Travaux de test
Tâche 1 à 10. Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base :
Étant donné les vecteurs ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Montrer que les vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur X dans cette base.
Cette tâche se compose de deux parties. Vous devez d’abord vérifier si les vecteurs forment une base. Les vecteurs forment une base si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul, sinon les vecteurs ne sont pas basiques et le vecteur X ne peut pas être développé sur cette base.
Calculons le déterminant de la matrice :
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Le déterminant de la matrice est ∆ =37
Puisque le déterminant est différent de zéro, les vecteurs forment une base, le vecteur X peut donc être développé sur cette base. Ceux. il existe des nombres α 1, α 2, α 3 tels que l'égalité est vraie :
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Écrivons cette égalité sous forme de coordonnées :
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
En utilisant les propriétés des vecteurs, on obtient l'égalité suivante :
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Par la propriété d'égalité des vecteurs on a :
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1
Nous résolvons le système d'équations résultant Méthode gaussienne ou La méthode de Cramer.
X = ε 1 + 2ε 2 - ε 3
La solution a été reçue et traitée via le service :
Coordonnées vectorielles dans la base
Parallèlement à ce problème, ils résolvent également :
Résolution d'équations matricielles
Méthode Cramer
Méthode Gauss
Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss
Matrice inverse via compléments algébriques
Multiplication matricielle en ligne
Exemple 8
Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.
Solution: Tout d’abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu’est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6 il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :
Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles : 
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.
! Important: coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.
Rappelons maintenant la partie théorique : si les vecteurs forment une base, alors n'importe quel vecteur peut être développé dans une base donnée d'une manière unique : , où sont les coordonnées du vecteur dans la base.
Puisque nos vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel (cela a déjà été prouvé), le vecteur peut être développé d'une manière unique sur cette base : 
, où sont les coordonnées du vecteur dans la base.
Selon la condition et il est nécessaire de trouver les coordonnées.
Pour faciliter l’explication, je vais échanger les parties : 
. Pour la trouver, vous devez noter cette égalité coordonnée par coordonnée : 
Sur quelle base sont fixés les coefficients ? Tous les coefficients du côté gauche sont exactement transférés du déterminant 
, les coordonnées du vecteur sont écrites sur le côté droit.
Le résultat est un système de trois équations linéaires à trois inconnues. Habituellement, cela est résolu par Les formules de Cramer, souvent même dans l'énoncé du problème, une telle exigence existe.
Le principal déterminant du système a déjà été trouvé :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.
Ce qui suit est une question de technique : 
Ainsi:
– décomposition du vecteur selon la base.
Répondre: 
Comme je l’ai déjà noté, le problème est de nature algébrique. Les vecteurs considérés ne sont pas nécessairement ceux qui peuvent être dessinés dans l'espace, mais avant tout des vecteurs abstraits du cours d'algèbre linéaire. Pour le cas des vecteurs bidimensionnels, un problème similaire peut être formulé et résolu ; la solution sera beaucoup plus simple. Cependant, dans la pratique, je n'ai jamais rencontré une telle tâche, c'est pourquoi je l'ai ignorée dans la section précédente.
Le même problème avec des vecteurs tridimensionnels pour une solution indépendante :
Exemple 9
Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer.
Une solution complète et un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.
De même, on peut considérer le quadridimensionnel, le cinqdimensionnel, etc. espaces vectoriels, où les vecteurs ont respectivement 4, 5 coordonnées ou plus. Pour ces espaces vectoriels, il y a aussi la notion de dépendance linéaire, d'indépendance linéaire des vecteurs, il y a une base, y compris une base orthonormée, un développement d'un vecteur par rapport à une base. Oui, de tels espaces ne peuvent pas être dessinés géométriquement, mais toutes les règles, propriétés et théorèmes des cas bidimensionnels et tridimensionnels y fonctionnent - de l'algèbre pure. En fait, j'étais déjà tenté de parler de questions philosophiques dans l'article Dérivées partielles d'une fonction de trois variables, qui est apparu avant cette leçon.
Aimez les vecteurs, et les vecteurs vous aimeront !
Solutions et réponses :
Exemple 2 : Solution: faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :
Répondre:
à
Exemple 4 : Preuve: Trapèze Un quadrilatère est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.
