§ 1 La notion de signification approximative des nombres
Dans la vie humaine, il existe deux types de nombres : exacts et approximatifs.
Par exemple, un carré a quatre côtés, le chiffre 4 est exact.
Autre situation, lorsqu’on vous demande quel âge vous avez, vous répondez 12, c’est une valeur approximative, on ne dit pas 12 ans 7 mois 26 jours.
En pratique, on ne connaît souvent pas les valeurs exactes des quantités. Aucune balance, aussi bien configurée soit-elle, ne peut afficher un poids absolument précis. Tout thermomètre affiche la température avec une erreur. Notre œil n'est pas capable de voir clairement les lectures de l'instrument, donc au lieu de traiter la valeur exacte de la valeur, nous sommes obligés d'opérer avec sa valeur approximative.
Cependant, la connaissance du nombre approximatif permet déjà de comprendre l'essence du problème, et d'ailleurs, pas toujours valeur exacte parfois nécessaire.
Les valeurs approximatives des nombres en mathématiques sont divisées en :
1. valeurs approximatives avec excès ;
2. valeurs approximatives avec inconvénients.
Par exemple, à propos d'une pastèque qui pèse 9 kg 280 g, on peut dire que son poids est d'environ 9 kg. Il s’agit d’une approximation présentant un inconvénient. Et si son poids était de 9 kg 980 grammes, nous dirions 10 kg - c'est une valeur approximative avec un excédent.
Un autre exemple - si la longueur d'un segment est de 25 cm 3 mm, alors 25 cm est une valeur approximative de la longueur du segment avec un déficit et 26 cm est une valeur approximative de la longueur du segment avec un excès.
Donc, si le nombre X plus de numéro A, mais inférieur au nombre B, alors A est une valeur approximative du nombre X avec un déficit, et le nombre B est une valeur approximative du nombre X avec un excès.
§ 2 Chiffres arrondis
Regardons ces exemples :
1) le nombre 58,79 est supérieur à 58, mais inférieur à 59. Le nombre 58,79 est plus proche de l'entier naturel 59 ;
2) le nombre 181, 123 est supérieur à 181, mais inférieur à 182. Le nombre 181,123 est situé plus près de l'entier naturel 181. L'entier naturel dont la fraction est la plus proche est appelé la valeur arrondie de ce nombre.
L'arrondi des nombres est une opération mathématique qui réduit le nombre de chiffres d'un nombre en le remplaçant par une valeur approximative.
Arrondir un nombre signifie supprimer un ou plusieurs chiffres de la représentation décimale d’un nombre. Remplacer un nombre par l’entier naturel le plus proche ou par zéro s’appelle arrondir ce nombre à des nombres entiers.
Par exemple, le nombre 58,79 est arrondi à 59 car 59 est plus proche, et le nombre 181,123 est arrondi à 181.
§ 3 Règle d'arrondi des nombres
Mais que faire si les distances à la valeur approximative du nombre avec un déficit et un excès sont égales, par exemple 23,5 ? Il s'avère qu'ils arrondissent à grand côté! Ceux. il s'avère qu'il est 24 heures
Vous avez sûrement une question : « Est-il possible d’arrondir à un nombre entier supérieur ? Certainement! Vous pouvez arrondir à d’autres chiffres, par exemple aux dixièmes, centièmes, millièmes ou aux dizaines, centaines, milliers, etc.
Il existe une règle claire pour arrondir les nombres :
Pour arrondir un nombre à n'importe quel chiffre, nous soulignons le chiffre de ce chiffre, puis nous remplaçons tous les chiffres après celui souligné par des zéros, et s'ils sont après la virgule décimale, nous les supprimons. Si le premier chiffre remplacé par un zéro ou supprimé est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors le chiffre souligné reste inchangé. Si le chiffre souligné est suivi du chiffre 5, 6, 7, 8 ou 9, alors le chiffre souligné est augmenté de 1.
Il devient maintenant clair pourquoi le nombre 23,5 a été arrondi à 24.
Parce que le chiffre rejeté est 5.
Arrondons le nombre 86,275 au dixième le plus proche.
Nous insistons sur le chiffre 2, écartons les chiffres 7 et 5 qui suivent la dixième place. Derrière le chiffre 2 souligné se trouve le chiffre 7, on augmente donc le chiffre 2 de 1. On obtient 86,3. Écrivez-le comme ceci :
Arrondons le nombre 6,6739 au centième le plus proche.
Nous insistons sur le chiffre 7, écartons les chiffres 3 et 9 qui suivent la place des centièmes. Derrière le chiffre 7 souligné se trouve le chiffre 3, on laisse donc le chiffre 7 inchangé. Nous obtenons 6,67.
