Étant donné deux matrices a et b, trouvez. Actions sur les matrices

composé de T lignes et P. les colonnes sont appelées la matrice de taille n× m. Nombres UN 11 , UN 12 , ..., UN minute on l'appelle éléments. Le tableau désignant la matrice est écrit entre parenthèses et noté UNE = (une je ).

Si le nombre de lignes d'une matrice est égal au nombre de ses colonnes, alors la matrice s'appelle carré, et le nombre de ses lignes est égal au nombre de colonnes - en ordre Matrice Carrée.

L'ensemble de tous les éléments d'une matrice carrée qui se trouvent sur le segment reliant le coin supérieur gauche au coin inférieur droit est appelé diagonale principale, et sur le segment reliant le coin supérieur droit au coin inférieur gauche - diagonale latérale.

La matrice carrée s'appelle diagonale, si tous ses éléments ne se trouvant pas sur la diagonale principale sont égaux à zéro. Une matrice carrée dans laquelle les éléments le long de la diagonale principale sont égaux à un et les autres sont des zéros, s'appelle célibataire et est désigné E.

Les deux matrices sont appelées égal si le nombre de leurs lignes et colonnes est égal et si les éléments aux endroits correspondants de ces matrices sont égaux.

Une matrice dont les éléments sont tous nuls s’appelle nul et est noté par N.

Par définition, multiplier une matrice UN pour le nombre r, il faut chaque élément de la matrice UN multiplier par r.

Exemple. Étant donné une matrice UNE =
, trouver la matrice 3 UN.

3 UNE = 3
=

Somme des matrices UN Et DANS s'appelle une matrice C dont les éléments sont égaux aux sommes des éléments correspondants des matrices UN Et DANS. Seules les matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes peuvent être ajoutées.

Exemple. Matrices données UNE =
Et DANS =
. Trouver la matrice C = A + B.

C =

Propriétés de l'addition matricielle :

A+B=B+A

(A+B)+ C = A+ (B + C)

UN + N = UN

Produit matriciel UNà la matrice DANS défini uniquement si le nombre de colonnes de la matrice UNégal au nombre de lignes de la matrice DANS. Le résultat de la multiplication est la matrice UN B, qui a le même nombre de lignes que dans la matrice UN, et le même nombre de colonnes que dans la matrice DANS.

Produit de deux matrices UN (m× p) Et DANS(p× n) appelé matrice AVEC (m× n), dont les éléments sont déterminés par la règle

AVEC je =

Commentaire. Pour multiplier deux matrices, vous avez besoin des éléments je multiplier la ième ligne de la première matrice par des éléments jème colonne de la deuxième matrice et ajoutez les produits résultants. Récupérons l'élément de la nouvelle matrice avec l'index je.

Exemple. Étant donné les matrices a et b. ;. Trouver le produit des matrices ab.

AB =

=
=

Exemple. Matrices données UN Et DANS. UN=
Et B = .

Solution: UNE =(2X3), DANS= (3X2) => AB =(2X2)

AB =
 =
=

Propriétés de la multiplication matricielle :

UN B VIRGINIE;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= UN

(UN B)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB +BC

A(B+C) = AB + AC/

Matrice transposée A T est une matrice dans laquelle les lignes sont écrites au lieu des colonnes et les colonnes sont écrites au lieu des lignes.

Exemple. Soit la matrice donnée UNE=
, Alors

UN T =

Déterminants.

Déterminant du deuxième ordre correspondant à la matrice UN =
, j'ai appelé le numéro
=UN 11 UN 22 - UN 12 UN 21 .

Exemple. Calculez en utilisant un déterminant du second ordre.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Déterminant du troisième ordre correspondant à la matrice

UN =
, j'ai appelé le numéro
=UN 11 UN 22 UN 33 +un 12 UN 23 UN 31 + un 13 UN 21 UN 32 - UN 13 UN 22 UN 31 - UN 12 UN 21 UN 33 -UN 11 UN 23 UN 32.

