Que fait-on comme première action ? Matériel pédagogique et méthodologique en mathématiques (3e année) sur le thème : Exemples d'ordre d'actions

Lors du calcul d'exemples, vous devez suivre une certaine procédure. En utilisant les règles ci-dessous, nous déterminerons l'ordre dans lequel les actions sont effectuées et à quoi servent les parenthèses.

S'il n'y a pas de parenthèses dans l'expression, alors :

Considérons procédure dans l'exemple suivant.

Nous vous rappelons que ordre des opérations en mathématiques disposés de gauche à droite (du début à la fin de l’exemple).

Lors du calcul de la valeur d'une expression, vous pouvez l'enregistrer de deux manières.

Première façon

• Chaque action est enregistrée séparément avec son propre numéro sous l'exemple.
• Une fois la dernière action terminée, la réponse est nécessairement écrite dans l'exemple d'origine.



Lorsque vous calculez les résultats d'actions avec des nombres à deux et/ou trois chiffres, assurez-vous de lister vos calculs dans une colonne.



Deuxième façon

• La deuxième méthode est appelée enregistrement en chaîne. Tous les calculs sont effectués exactement dans le même ordre, mais les résultats sont écrits immédiatement après le signe égal.

Si l'expression contient des parenthèses, les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.

À l’intérieur des parenthèses elles-mêmes, l’ordre des actions est le même que dans les expressions sans parenthèses.



S'il y a plus de parenthèses à l'intérieur des parenthèses, les actions à l'intérieur des parenthèses imbriquées (intérieures) sont effectuées en premier.

Procédure et exponentiation

Si l'exemple contient une expression numérique ou alphabétique entre parenthèses qui doit être élevée à une puissance, alors :

• Nous effectuons d’abord toutes les actions entre parenthèses
• Ensuite, nous élevons à la puissance toutes les parenthèses et les nombres qui se trouvent dans une puissance, de gauche à droite (du début à la fin de l'exemple).
• Nous effectuons les étapes restantes comme d'habitude



Procédure pour effectuer des actions, règles, exemples.

Les expressions numériques, littérales et les expressions avec des variables dans leur notation peuvent contenir des signes de diverses opérations arithmétiques. Lors de la transformation d'expressions et du calcul des valeurs des expressions, les actions sont effectuées dans un certain ordre, en d'autres termes, vous devez observer ordre des actions.

Dans cet article, nous déterminerons quelles actions doivent être effectuées en premier et lesquelles après. Commençons par les cas les plus simples, lorsque l'expression ne contient que des nombres ou des variables reliés par des signes plus, moins, multiplier et diviser. Ensuite, nous expliquerons quel ordre d'actions doit être suivi dans les expressions entre parenthèses. Enfin, regardons l'ordre dans lequel les actions sont exécutées dans les expressions contenant des puissances, des racines et d'autres fonctions.

Navigation dans les pages.

D'abord multiplication et division, puis addition et soustraction

L'école donne ce qui suit une règle qui détermine l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions sans parenthèses:

• les actions sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite,
• De plus, la multiplication et la division sont effectuées en premier, puis l'addition et la soustraction.

La règle énoncée est perçue tout naturellement. Effectuer les actions dans l'ordre de gauche à droite s'explique par le fait qu'il est d'usage pour nous de tenir des registres de gauche à droite. Et le fait que la multiplication et la division soient effectuées avant l'addition et la soustraction s'explique par le sens que portent ces actions.

Examinons quelques exemples de la manière dont cette règle s'applique. A titre d'exemples, nous prendrons les expressions numériques les plus simples afin de ne pas nous laisser distraire par les calculs, mais de nous concentrer spécifiquement sur l'ordre des actions.

Suivez les étapes 7−3+6.

L'expression originale ne contient pas de parenthèses, ni de multiplication ou de division. Par conséquent, nous devons effectuer toutes les actions dans l'ordre de gauche à droite, c'est-à-dire que nous soustrayons d'abord 3 de 7, nous obtenons 4, après quoi nous ajoutons 6 à la différence résultante de 4, nous obtenons 10.

En bref, la solution peut s'écrire comme suit : 7−3+6=4+6=10.

Indiquez l'ordre des actions dans l'expression 6:2·8:3.

Pour répondre à la question du problème, tournons-nous vers la règle indiquant l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses. L'expression originale ne contient que les opérations de multiplication et de division, et selon la règle, elles doivent être effectuées dans l'ordre de gauche à droite.

Nous divisons d’abord 6 par 2, multiplions ce quotient par 8 et enfin divisons le résultat par 3.

Calculez la valeur de l'expression 17−5·6:3−2+4:2.

Tout d'abord, déterminons dans quel ordre les actions de l'expression d'origine doivent être effectuées. Il contient à la fois la multiplication et la division, ainsi que l'addition et la soustraction. Tout d’abord, de gauche à droite, vous devez effectuer une multiplication et une division. On multiplie donc 5 par 6, on obtient 30, on divise ce nombre par 3, on obtient 10. Maintenant, nous divisons 4 par 2, nous obtenons 2. Nous substituons la valeur trouvée 10 dans l'expression originale au lieu de 5·6:3, et au lieu de 4:2 - la valeur 2, nous avons 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2 +2.

L'expression résultante ne contient plus de multiplication et de division, il reste donc à effectuer les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

Dans un premier temps, afin de ne pas confondre l'ordre des actions lors du calcul de la valeur d'une expression, il convient de placer des chiffres au-dessus des signes d'action qui correspondent à l'ordre dans lequel elles sont exécutées. Pour l'exemple précédent, cela ressemblerait à ceci : .

Le même ordre d'opérations - d'abord multiplication et division, puis addition et soustraction - doit être suivi lorsque vous travaillez avec des expressions de lettres.