Écrivez-le comme ceci :
Ainsi, vous pouvez vous assurer que si une fraction décimale est arrondie à un chiffre, tous les chiffres suivant ce chiffre sont supprimés.
Arrondons le nombre 8 154 à la centaine.
Nous soulignons le chiffre 1, suivi du chiffre 5, ce qui signifie que nous remplaçons 1 par le chiffre 2, et tous les nombres suivants par des zéros, c'est-à-dire que nous obtenons 8200.
Écrivez-le comme ceci :
Nous concluons qu’en arrondissant nombre naturel jusqu'à un certain chiffre, tous les chiffres des chiffres suivants sont remplacés par des zéros.
Voici donc un algorithme simple qui vous permet d'arrondir correctement n'importe quel nombre :
Tout d'abord : recherchez le chiffre souhaité et soulignez le numéro qu'il contient.
Deuxièmement : réécrivez tous les nombres qui le précèdent.
Troisièmement : remplacez tous les chiffres après celui en surbrillance par des zéros jusqu'à la fin de la partie entière ou supprimez tous les chiffres après celui en surbrillance s'ils apparaissent après la virgule décimale.
Quatrièmement : augmentez le chiffre sélectionné de un si ce chiffre est suivi du nombre 5,6,7,8,9 ou réécrivez le chiffre sélectionné sans modification s'il est suivi du nombre 0,1,2,3,4.
Ainsi, au cours de cette leçon, vous avez appris quelles sont les valeurs approximatives des nombres avec un déficit et un excès, arrondir les nombres, et avez également acquis un algorithme clair qui vous permet d'arrondir correctement n'importe quel nombre !
Liste de la littérature utilisée :
- Mathématiques 5ème année. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I. et autres. 31e éd., effacé. - M : 2013.
- Matériel didactique en mathématiques 5ème année. Auteur - Popov M.A. - 2013
- Nous calculons sans erreurs. Travaillez avec l'autotest dans les classes de mathématiques 5-6. Auteur - Minaeva S.S. - 2014
- Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteurs : Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Contrôle et travail indépendant en mathématiques 5ème année. Auteurs - Popov M.A. - 2012
- Mathématiques. 5e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2009
7,265; 11,638; 0,23; 8,5; 300,499; 6,5108; 0,8.
1273. L'ancienne mesure russe de masse de pud est égale à 16,38 kg. Arrondissez cette valeur au dixième entier. L'ancienne mesure russe de longueur, verste, est égale à 1067 m. Arrondissez cette valeur à des dizaines ou des centaines. L'ancienne mesure russe de longueur, sazhen, est de 2,13 m. Arrondissez cette valeur au dixième.
1274. Arrondir les fractions :
a) 2,781 ; 3,1423 ; 203.962 ; 80,46 aux dixièmes ;
b) 0,07268 ; 1,35506 ; 10.081 ; 76.544 ; 4,455 en centièmes ;
c) 167.1 ; 2085.04 ; 444.4 ; 300,7 ; 137 à des dizaines.
1275. Une partie a une masse de 13,26 kg, la deuxième de 14,43 kg, la troisième de 1,66 kg et la quatrième de 15,875 kg. Trouver poids total ces quatre parties et arrondissez le résultat au dixième de kilogramme le plus proche. Comparez la réponse avec le résultat obtenu si vous arrondissez d'abord les données du problème aux dixièmes, puis que vous les résolvez.
1276. Le parcours de ski de fond se compose de 4 tronçons. Le premier tronçon mesure 4,35 km, le deuxième 5,75 km, le troisième 6,95 km et le quatrième 2,8 km. Trouvez la longueur de l'itinéraire complet et arrondissez la réponse :
a) jusqu'à des dixièmes de kilomètre ;
b) jusqu'à des kilomètres entiers.
1277. Trouver le périmètre du quadrilatère ABCD, si AB = 6,2 dm, CD est supérieur à AB de 3,14 dm, mais inférieur à BC de 2,31 dm ; AD est 1,2 dm plus grand que BC. Arrondissez votre réponse :
a) jusqu'à des dixièmes de décimètre ;
b) jusqu'à des décimètres entiers.
1278. Calculer oralement :
1279. Restaurer la chaîne de calculs :
1) 24 tonnes de charbon ont été livrées à l'école. Pendant l'hiver, nous épuisions le charbon que nous avions apporté. Combien de tonnes de charbon reste-t-il ?
2) Les peintres ont utilisé la peinture achetée pour rénover l'école. Combien de peinture reste-t-il si vous en achetez 300 kg ?
