Que sont les nombres rationnels ? Propriétés de base des nombres rationnels

Nombres rationnels

Quartiers

Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Ajouter des fractions
Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. De plus, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

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Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun j la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où je- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et j- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que la fraction 1/1 est attribuée au nombre 1, la fraction 2/1 au nombre 2, etc. Il est à noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée l’impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n’importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

Ensemble de nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est noté et peut s’écrire comme suit :

Il s'avère que différentes notations peuvent représenter la même fraction, par exemple et , (toutes les fractions qui peuvent être obtenues les unes des autres en multipliant ou en divisant par le même nombre naturel représentent le même nombre rationnel). Puisqu'en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand diviseur commun, nous pouvons obtenir une seule représentation irréductible d'un nombre rationnel, nous pouvons parler de leur ensemble comme l'ensemble irréductible fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel premiers entre eux :

Voici le plus grand diviseur commun des nombres et .

L’ensemble des nombres rationnels est une généralisation naturelle de l’ensemble des nombres entiers. Il est facile de voir que si un nombre rationnel a un dénominateur, alors c’est un entier. L'ensemble des nombres rationnels est situé partout de manière dense sur l'axe des nombres : entre deux nombres rationnels différents, il y a au moins un nombre rationnel (et donc un ensemble infini de nombres rationnels). Cependant, il s’avère que l’ensemble des nombres rationnels a une cardinalité dénombrable (c’est-à-dire que tous ses éléments peuvent être renumérotés). Notons au passage que les anciens Grecs étaient convaincus de l'existence de nombres qui ne peuvent être représentés comme une fraction (par exemple, ils ont prouvé qu'il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2).

Terminologie

Définition formelle

Formellement, les nombres rationnels sont définis comme l'ensemble des classes d'équivalence de paires par rapport à la relation d'équivalence if. Dans ce cas, les opérations d'addition et de multiplication sont définies comme suit :

Définitions associées

Fractions propres, impropres et mixtes

Correct Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée une fraction. Les fractions propres représentent des nombres rationnels modulo inférieur à un. Une fraction qui n'est pas propre s'appelle faux et représente un nombre rationnel supérieur ou égal à un en module.

Une fraction impropre peut être représentée comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction propre, appelée fraction mixte . Par exemple, . Une notation similaire (avec le signe d'addition manquant), bien qu'utilisée en arithmétique élémentaire, est évitée dans la littérature mathématique stricte en raison de la similitude de la notation d'une fraction mixte avec la notation du produit d'un nombre entier et d'une fraction.

Hauteur de tir

Hauteur d'une fraction commune est la somme du module du numérateur et du dénominateur de cette fraction. Hauteur d'un nombre rationnel est la somme du module du numérateur et du dénominateur de la fraction ordinaire irréductible correspondant à ce nombre.

Par exemple, la hauteur d'une fraction est . La hauteur du nombre rationnel correspondant est égale à , puisque la fraction peut être réduite de .

Un commentaire

Terme fraction (fraction) Parfois [ spécifier] est utilisé comme synonyme du terme nombre rationnel, et parfois synonyme de tout nombre non entier. Dans ce dernier cas, les nombres fractionnaires et rationnels sont des choses différentes, car les nombres rationnels non entiers ne sont alors qu'un cas particulier de nombres fractionnaires.

Propriétés

Propriétés de base

L’ensemble des nombres rationnels satisfait seize propriétés de base, qui peuvent facilement être dérivées des propriétés des nombres entiers.

Ordre. Pour tout nombre rationnel, il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre eux : "", " " ou " ". Cette règle s'appelle règle de commande et se formule ainsi : deux nombres positifs et sont liés par la même relation que deux entiers et ; deux nombres non positifs et sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout à coup ce n'est pas négatif, mais - négatif, alors .
Ajouter des fractions
Opération d’addition. règle de sommation montant nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel, il existe ce qu'on appelle règle de multiplication, ce qui les met en correspondance avec un nombre rationnel. Dans ce cas, le numéro lui-même est appelé travail nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication a la forme suivante : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels, et si de moins en moins, alors moins, et si égal et égal, alors égal.
Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel non nul a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.
Le lien entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel positif.
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel, vous pouvez prendre autant d'unités que leur somme dépasse .

Propriétés supplémentaires

Comptabilité d'un ensemble

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. Un exemple d’une telle construction est l’algorithme simple suivant. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque ligne de chaque colonne dont se trouve une fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où est le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule et est le numéro de la colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que les fractions reçoivent le numéro 1, les fractions reçoivent le numéro 2, etc. Il convient de noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

Bien entendu, il existe d’autres façons d’énumérer des nombres rationnels. Par exemple, pour cela, vous pouvez utiliser des structures telles que l'arbre de Kalkin-Wilf, l'arbre de Stern-Broko ou la série Farey.

Manque de nombres rationnels

voir également


	Nombres entiers

Nombres rationnels

Nombres réels Nombres complexes Quaternions

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Nombres rationnels

Quartiers

Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Ajouter des fractions
Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. De plus, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

) sont des nombres avec un signe positif ou négatif (entiers et fractions) et zéro. Un concept plus précis de nombres rationnels ressemble à ceci :

Nombre rationnel- un nombre représenté comme une fraction commune m/n, où le numérateur m sont des entiers, et le dénominateur n- des entiers, par exemple 2/3.