Actions des première et deuxième étapes

Dans certains manuels de mathématiques, les opérations arithmétiques sont divisées en opérations de première et deuxième étapes. Voyons cela.

Actions de la première étape l'addition et la soustraction sont appelées, et la multiplication et la division sont appelées actions de deuxième étape.

En ces termes, la règle du paragraphe précédent, qui détermine l'ordre d'exécution des actions, s'écrira ainsi : si l'expression ne contient pas de parenthèses, alors dans l'ordre de gauche à droite, les actions de la deuxième étape (multiplication et division) sont effectuées en premier, puis les actions de la première étape (addition et soustraction).

Ordre des opérations arithmétiques dans les expressions entre parenthèses

Les expressions contiennent souvent des parenthèses pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont exécutées. Dans ce cas une règle qui précise l'ordre d'exécution des actions dans les expressions entre parenthèses, est formulé comme suit : d'abord, les actions entre parenthèses sont effectuées, tandis que la multiplication et la division sont également effectuées dans l'ordre de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction.

Ainsi, les expressions entre parenthèses sont considérées comme des composants de l'expression originale, et elles conservent l'ordre des actions que nous connaissons déjà. Examinons les solutions des exemples pour plus de clarté.

Suivez ces étapes 5+(7−2·3)·(6−4) :2.

L'expression contient des parenthèses, effectuons donc d'abord les actions dans les expressions entourées de ces parenthèses. Commençons par l'expression 7−2·3. Dans celui-ci, vous devez d'abord effectuer une multiplication, puis seulement une soustraction, nous avons 7−2·3=7−6=1. Passons à la deuxième expression entre parenthèses 6−4. Il n'y a qu'une seule action ici - la soustraction, nous l'effectuons 6−4 = 2.

Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Dans l'expression résultante, nous effectuons d'abord une multiplication et une division de gauche à droite, puis une soustraction, nous obtenons 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. À ce stade, toutes les actions sont terminées, nous avons adhéré à l'ordre suivant de leur mise en œuvre : 5+(7−2·3)·(6−4) :2.

Écrivons une courte solution : 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

Il arrive qu'une expression contienne des parenthèses entre parenthèses. Il n'y a pas lieu d'avoir peur de cela ; il vous suffit d'appliquer systématiquement la règle indiquée pour effectuer des actions dans les expressions entre parenthèses. Montrons la solution de l'exemple.

Effectuez les opérations dans l’expression 4+(3+1+4·(2+3)) .

Il s'agit d'une expression entre parenthèses, ce qui signifie que l'exécution des actions doit commencer par l'expression entre parenthèses, c'est-à-dire par 3+1+4·(2+3) . Cette expression contient également des parenthèses, vous devez donc d'abord effectuer les actions qu'elles contiennent. Faisons ceci : 2+3=5. En substituant la valeur trouvée, nous obtenons 3+1+4·5. Dans cette expression, on effectue d'abord la multiplication, puis l'addition, on a 3+1+4·5=3+1+20=24. La valeur initiale, après avoir substitué cette valeur, prend la forme 4+24, et il ne reste plus qu'à compléter les actions : 4+24=28.

En général, lorsqu'une expression contient des parenthèses entre parenthèses, il est souvent pratique d'effectuer des actions en commençant par les parenthèses intérieures et en passant aux parenthèses extérieures.

Par exemple, disons que nous devons effectuer les actions dans l'expression (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Tout d’abord, nous effectuons les actions entre parenthèses intérieures, puisque 4−6:2=4−3=1, puis après cela, l’expression originale prendra la forme (4+(4+1)−1)−1. On effectue à nouveau l'action entre parenthèses intérieures, puisque 4+1=5, on arrive à l'expression suivante (4+5−1)−1. On effectue à nouveau les actions entre parenthèses : 4+5−1=8, et on arrive à la différence 8−1, qui est égale à 7.

L'ordre des opérations dans les expressions avec racines, puissances, logarithmes et autres fonctions

Si l'expression comprend des puissances, des racines, des logarithmes, un sinus, un cosinus, une tangente et une cotangente, ainsi que d'autres fonctions, alors leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions, et les règles des paragraphes précédents qui précisent l'ordre des actions sont également pris en compte. En d’autres termes, les éléments énumérés, grosso modo, peuvent être considérés comme mis entre parenthèses, et nous savons que les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.

Regardons les solutions aux exemples.

Effectuez les actions de l'expression (3+1)·2+6 2:3−7.

Cette expression contient la puissance de 6 2, sa valeur doit être calculée avant d'effectuer d'autres actions. On effectue donc l'exponentiation : 6 2 =36. Nous substituons cette valeur dans l'expression originale, elle prendra la forme (3+1)·2+36:3−7.

Ensuite, tout est clair : nous effectuons les actions entre parenthèses, après quoi nous nous retrouvons avec une expression sans parenthèses, dans laquelle, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons d'abord la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction. On a (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13.

Vous pouvez en voir d'autres, y compris des exemples plus complexes d'exécution d'actions dans des expressions avec des racines, des puissances, etc., dans l'article Calcul des valeurs des expressions.

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Exemples avec parenthèses, cours avec simulateurs.

Nous examinerons trois exemples dans cet article :

1. Exemples avec parenthèses (actions d'addition et de soustraction)

2. Exemples avec parenthèses (addition, soustraction, multiplication, division)

3. Exemples avec beaucoup d'action

1 Exemples avec parenthèses (opérations d'addition et de soustraction)

Regardons trois exemples. Dans chacun d'eux, l'ordre des actions est indiqué par des chiffres rouges :



Nous voyons que l'ordre des actions dans chaque exemple sera différent, bien que les nombres et les signes soient les mêmes. Cela se produit car il y a des parenthèses dans les deuxième et troisième exemples.

