Que représente le nombre e ? Nombre et symétrie sphérique de l'espace

NOMBRE e. Un nombre approximativement égal à 2,718, que l’on retrouve souvent en mathématiques et en sciences. Par exemple, lorsqu'une substance radioactive se désintègre avec le temps t de la quantité initiale de la substance reste une fraction égale à e-kt, Où k– un nombre caractérisant le taux de décomposition d'une substance donnée. Réciproque de 1/ k est appelée la durée de vie moyenne d'un atome d'une substance donnée, puisqu'en moyenne un atome existe pendant une durée de 1/ avant de se désintégrer k. Valeur 0,693/ k est appelée la demi-vie d'une substance radioactive, c'est-à-dire le temps pendant lequel la moitié de la quantité initiale d'une substance se désintègre ; le nombre 0,693 est approximativement égal à log e 2, c'est-à-dire logarithme du nombre 2 en base e. De même, si les bactéries présentes dans un milieu nutritif se multiplient à un rythme proportionnel à leur nombre actuel, alors au fil du temps t nombre initial de bactéries N se transforme en Ne kt. Atténuation du courant électrique je dans un circuit simple avec connexion en série, résistance R. et inductance L se passe conformément à la loi je = je 0 e-kt, Où k = R/G, je 0 – intensité actuelle à ce moment précis t= 0. Des formules similaires décrivent la relaxation des contraintes dans un fluide visqueux et l'amortissement du champ magnétique. Numéro 1/ k souvent appelé temps de détente. En statistiques, la valeur e-kt se produit comme la probabilité qu'au fil du temps t aucun événement ne s'est produit de manière aléatoire avec une fréquence moyenne kévénements par unité de temps. Si S- le montant d'argent investi sous r intérêts avec accumulation continue au lieu d'accumulation à intervalles discrets, puis au moment t le montant initial augmentera à Setr/100.

La raison de « l’omniprésence » du numéro e réside dans le fait que les formules d'analyse mathématique contenant des fonctions exponentielles ou des logarithmes s'écrivent plus simplement si les logarithmes sont ramenés à la base e, et non 10 ou toute autre base. Par exemple, la dérivée de log 10 Xégal à (1/ X)journal 10 e, tandis que la dérivée de log ex est simplement égal à 1/ X. De même, la dérivée de 2 X est égal à 2 X enregistrer e 2, alors que la dérivée de ex est simplement égal à ex. Cela signifie que le numéro e peut être défini comme la base b, auquel le graphique de la fonction y = enregistrer bx a au point X= 1 tangente de pente égale à 1, ou à laquelle la courbe y = bx a dans X= 0 tangente de pente égale à 1. Logarithmes à la base e sont dits « naturels » et sont désignés ln X. Parfois, on les appelle aussi « Népier », ce qui est incorrect, puisqu'en fait J. Napier (1550-1617) a inventé des logarithmes avec une base différente : le logarithme Népier du nombre X est égal à 10 7 log 1/ e (X/10 7) .

Diverses combinaisons de diplômes e Ils apparaissent si souvent en mathématiques qu’ils portent des noms spéciaux. Ce sont par exemple des fonctions hyperboliques

Graphique d'une fonction oui= ch X appelé ligne caténaire; Il s'agit de la forme d'un fil ou d'une chaîne lourde et inextensible suspendue aux extrémités. Les formules d'Euler

Où je 2 = –1, numéro de liaison e avec la trigonométrie. Cas particulier x = p conduit à la fameuse relation e-ip+ 1 = 0, reliant les 5 nombres les plus connus en mathématiques.

Tout le monde connaît la signification géométrique du nombre π est la longueur d'un cercle de diamètre unité :

Mais voici la signification d'une autre constante importante, e, a tendance à être vite oublié. Autrement dit, je ne sais pas pour vous, mais à chaque fois, cela me coûte un effort pour me rappeler pourquoi ce nombre égal à 2,7182818284590 est si remarquable... (J'ai cependant noté la valeur de mémoire). J'ai donc décidé d'écrire un message pour que rien d'autre ne s'échappe de ma mémoire.

Nombre e par définition - la limite d'une fonction oui = (1 + 1 / X) Xà X → ∞:

Cette définition n’est malheureusement pas claire. On ne sait pas pourquoi cette limite est remarquable (malgré le fait qu'elle soit appelée la « seconde limite remarquable »). Pensez-y, ils ont pris une fonction maladroite et ont calculé la limite. Une fonction différente en aura une différente.

