Une variable aléatoire discrète x est spécifiée par une fonction de distribution. Matériel théorique pour les modules "théorie des probabilités et statistiques mathématiques"

Aléatoire discret Les variables sont des variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs éloignées les unes des autres et qui peuvent être listées à l'avance.
Loi de répartition
La loi de distribution d'une variable aléatoire est une relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes.
La série de distribution d'une variable aléatoire discrète est la liste de ses valeurs possibles et des probabilités correspondantes.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète est la fonction :
,
déterminer pour chaque valeur de l'argument x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à ce x.

Attente d'une variable aléatoire discrète
,
où est la valeur d'une variable aléatoire discrète ; - la probabilité qu'une variable aléatoire accepte des valeurs X.
Si une variable aléatoire prend un ensemble dénombrable de valeurs possibles, alors :
.
Espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans n essais indépendants :
,

Dispersion et écart type d'une variable aléatoire discrète
Dispersion d'une variable aléatoire discrète :
ou .
Variation du nombre d'occurrences d'un événement dans n essais indépendants
,
où p est la probabilité que l'événement se produise.
Écart type d'une variable aléatoire discrète :
.

Exemple 1
Établissez une loi de distribution de probabilité pour une variable aléatoire discrète (DRV) X – le nombre de k occurrences d'au moins un « six » en n = 8 lancers d'une paire de dés. Construisez un polygone de distribution. Trouver les caractéristiques numériques de la distribution (mode de distribution, espérance mathématique M(X), dispersion D(X), écart type s(X)). Solution: Introduisons la notation : événement A – « lors du lancement d’une paire de dés, un six apparaît au moins une fois ». Pour trouver la probabilité P(A) = p de l'événement A, il est plus pratique de trouver d'abord la probabilité P(Ā) = q de l'événement opposé Ā - "lors du lancement d'une paire de dés, un six n'est jamais apparu".
Puisque la probabilité qu'un « six » n'apparaisse pas lors du lancement d'un dé est de 5/6, alors selon le théorème de multiplication des probabilités
P(Ā) = q = = .
Respectivement,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Les tests du problème suivent le schéma de Bernoulli, donc d.s.v. ordre de grandeur X- nombre k l'apparition d'au moins un six lors du lancement de deux dés obéit à la loi binomiale de distribution de probabilité :

où = est le nombre de combinaisons de n Par k.

Les calculs effectués pour ce problème peuvent être commodément présentés sous la forme d'un tableau :
Distribution de probabilité d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

Polygone (polygone) de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète X montré sur la figure :

Riz. Polygone de distribution de probabilité d.s.v. X=k.
La ligne verticale montre l'espérance mathématique de la distribution M(X).

Trouvons les caractéristiques numériques de la distribution de probabilité de d.s.v. X. Le mode de distribution est 2 (ici P. 8(2) = 0,2932 maximum). L'espérance mathématique par définition est égale à :
M(X) = = 2,4444,
Où xk = k– valeur prise par d.s.v. X. Variance D(X) on trouve la distribution à l'aide de la formule :
D(X) = = 4,8097.
Écart type (RMS) :
s( X) = = 2,1931.

Exemple2
Variable aléatoire discrète X donnée par la loi sur la distribution

Solution. Si , alors (troisième propriété).
Si donc. Vraiment, X peut prendre la valeur 1 avec une probabilité de 0,3.
Si donc. En effet, si elle satisfait l’inégalité
, alors est égal à la probabilité qu'un événement puisse se produire lorsque X prendra la valeur 1 (la probabilité de cet événement est de 0,3) ou la valeur 4 (la probabilité de cet événement est de 0,1). Puisque ces deux événements sont incompatibles, alors selon le théorème d'addition, la probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités 0,3 + 0,1 = 0,4. Si donc. En effet, l’événement est certain, donc sa probabilité est égale à un. Ainsi, la fonction de distribution peut s’écrire analytiquement comme suit :

Graphique de cette fonction :
Trouvons les probabilités correspondant à ces valeurs. Par condition, les probabilités de panne des appareils sont égales : alors les probabilités que les appareils fonctionnent pendant la période de garantie sont égales :




La loi de répartition a la forme :

LOI DE DISTRIBUTION ET CARACTÉRISTIQUES

VARIABLES ALÉATOIRES

Variables aléatoires, leur classification et méthodes de description.