• S'il n'y a pas de parenthèses dans l'exemple, nous effectuons toutes les actions dans l'ordre, de gauche à droite.
• Si l'exemple contient des parenthèses, puis nous effectuons d'abord les actions entre parenthèses, et ensuite seulement toutes les autres actions, en commençant de gauche à droite.

*Cette règle concerne les exemples sans multiplication ni division. Nous examinerons les règles des exemples avec parenthèses impliquant les opérations de multiplication et de division dans la deuxième partie de cet article.

Pour éviter toute confusion dans l'exemple avec parenthèses, vous pouvez en faire un exemple normal, sans parenthèses. Pour cela, écrivez le résultat obtenu entre parenthèses au-dessus des parenthèses, puis réécrivez tout l'exemple en écrivant ce résultat à la place des parenthèses, puis effectuez toutes les actions dans l'ordre, de gauche à droite :



Dans des exemples simples, vous pouvez effectuer toutes ces opérations dans votre esprit. L'essentiel est d'effectuer d'abord l'action entre parenthèses et de mémoriser le résultat, puis de compter dans l'ordre, de gauche à droite.

Et maintenant - des simulateurs !

1) Exemples avec parenthèses jusqu'à 20. Simulateur en ligne.



2) Exemples avec parenthèses jusqu'à 100. Simulateur en ligne.



3) Exemples entre parenthèses. Simulateur n°2



4) Insérez le numéro manquant - exemples entre parenthèses. Simulateur



2 Exemples avec parenthèses (addition, soustraction, multiplication, division)

Examinons maintenant des exemples dans lesquels, en plus de l'addition et de la soustraction, il existe une multiplication et une division.

Regardons d'abord des exemples sans parenthèses :



• S'il n'y a pas de parenthèses dans l'exemple, effectuez d’abord les opérations de multiplication et de division dans l’ordre, de gauche à droite. Puis - les opérations d'addition et de soustraction dans l'ordre, de gauche à droite.
• Si l'exemple contient des parenthèses, puis nous effectuons d'abord les opérations entre parenthèses, puis la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction en commençant de gauche à droite.

Il existe une astuce pour éviter de se tromper lors de la résolution d'exemples d'ordre d'actions. S'il n'y a pas de parenthèses, alors on effectue les opérations de multiplication et de division, puis on réécrit l'exemple en notant les résultats obtenus à la place de ces actions. Ensuite, nous effectuons des additions et des soustractions dans l'ordre :



Si l'exemple contient des parenthèses, vous devez d'abord vous débarrasser des parenthèses : réécrivez l'exemple en y écrivant le résultat obtenu à la place des parenthèses. Ensuite, vous devez mettre en évidence mentalement les parties de l'exemple, séparées par les signes « + » et « - », et compter chaque partie séparément. Effectuez ensuite l'addition et la soustraction dans l'ordre :



3 exemples avec beaucoup d'action

S'il y a beaucoup d'actions dans l'exemple, il sera alors plus pratique de ne pas organiser l'ordre des actions dans tout l'exemple, mais de sélectionner des blocs et de résoudre chaque bloc séparément. Pour ce faire, on retrouve les signes libres « + » et « – » (libre signifie pas entre parenthèses, représentés sur la figure avec des flèches).

Ces signes diviseront notre exemple en blocs :

Lorsque vous effectuez des actions dans chaque bloc, n'oubliez pas la procédure indiquée ci-dessus dans l'article. Après avoir résolu chaque bloc, nous effectuons les opérations d'addition et de soustraction dans l'ordre.

Consolidons maintenant la solution avec les exemples sur l'ordre des actions sur les simulateurs !

1. Exemples avec parenthèses entre nombres jusqu'à 100, opérations d'addition, soustraction, multiplication et division. Entraîneur en ligne.



2. Simulateur de mathématiques pour les niveaux 2 à 3 « Organiser l'ordre des actions (expressions de lettres). »



3. Ordre des actions (nous organisons l'ordre et résolvons des exemples)

Procédure en mathématiques 4e année



L’école primaire touche à sa fin et l’enfant entrera bientôt dans le monde avancé des mathématiques. Mais déjà pendant cette période, l’étudiant est confronté aux difficultés de la science. Lorsqu'il accomplit une tâche simple, l'enfant se perd et se perd, ce qui conduit finalement à une note négative pour le travail effectué. Pour éviter de tels problèmes, lors de la résolution d'exemples, vous devez être capable de naviguer dans l'ordre dans lequel vous devez résoudre l'exemple. Ayant mal réparti les actions, l'enfant ne termine pas la tâche correctement. L'article révèle les règles de base pour résoudre des exemples contenant toute la gamme des calculs mathématiques, y compris les parenthèses. Procédure en mathématiques règles et exemples de 4e année.

Avant de terminer la tâche, demandez à votre enfant de numéroter les actions qu'il va effectuer. Si vous rencontrez des difficultés, aidez-nous.

Quelques règles à suivre lors de la résolution d'exemples sans parenthèses :

Si une tâche nécessite une série d’opérations, vous devez d’abord effectuer une division ou une multiplication, puis une addition. Toutes les actions sont effectuées au fur et à mesure de la progression de la lettre. Sinon, le résultat de la décision ne sera pas correct.



Si dans l'exemple vous devez effectuer une addition et une soustraction, nous le faisons dans l'ordre, de gauche à droite.

27-5+15=37 (Lors de la résolution de l'exemple, nous sommes guidés par la règle. Nous effectuons d'abord une soustraction, puis une addition).

Apprenez à votre enfant à toujours planifier et numéroter les actions effectuées.

Les réponses à chaque action résolue sont écrites au-dessus de l'exemple. Cela permettra à l'enfant de naviguer beaucoup plus facilement dans les actions.

Considérons une autre option où il est nécessaire de répartir les actions dans l'ordre :



Comme vous pouvez le voir, lors de la résolution, la règle est suivie : on cherche d'abord le produit, puis on cherche la différence.

