallèle au plan
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Tests pour le chapitre 6
1. Dans lequel des dessins (Fig. 12) se trouve le plan S (D ABC) parallèle au plan P(m C n).
Bibliographie recommandée
1. GOST 2.001-70. Dispositions générales // En collection. Système unifié de documentation de conception. Dispositions de base. – M. : Maison d'édition des normes, 1984. – P. 3–5. 2. GOST 2.104-68. Inscriptions principales // B
Il ne serait pas exagéré de dire que la construction de lignes et de plans mutuellement perpendiculaires, ainsi que la détermination de la distance entre deux points, constituent les principales opérations graphiques dans la résolution de problèmes métriques.
Le prérequis théorique pour construire des projections de droites et de plans perpendiculaires les uns aux autres dans l'espace sur le diagramme de Monge est la propriété notée précédemment (voir § 6)
projections d'un angle droit dont l'un des côtés est parallèle à tout plan de projection :
1. Lignes mutuellement perpendiculaires.
Afin de pouvoir utiliser la propriété notée pour construire deux droites se coupant à un angle de 90° sur un diagramme de Monge, il est nécessaire que l'une d'elles soit parallèle à un plan de projection. Expliquons ce qui a été dit avec des exemples.
EXEMPLE 1. Par le point A, tracez une ligne droite l coupant la ligne horizontale h à angle droit (Fig. 249).
Puisque l'un des côtés h de l'angle droit est parallèle au plan π 1, l'angle droit sera projeté sur ce plan sans distorsion. Par conséquent, à travers A" nous dessinons une projection horizontale l" ⊥ h". Nous marquons le point M" = l" ∩ h". Nous trouvons M" (M" ∈ h"). Les points A" et M" déterminent l" (voir Fig. 249, a).
Si au lieu d'une ligne horizontale une frontale f est donnée, alors les constructions géométriques pour tracer la ligne droite l ⊥ f sont similaires à celles que nous venons de considérer, la seule différence étant que la construction d'une projection non déformée d'un angle droit doit commencer par un projection frontale (voir Fig. 249, b).
EXEMPLE 2. Par le point A, tracez une droite l coupant la droite a, définie par le segment [BC], à un angle de 90° (Fig. 250).
Puisque ce segment occupe une position arbitraire par rapport aux plans de projection, nous ne pouvons pas, comme dans l'exemple précédent, utiliser la propriété sur le cas particulier de la projection d'un angle droit, nous devons donc d'abord transférer [BC] vers une position parallèle à un plan de projection.
En figue. 250 [BC] est déplacé vers une position parallèle au plan π 3. Cela se fait en utilisant la méthode de remplacement des plans de projection en remplaçant le plan π 1 → π 3 || [Soleil].
À la suite d'un tel remplacement dans le nouveau système, x 1 π 2 /π 3 [BC] définit une ligne horizontale, donc toutes les autres constructions sont effectuées de la même manière que dans l'exemple précédent : après le point M "1 a été trouvé, il a été translaté sur les plans de projection d'origine aux positions M" et M", ces points avec A" et A" déterminent les projections de la droite l.
EXEMPLE 3. Réaliser une projection horizontale du côté [BC] de l'angle droit ABC, si sa projection frontale ∠A"B"C" et la projection horizontale du côté [A"B"] sont connues (Fig. 251) .
1. Déplacez le côté de l'angle [BA] en position || π 3 en passant du système de plans de projection xπ 2 /π 1 au nouveau x 1 π 3 /π 2
2. Définissez une nouvelle projection frontale.
A partir de B" 1 on construit une perpendiculaire à [B" 1 A" 1]. Sur cette perpendiculaire on définit le point C" 1 (C" 1 est éloigné de l'axe x 1 d'une distance |C x 1 C" 1 | = |C x C"| ).
4. La projection horizontale C" est définie comme le point d'intersection des lignes (C" 1 C x 1) ∩ (C"C x) = C".
2. Ligne droite et plan mutuellement perpendiculaires.
Grâce au cours de stéréométrie, nous savons qu'une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à au moins deux droites sécantes appartenant à ce plan.