Une quantité aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, mais laquelle n'est pas connue à l'avance. Par conséquent, pour une variable aléatoire, vous ne pouvez spécifier que des valeurs, dont l'une sera certainement le résultat d'une expérience. Dans ce qui suit nous appellerons ces valeurs valeurs possibles de la variable aléatoire. Puisqu'une variable aléatoire caractérise quantitativement le résultat aléatoire d'une expérience, elle peut être considérée comme une caractéristique quantitative d'un événement aléatoire.

Les variables aléatoires sont généralement désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin, par exemple X..Y..Z, et leurs valeurs possibles par les minuscules correspondantes.

Il existe trois types de variables aléatoires :

Discret; Continu; Mixte.

Discret est une variable aléatoire dont le nombre de valeurs possibles forme un ensemble dénombrable. À son tour, un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés est appelé dénombrable. Le mot « discret » vient du latin discretus, signifiant « discontinu, constitué de parties distinctes ».

Exemple 1. Une variable aléatoire discrète est le nombre de pièces défectueuses X dans un lot de nproduits. En effet, les valeurs possibles de cette variable aléatoire sont une suite d'entiers allant de 0 à n.

Exemple 2. Une variable aléatoire discrète est le nombre de tirs avant le premier coup sur la cible. Ici, comme dans l'exemple 1, les valeurs possibles peuvent être numérotées, bien que dans le cas limite la valeur possible soit un nombre infiniment grand.

Continu est une variable aléatoire dont les valeurs possibles remplissent en permanence un certain intervalle de l'axe numérique, parfois appelé intervalle d'existence de cette variable aléatoire. Ainsi, sur tout intervalle fini d'existence, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infiniment grand.

Exemple 3. Une variable aléatoire continue est la consommation électrique mensuelle d'une entreprise.

Exemple 4. Une variable aléatoire continue est l'erreur de mesure de la hauteur à l'aide d'un altimètre. D'après le principe de fonctionnement de l'altimètre, l'erreur est comprise entre 0 et 2 m. L'intervalle d'existence de cette variable aléatoire est donc l'intervalle de 0 à 2 m.

Loi de distribution des variables aléatoires.

Une variable aléatoire est considérée comme complètement spécifiée si ses valeurs possibles sont indiquées sur l'axe numérique et que la loi de distribution est établie.

Loi de distribution d'une variable aléatoire est une relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

Une variable aléatoire est dite distribuée selon une loi donnée, ou soumise à une loi de distribution donnée. Un certain nombre de probabilités, de fonctions de distribution, de densité de probabilité et de fonctions caractéristiques sont utilisées comme lois de distribution.

La loi de distribution donne une description probable complète d'une variable aléatoire. Selon la loi de distribution, on peut juger avant l'expérience quelles valeurs possibles d'une variable aléatoire apparaîtront le plus souvent et lesquelles moins souvent.

Pour une variable aléatoire discrète, la loi de distribution peut être précisée sous forme de tableau, analytiquement (sous forme de formule) et graphiquement.

La forme la plus simple de spécification de la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est un tableau (matrice), qui répertorie par ordre croissant toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes, c'est-à-dire

Un tel tableau est appelé une série de distribution d'une variable aléatoire discrète. 1

Les événements X 1, X 2,..., X n, consistant dans le fait qu'à la suite du test, la variable aléatoire X prendra respectivement les valeurs x 1, x 2,... x n, sont incohérent et les seules possibles (puisque le tableau répertorie toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire), c'est-à-dire former un groupe complet. Par conséquent, la somme de leurs probabilités est égale à 1. Ainsi, pour toute variable aléatoire discrète

(Cette unité est en quelque sorte répartie parmi les valeurs de la variable aléatoire, d'où le terme « distribution »).

La série de distribution peut être représentée graphiquement si les valeurs de la variable aléatoire sont tracées le long de l'axe des abscisses et leurs probabilités correspondantes sont tracées le long de l'axe des ordonnées. La connexion des points obtenus forme une ligne brisée appelée polygone ou polygone de distribution de probabilité (Fig. 1).