Ce sont des exemples simples qui nécessitent un examen attentif lors de leur résolution. De nombreux enfants sont stupéfaits lorsqu'ils voient une tâche qui contient non seulement des multiplications et des divisions, mais aussi des parenthèses. Un étudiant qui ne connaît pas la procédure à suivre pour effectuer des actions se pose des questions qui l'empêchent de terminer la tâche.

Comme indiqué dans la règle, nous trouvons d’abord le produit ou le quotient, puis tout le reste. Mais il y a des parenthèses ! Que faire dans ce cas ?



Résoudre des exemples avec des parenthèses

Regardons un exemple spécifique :



• Lors de l'exécution de cette tâche, nous trouvons d'abord la valeur de l'expression entre parenthèses.
• Vous devriez commencer par la multiplication, puis l'addition.
• Une fois l'expression entre parenthèses résolue, nous procédons à des actions en dehors d'elles.
• Selon le règlement intérieur, l'étape suivante est la multiplication.
• La dernière étape sera la soustraction.

Comme nous pouvons le voir dans l’exemple visuel, toutes les actions sont numérotées. Pour renforcer le sujet, invitez votre enfant à résoudre seul plusieurs exemples :



L'ordre dans lequel la valeur de l'expression doit être calculée a déjà été défini. L'enfant n'aura qu'à exécuter la décision directement.

Compliquons la tâche. Laissez l'enfant trouver par lui-même le sens des expressions.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Apprenez à votre enfant à résoudre toutes les tâches sous forme de brouillon. Dans ce cas, l'étudiant aura la possibilité de corriger une décision incorrecte ou des erreurs. Les corrections ne sont pas autorisées dans le classeur. En accomplissant les tâches par eux-mêmes, les enfants voient leurs erreurs.

Les parents, à leur tour, doivent prêter attention aux erreurs, aider l'enfant à les comprendre et à les corriger. Vous ne devriez pas surcharger le cerveau d’un élève avec un grand nombre de tâches. Avec de telles actions, vous découragerez le désir de connaissance de l’enfant. Il devrait y avoir un sens des proportions dans tout.

Faites une pause. L'enfant doit être distrait et faire une pause dans les cours. La principale chose à retenir est que tout le monde n’a pas un esprit mathématique. Peut-être que votre enfant deviendra un philosophe célèbre.

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Leçon de mathématiques 2e année Ordre des actions dans les expressions entre parenthèses.

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Cible: 1.

2.

3. Consolider les connaissances sur la table de multiplication et la division par 2 – 6, la notion de diviseur et

4. Apprenez à travailler en binôme afin de développer vos compétences en communication.

Équipement * : + — (), matériau géométrique.

Un, deux – tête haute.

Trois, quatre bras plus larges.

Cinq, six - tout le monde s'assoit.

Sept, huit - abandonnons la paresse.

Mais il faut d’abord connaître son nom. Pour ce faire, vous devez effectuer plusieurs tâches :

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 points 5 cm… 4 points 5 cm

Pendant que nous nous souvenions de l'ordre des actions dans les expressions, des miracles se sont produits dans le château. Nous étions juste devant la porte, et maintenant nous étions dans le couloir. Regardez, la porte. Et il y a un château dessus. Devons-nous l'ouvrir ?

1. Soustrayez le quotient de 8 et 2 du nombre 20.

2. Divisez la différence entre 20 et 8 par 2.

— En quoi les résultats sont-ils différents ?

- Qui peut nommer le sujet de notre leçon ?

(sur tapis de massage)

Sur le chemin, sur le chemin

On galope sur notre jambe droite,

Nous sautons sur notre jambe gauche.

Courons le long du chemin,

Notre hypothèse était tout à fait correcte7

Où sont effectuées les actions en premier s'il y a des parenthèses dans une expression ?

Regardez les « exemples vivants » devant nous. Donnons-leur vie.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k : b + (a – c) * t

6. Travaillez en binôme.

Pour les résoudre, vous aurez besoin de matériel géométrique.

Les élèves accomplissent les tâches par paires. Une fois terminé, vérifiez le travail des paires au tableau.

Qu'avez-vous appris de nouveau ?

8. Devoirs.



Sujet : Ordre des actions dans les expressions entre parenthèses.

Cible: 1. Dériver une règle pour l'ordre des actions dans des expressions entre parenthèses contenant tous

4 opérations arithmétiques,

2. Développer la capacité d’appliquer pratiquement les règles,

4. Apprenez à travailler en binôme afin de développer vos compétences en communication.

Équipement: manuel, cahiers, cartes avec signes d'action * : + — (), matériau géométrique.

1 .Exercice physique.

Neuf, dix - asseyez-vous tranquillement.

2. Actualisation des connaissances de base.

Aujourd’hui, nous partons pour un nouveau voyage au Pays du Savoir, la ville des mathématiques. Nous devons visiter un palais. D'une manière ou d'une autre, j'ai oublié son nom. Mais ne nous énervons pas, vous pouvez me dire vous-même son nom. Pendant que j'étais inquiet, nous nous approchâmes des portes du palais. Devons-nous entrer ?

1. Comparez les expressions :

2. Déchiffrez le mot.

3. Énoncé du problème. Découverte de quelque chose de nouveau.

Alors, quel est le nom du palais ?

Et quand en mathématiques parle-t-on d’ordre ?

Que savez-vous déjà de l’ordre des actions dans les expressions ?

— Intéressant, on nous demande d'écrire et de résoudre des expressions (le professeur lit les expressions, les élèves les écrivent et les résolvent).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Bien joué. Qu’y a-t-il d’intéressant dans ces expressions ?

Regardez les expressions et leurs résultats.

— Qu'est-ce qui est courant dans l'écriture d'expressions ?

— Pourquoi pensez-vous que les résultats étaient différents, puisque les chiffres étaient les mêmes ?