1) Vérifions le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :
, ce qui signifie que ces vecteurs ne sont pas colinéaires et que les côtés ne sont pas parallèles.
2) Vérifions le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :
Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .
Conclusion:
Deux côtés d’un quadrilatère sont parallèles, mais les deux autres côtés ne sont pas parallèles, ce qui signifie qu’il s’agit par définition d’un trapèze. QED.
Exemple 5 : Solution:
b) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :
Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Conception plus simple :
– les deuxième et troisième coordonnées ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Répondre:
les vecteurs ne sont pas colinéaires.
c) Nous examinons la colinéarité des vecteurs 
. Créons un système :
Les coordonnées correspondantes des vecteurs sont proportionnelles, ce qui signifie
C’est là que la méthode de conception « fantaisiste » échoue.
Répondre:
Exemple 6 : Solution: b) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) :
, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement dépendants et ne constituent pas la base d’un espace tridimensionnel.
Répondre
: ces vecteurs ne constituent pas une base
Exemple 9 : Solution: Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
Ainsi, les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Représentons le vecteur comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :
Coordonner :
Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.
Répondre:Les vecteurs forment une base,
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Produit croisé de vecteurs.
Produit mixte de vecteurs
Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs. Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, il y aura encore moins de tâches typiques. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)
Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans les travaux pratiques.
Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !
Les vecteurs peuvent être représentés graphiquement par des segments dirigés. La longueur est choisie selon une échelle spécifique pour indiquer magnitude vectorielle , et la direction du segment représente direction vectorielle . Par exemple, si l’on suppose que 1 cm représente 5 km/h, alors un vent du nord-est ayant une vitesse de 15 km/h sera représenté par un segment directionnel de longueur 3 cm, comme le montre la figure.
Vecteur sur un plan, c'est un segment orienté. Deux vecteurs égal s'ils ont le même taille Et direction.
Considérons un vecteur tracé du point A au point B. Le point est appelé point de départ vecteur, et le point B est appelé point final. La notation symbolique de ce vecteur est (lue « vecteur AB »). Les vecteurs sont également représentés par des lettres en gras telles que U, V et W. Les quatre vecteurs de la figure de gauche ont la même longueur et la même direction. Ils représentent donc égal les vents; c'est, 
Dans le contexte des vecteurs, nous utilisons = pour indiquer qu'ils sont égaux.
Longueur, ou ordre de grandeur est exprimé par ||. Afin de déterminer si les vecteurs sont égaux, nous trouvons leurs grandeurs et leurs directions.
Exemple 1 Les vecteurs u, , w sont représentés dans la figure ci-dessous. Montrer que u = = w. 
Solution Nous trouvons d’abord la longueur de chaque vecteur en utilisant la formule de distance :
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
D'ici
|u| = | = |w|.
Les vecteurs u, , et w, comme le montre la figure, semblent avoir la même direction, mais nous allons vérifier leur pente. Si les droites sur lesquelles ils se trouvent ont les mêmes pentes, alors les vecteurs ont la même direction. On calcule les pentes : 
Puisque u, et w ont des grandeurs égales et la même direction,
vous = = w.
Gardez à l’esprit que des vecteurs égaux nécessitent uniquement la même ampleur et la même direction, pas le même emplacement. La figure du haut montre un exemple d’égalité vectorielle.
Supposons qu’une personne fasse 4 pas vers l’est, puis 3 pas vers le nord. La personne se trouvera alors à 5 pas du point de départ dans la direction indiquée à gauche. Un vecteur de 4 unités de long avec une direction vers la droite représente 4 pas vers l'est et un vecteur de 3 unités de long avec une direction vers le haut représentant 3 pas vers le nord. Somme de ces deux vecteurs il existe un vecteur de 5 pas de grandeur et dans la direction indiquée. Le montant est également appelé résultant deux vecteurs.
En général, deux vecteurs non nuls u et v peuvent être ajoutés géométriquement en plaçant le point de départ du vecteur v au point final du vecteur u, puis en trouvant un vecteur qui a le même point de départ que le vecteur u et le même point final que le vecteur v comme indiqué dans la figure ci-dessous. 