Exemple La loterie comprend : une voiture d'une valeur de 5 000 den. unités, 4 téléviseurs coûtant 250 den. unités, 5 magnétoscopes d'une valeur de 200 den. unités Au total, 1000 billets sont vendus pendant 7 jours. unités Élaborer une loi de répartition des gains nets reçus par un participant à la loterie qui a acheté un billet.

Solution. Les valeurs possibles de la variable aléatoire X - les gains nets par ticket - sont égales à 0-7 = -7 argent. unités (si le ticket n'est pas gagnant), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unités (si le billet contient respectivement les gains d'un magnétoscope, d'un téléviseur ou d'une voiture). Considérant que sur 1000 billets, le nombre de non-gagnants est de 990 et que les gains indiqués sont respectivement de 5, 4 et 1, et en utilisant la définition classique de la probabilité, nous obtenons.

X; signification F(5); la probabilité que la variable aléatoire X prendra les valeurs du segment . Construisez un polygone de distribution.

1. La fonction de distribution F(x) d'une variable aléatoire discrète est connue X:

Définir la loi de distribution d'une variable aléatoire X sous forme de tableau.

1. La loi de distribution d'une variable aléatoire est donnée X:

1. La probabilité que le magasin dispose de certificats de qualité pour la gamme complète de produits est de 0,7. La commission a vérifié la disponibilité des certificats dans quatre magasins de la région. Élaborer une loi de distribution, calculer l'espérance mathématique et la dispersion du nombre de magasins dans lesquels des certificats de qualité n'ont pas été trouvés lors du contrôle.

1. Pour déterminer la durée de combustion moyenne des lampes électriques dans un lot de 350 boîtes identiques, une lampe électrique de chaque boîte a été prélevée pour test. Estimer par le bas la probabilité que la durée moyenne de combustion des lampes électriques sélectionnées diffère de la durée moyenne de combustion de l'ensemble du lot en valeur absolue de moins de 7 heures, si l'on sait que l'écart type de la durée de combustion des lampes électriques en chaque box dure moins de 9 heures.

1. Dans un central téléphonique, une connexion incorrecte se produit avec une probabilité de 0,002. Trouvez la probabilité que parmi 500 connexions, les événements suivants se produisent :

Trouver la fonction de distribution d'une variable aléatoire X. Construire des graphiques de fonctions et . Calculer l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane d'une variable aléatoire X.

1. Une machine automatique fabrique des rouleaux. On pense que leur diamètre est une variable aléatoire normalement distribuée avec une valeur moyenne de 10 mm. Quel est l'écart type si, avec une probabilité de 0,99, le diamètre est compris entre 9,7 mm et 10,3 mm.

Échantillon A: 6 9 7 6 4 4

Échantillon B : 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Option 17.

1. Parmi les 35 pièces, 7 sont hors normes. Trouvez la probabilité que deux pièces prises au hasard se révèlent standard.

1. Trois dés sont lancés. Trouvez la probabilité que la somme des points sur les côtés abandonnés soit un multiple de 9.

1. Le mot « AVENTURE » est composé de cartes sur lesquelles est écrite chacune une lettre. Les cartes sont mélangées et retirées une à une sans retour. Trouvez la probabilité que les lettres retirées dans l'ordre d'apparition forment le mot : a) AVENTURE ; b) PRISONNIER.

1. Une urne contient 6 boules noires et 5 boules blanches. 5 boules sont tirées au hasard. Trouvez la probabilité que parmi eux il y ait :
1. 2 boules blanches ;
2. moins de 2 boules blanches ;
3. au moins une boule noire.

1. UN dans un test est égal à 0,4. Trouvez les probabilités des événements suivants :
1. événement UN apparaît 3 fois dans une série de 7 essais indépendants ;
2. événement UN apparaîtra pas moins de 220 et pas plus de 235 fois dans une série de 400 essais.

1. L'usine a envoyé 5 000 produits de bonne qualité à la base. La probabilité que chaque produit soit endommagé pendant le transport est de 0,002. Trouvez la probabilité que pas plus de 3 produits soient endommagés pendant le voyage.

1. La première urne contient 4 boules blanches et 9 boules noires, et la deuxième urne contient 7 boules blanches et 3 noires. 3 boules sont tirées au hasard dans la première urne et 4 dans la deuxième urne. Trouvez la probabilité que toutes les boules tirées soient de la même couleur.