Mais le numéro e Pour une raison quelconque, cela se produit dans toute une série de situations différentes en mathématiques.

Pour moi, la signification principale du nombre e se révèle dans le comportement d’une autre fonction bien plus intéressante, oui = k X. Cette fonction a une propriété unique lorsque k = e, qui peut être représenté graphiquement comme ceci :

Au point 0 la fonction prend la valeur e 0 = 1. Si vous tracez une tangente au point X= 0, alors il passera à l'axe des x selon un angle avec la tangente 1 (en triangle jaune le rapport du côté opposé 1 au côté adjacent 1 est de 1). Au point 1 la fonction prend la valeur e 1 = e. Si vous tracez une tangente en un point X= 1, alors il passera sous un angle avec une tangente e(V. triangle vert rapport du côté opposé e au 1 adjacent est égal e). Au point 2 la valeur e 2 de la fonction coïncide à nouveau avec la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à celle-ci. De ce fait, en même temps, les tangentes elles-mêmes coupent l'axe des x exactement aux points −1, 0, 1, 2, etc.

Parmi toutes les fonctions oui = k X(par exemple 2 X , 10 X , π X etc.), fonction e X- le seul qui a une telle beauté que la tangente de l'angle de son inclinaison en chacun de ses points coïncide avec la valeur de la fonction elle-même. Cela signifie, par définition, que la valeur de cette fonction en chaque point coïncide avec la valeur de sa dérivée en ce point : ( e X)´ = e X. Pour une raison quelconque, le numéro e= 2,7182818284590... doit être élevé à différentes puissances pour obtenir une image comme celle-ci.

C'est, à mon avis, son sens.

Nombres π Et e sont inclus dans ma formule préférée - la formule d'Euler, qui relie les 5 constantes les plus importantes - zéro, un, unité imaginaire je et, en fait, des chiffres π Et e:

e jeπ + 1 = 0

Pourquoi le nombre 2,7182818284590... à la puissance complexe de 3,1415926535... je soudainement égal à moins un ? La réponse à cette question dépasse le cadre de cette note et pourrait constituer le contenu d'un petit livre, qui nécessiterait une compréhension de base de la trigonométrie, des limites et des séries.

J'ai toujours été émerveillé par la beauté de cette formule. Il existe peut-être des faits plus étonnants en mathématiques, mais pour mon niveau (un C au lycée de physique et de mathématiques et un A en analyse complexe à l'université), c'est le miracle le plus important.

L'exposant est noté , ou .

Numéro e

La base du degré de l'exposant est numéro e. C'est un nombre irrationnel. C'est à peu près égal
e ≈ 2,718281828459045...

Le nombre e est déterminé par la limite de la séquence. C'est ce qu'on appelle deuxième limite merveilleuse:
.

Le nombre e peut également être représenté sous forme de série :
.

Graphique exponentiel

Graphique exponentiel, y = e x .

Le graphique montre l'exponentielle eà un degré X.
oui (x) = ex
Le graphique montre que l'exposant augmente de façon monotone.

Formules

Les formules de base sont les mêmes que pour la fonction exponentielle de base de degré e.

;
;
;

Expression d'une fonction exponentielle avec une base arbitraire de degré a à travers une exponentielle :
.

Valeurs privées

Laissez-vous (x) = ex. Alors
.

Propriétés des exposants

L'exposant a les propriétés d'une fonction exponentielle avec une base de puissance e > 1 .

Domaine, ensemble de valeurs

Exposant y (x) = ex défini pour tout x.
Son domaine de définition :
- ∞ < x + ∞ .
Ses nombreuses significations :
0 < y < + ∞ .

Extrêmes, croissants, décroissants

L’exponentielle est une fonction croissante de façon monotone, elle n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

Fonction inverse

L'inverse de l'exposant est le logarithme népérien.
;
.

Dérivée de l'exposant

Dérivé eà un degré Xégal à eà un degré X :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

Nombres complexes

Les opérations avec des nombres complexes sont effectuées en utilisant Les formules d'Euler:
,
où est l'unité imaginaire :
.

Expressions via des fonctions hyperboliques

; ;
.