Les fractions infinies non périodiques ne sont PAS incluses dans l'ensemble des nombres rationnels.

un B, Où un∈ Z (un appartient aux entiers), b∈ N (b appartient aux nombres naturels).

Utiliser des nombres rationnels dans la vraie vie.

Dans la vraie vie, l'ensemble des nombres rationnels est utilisé pour compter les parties de certains objets entiers divisibles, Par exemple, des gâteaux ou d'autres aliments coupés en morceaux avant consommation, ou pour estimer approximativement les relations spatiales d'objets étendus.

Propriétés des nombres rationnels.

Propriétés de base des nombres rationnels.

1. Ordre un Et b il existe une règle qui permet d'identifier sans ambiguïté 1 et une seule des 3 relations entre elles : «<», «>" ou " = ". Cette règle est - règle de commande et formulez-le ainsi :

2 nombres positifs a=m a /n a Et b = m b / n b sont liés par la même relation que 2 entiers ma⋅ nb Et mb⋅ n / A;
2 nombres négatifs un Et b sont liés par le même rapport que 2 nombres positifs |b| Et |une|;
Quand un positif et b- négatif, alors un>b.

∀ un B∈ Q(un ∨ un>b∨ une=b)

2. Opération d'addition. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de sommation, ce qui les associe à un certain nombre rationnel c. En même temps, le numéro lui-même c- Ce somme Nombres un Et b et il est noté (a+b) addition.

Règle de sommation Ressemble à ça:

ma/n a + m b/n b = (m a⋅ nb + mb⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ un B∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Opération de multiplication. Pour tous les nombres rationnels un Et b Il y a règle de multiplication, il les associe à un certain nombre rationnel c. Le nombre c s'appelle travail Nombres un Et b et désigne (une⋅b), et le processus de recherche de ce numéro s'appelle multiplication.

Règle de multiplication Ressemble à ça: un homme⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour trois nombres rationnels quelconques un, b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c.

∀ abc∈ Q(un ∧ b ⇒ un ∧ (une = b∧ b = c⇒ une = c)

5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.

∀ un B∈ Q a+b=b+a

6. Associativité des ajouts. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.

∀ abc∈ Q (une+b)+c=une+(b+c)

7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0, il conserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.

∃ 0 ∈ Q∀ un∈ Q une+0=une

8. Présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé, et lorsqu'ils sont ajoutés, le résultat est 0.

∀ un∈ Q∃ (−une)∈ Q une+(−une)=0

9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.

∀ un B∈ Q un⋅ b = b⋅ un

10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel 3 nombres rationnels sont multipliés n’a aucun effet sur le résultat.

∀ abc∈ Q(un⋅ b)⋅ c = un⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilité des unités. Il existe un nombre rationnel 1, il préserve tous les autres nombres rationnels lors du processus de multiplication.

∃ 1 ∈ Q∀ un∈ Q un⋅ 1=un

12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel autre que zéro a un nombre rationnel inverse, en multipliant par lequel nous obtenons 1 .

∀ un∈ Q∃ a−1∈ Q un⋅ une−1=1

13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est liée à l'addition utilisant la loi distributive :

∀ abc∈ Q(a+b)⋅ c = un⋅ c+b⋅ c

14. Relation entre la relation d'ordre et l'opération d'addition. Le même nombre rationnel est ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.

∀ abc∈ Q un ⇒ a+c

15. Relation entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel non négatif.

∀ abc∈ Qc>0∧ un ⇒ un⋅ c ⋅ c

16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, il est facile de prendre tellement d'unités que leur somme sera plus grande un.

Cet article est consacré à l'étude du thème « Nombres rationnels ». Vous trouverez ci-dessous les définitions des nombres rationnels, des exemples sont donnés et comment déterminer si un nombre est rationnel ou non.

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Nombres rationnels. Définitions

Avant de donner la définition des nombres rationnels, rappelons-nous quels autres ensembles de nombres existent et comment ils sont liés les uns aux autres.

Les nombres naturels, avec leurs opposés et le nombre zéro, forment l'ensemble des nombres entiers. À son tour, l’ensemble des nombres fractionnaires entiers forme l’ensemble des nombres rationnels.

Définition 1. Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être représentés par une fraction commune positive ab, une fraction commune négative ab ou le nombre zéro.

Ainsi, on peut retenir un certain nombre de propriétés des nombres rationnels :

Tout nombre naturel est un nombre rationnel. Évidemment, tout nombre naturel n peut être représenté comme une fraction 1 n.
Tout nombre entier, y compris le nombre 0, est un nombre rationnel. En effet, tout entier positif et tout entier négatif peuvent facilement être représentés respectivement comme une fraction ordinaire positive ou négative. Par exemple, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Toute fraction commune positive ou négative ab est un nombre rationnel. Cela découle directement de la définition donnée ci-dessus.
Tout nombre fractionnaire est rationnel. En effet, un nombre fractionnaire peut être représenté comme une fraction impropre ordinaire.
Toute fraction décimale finie ou périodique peut être représentée sous forme de fraction. Par conséquent, toute fraction périodique ou décimale finie est un nombre rationnel.
Les nombres décimaux infinis et non périodiques ne sont pas des nombres rationnels. Ils ne peuvent pas être représentés sous forme de fractions ordinaires.