Pour se rappeler quels produits du côté droit de l'égalité doivent être pris avec le signe « + » et lesquels avec le signe « - », une règle utile est appelée la règle du triangle, illustrée à la Fig. 1.

« + » « - »

Image 1.

Exemple. Calculer le déterminant

La deuxième façon de calculer les déterminants du troisième ordre consiste à additionner les deux premières colonnes, à trouver les produits le long de la diagonale principale et de ses parallèles et le long de la diagonale secondaire et de ses parallèles.

= UN 11 UN 22 UN 33 +un 12 UN 23 UN 31 + un 13 UN 21 UN 32 - UN 13 UN 22 UN 31 - UN 12 UN 21 UN 33 -UN 11 UN 23 UN 32.

Propriétés des déterminants:

Si deux lignes (colonnes) sont permutées dans le déterminant, son signe changera pour l'opposé.

Si les lignes et les colonnes du déterminant sont inversées, son signe et sa grandeur ne changeront pas.

Si deux droites du déterminant sont proportionnelles (égales), alors il est égal à zéro.

Si une ligne (colonne) du déterminant est multipliée par un certain nombre et ajoutée à une autre ligne (colonne), sa valeur ne changera pas.

Si dans le déterminant les éléments d'une ligne (colonne) ont un facteur commun, alors il peut être retiré du signe du déterminant.

Si le déterminant contient une ligne ou une colonne nulle, alors il est égal à zéro.

Mineur M jeélément déterminant UN je est un déterminant obtenu à partir de l'original en supprimant je- oh lignes et jème colonne sur laquelle se trouve cet élément.

Complément algébrique A jeélément déterminant UN je appelé mineur multiplié par (-1) je + j .

La troisième façon de calculer les déterminants consiste à utiliser le théorème de décomposition.

Théorème de décomposition : Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne (colonne) et de leurs compléments algébriques.

Exemple. Calculer le déterminant du troisième ordre , développant le déterminant dans les éléments de la première ligne.

= 5· (-1) 1+1 · + 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.

Le même déterminant peut être calculé en utilisant la propriété 4), puis le théorème de développement peut être appliqué. Dans notre exemple, nous créons des zéros dans la première colonne. Pour ce faire, on ajoute aux éléments de la première ligne les éléments de la deuxième ligne, multipliés par 5, et aux éléments de la troisième ligne on ajoute les éléments de la deuxième ligne, multipliés par 7. Et on décompose le résultat matrice en éléments de la première colonne.

=
= 0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.

Instructions. Pour une solution en ligne, vous devez spécifier une expression matricielle. Dans un deuxième temps, il faudra préciser la dimension des matrices.

Opérations valides : multiplication (*), addition (+), soustraction (-), matrice inverse A^(-1), exponentiation (A^2, B^3), transposition matricielle (A^T).
Pour effectuer une liste d'opérations, utilisez un séparateur point-virgule (;). Par exemple, pour effectuer trois opérations :
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (AB) -1
vous devrez l'écrire comme ceci : 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Une matrice est un tableau numérique rectangulaire avec m lignes et n colonnes, la matrice peut donc être représentée schématiquement comme un rectangle.
Matrice zéro (matrice nulle) est une matrice dont les éléments sont tous égaux à zéro et notés 0.
Matrice d'identité est appelée une matrice carrée de la forme

Définissons opérations de base sur les matrices.

Ajout de matrice

Exemple 6. .
L’opération d’addition matricielle s’étend au cas d’un nombre quelconque de termes. Évidemment A+0=A .
Soulignons encore une fois que seules des matrices de même taille peuvent être ajoutées ; Pour des matrices de tailles différentes, l'opération d'addition n'est pas définie.

Soustraction de matrices

Multiplication matricielle

Exemple 7. Matrices données Et . Trouvez les matrices C = A·B et D = B·A.
Solution. Tout d’abord, notons que le produit A·B existe car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Exemple 8. Étant donné une matrice . Trouvez 3A 2 – 2A.
Solution.

.
; .
.
Notons le fait intéressant suivant.
Comme vous le savez, le produit de deux nombres non nuls n’est pas égal à zéro. Pour les matrices, une circonstance similaire peut ne pas se produire, c'est-à-dire que le produit de matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.