Expressions utilisant des fonctions trigonométriques

; ;
;
.

Extension de la série de puissance

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

La dérive habituelle des chiffres dans un nombre. Quand 4.47 10^8 est écrit, ce qui implique que la virgule flottante est avancée de 8 bits- dans ce cas Ce il y aura un numéro 447 avec 6 zéros non significatifs, soit 447.000.000. Les valeurs E peuvent être utilisées en programmation, et e ne peut pas être écrit tout seul, mais E est possible (mais pas partout et pas toujours, cela sera noté plus loin), car l'avant-dernier peut être confondu avec le nombre d'Euler. Si vous devez écrire un grand nombre en abrégé, le style 4,47 × E8 peut être utilisé (une option alternative pour la production et les petits caractères est 4,47 × E8) afin que le nombre soit lu de manière plus épurée et que les chiffres soient indiqués plus séparément (les espaces ne peuvent pas être placé entre des signes arithmétiques (sinon, il s'agit d'une condition mathématique et non d'un nombre).

3.52E3 est bon pour écrire sans index, mais la lecture du décalage binaire sera plus difficile. 3.52 · 10^8 est une condition, car nécessite un index et n'a pas de mantisse (cette dernière n'existe que pour l'opérateur, et il s'agit d'un multiplicateur étendu). "· 10" est le processus de multiplication opérationnelle standard (de base), le nombre après ^ est un indicateur de dérive des chiffres, il n'a donc pas besoin d'être réduit s'il est nécessaire d'écrire des documents sous cette forme (en respectant la position en exposant ), dans certains cas, il est conseillé d'utiliser une échelle comprise entre 100 et 120 %, et non la norme 58 %. L'utilisation d'une petite échelle pour les éléments clés de la condition réduit la qualité visuelle des informations numériques - vous devrez regarder de près (peut-être pas nécessaire, mais le fait demeure - il n'est pas nécessaire de « cacher » les conditions en petits caractères, vous pourriez même "l'enterrer" - réduire l'ampleur des éléments individuels de la maladie est inacceptable, surtout sur un ordinateur) pour remarquer la "surprise", et cela est très préjudiciable même sur une ressource papier.

Si le processus de multiplication effectue des opérations spéciales, alors dans de tels cas, l'utilisation d'espaces peut être redondante, car En plus de multiplier des nombres, un multiplicateur peut être un lien pour les grands et petits nombres, les éléments chimiques, etc. etc., qui ne peuvent pas être écrits comme une fraction décimale de nombres ordinaires ou ne peuvent pas être écrits comme le résultat final. Cela peut ne pas s'appliquer à l'entrée avec "· 10^y", car toute valeur dans l'expression agit comme un multiplicateur, et "^y" est une puissance indiquée en exposant, c'est-à-dire est une condition numérique. Mais supprimer les espaces autour du multiplicateur et l’écrire différemment serait une erreur, car L'opérateur est manquant. L'entrée "· 10" elle-même est un opérateur multiplicateur + nombre, pas un premier + deuxième opérateur. C’est la principale raison pour laquelle cela n’est pas possible avec 10. S'il n'y a pas de valeurs spéciales après l'opérateur numérique, c'est-à-dire non numérique, mais systémique, alors cette option d'enregistrement ne peut pas être justifiée - s'il existe une valeur systémique, alors une telle valeur doit être adaptée à certaines tâches avec réduction numérique ou pratique des nombres (pour certaines actions, par exemple 1,35f8, où f est une équation créée pour des problèmes pratiques spéciaux, qui produit des nombres réels à la suite d'expériences pratiques spécifiques, 8 - une valeur qui est substituée comme variable à l'opérateur f et coïncide avec les nombres lorsque les conditions sont successivement modifiées dans le moyen le plus pratique, si cette tâche est extrêmement importante, alors ces valeurs de données peuvent être utilisées avec un signe sans espaces). En bref, pour des opérations arithmétiques similaires, mais à des fins différentes, cela peut également être effectué avec des plus, des moins et des diviseurs si cela est absolument nécessaire pour créer de nouvelles façons d'écrire des données ou simplifier celles existantes tout en maintenant l'exactitude dans la pratique et peut constituer une condition numérique applicable. à certaines fins arithmétiques.