1297. Arrondir les fractions :
une) 1,69 ; 1,198 ; 37.444 ; 37,5444 ; 802.3022 en nombres entiers ;
b) 0,3691 ; 0,8218 ; 0,9702 ; 81,3501 aux dixièmes.
1298. Pour chacun des nombres, trouvez les valeurs naturelles approximatives avec un déficit et un excès : 3,97 ; 21.609 ; 10,394 ; 1.057.
1299. Notez le numéro qui :
a) moins d'un million par 10 fois ; à 10 heures ;
b) plus d'un million 10 fois ; à 10 heures ;
c) 100 fois supérieur au nombre 709 ; 1000 fois ;
d) inférieur au nombre 623 100 000 de 10 fois ; 1000 fois ; 100 000 fois.
1300. Trouvez le sens de l'expression :
a) 8 000 60 000 ; c) 250 000 600 40 ;
b) 1 700 800 000 ; d) 19 000 20 000 50.
1301. Propre vitesse bateau à moteur 21,6 km/h. La vitesse actuelle est de 4,9 km/h. Trouvez la vitesse du navire en aval et à contre-courant.
1302. Le bateau à moteur a longé le lac pendant 3 heures à une vitesse de 27 km/h, puis pendant 4 heures le long de la rivière qui se jette dans ce lac. Retrouvez la distance totale parcourue par le navire pendant ces 7 heures si la vitesse du fleuve est de 3 km/h.
1303. Dans le trésor de Koshchei l'Immortel, il y a 32 000 cercueils, chaque cercueil contient 210 lingots d'or et d'argent de poids égal. Quelle est la masse des réserves d’or et d’argent de Koshchei si la masse d’une douzaine de lingots est de 900 g ?
1304. Remplacez les astérisques par les chiffres manquants :
Dans la science et l'industrie, dans agriculture dans les calculs décimal les fractions sont utilisées beaucoup plus souvent que les fractions ordinaires.
Cela est dû à la simplicité des règles de calcul avec des fractions décimales et à leur similitude avec les règles des opérations avec des nombres naturels.
Les règles de calcul avec des fractions décimales ont été décrites par le célèbre scientifique Moyen Âge al-Kashp Dzhemshid Ibn Masud, qui a travaillé dans la ville de Samarkand à l'Observatoire d'Oulugbek au début du XVe siècle.
Al-Kashi a écrit les fractions décimales de la même manière qu'il est d'usage aujourd'hui, mais il n'a pas utilisé de virgule : partie fractionnaire il écrivait à l'encre rouge ou séparé par une ligne verticale.
Mais cela n'était pas connu en Europe à cette époque et ce n'est que 150 ans plus tard que les fractions décimales furent réinventées par un ingénieur flamand et le scientifique Simon Stévin. L'écriture des nombres décimaux par Stevin était assez difficile.
Par exemple, le nombre 24,56 ressemblait à ceci : 
- au lieu d'une virgule, un zéro dans un cercle (ou 0 au dessus partie entière), les numéros 1, 2, 3, ... marquaient la position des panneaux restants.
Une virgule ou un point pour séparer une partie entière est utilisé depuis le XVIIe siècle.
En Russie, la doctrine de décimales décrit par Léonty Filippovitch Magnitski en 1703 dans le premier manuel de mathématiques « L'arithmétique, la science des chiffres ».
N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Mathématiques 5e année, Manuel pour établissements d'enseignement
Arrondir vers le haut et vers le bas
Dans la section précédente, les conditions de la tâche demandaient d'arrondir la réponse à une valeur entière.
Le plus souvent, on ne nous demande pas d'arrondir la réponse, même si cela doit être fait en fonction du sens de la tâche.
Cela se produit parce que nous devons effectuer une opération de division, ce qui entraîne souvent nombre fractionnaire.
Mais le nombre d'objets ne peut pas être fractionnaire.
Et puis nous arrondissons le nombre fractionnaire résultant à un nombre entier, soit avec un déficit, soit avec un excès.
Quand y a-t-il une pénurie et quand y a-t-il un excès ?
Regardons des exemples.
Tâche 1.Un mètre de tissu coûte 67 roubles. Quel est le plus grand nombre entier de mètres de tissu pouvant être achetés pour 850 roubles ?
850 : 67 = 12,6865 (m) Nombre entier de mètres 12.
Ici arrondi à l'inférieur, puisque la réponse est 12<12, 6865.
Réponse : 12.
Z problème 2. Le paquet contient 480 morceaux de craie. En une journée d’école, l’école utilise 300 morceaux de craie. Quel est le plus petit nombre de paquets de craies à acheter pour l'école pendant 6 jours d'école ?