Qui oserait formuler une règle pour effectuer des actions dans des expressions entre parenthèses ?

Nous pouvons vérifier l’exactitude de cette réponse dans une autre pièce. Allons-y.

4. Exercice physique.

Et sur le même chemin

Nous atteindrons la montagne.

Arrêt. Reposons-nous un peu

Et nous repartirons à pied.

5. Consolidation primaire de ce qui a été appris.

Nous y sommes.

Nous devons résoudre deux autres expressions pour vérifier l’exactitude de notre hypothèse.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Pour vérifier l'exactitude de l'hypothèse, ouvrons les manuels à la page 33 et lisons la règle.

Comment devez-vous effectuer les actions après la solution entre parenthèses ?

Les expressions des lettres sont écrites au tableau et il y a des cartes avec des signes d'action. * : + — (). Les enfants se présentent un à un au tableau, prennent une carte avec l'action à faire en premier, puis le deuxième élève sort et prend une carte avec la deuxième action, etc.

une + (une – b)

une * (b + c) : d – t

m – c * ( un + d ) + x

k : b + ( un – c ) * t

(a-b) : t+d

6. Travaillez en binôme. Organisation autonome à but non lucratif Bureau d'expertise médico-légale. Examen non judiciaire Révision de l'examen. Évaluation L'organisation autonome à but non lucratif « Bureau of Forensic Expertise » de Moscou est un centre […]

• Caractéristiques de la comptabilisation des subventions L'État cherche à soutenir les petites et moyennes entreprises. Ce soutien s’exprime le plus souvent sous forme de subventions – paiements gratuits de […]
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• Marché noir des dollars à Kiev Vente aux enchères de devises pour acheter des dollars à Kiev Attention : l'administration n'est pas responsable du contenu des annonces lors des enchères de devises. Règles de publication d'annonces sur les changes […]

Nous examinerons trois exemples dans cet article :

1. Exemples avec parenthèses (actions d'addition et de soustraction)

2. Exemples avec parenthèses (addition, soustraction, multiplication, division)

3. Exemples avec beaucoup d'action

1 Exemples avec parenthèses (opérations d'addition et de soustraction)

Regardons trois exemples. Dans chacun d'eux, l'ordre des actions est indiqué par des chiffres rouges :

Nous voyons que l'ordre des actions dans chaque exemple sera différent, bien que les nombres et les signes soient les mêmes. Cela se produit car il y a des parenthèses dans les deuxième et troisième exemples.

*Cette règle concerne les exemples sans multiplication ni division. Nous examinerons les règles des exemples avec parenthèses impliquant les opérations de multiplication et de division dans la deuxième partie de cet article.

Pour éviter toute confusion dans l'exemple avec parenthèses, vous pouvez en faire un exemple normal, sans parenthèses. Pour cela, écrivez le résultat obtenu entre parenthèses au-dessus des parenthèses, puis réécrivez tout l'exemple en écrivant ce résultat à la place des parenthèses, puis effectuez toutes les actions dans l'ordre, de gauche à droite :

Dans des exemples simples, vous pouvez effectuer toutes ces opérations dans votre esprit. L'essentiel est d'effectuer d'abord l'action entre parenthèses et de mémoriser le résultat, puis de compter dans l'ordre, de gauche à droite.

Et maintenant - des simulateurs !

1) Exemples avec parenthèses jusqu'à 20. Simulateur en ligne.

2) Exemples avec parenthèses jusqu'à 100. Simulateur en ligne.

3) Exemples entre parenthèses. Simulateur n°2

4) Insérez le numéro manquant - exemples entre parenthèses. Simulateur

2 Exemples avec parenthèses (addition, soustraction, multiplication, division)

Examinons maintenant des exemples dans lesquels, en plus de l'addition et de la soustraction, il existe une multiplication et une division.

Regardons d'abord des exemples sans parenthèses :

Il existe une astuce pour éviter de se tromper lors de la résolution d'exemples d'ordre d'actions. S'il n'y a pas de parenthèses, alors on effectue les opérations de multiplication et de division, puis on réécrit l'exemple en notant les résultats obtenus à la place de ces actions. Ensuite, nous effectuons des additions et des soustractions dans l'ordre :

Si l'exemple contient des parenthèses, vous devez d'abord vous débarrasser des parenthèses : réécrivez l'exemple en y écrivant le résultat obtenu à la place des parenthèses. Ensuite, vous devez mettre en évidence mentalement les parties de l'exemple, séparées par les signes « + » et « - », et compter chaque partie séparément. Effectuez ensuite l'addition et la soustraction dans l'ordre :

3 exemples avec beaucoup d'action

S'il y a beaucoup d'actions dans l'exemple, il sera alors plus pratique de ne pas organiser l'ordre des actions dans tout l'exemple, mais de sélectionner des blocs et de résoudre chaque bloc séparément. Pour ce faire, on retrouve les signes libres « + » et « – » (libre signifie pas entre parenthèses, représentés sur la figure avec des flèches).

Ces signes diviseront notre exemple en blocs :

Lorsque vous effectuez des actions dans chaque bloc, n'oubliez pas la procédure indiquée ci-dessus dans l'article. Après avoir résolu chaque bloc, nous effectuons les opérations d'addition et de soustraction dans l'ordre.

Consolidons maintenant la solution avec les exemples sur l'ordre des actions sur les simulateurs !

Composer une expression avec des parenthèses

1. Composez des expressions entre parenthèses à partir des phrases suivantes et résolvez-les.

Du nombre 16, soustrayez la somme des nombres 8 et 6.
Du nombre 34, soustrayez la somme des nombres 5 et 8.
Soustrayez la somme des nombres 13 et 5 du nombre 39.
La différence entre les nombres 16 et 3 s'ajoute au nombre 36
Ajoutez la différence entre 48 et 28 à 16.