Conclusion : il est recommandé d'écrire la forme de notation exponentielle officiellement approuvée avec un espace et une échelle de police en exposant de 58 % et un décalage de 33 % (si le changement d'échelle et de décalage est autorisé par d'autres parties à un niveau de 100 - 120%, alors vous pouvez définir 100% - c'est l'option d'enregistrement des valeurs en exposant la plus optimale, le décalage optimal est ≈ 50%). Sur un ordinateur vous pouvez utiliser 3.74e+2, 4.58E-1, 6.73 E-5, E-11, si les deux derniers formats sont supportés, sur les forums il vaut mieux abandonner les e-abréviations pour des raisons connues, et le style 3 , 65 E-5 ou 5.67E4 peuvent être tout à fait compréhensibles, les seules exceptions peuvent être segments publics officiels- là seulement avec " 10^x", et au lieu de ^x - seul l'exposant en exposant est utilisé.

En bref, E est un super raccourci pour l'antilogarithme décimal, souvent appelé antilog ou antig. Par exemple, 7,947antilg-4 serait identique à 7,947E-4. En pratique, c'est beaucoup plus pratique et pratique que de tirer à nouveau un « dix » avec un signe de degré en exposant. Cela peut être appelé la forme logarithmique « exponentielle » d’un nombre comme alternative à la forme classique « exponentielle » moins pratique. Seulement au lieu de "antilg", "E" est utilisé ou le deuxième nombre va immédiatement avec un espace (si le nombre est positif) ou sans (sur les calculatrices scientifiques à dix segments, comme le "Citizen CT-207T").

| Numéro d'Euler (E)

e - la base du logarithme népérien, une constante mathématique, un nombre irrationnel et transcendantal. Approximativement égal à 2,71828. Parfois, le numéro est appelé Numéro d'Euler ou Numéro Napier. Désigné par la lettre latine minuscule " e».

Histoire

Prochaine occurrence du numéro e encore une fois douteux. En 1647, Saint-Vincent calcule la superficie du secteur de l'hyperbole. On ne peut que deviner s'il a compris le lien avec les logarithmes, mais même s'il l'avait fait, il est peu probable qu'il aurait pu arriver au nombre lui-même. e . Ce n'est qu'en 1661 que Huygens comprit le lien entre l'hyperbole équilatérale et les logarithmes. Il a prouvé que l'aire sous le graphique d'une hyperbole équilatérale xy = 1 hyperbole équilatérale sur l'intervalle de 1 à e est égal à 1. Cette propriété fait e la base des logarithmes naturels, mais cela n'était pas compris par les mathématiciens de l'époque, mais ils s'approchaient lentement de cette compréhension.

Huygens franchit l'étape suivante en 1661. Il définit une courbe qu'il appelle logarithmique (dans notre terminologie nous l'appellerons exponentielle). C'est une courbe de la forme y = kax . Et le logarithme décimal réapparaît e , que Huygens trouve précis à 17 chiffres décimaux. Cependant, il provenait de Huygens comme une sorte de constante et n'était pas associé au logarithme d'un nombre (donc, encore une fois, nous nous sommes rapprochés de e , mais le numéro lui-même e reste méconnu).

Dans d'autres travaux sur les logarithmes, encore une fois le nombre e n’apparaît pas explicitement. Cependant, l'étude des logarithmes se poursuit. En 1668, Nicolas Mercator publie un ouvrage Logarithmotechnie, qui contient une extension en série journal (1 + x) . Dans cet ouvrage, Mercator utilise pour la première fois le nom de « logarithme naturel » pour le logarithme de base. e . Nombre e n'apparaît clairement plus, mais reste insaisissable quelque part à côté.

Il est surprenant que le nombre e apparaît explicitement pour la première fois non pas à propos des logarithmes, mais à propos de produits infinis. En 1683, Jacob Bernoulli tente de retrouver

Il utilise le théorème du binôme pour prouver que cette limite est comprise entre 2 et 3, ce que l'on peut considérer comme une première approximation du nombre e . Même si nous prenons cela comme une définition e , c'est la première fois qu'un nombre est défini comme limite. Bernoulli, bien entendu, ne comprenait pas le lien entre son travail et celui sur les logarithmes.