Donnons des exemples de nombres rationnels. Les nombres 5, 105, 358, 1100055 sont naturels, positifs et entiers. Ce sont évidemment des nombres rationnels. Les nombres - 2, - 358, - 936 sont des entiers négatifs et ils sont également rationnels selon la définition. Les fractions communes 3 5, 8 7, - 35 8 sont aussi des exemples de nombres rationnels.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée plus brièvement. Encore une fois, nous répondrons à la question : qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?

Définition 2. Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être représentés sous forme de fraction ± z n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

On peut montrer que cette définition est équivalente à la définition précédente des nombres rationnels. Pour ce faire, rappelez-vous que la ligne de fraction est équivalente au signe de division. En tenant compte des règles et propriétés de division des entiers, on peut écrire les inégalités justes suivantes :

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Ainsi, nous pouvons écrire :

z n = z n , p r et z > 0 0 , p r et z = 0 - z n , p r et z< 0

En fait, cet enregistrement est une preuve. Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur la deuxième définition. Considérez les nombres - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 et - 1 3 5. Tous ces nombres sont rationnels, puisqu'ils peuvent s'écrire sous forme de fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel : - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Donnons une autre forme équivalente pour la définition des nombres rationnels.

Définition 3. Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale périodique finie ou infinie.

Cette définition découle directement de la toute première définition de ce paragraphe.

Résumons et formulons une synthèse de ce point :

Les fractions positives et négatives et les nombres entiers constituent l’ensemble des nombres rationnels.
Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction ordinaire dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est un nombre naturel.
Chaque nombre rationnel peut également être représenté comme une fraction décimale : finie ou infiniment périodique.

Quel nombre est rationnel ?

Comme nous l'avons déjà découvert, tout nombre naturel, entier, fraction ordinaire propre et impropre, fraction périodique et décimale finie sont des nombres rationnels. Fort de ces connaissances, vous pouvez facilement déterminer si un certain nombre est rationnel.

Cependant, dans la pratique, il faut souvent traiter non pas de nombres, mais d'expressions numériques contenant des racines, des puissances et des logarithmes. Dans certains cas, la réponse à la question « le nombre est-il rationnel ? est loin d'être évident. Examinons les méthodes pour répondre à cette question.

Si un nombre est donné comme une expression contenant uniquement des nombres rationnels et des opérations arithmétiques entre eux, alors le résultat de l'expression est un nombre rationnel.

Par exemple, la valeur de l'expression 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) est un nombre rationnel et est égale à 18.

Ainsi, simplifier une expression numérique complexe permet de déterminer si le nombre qu'elle donne est rationnel.

Examinons maintenant le signe de la racine.

Il s'avère que le nombre m n donné comme racine de la puissance n du nombre m n'est rationnel que lorsque m est la nième puissance d'un nombre naturel.

Regardons un exemple. Le chiffre 2 n'est pas rationnel. Alors que 9, 81 sont des nombres rationnels. 9 et 81 sont respectivement des carrés parfaits des nombres 3 et 9. Les nombres 199, 28, 15 1 ne sont pas des nombres rationnels, puisque les nombres sous le signe racine ne sont des carrés parfaits d'aucun nombre naturel.

Prenons maintenant un cas plus complexe. 243 5 est-il un nombre rationnel ? Si vous élevez 3 à la puissance cinq, vous obtenez 243, donc l'expression originale peut être réécrite comme suit : 243 5 = 3 5 5 = 3. Ce nombre est donc rationnel. Prenons maintenant le nombre 121 5. Ce nombre est irrationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier naturel dont l’élévation à la puissance cinq donne 121.

Afin de savoir si le logarithme d'un nombre a en base b est un nombre rationnel, vous devez appliquer la méthode de la contradiction. Par exemple, voyons si le nombre log 2 5 est rationnel. Supposons que ce nombre soit rationnel. Si tel est le cas, alors cela peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire log 2 5 = m n Selon les propriétés du logarithme et les propriétés du degré, les égalités suivantes sont valables :

5 = 2 bûches 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Évidemment, la dernière égalité est impossible puisque les côtés gauche et droit contiennent respectivement des nombres impairs et pairs. Par conséquent, l’hypothèse formulée est incorrecte et log 2 5 n’est pas un nombre rationnel.

Il convient de noter que pour déterminer la rationalité et l'irrationalité des nombres, vous ne devez pas prendre de décisions soudaines. Par exemple, le résultat du produit de nombres irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel. Un exemple illustratif : 2 · 2 = 2.

Il existe aussi des nombres irrationnels dont l'élévation à une puissance irrationnelle donne un nombre rationnel. Dans une puissance de la forme 2 log 2 3, la base et l'exposant sont des nombres irrationnels. Cependant, le nombre lui-même est rationnel : 2 log 2 3 = 3.

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