1. La loi de distribution d'une variable aléatoire est donnée X:

Calculez son espérance mathématique et sa variance.

1. Il y a 10 crayons dans la boîte. 4 crayons sont tirés au hasard. Valeur aléatoire X– le nombre de crayons bleus parmi ceux sélectionnés. Retrouver la loi de sa distribution, les moments initiaux et centraux des 2ème et 3ème ordres.

1. Le service de contrôle technique vérifie les défauts de 475 produits. La probabilité que le produit soit défectueux est de 0,05. Trouver, avec une probabilité de 0,95, les limites dans lesquelles sera contenu le nombre de produits défectueux parmi ceux testés.

1. Dans un central téléphonique, une connexion incorrecte se produit avec une probabilité de 0,003. Trouvez la probabilité que parmi 1 000 connexions, les événements suivants se produisent :
1. au moins 4 connexions incorrectes ;
2. plus de deux connexions incorrectes.

1. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de densité de distribution :

Trouver la fonction de distribution d'une variable aléatoire X. Construire des graphiques de fonctions et . Calculez l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane de la variable aléatoire X.

1. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de distribution :

1. Par échantillon UN résoudre les problèmes suivants :
1. créer une série de variations ;

· moyenne de l'échantillon ;

· variance de l'échantillon ;

Mode et médiane ;

Échantillon A : 0 0 2 2 1 4

1. calculer les caractéristiques numériques de la série de variations :

· moyenne de l'échantillon ;

· variance de l'échantillon ;

écart type de l'échantillon ;

· mode et médiane ;

Échantillon B : 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Option 18.

1. Parmi 10 billets de loterie, 2 sont gagnants. Déterminez la probabilité que sur cinq billets tirés au hasard, un soit gagnant.

1. Trois dés sont lancés. Trouvez la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à 15.

1. Le mot « PÉRIMÈTRE » est composé de cartes sur lesquelles est inscrite chacune une lettre. Les cartes sont mélangées et retirées une à une sans retour. Trouvez la probabilité que les lettres retirées forment le mot : a) PÉRIMÈTRE ; b) COMPTEUR.

1. Une urne contient 5 boules noires et 7 boules blanches. 5 boules sont tirées au hasard. Trouvez la probabilité que parmi eux il y ait :
1. 4 boules blanches ;
2. moins de 2 boules blanches ;
3. au moins une boule noire.

1. Probabilité qu'un événement se produise UN dans un essai est égal à 0,55. Trouvez les probabilités des événements suivants :
1. événement UN apparaîtra 3 fois dans une série de 5 défis ;
2. événement UN apparaîtra pas moins de 130 et pas plus de 200 fois dans une série de 300 essais.

1. La probabilité qu’une boîte de conserve se brise est de 0,0005. Déterminez la probabilité que parmi 2 000 canettes, deux aient une fuite.

1. La première urne contient 4 boules blanches et 8 boules noires, et la deuxième urne contient 7 boules blanches et 4 noires. Deux boules sont tirées au hasard dans la première urne et trois boules sont tirées au hasard dans la deuxième urne. Trouvez la probabilité que toutes les boules tirées soient de la même couleur.

1. Parmi les pièces arrivant au montage, 0,1 % sont défectueuses de la première machine, 0,2 % de la deuxième, 0,25 % de la troisième et 0,5 % de la quatrième. Les ratios de productivité des machines sont respectivement de 4:3:2:1. La partie prise au hasard s'est avérée standard. Trouvez la probabilité que la pièce ait été réalisée sur la première machine.

1. La loi de distribution d'une variable aléatoire est donnée X:

Calculez son espérance mathématique et sa variance.

1. Un électricien dispose de trois ampoules, chacune présentant un défaut avec une probabilité de 0,1. Les ampoules sont vissées dans la douille et le courant est allumé. Lorsque le courant est allumé, l'ampoule défectueuse grille immédiatement et est remplacée par une autre. Trouvez la loi de distribution, l'espérance mathématique et la dispersion du nombre d'ampoules testées.

1. La probabilité d'atteindre une cible est de 0,3 pour chacun des 900 tirs indépendants. À l'aide de l'inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que l'objectif soit atteint au moins 240 fois et au maximum 300 fois.