2. Résolvez les problèmes en composant d'abord les expressions correctes, puis en les résolvant séquentiellement :

2.1. Papa a apporté un sac de noix de la forêt. Kolya a sorti 25 noix du sac et les a mangées. Ensuite, Masha a sorti 18 noix du sac. Maman a également sorti 15 noix du sac, mais en a remis 7. Combien de noix reste-t-il dans le sac à la fin s’il y en avait 78 au début ?

2.2. Le maître a réparé les pièces. Au début de la journée de travail, il y en avait 38. Dans la première moitié de la journée, il a pu en réparer 23. Dans l'après-midi, ils lui apportèrent la même somme qu'en tout début de journée. Au cours de la seconde période, il a réparé 35 autres pièces. Combien de pièces lui reste-t-il à réparer ?

3. Résolvez correctement les exemples en suivant la séquence d'actions :

45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 - 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 - 12: 4
18: 3 - 5 + 6 * 8

Résoudre des expressions avec des parenthèses

1. Résolvez les exemples en ouvrant correctement les parenthèses :

2. Résolvez correctement les exemples en suivant la séquence d'actions :

2.1. 36: 3 + 12 * (2 - 1) : 3
2.2. 39 - (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 - 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 - 4

3. Résolvez les problèmes en composant d'abord les expressions correctes, puis en les résolvant séquentiellement :

3.1. Il y avait 25 paquets de lessive dans l’entrepôt. 12 colis ont été apportés à un magasin. Ensuite, le même montant a été transféré au deuxième magasin. Après cela, 3 fois plus de colis ont été amenés à l'entrepôt qu'auparavant. Combien de paquets de poudre y a-t-il en stock ?

3.2. Il y avait 75 touristes séjournant à l’hôtel. Le premier jour, 3 groupes de 12 personnes chacun ont quitté l'hôtel et 2 groupes de 15 personnes sont arrivés. Le deuxième jour, 34 autres personnes sont parties. Combien de touristes sont restés dans l’hôtel au bout de 2 jours ?

3.3. Ils ont apporté 2 sacs de vêtements au pressing, 5 articles dans chaque sac. Ensuite, ils ont pris 8 choses. Dans l'après-midi, ils ont apporté 18 autres articles à laver. Et ils n'ont pris que 5 articles lavés. Combien d’articles y a-t-il dans le pressing à la fin de la journée s’il y avait 14 articles en début de journée ?

FI _________________________________

S'il y a un point d'interrogation (?) dans les exemples, il doit être remplacé par le signe * - multiplication.

1. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

35: 5 + 36: 4 - 3
26 + 6 x 8 – 45 : 5 24 : 6 + 18 – 2 x 6
9 x 6 – 3 x 6 + 19 – 27:3

2. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

48 : 8 + 32 – 54 : 6 + 7 x 4
17 + 24 : 3 x 4 – 27 : 3 x 2 6 x 4 : 3 + 54 : 6 : 3 x 6 + 2 x 9
100 – 6 x 2 : 3 x 9 – 39 + 7 x 4

3. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

100 – 27 : 3 x 6 + 7 x 4
2 x 4 + 24 : 3 + 18 : 6 x 9 9 x 3 – 19 + 6 x 7 – 3 x 5
7 x 4 + 35 : 7 x 5 – 16 : 2 : 4 x 3

4. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

32 : 8 x 6 : 3 + 6 x 8 – 17
5 x 8 – 4 x 7 + 13 - 11 24 : 6 + 18 : 2 + 20 – 12 + 6 x 7
21 : 3 – 35 : 7 + 9 x 3 + 9 x 5

5. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

42 : 7 x 3 + 2 + 24 : 3 – 7 + 9 x 3
6 x 6 + 30 : 5 : 2 x 7 - 19 90 - 7 x 5 – 24 : 3 x 5
6 x 5 – 12 : 2 x 3 + 49

6. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

32 : 8 x 7 + 54 : 6 : 3 x 5
50 – 45 : 5 x 3 + 16 : 2 x 5 8 x 6 + 23 – 24 : 4 x 3 + 17
48 : 6 x 4 + 6 x 9 – 26 + 13

7. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

42 : 6 + (19 + 6) : 5 – 6 x 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 x 4 + 25 (27 – 19) x 4 + 18 : 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74) : 2 x 7 + 7 x 4 - (63 – 27) : 4
8. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

90 – (40 – 24 : 3) : 4 x 6 + 3 x 5
3 x 4 + 9 x 6 – (27 + 9) : 4 x 5
(50 – 23) : 3 + 8 x 5 – 6 x 5 + (26 + 16) : 6
(5 x 6 – 3 x 4 + 48 : 6) + (82 – 78) x 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5

9. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

9 x 6 – 6 x 4 : (33 – 25) x 7
3 x (12 – 8) : 2 + 6 x 9 - 33 (5 x 9 - 25) : 4 x 8 – 4 x 7 + 13
9 x (2 x 3) – 48 : 8 x 3 + 7 x 6 - 34

10. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

(8 x 6 – 36:6) : 6 x 3 + 5 x 9
7 x 6 + 9 x 4 – (2 x 7 + 54 : 6 x 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 x 4
(7 x 4 + 33) – 3 x 6:2

11. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

(37 + 7 x 4 – 17) : 6 + 7 x 5 + 33 + 9 x 3 – (85 – 67) : 2 x 5
5 x 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 x 2 – 28 : 4 + 27 : 3 – (17 + 31) : 6

12. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 x 5 – (60 – 42) : 3 + 9 x 2
(9 x 7 + 56 : 7) – (2 x 6 – 4) x 3 + 54 : 9

13. RÉSOUDRE LES EXPRESSIONS :

(8 x 5 + 28 : 7) + 12 : 2 – 6 x 5 + (13 – 5) x 4 + 5 x 4
(7x8 – 14:7) + (7x4 + 12:6) – 10:5 + 63:9