Il a été mentionné précédemment qu'au début de leur étude, les logarithmes n'étaient en aucun cas liés aux exposants. Bien sûr, d'après l'équation x = un t nous trouvons que t = bûche , mais c’est une manière de percevoir beaucoup plus tardive. Ici, nous entendons en fait une fonction par logarithme, alors qu'au début le logarithme était considéré uniquement comme un nombre aidant aux calculs. Jacob Bernoulli a peut-être été le premier à réaliser que la fonction logarithmique est l'exponentielle inverse. D’un autre côté, la première personne à relier les logarithmes et les puissances a peut-être été James Gregory. En 1684, il reconnut certainement le lien entre logarithmes et puissances, mais il n'était peut-être pas le premier.

Nous savons que le nombre e est apparu sous sa forme actuelle en 1690. Leibniz, dans une lettre à Huygens, lui utilisa la désignation b . Enfin e une désignation est apparue (même si elle ne coïncidait pas avec la désignation moderne), et cette désignation a été reconnue.

En 1697, Johann Bernoulli commença à étudier la fonction exponentielle et publia Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Dans ce travail, les sommes de diverses séries exponentielles sont calculées, et certains résultats sont obtenus par leur intégration terme par terme.

Leonhard Euler a introduit tellement de notations mathématiques qu'il n'est pas surprenant que la notation e lui appartient également. Cela semble ridicule de dire qu'il a utilisé la lettre e car c'est la première lettre de son nom. Ce n'est probablement même pas parce que e tiré du mot « exponentiel », c'est simplement la voyelle suivante après « a », et Euler avait déjà utilisé la notation « a » dans son œuvre. Quelle que soit la raison, la notation apparaît pour la première fois dans une lettre d'Euler à Goldbach en 1731. Il fit de nombreuses découvertes en étudiant e plus tard, mais seulement en 1748 Introduction à l'Analysin infinitorum il a pleinement justifié toutes les idées liées à e . Il a montré que

Euler a également trouvé les 18 premières décimales du nombre e :

C'est vrai, sans expliquer comment il les a obtenus. On dirait qu'il a calculé cette valeur lui-même. En fait, si l’on prend environ 20 termes de la série (1), on obtient la précision qu’obtenait Euler. Parmi d'autres résultats intéressants de son travail, citons le lien entre les fonctions sinus et cosinus et la fonction exponentielle complexe, qu'Euler a dérivée de la formule de De Moivre.

Fait intéressant, Euler a même trouvé une décomposition du nombre e en fractions continues et a donné des exemples d'une telle décomposition. Il a notamment reçu

Euler n'a pas fourni la preuve que ces fractions continuent de la même manière, mais il savait que si une telle preuve existait, elle prouverait l'irrationalité. e . En effet, si la fraction continue pour (e-1) / 2 , continué de la même manière que dans l'exemple ci-dessus, 6,10,14,18,22,26, (on ajoute 4 à chaque fois), alors il n'aurait jamais été interrompu, et (e-1) / 2 (et donc e ) ne pouvait pas être rationnel. De toute évidence, c'est la première tentative de prouver l'irrationalité e .

Le premier à calculer un assez grand nombre de décimales d'un nombre e , était Shanks en 1854. Glaisher montra que les 137 premiers caractères calculés par Shanks étaient corrects, mais trouva ensuite une erreur. Shanks l'a corrigé et 205 décimales du nombre ont été obtenues e . En fait, environ 120 termes de développement (1) sont nécessaires pour obtenir 200 chiffres corrects du nombre e .

En 1864, Benjamin Peirce se tenait devant un tableau sur lequel était écrit

Dans ses cours, il pouvait dire à ses étudiants : « Messieurs, nous n'avons pas la moindre idée de ce que cela signifie, mais nous pouvons être sûrs que cela signifie quelque chose de très important. »

La plupart pensent qu'Euler a prouvé l'irrationalité du nombre e . Cependant, cela a été fait par Hermite en 1873. La question reste ouverte de savoir si le nombre est exact. e e algébrique. Le résultat final dans cette direction est qu’au moins un des nombres e e Et e e 2 est transcendantal.

Ensuite, les décimales suivantes du nombre ont été calculées e . En 1884, Boorman calculait 346 chiffres e , dont les 187 premiers coïncidaient avec les signes de Shanks, mais les suivants différaient. En 1887, Adams calcula les 272 chiffres du logarithme décimal e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Le nombre e.