Si nous prenons non pas des lignes droites sécantes arbitraires dans un plan, mais ses lignes horizontales et frontales, alors il devient possible d'utiliser la propriété de projection à angle droit, comme cela a été fait dans l'exemple 1, Fig. 249.
Considérez l'exemple suivant : Supposons qu'à partir d'un point A ∈ α il faille restituer une perpendiculaire au plan α (Fig. 252).
Par le point A on trace la ligne horizontale h et la ligne frontale f du plan α. Alors, par définition (AB), perpendiculaire au plan α, doit être perpendiculaire aux droites h et f, c'est-à-dire . Mais le côté AM ∠ VOUS || π 1, donc ∠VAM est projeté sur le plan π 1, sans distorsion, c'est-à-dire 
. Côté AK ∠ VAK || π 2 et, par conséquent, cet angle est également projeté sur le plan π 2 sans distorsion, c'est-à-dire 
. Le raisonnement ci-dessus peut être formulé comme le théorème suivant : Pour qu'une droite dans l'espace soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit que sur le schéma la projection horizontale de la droite soit perpendiculaire à la projection horizontale de l'horizontale du plan, et la projection frontale à la projection frontale du frontal de cet avion.
Si le plan est donné par des traces, alors le théorème peut être formulé différemment : Pour qu'une ligne dans l'espace soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit que les projections de cette ligne soient perpendiculaires aux traces du même nom sur le plan.
Les relations établies par le théorème entre une ligne dans l'espace perpendiculaire au plan et les projections de cette ligne sur les projections des lignes de niveau (traces) du plan sous-tendent l'algorithme graphique de résolution du problème du tracé d'une ligne perpendiculaire au plan, ainsi que la construction d'un plan perpendiculaire à une ligne donnée.
EXEMPLE 1. Restaurer la perpendiculaire AD au plan ΔАВС au sommet A (Fig. 253).
Afin de déterminer la direction des projections de la perpendiculaire, on trace les projections de l'horizontale h et de la frontale f du plan ΔABC. Après cela, du point A" nous restituons une perpendiculaire à h", et de A" - à f".
EXEMPLE 2. A partir du point A, appartenant au plan α (m || n), construisez une perpendiculaire à ce plan (Fig. 254).
SOLUTION. Pour déterminer la direction des projections des perpendiculaires l" et l", comme dans l'exemple précédent, tracez une ligne horizontale h(h", h") passant par le point A (A", A"), appartenant au plan α . Connaissant la direction h", on construit une projection horizontale de la perpendiculaire l" (l" ⊥ h"). Pour déterminer la direction de la projection frontale de la perpendiculaire passant par le point A (A", A"), tracez la frontale f (f", f") du plan α. En raison du parallélisme de f au plan de projection frontale, l'angle droit entre l et f est projeté sur π 2 sans distorsion, on dessine donc l" ⊥ f".
En figue. 255 le même problème est résolu pour le cas où le plan α est donné par des traces. Pour déterminer les directions des projections de la perpendiculaire, il n'est pas nécessaire de tracer l'horizontale et l'avant
taille, puisque leurs fonctions sont assurées par les traces des plans h 0α et f 0α. Comme le montre le dessin, la solution se résume à dessiner des projections l" ⊥ h 0α et l" ⊥ f 0α passant par les points A" et A".
EXEMPLE 3. Construire un plan γ perpendiculaire à une droite donnée l et passant par un point donné A (Fig. 256).
SOLUTION. Par le point A on trace une ligne horizontale h et une ligne de front f. Ces deux lignes qui se croisent définissent un plan ; pour qu'elle soit perpendiculaire à la droite l, il faut que les droites h et f fassent un angle de 90° avec la droite l. Pour ce faire, on dessine h" ⊥ l" et f" ⊥ l". La projection frontale h" et la projection horizontale f" sont parallèles à l'axe des x.