Test « Ordre des opérations arithmétiques » (1 option)
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)

110 – (60 +40) :10x8




a) 800 b) 8 c) 30

a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

3 4 6 5 1 2

5. Dans laquelle des expressions se trouve la dernière action de multiplication ?
a) 1001:13 x (318 +466) :22

c) 10 000 – (5 x 9 + 56 x 7) x2
6. Dans laquelle des expressions se trouve la première soustraction d'action ?
a) 2025:5 – (524 – 24:6)x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5




Choisissez la bonne réponse :
9. 90 – (50-40:5) x 2+ 30
a) 56 b) 92 c) 36
10. 100- (2x5+6 - 4x4) x2
a) 100 b) 200 c) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
a) 106 b) 205 c) 0
12. 150 : (80 – 60:2) x 3
a) 9 b) 45 c) 1

Test "Ordre des opérations arithmétiques"
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
1. Quelle action dans l’expression ferez-vous en premier ?
560 – (80+20) :10x7
a) addition b) division c) soustraction
2. Quelle action dans la même expression ferez-vous en deuxième ?
a) soustraction b) division c) multiplication
3. Choisissez la bonne réponse à cette expression :
a) 800 b) 490 c) 30
4. Choisissez la bonne disposition des actions :
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320 : 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15) c) 320 : 8 x 7 + 9x (240 – 60:15)

3 4 6 5 2 1
b) 320 : 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
5. Dans laquelle des expressions se trouve la dernière division d'action ?
a) 1001:13 x (318 +466) :22
b) 391x37:17x (2248:8 – 162)
c) 10 000 – (5 x 9 + 56 x 7) x2
6. Dans laquelle des expressions se trouve la première action d'addition ?
a) 2025:5 – (524 + 24x6)x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5
7. Choisissez l'énoncé correct : « Dans une expression sans parenthèses, les actions sont effectuées : »
a) dans l'ordre b) x et : , puis + et - c) + et -, puis x et :
8. Choisissez l'énoncé correct : « Dans une expression entre parenthèses, les actions sont effectuées : »
a) d'abord entre parenthèses b)x et :, puis + et - c) dans l'ordre d'écriture
Choisissez la bonne réponse :
9. 120 – (50- 10:2) x 2+ 30
a) 56 b) 0 c) 60
10. 600- (2x5+8 - 4x4) x2
a) 596 b) 1 192 c) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
a) 106 b) 203 c) 0
12. 160 : (80 – 80:2) x 3
a) 120 b) 0 c) 1

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question. ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...

Et maintenant j'ai la question la plus intéressante : où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamans, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qu'est-ce qui est correct ? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait ? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme ! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

Cette leçon explique en détail la procédure à suivre pour effectuer des opérations arithmétiques dans des expressions sans parenthèses et avec parenthèses. Les étudiants ont la possibilité, tout en accomplissant leurs devoirs, de déterminer si le sens des expressions dépend de l'ordre dans lequel les opérations arithmétiques sont effectuées, de savoir si l'ordre des opérations arithmétiques est différent dans les expressions sans parenthèses et avec parenthèses, de s'entraîner à appliquer la règle apprise, pour trouver et corriger les erreurs commises lors de la détermination de l'ordre des actions.

Dans la vie, nous effectuons constamment une sorte d'action : nous marchons, étudions, lisons, écrivons, comptons, sourions, nous disputons et faisons la paix. Nous effectuons ces actions dans des ordres différents. Parfois, ils peuvent être échangés, parfois non. Par exemple, lorsque vous vous préparez pour l'école le matin, vous pouvez d'abord faire des exercices, puis faire votre lit, ou vice versa. Mais on ne peut pas d’abord aller à l’école et ensuite s’habiller.

En mathématiques, est-il nécessaire d’effectuer des opérations arithmétiques dans un certain ordre ?

Vérifions

Comparons les expressions :
8-3+4 et 8-3+4

Nous voyons que les deux expressions sont exactement les mêmes.

Effectuons des actions dans une expression de gauche à droite et dans l'autre de droite à gauche. Vous pouvez utiliser des chiffres pour indiquer l'ordre des actions (Fig. 1).

Riz. 1. Procédure

Dans la première expression, nous effectuerons d’abord l’opération de soustraction puis ajouterons le nombre 4 au résultat.

Dans la deuxième expression, nous trouvons d’abord la valeur de la somme, puis soustrayons le résultat obtenu 7 de 8.

On voit que les sens des expressions sont différents.

Concluons : L'ordre dans lequel les opérations arithmétiques sont effectuées ne peut pas être modifié.

Apprenons la règle pour effectuer des opérations arithmétiques dans des expressions sans parenthèses.

Si une expression sans parenthèses ne comprend que des additions et des soustractions ou uniquement des multiplications et des divisions, alors les actions sont effectuées dans l'ordre dans lequel elles sont écrites.

Pratiquons.

Considérons l'expression

Cette expression ne contient que des opérations d'addition et de soustraction. Ces actions sont appelées actions de première étape.

Nous effectuons les actions de gauche à droite dans l'ordre (Fig. 2).

Riz. 2. Procédure

Considérons la deuxième expression

Cette expression ne contient que des opérations de multiplication et de division - Ce sont les actions de la deuxième étape.

Nous effectuons les actions de gauche à droite dans l'ordre (Fig. 3).

Riz. 3. Procédure

Dans quel ordre les opérations arithmétiques sont-elles effectuées si l'expression contient non seulement une addition et une soustraction, mais aussi une multiplication et une division ?

Si une expression sans parenthèses comprend non seulement les opérations d'addition et de soustraction, mais également la multiplication et la division, ou les deux, alors effectuez d'abord dans l'ordre (de gauche à droite) la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction.

Regardons l'expression.