DÉFINITION DE LA MATRICE. TYPES DE MATRICES

Matrice de taille m× n appelé un ensemble m·n nombres disposés dans un tableau rectangulaire de m lignes et n Colonnes. Ce tableau est généralement placé entre parenthèses. Par exemple, la matrice pourrait ressembler à :

Par souci de concision, une matrice peut être désignée par une seule lettre majuscule, par exemple : UN ou DANS.

En général, une matrice de taille m× nécris-le comme ça

.

Les nombres qui composent la matrice sont appelés éléments de la matrice. Il est pratique de fournir aux éléments matriciels deux indices un ij: Le premier indique le numéro de ligne et le second indique le numéro de colonne. Par exemple, un 23– l'élément est en 2ème ligne, 3ème colonne.

Si une matrice a le même nombre de lignes que de colonnes, alors la matrice s'appelle carré, et le nombre de ses lignes ou colonnes est appelé en ordre matrices. Dans les exemples ci-dessus, la deuxième matrice est carrée - son ordre est 3 et la quatrième matrice est son ordre 1.

Une matrice dans laquelle le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes est appelée rectangulaire. Dans les exemples, il s'agit de la première matrice et de la troisième.

Il existe également des matrices qui n'ont qu'une seule ligne ou une seule colonne.

Une matrice avec une seule ligne s'appelle matrice - ligne(ou chaîne), et une matrice avec une seule colonne matrice - colonne.

Une matrice dont les éléments sont tous nuls s’appelle nul et est noté (0), ou simplement 0. Par exemple,

.

Diagonale principale d’une matrice carrée, nous appelons la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro est appelée triangulaire matrice.

.

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments, sauf peut-être ceux de la diagonale principale, sont égaux à zéro, s'appelle diagonale matrice. Par exemple, ou.

Une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments diagonaux sont égaux à un est appelée célibataire matrice et est désignée par la lettre E. Par exemple, la matrice d'identité du 3ème ordre a la forme .

ACTIONS SUR LES MATRICES

Égalité matricielle. Deux matrices UN Et B sont dits égaux s’ils ont le même nombre de lignes et de colonnes et que leurs éléments correspondants sont égaux un ij = b je. Donc si Et , Que A = B, Si une 11 = b 11, une 12 = b 12, une 21 = b 21 Et une 22 = b 22.

Transposer. Considérons une matrice arbitraire UN depuis m lignes et n Colonnes. Il peut être associé à la matrice suivante B depuis n lignes et m colonnes, dans lesquelles chaque ligne est une colonne matricielle UN avec le même numéro (donc chaque colonne est une ligne de la matrice UN avec le même numéro). Donc si , Que .

Cette matrice B appelé transposé matrice UN, et la transition de UNÀ Transposition B.

Ainsi, la transposition est une inversion des rôles des lignes et des colonnes d’une matrice. Matrice transposée en matrice UN, généralement noté À.

Communication entre matrice UN et sa transposée peut s'écrire sous la forme .

Par exemple. Trouver la matrice transposée de celle donnée.

Ajout de matrice. Laissez les matrices UN Et B se composent du même nombre de lignes et du même nombre de colonnes, c'est-à-dire avoir mêmes tailles. Ensuite pour ajouter des matrices UN Et B nécessaire pour les éléments de la matrice UN ajouter des éléments de matrice B debout aux mêmes endroits. Ainsi, la somme de deux matrices UN Et B appelé matrice C, qui est déterminé par la règle, par exemple,

Exemples. Trouver la somme des matrices :

Il est facile de vérifier que l’addition matricielle obéit aux lois suivantes : commutative A+B=B+A et associatif ( A+B)+C=UN+(B+C).

Multiplier une matrice par un nombre. Multiplier une matrice UN par numéro k chaque élément de la matrice est nécessaire UN multiplier par ce nombre. Ainsi, le produit matriciel UN par numéro k il existe une nouvelle matrice, qui est déterminée par la règle ou .