1. Dans un central téléphonique, une connexion incorrecte se produit avec une probabilité de 0,002. Trouvez la probabilité que parmi 800 connexions, les événements suivants se produisent :
1. au moins trois connexions incorrectes ;
2. plus de quatre connexions incorrectes.

1. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de densité de distribution :

Trouvez la fonction de distribution de la variable aléatoire X. Tracez des graphiques des fonctions et . Calculer l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane d'une variable aléatoire X.

1. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de distribution :

1. Par échantillon UN résoudre les problèmes suivants :
1. créer une série de variations ;
2. calculer les fréquences relatives et cumulées ;
3. compiler une fonction de distribution empirique et la tracer ;
4. calculer les caractéristiques numériques de la série de variations :

· moyenne de l'échantillon ;

· variance de l'échantillon ;

écart type de l'échantillon ;

· mode et médiane ;

Échantillon A: 4 7 6 3 3 4

1. À l’aide de l’exemple B, résolvez les problèmes suivants :
1. créer une série de variations groupées ;
2. construire un histogramme et un polygone de fréquence ;
3. calculer les caractéristiques numériques de la série de variations :

· moyenne de l'échantillon ;

· variance de l'échantillon ;

écart type de l'échantillon ;

· mode et médiane ;

Échantillon B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Option 19.

1. 16 femmes et 5 hommes travaillent sur le site. 3 personnes ont été sélectionnées au hasard à partir de leur matricule. Trouvez la probabilité que toutes les personnes sélectionnées soient des hommes.

2. Quatre pièces sont lancées. Trouvez la probabilité que seulement deux pièces aient des « armoiries ».

3. Le mot « PSYCHOLOGIE » est composé de cartes sur chacune desquelles est écrite une lettre. Les cartes sont mélangées et retirées une à une sans retour. Trouvez la probabilité que les lettres retirées forment un mot : a) PSYCHOLOGIE ; b) PERSONNEL.

4. L'urne contient 6 boules noires et 7 boules blanches. 5 boules sont tirées au hasard. Trouvez la probabilité que parmi eux il y ait :

un. 3 boules blanches ;

b. moins de 3 boules blanches ;

c. au moins une boule blanche.

5. Probabilité qu'un événement se produise UN dans un test est égal à 0,5. Trouvez les probabilités des événements suivants :

un. événement UN apparaît 3 fois dans une série de 5 essais indépendants ;

b. événement UN apparaîtra au moins 30 et pas plus de 40 fois dans une série de 50 essais.

6. Il existe 100 machines de même puissance, fonctionnant indépendamment les unes des autres dans le même mode, dans lesquelles leur entraînement est allumé pendant 0,8 heure de travail. Quelle est la probabilité qu’à un moment donné, entre 70 et 86 machines soient allumées ?

7. La première urne contient 4 boules blanches et 7 boules noires, et la deuxième urne contient 8 boules blanches et 3 noires. 4 boules sont tirées au sort dans la première urne, et 1 boule dans la seconde. Trouvez la probabilité que parmi les boules tirées, il n'y ait que 4 boules noires.

8. Le showroom de vente de voitures reçoit quotidiennement des voitures de trois marques en volumes : « Moskvich » – 40 % ; "D'accord" - 20 % ; "Volga" - 40% de toutes les voitures importées. Parmi les voitures Moskvich, 0,5% sont équipées d'un dispositif antivol, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Trouvez la probabilité que la voiture emmenée pour inspection soit équipée d'un dispositif antivol.

9. Les numéros et sont choisis au hasard sur le segment. Trouvez la probabilité que ces nombres satisfassent aux inégalités.

10. La loi de distribution d'une variable aléatoire est donnée X:

Trouver la fonction de distribution d'une variable aléatoire X; signification F(2); la probabilité que la variable aléatoire X prendra les valeurs de l'intervalle . Construisez un polygone de distribution.

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Variables aléatoires ».

Tâche 1 . Il y a 100 billets émis pour la loterie. Un gain de 50 USD a été tiré au sort. et dix victoires de 10 USD chacune. Trouvez la loi de distribution de la valeur X - le coût des gains possibles.

Solution. Valeurs possibles pour X : x 1 = 0 ; X 2 = 10 et x 3 = 50. Puisqu’il y a 89 tickets « vides », alors p 1 = 0,89, probabilité de gagner 10$. (10 billets) – p 2 = 0,10 et pour gagner 50 USD -p 3 = 0,01. Ainsi:

Facile à contrôler : .