Pensons ainsi. Cette expression contient les opérations d'addition et de soustraction, de multiplication et de division. Nous agissons selon la règle. Tout d'abord, nous effectuons dans l'ordre (de gauche à droite) la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction. Organisons l'ordre des actions.

Calculons la valeur de l'expression.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Dans quel ordre les opérations arithmétiques sont-elles effectuées s'il y a des parenthèses dans une expression ?

Si une expression contient des parenthèses, la valeur des expressions entre parenthèses est évaluée en premier.

Regardons l'expression.

30 + 6 * (13 - 9)

On voit que dans cette expression il y a une action entre parenthèses, ce qui signifie que nous allons d'abord effectuer cette action, puis la multiplication et l'addition dans l'ordre. Organisons l'ordre des actions.

30 + 6 * (13 - 9)

Calculons la valeur de l'expression.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Comment raisonner pour établir correctement l’ordre des opérations arithmétiques dans une expression numérique ?

Avant de commencer les calculs, vous devez examiner l'expression (déterminer si elle contient des parenthèses, quelles actions elle contient) et ensuite seulement effectuer les actions dans l'ordre suivant :

1. actions écrites entre parenthèses ;

2. multiplication et division ;

3. addition et soustraction.

Le schéma vous aidera à vous souvenir de cette règle simple (Fig. 4).

Riz. 4. Procédure

Pratiquons.

Considérons les expressions, établissons l'ordre des actions et effectuons des calculs.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Nous agirons selon la règle. L'expression 43 - (20 - 7) +15 contient des opérations entre parenthèses, ainsi que des opérations d'addition et de soustraction. Établissons une procédure. La première action consiste à effectuer l'opération entre parenthèses, puis, dans l'ordre de gauche à droite, la soustraction et l'addition.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

L'expression 32 + 9 * (19 - 16) contient des opérations entre parenthèses, ainsi que des multiplications et des additions. Selon la règle, on effectue d'abord l'action entre parenthèses, puis la multiplication (on multiplie le nombre 9 par le résultat obtenu par soustraction) et l'addition.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Dans l'expression 2*9-18:3 il n'y a pas de parenthèses, mais il y a des opérations de multiplication, de division et de soustraction. Nous agissons selon la règle. Tout d'abord, nous effectuons la multiplication et la division de gauche à droite, puis soustrayons le résultat obtenu par division du résultat obtenu par multiplication. Autrement dit, la première action est la multiplication, la seconde la division et la troisième la soustraction.

2*9-18:3=18-6=12

Voyons si l'ordre des actions dans les expressions suivantes est correctement défini.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Pensons ainsi.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Il n'y a pas de parenthèses dans cette expression, ce qui signifie que l'on effectue d'abord une multiplication ou une division de gauche à droite, puis une addition ou une soustraction. Dans cette expression, la première action est la division, la seconde la multiplication. La troisième action devrait être une addition, la quatrième une soustraction. Conclusion : la procédure est déterminée correctement.

Trouvons la valeur de cette expression.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Continuons à parler.

La deuxième expression contient des parenthèses, ce qui signifie que l'on effectue d'abord l'action entre parenthèses, puis, de gauche à droite, la multiplication ou la division, l'addition ou la soustraction. On vérifie : la première action est entre parenthèses, la seconde est la division, la troisième est l'addition. Conclusion : la procédure est mal définie. Corrigeons les erreurs et trouvons la valeur de l'expression.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Cette expression contient également des parenthèses, ce qui signifie que l'on effectue d'abord l'action entre parenthèses, puis de gauche à droite une multiplication ou une division, une addition ou une soustraction. On vérifie : la première action est entre parenthèses, la seconde est la multiplication, la troisième est la soustraction. Conclusion : la procédure est mal définie. Corrigeons les erreurs et trouvons la valeur de l'expression.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Terminons la tâche.

Organisons l'ordre des actions dans l'expression en utilisant la règle apprise (Fig. 5).

Riz. 5. Procédure

Nous ne voyons pas de valeurs numériques, nous ne pourrons donc pas trouver le sens des expressions, mais nous nous entraînerons à appliquer la règle que nous avons apprise.

Nous agissons selon l'algorithme.

La première expression contient des parenthèses, ce qui signifie que la première action est entre parenthèses. Puis de gauche à droite multiplication et division, puis de gauche à droite soustraction et addition.

La deuxième expression contient également des parenthèses, ce qui signifie que nous effectuons la première action entre parenthèses. Après cela, de gauche à droite, multiplication et division, puis soustraction.

Vérifions nous-mêmes (Fig. 6).

Riz. 6. Procédure

Aujourd'hui, en classe, nous avons appris la règle de l'ordre des actions dans les expressions sans et avec parenthèses.

Références

1. MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 1. - M. : « Lumières », 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 2. - M. : « Lumières », 2012.
3. MI. Moro. Cours de mathématiques : Recommandations méthodologiques pour les enseignants. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
4. Document réglementaire. Suivi et évaluation des acquis d’apprentissage. - M. : « Lumières », 2011.
5. « École de Russie » : programmes pour l'école primaire. - M. : « Lumières », 2011.
6. SI. Volkova. Mathématiques : Travaux de test. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
7. V.N. Rudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.

1. Festival.1septembre.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Devoirs

1. Déterminez l’ordre des actions dans ces expressions. Trouvez le sens des expressions.

2. Déterminez dans quelle expression cet ordre d'actions est effectué :

1. multiplications ; 2. division;. 3. ajout ; 4. soustraction ; 5. ajout. Trouvez le sens de cette expression.

3. Composez trois expressions dans lesquelles l'ordre d'actions suivant est effectué :

1. multiplications ; 2. ajout ; 3. soustraction

1. ajout ; 2. soustraction ; 3. ajout

1. multiplications ; 2. division; 3. ajout

Trouvez le sens de ces expressions.