Le cas considéré permet de résoudre différemment le problème donné dans l'exemple 3 (p. 175 Fig. 251). Le côté [BC] ∠ABC doit appartenir au plan γ ⊥ [AB] et passer par le point B (Fig. 257).
Cette condition détermine le déroulement de la résolution du problème, qui est la suivante : on enferme le point B dans le plan γ ⊥ [AB], pour cela, par le point B on trace l'horizontale et la frontale du plan γ de telle sorte que h" ⊥ A "B" et f" ⊥ A "B".
Point C ∈ (BC), appartenant au plan γ, donc, pour trouver sa projection horizontale, on trace une droite arbitraire 1"2" passant par C" appartenant au plan γ ; on détermine la projection horizontale de cette ligne 1"2 " et marquez dessus le point C" (C "est déterminé par l'intersection de la ligne de connexion - la perpendiculaire tombée de C" avec la projection horizontale de la ligne droite 1"2"). C" avec B" déterminent la projection horizontale (BC) ⊥ (AB).
3. Plans mutuellement perpendiculaires..
Deux plans sont perpendiculaires si l'un d'eux contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
A partir de la définition de la perpendiculaire des plans, nous résolvons le problème de la construction d'un plan β perpendiculaire au plan α de la manière suivante : tracer une droite l perpendiculaire au plan α ; on enferme la droite l dans le plan β. Le plan β ⊥ α, puisque β ⊃ l ⊥ α.
De nombreux plans peuvent passer par la ligne l, le problème a donc de nombreuses solutions. Pour rendre la réponse plus précise, des conditions supplémentaires doivent être précisées.
EXEMPLE 1. Par une droite donnée a tracer un plan β perpendiculaire au plan α (Fig. 258).
SOLUTION. On détermine la direction des projections de la perpendiculaire au plan α, pour cela on retrouve la projection horizontale de l'horizontale (h") et la projection frontale du frontal (f"); A partir des projections d'un point arbitraire A ∈ α on trace les projections des perpendiculaires l" ⊥ h" et l" ⊥ f". Le plan β ⊥ α, puisque β ⊃ l ⊥ α.
EXEMPLE 2. Par un point donné A, tracer un plan γ se projetant horizontalement, perpendiculaire au plan α, défini par les traces (Fig. 259, a).
Le plan γ requis doit contenir une ligne perpendiculaire au plan α, ou être perpendiculaire à une ligne appartenant au plan α. Puisque le plan γ doit être en projection horizontale, alors la droite qui lui est perpendiculaire doit être parallèle au plan π 1, c'est-à-dire être l'horizontale du plan α ou (ce qui revient au même) la trace horizontale de ce plan - h 0α Par conséquent, à travers le point de projection horizontale A", tracez une trace horizontale h 0γ ⊥ h 0α, trace frontale f 0γ ⊥ axe x.
En figue. 259, b montre le plan γ se projetant frontalement, passant par le point B et perpendiculaire au plan π 2.
Il ressort clairement du dessin qu'un trait distinctif du diagramme, sur lequel sont spécifiés deux plans mutuellement perpendiculaires, dont l'un est en saillie frontale, est la perpendiculaire de leurs traces frontales f 0γ ⊥ f 0α , la trace horizontale du plan en saillie frontale le plan est perpendiculaire à l’axe des x.
Le signe de perpendiculaire d'une ligne et d'un plan permet de construire des lignes et des plans mutuellement perpendiculaires, c'est-à-dire de prouver l'existence de telles lignes et plans. Commençons par construire un plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné. Résolvons deux problèmes de construction correspondant à deux possibilités de localisation d'un point donné et d'une droite donnée.
Problème 1. Passant par un point donné A sur une droite donnée a, tracez un plan perpendiculaire à cette droite.