Pour tous les numéros un Et b et matrices UN Et B les égalités suivantes sont vraies :

Exemples.

Multiplication matricielle. Cette opération s'effectue selon une loi particulière. Tout d’abord, notons que les tailles des matrices factorielles doivent être cohérentes. Vous ne pouvez multiplier que les matrices dans lesquelles le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la deuxième matrice (c'est-à-dire que la longueur de la première ligne est égale à la hauteur de la deuxième colonne). Le travail matrices UN pas une matrice B appelée la nouvelle matrice C=AB, dont les éléments sont composés comme suit :

Ainsi, par exemple, pour obtenir le produit (c'est-à-dire dans la matrice C) élément situé en 1ère ligne et 3ème colonne à partir du 13, vous devez prendre la 1ère ligne de la 1ère matrice, la 3ème colonne dans la 2ème, puis multiplier les éléments de la ligne par les éléments de la colonne correspondants et ajouter les produits résultants. Et d'autres éléments de la matrice produit sont obtenus en utilisant un produit similaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la deuxième matrice.

En général, si l'on multiplie une matrice A = (aij) taille m× nà la matrice B = (b ij) taille n× p, alors on obtient la matrice C taille m× p, dont les éléments sont calculés comme suit : élément c ij est obtenu à la suite du produit d’éléments jeème ligne de la matrice UN aux éléments correspondants jème colonne de la matrice B et leurs ajouts.

De cette règle, il s'ensuit que l'on peut toujours multiplier deux matrices carrées du même ordre, et par conséquent on obtient une matrice carrée du même ordre. En particulier, une matrice carrée peut toujours être multipliée par elle-même, c'est-à-dire mettez-le au carré.

Un autre cas important est la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, et la largeur de la première doit être égale à la hauteur de la seconde, ce qui donne une matrice du premier ordre (c'est-à-dire un élément). Vraiment,

.

Exemples.

Ainsi, ces exemples simples montrent que les matrices, d’une manière générale, ne commutent pas entre elles, c’est-à-dire A∙B ≠ B∙A . Par conséquent, lors de la multiplication de matrices, vous devez surveiller attentivement l'ordre des facteurs.

On peut vérifier que la multiplication matricielle obéit à des lois associatives et distributives, c'est-à-dire (AB)C=A(BC) Et (A+B)C=AC+BC.

Il est également facile de vérifier qu'en multipliant une matrice carrée UNà la matrice d'identité E du même ordre on obtient à nouveau une matrice UN, et AE = EA = A.

Le fait intéressant suivant peut être noté. Comme vous le savez, le produit de 2 nombres non nuls n'est pas égal à 0. Pour les matrices, cela peut ne pas être le cas, c'est-à-dire le produit de 2 matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.

Par exemple, Si , Que

.

LE CONCEPT DE DÉTERMINANTS

Soit une matrice du second ordre - une matrice carrée composée de deux lignes et de deux colonnes .

Déterminant du deuxième ordre correspondant à une matrice donnée est le nombre obtenu comme suit : un 11 un 22 – un 12 un 21.

Le déterminant est indiqué par le symbole .

Ainsi, pour trouver le déterminant du second ordre, vous devez soustraire le produit des éléments le long de la deuxième diagonale du produit des éléments de la diagonale principale.

Exemples. Calculez les déterminants du second ordre.

De même, on peut considérer une matrice du troisième ordre et son déterminant correspondant.

Déterminant du troisième ordre, correspondant à une matrice carrée du troisième ordre donnée, est un nombre noté et obtenu comme suit :

.

Ainsi, cette formule donne le développement du déterminant du troisième ordre en termes d'éléments de la première ligne un 11, un 12, un 13 et réduit le calcul du déterminant du troisième ordre au calcul des déterminants du deuxième ordre.

Exemples. Calculez le déterminant du troisième ordre.

De même, on peut introduire les notions de déterminants du quatrième, du cinquième, etc. ordres, en abaissant leur ordre en développant les éléments de la 1ère rangée, en alternant les signes « + » et « – » des termes.