Tâche 2. La probabilité que l'acheteur ait lu l'annonce du produit à l'avance est de 0,6 (p = 0,6). Le contrôle sélectif de la qualité de la publicité est effectué en interrogeant les acheteurs avant le premier qui a préalablement étudié la publicité. Etablir une série de répartition du nombre d'acheteurs interrogés.

Solution. Selon les conditions du problème, p = 0,6. De : q=1 -p = 0,4. En substituant ces valeurs, on obtient : et construire une série de distribution :

Tâche 3. Un ordinateur se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment : l’unité centrale, le moniteur et le clavier. Avec une seule forte augmentation de tension, la probabilité de défaillance de chaque élément est de 0,1. A partir de la distribution de Bernoulli, établir une loi de répartition du nombre d'éléments défaillants lors d'une surtension dans le réseau.

Solution. Considérons Distribution de Bernoulli(ou binôme) : la probabilité que n tests, l'événement A apparaîtra exactement k une fois: , ou:

DANS Revenons à la tâche.

Valeurs possibles pour X (nombre d'échecs) :

x 0 =0 – aucun des éléments n'a échoué ;

x 1 =1 – défaillance d'un élément ;

x 2 =2 – défaillance de deux éléments ;

x 3 = 3 – défaillance de tous les éléments.

Puisque, par condition, p = 0,1, alors q = 1 – p = 0,9. En utilisant la formule de Bernoulli, on obtient

, ,

, .

Contrôle: .

Par conséquent, la loi de distribution requise :

Problème 4. 5000 cartouches produites. Probabilité qu'une cartouche soit défectueuse . Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 3 cartouches défectueuses dans l’ensemble du lot ?

Solution. En vigueur Distribution de Poisson: Cette distribution est utilisée pour déterminer la probabilité que, pour de très grandes

nombre de tests (tests de masse), dans chacun desquels la probabilité de l'événement A est très faible, l'événement A se produira k fois : , Où .

Ici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. On trouve alors la probabilité souhaitée : .

Problème 5. Lors du tir jusqu'au premier coup avec une probabilité de coup p = 0,6 lors du tir, vous devez trouver la probabilité qu'un coup se produise au troisième coup.

Solution. Appliquons une distribution géométrique : effectuons des essais indépendants, dans chacun desquels A a une probabilité d'occurrence p (et de non-occurrence q = 1 – p). Le test se termine dès que l'événement A se produit.

Dans de telles conditions, la probabilité que l'événement A se produise lors du kième essai est déterminée par la formule : . Ici p = 0,6 ; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Par conséquent, .

Problème 6. Soit la loi de distribution d'une variable aléatoire X :

Trouvez l'espérance mathématique.

Solution. .

Notez que la signification probabiliste de l'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Problème 7. Trouvez la variance de la variable aléatoire X avec la loi de distribution suivante :

Solution. Ici .

Loi de distribution pour la valeur au carré de X 2 :

Variation requise : .

La dispersion caractérise la mesure de l'écart (dispersion) d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.

Problème 8. Soit une variable aléatoire donnée par la distribution :

Trouvez ses caractéristiques numériques.

Solution : m, m 2 ,

M 2 , m.

À propos de la variable aléatoire X, nous pouvons dire soit : son espérance mathématique est de 6,4 m avec une variance de 13,04 m 2 , ou – son espérance mathématique est de 6,4 m avec un écart de m La deuxième formulation est évidemment plus claire.

Tâche 9. Valeur aléatoire X donné par la fonction de distribution :
.

Trouver la probabilité qu'à la suite du test la valeur X prenne la valeur contenue dans l'intervalle .

Solution. La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle donné est égale à l'incrément de la fonction intégrale dans cet intervalle, c'est-à-dire . Dans notre cas et donc

.

Tâche 10. Variable aléatoire discrète X est donnée par la loi de distribution :

Trouver la fonction de distribution F(x ) et tracez-le.

Solution. Depuis la fonction de distribution,

Pour , Que

à ;

à ;

à ;

à ;

Graphique pertinent :

Problème 11. Variable aléatoire continue X donné par la fonction de distribution différentielle : .