Traçons deux plans quelconques passant par la droite a et dans chacun de ces plans passant par le point A, nous traçons le long d'une droite perpendiculaire à la droite a, les désignant b et c (Fig. 2.17). Le plan a passant par les droites bis contient le point A et est perpendiculaire à la droite a (en fonction de la perpendiculaire de la droite et du plan). Le plan a est donc celui souhaité. Le problème est résolu.
Le problème n’a qu’une seule solution (c’est-à-dire unique). En effet, supposons le contraire. Puis, en plus du plan a, un autre plan P passe par le point A, perpendiculaire à la droite a (Fig. 2.18). Prenons dans le plan P toute droite passant par le point A et ne se trouvant pas dans le plan a. Traçons le plan y passant par les lignes sécantes a et . Le plan y coupe le plan a le long de la droite q. La droite q ne coïncide pas avec la droite , puisque q se situe et ne se situe pas dans a. Ces deux droites se trouvent dans le plan y, passent par le point A et sont perpendiculaires à la droite a depuis et de même depuis et. Mais cela contredit le théorème bien connu de la planimétrie, selon lequel dans un plan passe par chaque point une seule droite, perpendiculaire à une droite donnée.
Ainsi, en supposant que deux plans perpendiculaires à la ligne a passent par le point A, nous sommes arrivés à une contradiction. Le problème a donc une solution unique.
Problème 2. Par un point donné A, qui ne se trouve pas sur une ligne a donnée, tracez un plan perpendiculaire à cette ligne.
Par le point A, nous traçons une ligne b perpendiculaire à la ligne a. Soit B le point d'intersection de a et b. Par le point B, on trace également une droite c, perpendiculaire à la droite a (Fig. 2.19). Un plan passant par les deux droites tracées sera perpendiculaire à a selon le critère de circularité (Théorème 2).
Comme dans le problème 1, le plan construit est unique. En effet, prenons n'importe quel plan passant par le point A perpendiculaire à la droite a. Un tel plan contient une droite perpendiculaire à la droite a et passant par le point A. Mais il n’existe qu’une seule de ces droites. Il s'agit de la ligne b, qui passe par le point B. Cela signifie que le plan passant par A et perpendiculaire à la ligne a doit contenir le point B, et qu'un seul plan passe par le point B, perpendiculaire à la ligne a (problème 1). Ainsi, après avoir résolu ces problèmes de construction et prouvé le caractère unique de leurs solutions, nous avons prouvé le théorème important suivant.
Théorème 3 (sur un plan perpendiculaire à une droite). Par chaque point passe un plan perpendiculaire à une droite donnée, et d'ailleurs un seul.
Corollaire (sur le plan des perpendiculaires). Les lignes perpendiculaires à une ligne donnée en un point donné se trouvent dans le même plan et le recouvrent.
Soit a une ligne donnée et A n'importe quel point de celle-ci. Un avion le traverse. Par définition de la perpendiculaire d'une droite et d'un plan, on entend
couvert par des droites perpendiculaires à la droite a au point A, c'est-à-dire par chaque point du plan a passe une droite perpendiculaire à la droite a.
Supposons qu'une droite passe par le point A et ne se trouve pas dans le plan a. Traçons un plan P qui le traverse et la droite a Le plan P coupe a le long d'une certaine droite c (Fig. 2.20). Et puisqu’il s’avère que par le point A dans le plan P passent deux droites b et c, perpendiculaires à la droite a. C'est impossible. Cela signifie qu’il n’y a pas de droites perpendiculaires à la droite a au point A et qui ne se trouvent pas dans le plan a. Ils reposent tous dans cet avion.
Un exemple du corollaire du Théorème 3 est donné par les rayons d'une roue, perpendiculaires à son axe : lors de la rotation, ils dessinent un plan (plus précisément un cercle), prenant toutes les positions perpendiculaires à l'axe de rotation.
Les théorèmes 2 et 3 aident à fournir une solution simple au problème suivant.
Problème 3. Par un point sur un plan donné, tracez une ligne perpendiculaire à ce plan.