Ainsi, contrairement à une matrice, qui est un tableau de nombres, un déterminant est un nombre attribué à la matrice d’une certaine manière.

1. Instructions générales. Le test doit être complété dans un cahier séparé dans un carré avec des champs pour les notes. Le texte de l’œuvre est écrit lisiblement à la main à l’encre de la même couleur. Lorsque vous effectuez des tâches, vous devez fournir leurs conditions dans leur intégralité. Les tâches qui n'apportent que des réponses sans solutions seront considérées comme non résolues. Les tests d'une autre option ne sont pas comptés. Le travail doit être effectué proprement, proprement et sans traces.

Le test doit être complété, complété et soumis par l'étudiant pour révision avant le début de la session.

Chaque élève complète votre propre choix travail d'essai. Le numéro d'option est déterminé par le dernier chiffre du carnet de notes ou de la carte d'étudiant. Si le dernier chiffre est zéro, alors la dixième option est exécutée.

2. Options pour les tâches.

Exercice 1

Trouver le produit des matricesUN EtDANS:

,
.

Solution:

Puisque les facteurs ont des dimensions
Et
, alors leur produit est défini et a des dimensions
. Ainsi,

Options de tâche 1

Trouver le produit des matrices A et B :

,
.

Tâche 2

Étant donné une matriceUN. Trouver la matriceUN -1 et établir queAA -1 =E.

Solution:

, Où

Pour trouver la matrice UN -1 il faut tout d'abord calculer le déterminant de la matrice UN et assurez-vous qu'il existe. Pour ce faire, nous utiliserons la méthode Sarrus.

Calculons les compléments algébriques de chaque élément de la matrice à l'aide de la formule :

UN -1 .

.

Allons vérifier:

Options de tâche 2

Étant donné la matrice A. Trouver la matrice A -1 et établir que AA -1 =E.

Tâche 3

Trouver une solution à un système d'équations algébriques linéaires (SLAE) en utilisant l'une des méthodes proposées :

La méthode de Cramer

méthode matricielle inverse

Méthode gaussienne

Vérifiez la solution.

Solution:

Écrivons la matrice des coefficients du système

Résolvons le système en utilisant la méthode de Cramer.

Considérons d’abord la condition de compatibilité, c’est-à-dire

Le système est donc compatible, c'est-à-dire a une solution unique.

Où - obtenu à partir du déterminant remplacement je La ème colonne est une colonne d’éléments libres.

Où
- point d'intersection des lignes du système.

Donc


Vérifions en substituant la solution trouvée dans chaque équation du système.

Examen:

;.

Ainsi, nous voyons qu'après substitution dans le système, chaque équation s'est transformée en une identité numérique. La solution au système a donc été trouvée correctement.

Résolvons le système en utilisant la méthode de la matrice inverse.

Écrivons le système sous forme matricielle :

,,.

;
. Trouvons la matrice inverse UN -1 .

, Où

Déterminant trouvé en résolvant le système en utilisant la méthode de Cramer :

Pour trouver la matrice UN -1 Il ne reste plus qu'à calculer les compléments algébriques de chaque élément de la matrice à l'aide de la formule :

Remplaçons les valeurs trouvées dans la formule de calcul originale UN -1 .

.

Allons vérifier:

Le contrôle a confirmé l'exactitude de la matrice que nous avons trouvée.

Trouvons la matrice-colonne des inconnues :

.

La réponse coïncide avec la solution trouvée par la méthode de Cramer, nous ne la vérifierons donc pas.

Résolvons le système en utilisant la méthode gaussienne.

Puisque les transformations élémentaires d'un système sont similaires aux transformations élémentaires d'une matrice, pour résoudre le système, nous écrivons la matrice étendue du système :

.

Réduisons la matrice étendue du système à la matrice équivalente du système sous forme pas à pas.

Selon le théorème de Kronecker-Capelli, le système a une solution si le rang de la matrice étendue est égal au rang de la matrice réduite.

La réponse trouvée coïncide avec les réponses trouvées par les méthodes précédentes. Il n'est pas nécessaire de vérifier, car cela a été fait plus tôt.