La somme est un vecteur représenté par un segment dirigé du point A du vecteur u au point final C du vecteur v. Ainsi, si u = et v = , alors
u + v = + =
Nous pouvons également décrire l'addition de vecteurs comme le fait de placer les points de départ des vecteurs ensemble, de construire un parallélogramme et de trouver la diagonale du parallélogramme. (dans la figure ci-dessous.) Cet ajout est parfois appelé règle du parallélogramme
ajout de vecteurs. L'addition de vecteurs est commutative. Comme le montre la figure, les deux vecteurs u + v et v + u sont représentés par le même segment de ligne directionnelle. 
Si deux forces F 1 et F 2 agissent sur un objet, résultant la force est la somme de F 1 + F 2 de ces deux forces distinctes. 
Exemple Deux forces de 15 newtons et 25 newtons agissent sur un objet perpendiculairement l'une à l'autre. Trouvez leur somme, ou la force résultante, et l'angle qu'elle forme avec la plus grande force.
Solution Dessinons la condition du problème, dans ce cas un rectangle, en utilisant v ou pour représenter la résultante. Pour trouver sa valeur, on utilise le théorème de Pythagore :
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Ici |v| désigne la longueur ou la magnitude de v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
Pour trouver la direction, notez que puisque OAB est un angle droit,
tanθ = 15/25 = 0,6.
À l’aide d’une calculatrice, nous trouvons θ, l’angle que fait la force la plus grande avec la force nette :
θ = beige - 1 (0,6) ≈ 31°
La résultante a une magnitude de 29,2 et un angle de 31° avec une plus grande force.
Les pilotes peuvent ajuster leur direction de vol en cas de vent traversier. Le vent et la vitesse d'un avion peuvent être représentés par des vents.
Exemple 3. Vitesse et direction de l'avion. L'avion se déplace selon un azimut de 100° à une vitesse de 190 km/h, tandis que la vitesse du vent est de 48 km/h et son azimut est de 220°. Trouvez la vitesse absolue de l'avion et la direction de son mouvement, en tenant compte du vent.
Solution Faisons d'abord un dessin. Le vent est représenté et le vecteur vitesse de l'avion est . Le vecteur vitesse résultant est v, la somme des deux vecteurs. L'angle θ entre v et est appelé angle de dérive
.
Notez que la valeur COA = 100° - 40° = 60°. Alors la valeur de CBA est également égale à 60° (les angles opposés du parallélogramme sont égaux). Puisque la somme de tous les angles d’un parallélogramme est de 360° et que COB et OAB ont la même grandeur, chacun doit mesurer 120°. Par règle du cosinus
en OAB, nous avons
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Alors, |v| équivaut à 218 km/h. Selon règle des sinus
, dans le même triangle,
48
/péchéθ = 218
/péché 120°,
ou
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Alors, θ = 11°, à l’angle entier le plus proche. La vitesse absolue est de 218 km/h, et la direction de son déplacement compte tenu du vent : 100° - 11°, soit 89°.
Étant donné un vecteur w, on peut trouver deux autres vecteurs u et v dont la somme est w. Les vecteurs u et v sont appelés Composants w et le processus pour les trouver s'appelle décomposition , ou la représentation d'un vecteur par ses composantes vectorielles.
Lorsque nous développons un vecteur, nous recherchons généralement des composantes perpendiculaires. Très souvent, cependant, une composante sera parallèle à l’axe des x et l’autre sera parallèle à l’axe des y. C’est pourquoi on les appelle souvent horizontal
Et verticale
composantes vectorielles. Dans la figure ci-dessous, le vecteur w = est décomposé comme la somme de u = et v = . 
La composante horizontale de w est u et la composante verticale est v.
Exemple 4 Le vecteur w a une norme de 130 et une pente de 40° par rapport à l'horizontale. Décomposez le vecteur en composantes horizontales et verticales.
Solution Nous allons d’abord dessiner une image avec les vecteurs horizontaux et verticaux u et v dont la somme est w. 
De ABC, on trouve |u| et |v|, en utilisant les définitions du cosinus et du sinus :
cos40° = |u|/130, ou |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, ou |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Ensuite, la composante horizontale de w est de 100 vers la droite et la composante verticale de w est de 84 vers le haut.
La base de l'espace ils appellent un tel système de vecteurs dans lequel tous les autres vecteurs de l'espace peuvent être représentés comme une combinaison linéaire de vecteurs inclus dans la base.