Trouver la probabilité de réussite X par intervalle

Solution. Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de la loi de distribution exponentielle.

Utilisons la formule : .

Tâche 12. Trouver les caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète X spécifiée par la loi de distribution :

Comme on le sait, Variable aléatoire s'appelle une quantité variable qui peut prendre certaines valeurs selon les cas. Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin (X, Y, Z) et leurs valeurs sont désignées par les lettres minuscules correspondantes (x, y, z). Les variables aléatoires sont divisées en discontinues (discrètes) et continues.

Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne prend qu'un ensemble fini ou infini (dénombrable) de valeurs avec certaines probabilités non nulles.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est une fonction qui relie les valeurs d'une variable aléatoire avec leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution peut être spécifiée de l'une des manières suivantes.

1 . La loi de distribution peut être donnée par le tableau :

où λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) en utilisant fonction de distribution F(x) , qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X< x).

Propriétés de la fonction F(x)

3 . La loi de distribution peut être spécifiée graphiquement – polygone de distribution (polygone) (voir problème 3).

A noter que pour résoudre certains problèmes il n’est pas nécessaire de connaître la loi de distribution. Dans certains cas, il suffit de connaître un ou plusieurs nombres qui reflètent les caractéristiques les plus importantes de la loi de répartition. Il peut s'agir d'un nombre qui a la signification de « valeur moyenne » d'une variable aléatoire, ou d'un nombre indiquant la taille moyenne de l'écart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne. Les nombres de ce type sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire.

Caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire discrète :

• Attente mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire discrète M(X)=Σ X je p je.
  Pour la distribution binomiale M(X)=np, pour la distribution de Poisson M(X)=λ
• Dispersion variable aléatoire discrète D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2)− 2. La différence X–M(X) est appelée l’écart d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.
  Pour la distribution binomiale D(X)=npq, pour la distribution de Poisson D(X)=λ
• Écart-type (écart-type) σ(X)=√D(X).

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète »

Tache 1.

1000 billets de loterie ont été émis : 5 d'entre eux gagneront 500 roubles, 10 gagneront 100 roubles, 20 gagneront 50 roubles, 50 gagneront 10 roubles. Déterminez la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire X - gains par ticket.

Solution. Selon les conditions du problème, les valeurs suivantes de la variable aléatoire X sont possibles : 0, 10, 50, 100 et 500.

Le nombre de tickets sans gain est de 1000 – (5+10+20+50) = 915, alors P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De même, on retrouve toutes les autres probabilités : P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Présentons la loi résultante sous forme de tableau :

Trouvons l'espérance mathématique de la valeur X : M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tâche 3.

L'appareil se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment. La probabilité de défaillance de chaque élément dans une expérience est de 0,1. Élaborez une loi de distribution pour le nombre d'éléments défaillants dans une expérience, construisez un polygone de distribution. Trouvez la fonction de distribution F(x) et tracez-la. Trouvez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire discrète.

Solution. 1. La variable aléatoire discrète X = (le nombre d'éléments défaillants dans une expérience) a les valeurs possibles suivantes : x 1 = 0 (aucun des éléments du dispositif n'a échoué), x 2 = 1 (un élément a échoué), x 3 = 2 ( deux éléments ont échoué) et x 4 = 3 (trois éléments ont échoué).

Les défaillances des éléments sont indépendantes les unes des autres, les probabilités de défaillance de chaque élément sont égales, donc applicable Formule de Bernoulli . Considérant que, selon la condition n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, on détermine les probabilités des valeurs :
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729 ;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243 ;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027 ;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001 ;
Vérifier : ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Ainsi, la loi de distribution binomiale souhaitée de X a la forme :

Nous traçons les valeurs possibles de x i le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes p i le long de l'axe des ordonnées. Construisons les points M 1 (0 ; 0,729), M 2 (1 ; 0,243), M 3 (2 ; 0,027), M 4 (3 ; 0,001). En reliant ces points avec des segments de droite, on obtient le polygone de distribution souhaité.

3. Trouvons la fonction de distribution F(x) = Р(Х

Graphique de la fonction F(x)

4. Pour la distribution binomiale X :
- espérance mathématique M(X) = np = 3*0,1 = 0,3 ;
- variance D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27 ;
- écart type σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.