Soit un plan a et un point A dans le plan a. Traçons une ligne a dans le plan a passant par le point A. Par le point A on trace un plan perpendiculaire à la ligne a (problème 1). Le plan coupera le plan a le long d'une ligne droite b (Fig. 2.21). Traçons une ligne c dans le plan P passant par le point A, perpendiculaire à la ligne b. Puisque (puisque c est dans le plan
Et), puis par le théorème 2. Le caractère unique de sa solution est établi dans la section 2.1.
Commentaire. À propos des constructions dans l'espace. Rappelons que dans le chapitre 1 nous étudions la « géométrie structurelle ». Et à ce stade, nous avons résolu trois problèmes de construction dans l’espace. Qu'entend-on en stéréométrie par les termes « construire », « dessiner », « inscrire », etc. ? Rappelons d'abord les constructions sur un plan En indiquant, par exemple, comment construire un cercle circonscrit à un triangle. prouver ainsi son existence. En général, lors de la résolution d'un problème de construction, nous prouvons un théorème pour l'existence d'une figure avec des propriétés données. Cette solution revient à élaborer un certain algorithme pour construire la figure souhaitée, c'est-à-dire indiquer la séquence de. effectuer les opérations les plus simples conduisant au résultat souhaité. Les opérations les plus simples consistent à dessiner des segments et à trouver leurs points d'intersection. Ensuite, à l'aide d'outils de dessin, la figure est construite directement sur papier ou sur un tableau.
Ainsi, en planimétrie, la solution au problème de construction a en quelque sorte deux faces : théorique - l'algorithme de construction - et pratique - la mise en œuvre de cet algorithme, par exemple, avec un compas et une règle.
La tâche de construction stéréométrique n'a plus qu'un côté - le théorique, puisqu'il n'y a pas d'outils de construction dans l'espace, semblables à un compas et à une règle.
Les constructions de base dans l'espace sont considérées comme celles fournies par les axiomes et les théorèmes sur l'existence des lignes droites et des plans. Il s'agit de tracer une ligne passant par deux points, de tracer un plan (propositions de la clause 1.1 et de l'axiome 1 de la clause 1.4), ainsi que de construire une ligne d'intersection de deux plans construits quelconques (axiome 2 de la clause 1.4). De plus, on supposera naturellement qu'il est possible de réaliser des constructions planimétriques dans des plans déjà construits.
Résoudre un problème de construction dans l’espace signifie indiquer la séquence de constructions de base qui aboutissent à la figure souhaitée. Habituellement, toutes les constructions de base ne sont pas explicitement indiquées, mais des références sont faites à des problèmes de construction déjà résolus, c'est-à-dire sur des propositions et des théorèmes déjà prouvés sur la possibilité de telles constructions.
En plus des constructions - théorèmes d'existence en stéréométrie, deux autres types de problèmes liés aux constructions sont possibles.
Premièrement, les tâches sont sous forme d’image ou de dessin. Ce sont des problèmes pour couper des polyèdres ou d’autres corps. Nous ne construisons pas réellement la section elle-même, mais nous la représentons uniquement sur
dessin ou dessin que nous avons déjà. De telles constructions sont réalisées sous forme de constructions planimétriques, en tenant compte des axiomes et théorèmes de stéréométrie et des règles d'image. Les problèmes de ce type sont constamment résolus dans la pratique du dessin et de la conception.
Deuxièmement, des tâches sur la construction de corps sur des surfaces. La tâche : « Construire des points sur la surface d'un cube qui sont éloignés d'un sommet donné à une distance donnée » - peut être résolue à l'aide d'une boussole (comment ?). La tâche : « Construire des points sur la surface d'une balle qui sont éloignés d'un point donné à une distance donnée » - peut également être résolue à l'aide d'une boussole (comment ?). Les problèmes de ce type ne sont pas résolus dans les cours de géométrie - ils sont constamment résolus par le marqueur, bien sûr, avec la précision que ses outils lui permettent d'atteindre. Mais pour résoudre de tels problèmes, il s'appuie sur la géométrie.