En pratique, tout cela se réalise assez simplement. La base, en règle générale, est vérifiée sur un plan ou dans l'espace, et pour cela, vous devez trouver le déterminant d'une matrice du deuxième et du troisième ordre composée de coordonnées vectorielles. Ci-dessous sont schématiquement écrits conditions dans lesquelles les vecteurs constituent une base
À développer le vecteur b en vecteurs de base
e,e...,e[n] il faut trouver les coefficients x, ..., x[n] pour lesquels la combinaison linéaire des vecteurs e,e...,e[n] est égale à la vecteur B :
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Pour ce faire, l'équation vectorielle doit être convertie en un système d'équations linéaires et des solutions doivent être trouvées. C’est également assez simple à mettre en œuvre.
Les coefficients trouvés x, ..., x[n] sont appelés coordonnées du vecteur b dans la base e,e...,e[n].
Passons au côté pratique du sujet.
Décomposition d'un vecteur en vecteurs de base
Tache 1. Vérifiez si les vecteurs a1, a2 forment une base sur le plan
1) a1 (3 ; 5), a2 (4 ; 2)
Solution : On compose un déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et on le calcule
Le déterminant n'est pas nul, ainsi les vecteurs sont linéairement indépendants, ce qui signifie qu'ils forment une base.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Solution : On calcule le déterminant constitué de vecteurs 
Le déterminant est égal à 13 (non égal à zéro) - il s'ensuit que les vecteurs a1, a2 sont une base sur le plan.
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Regardons des exemples typiques du programme MAUP dans la discipline « Mathématiques supérieures ».
Tâche 2. Montrez que les vecteurs a1, a2, a3 forment la base d’un espace vectoriel tridimensionnel et développez le vecteur b selon cette base (utilisez la méthode de Cramer pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires).
1) a1 (3 ; 1 ; 5), a2 (3 ; 2 ; 8), a3 (0 ; 1 ; 2), b (−3 ; 1 ; 2).
Solution : Tout d'abord, considérons le système de vecteurs a1, a2, a3 et vérifions le déterminant de la matrice A
construit sur des vecteurs non nuls. La matrice contient un élément zéro, il est donc plus approprié de calculer le déterminant sous forme de graphique dans la première colonne ou la troisième ligne. 
À la suite des calculs, nous avons constaté que le déterminant est différent de zéro, donc les vecteurs a1, a2, a3 sont linéairement indépendants.
Par définition, les vecteurs forment une base dans R3. Écrivons le programme du vecteur b basé sur 
Les vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées correspondantes sont égales.
Par conséquent, à partir de l’équation vectorielle, nous obtenons un système d’équations linéaires 
Résolvons SLAE La méthode de Cramer. Pour ce faire, on écrit le système d’équations sous la forme
Le déterminant principal d'un SLAE est toujours égal au déterminant composé de vecteurs de base
Par conséquent, dans la pratique, cela n’est pas compté deux fois. Pour trouver des déterminants auxiliaires, on met une colonne de termes libres à la place de chaque colonne du déterminant principal. Les déterminants sont calculés à l'aide de la règle du triangle 
Remplaçons les déterminants trouvés dans la formule de Cramer 
Ainsi, le développement du vecteur b en termes de base a la forme b=-4a1+3a2-a3. Les coordonnées du vecteur b dans la base a1, a2, a3 seront (-4,3, 1).
2)a1 (1 ; -5 ; 2), a2 (2 ; 3 ; 0), a3 (1 ; -1 ; 1), b (3 ; 5 ; 1).
Solution : Nous vérifions les vecteurs pour une base - nous composons un déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et le calculons 
Le déterminant n'est pas égal à zéro, donc les vecteurs forment une base dans l'espace. Reste à trouver le planning du vecteur b à travers cette base. Pour ce faire, on écrit l'équation vectorielle 
et transformer en un système d'équations linéaires 
Nous écrivons l'équation matricielle
Ensuite, pour les formules de Cramer, nous trouvons des déterminants auxiliaires 
Nous appliquons les formules de Cramer 
Ainsi, un vecteur donné b a un programme passant par deux vecteurs de base b=-2a1+5a3, et ses coordonnées dans la base sont égales à b(-2,0, 5).