300 · 6 = 1800 Morceaux de craie – consommation pendant 6 jours
1 paquet – 480 morceaux de craie
X paquets – 1800 morceaux de craie
X= 1800 : 480 = 3,75 paquets Le nombre de paquets entiers pour 6 jours est nécessaire 4 pcs.
Ici arrondi, puisque la réponse est 4>3.75/
Indice:
Si dans ce type de problème vous devez trouver la plus grande valeur, alors la réponse devrait être arrondir vers le bas(prendre le plus petit entier)
Si vous avez besoin de trouver plus petite valeur , alors la réponse est nécessaire rassembler(prenez le plus grand nombre).
Problèmes avec l'action préliminaire
Tâche 3. Il y a 172 enfants et 24 enseignants dans le camp d'été. Le bus ne peut pas accueillir plus de 30 passagers. Combien de bus faut-il pour transporter tout le monde du camp à la ville ?
Total 172 + 24 = 196 personnes
196 : 30 = 6,533 – nombre entier de bus pour le transport au total 7
Réponse : 7.
Tâche 4. Pour préparer une marinade pour concombres, il faut 12 g d'acide citrique pour 1 litre d'eau. L'acide citrique est vendu en sachets de 10 g. Quel est le plus petit nombre de sachets qu'une ménagère doit acheter pour préparer 6 litres de marinade ?
Solution:
Pour préparer 6 litres de marinade vous aurez besoin de 12*6=72 g d'acide citrique. Divisez 72 par 10.
Cela signifie que vous devrez acheter 8 sacs.
Réponse : 8.
Nombres pairs et impairs
Un nombre pair = un multiple de deux (2,4,6,8,10,12,…), un nombre impair – pas un multiple de deux (3,5,7,9,11,13,…).
Tâche 5. Pour un anniversaire, on est censé offrir un bouquet composé d'un nombre impair de fleurs. Les camomilles coûtent 25 roubles pièce. Vanya a 120 roubles. Quel est le plus grand nombre de marguerites qu'il peut acheter comme bouquet pour Masha pour son anniversaire ?
1 camomille – 25 frotter.
Cela signifie que Vanya pourra acheter 4 pâquerettes. Mais le nombre de pâquerettes doit être impair. Ceux. 3 marguerites.
Promotions et bonus (ou condition compliquée)
Tâche 6. Il y a une promotion en magasin : à l'achat de 3 coffrets de chocolats, l'acheteur reçoit le quatrième coffret en cadeau. Quel est le plus grand nombre de boîtes de chocolats qu'un acheteur recevra pour 1 200 roubles si une boîte de chocolats coûte 160 roubles ?
1cor. – 160 roubles.
X cor. – 1200 roubles.
X= 1200 : 160 = 7,5 cor. Nombre entier cor. = 7
7:3 = 2,333cor. Nombre entier de coffrets reçus en cadeau = 2
7 + 2 = 9 cor.
Réponse : 9.
Tâche 7. Pour faire de la confiture de pommes, 1 kg de pommes nécessite 1 kg de sucre. Combien de kilogrammes de sucre faut-il acheter pour faire de la confiture à partir de 7 kg de pommes ?
1 kg de pommes – 1,2 kg de sucre
7 kg de pommes – X kg de sucre
X= 7·1,2/1=8,4 kg de sucre
Il faut donc 8,4 kg de sucre pour la confiture.
Le problème est le suivant : combien de paquets de kilogrammes de sucre dois-je acheter ?
Pour avoir suffisamment de sucre pour la confiture, 8 paquets ne suffiront pas. Vous devez en acheter 9. Un paquet n’est pas complètement épuisé.
Dans ce problème, nous avons arrondi.
Tâche 8. De nouveaux manuels d'études sociales pour 2-3 cours ont été apportés à la bibliothèque universitaire, 110 exemplaires pour chaque cours. Tous les livres ont la même taille. La bibliothèque dispose de 6 étagères, chaque étagère pouvant contenir 20 manuels. Combien d’armoires peuvent être entièrement remplies de nouveaux manuels ?
110 livres · 2 cours = 220 livres
6 étagères · 20 livres = 120 livres rentrent dans un placard
Un seul placard sera entièrement rempli de ces livres. Le deuxième placard ne sera pas entièrement rempli.
Ici, nous avons arrondi.
Problème 9. Lors d'un camp d'été, chaque participant reçoit 40 g de sucre par jour. Il y a 166 personnes dans le camp. Combien de paquets de kilogrammes de sucre seront nécessaires pour tout le camp pendant 5 jours ?
Solution:
166·40=6640 g de sucre,
6640·5=33200 g - pendant 5 jours.
33200: 1000 = 33,2.
Arrondissez au nombre entier le plus proche.
Si vous avez des questions ou des suggestions, écrivez dans les commentaires.
