Cet article est consacré à l'analyse de concepts tels qu'un rayon de coordonnées et une ligne de coordonnées. Nous nous attarderons sur chaque concept et examinerons des exemples en détail. Grâce à cet article, vous pourrez rafraîchir vos connaissances ou vous familiariser avec le sujet sans l'aide d'un professeur.
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Afin de définir le concept de rayon de coordonnées, vous devez avoir une idée de ce qu'est un rayon.
Définition 1
Rayon- c'est une figure géométrique qui a une origine du rayon de coordonnées et une direction de mouvement. La ligne droite est généralement représentée horizontalement, indiquant la direction vers la droite.
Dans l'exemple, nous voyons que O est le début du rayon.
Exemple 1
Le rayon de coordonnées est représenté selon le même schéma, mais est sensiblement différent. Nous fixons un point de départ et mesurons un seul segment.
Exemple 2
Définition 2
Segment d'unité est la distance de 0 au point choisi pour la mesure.
Exemple 3
À partir de la fin d’un seul segment, vous devez tracer quelques traits et faire des marquages.
Grâce aux manipulations que nous avons faites avec la poutre, elle est devenue coordonnée. Étiquetez les traits avec des nombres naturels dans l'ordre de 1 - par exemple, 2, 3, 4, 5...
Exemple 4
Définition 3
est une échelle qui peut durer indéfiniment.
Il est souvent représenté comme un rayon commençant au point O et un seul segment unitaire est tracé. Un exemple est montré dans la figure.
Exemple 5
Dans tous les cas, nous pourrons continuer l'échelle jusqu'au nombre dont nous avons besoin. Vous pouvez écrire des chiffres aussi facilement que possible - sous la poutre ou au-dessus.
Exemple 6
Les lettres majuscules et minuscules peuvent être utilisées pour afficher les coordonnées des rayons.
Le principe de représentation d'une ligne de coordonnées n'est pratiquement pas différent de celui de représentation d'un rayon. C'est simple : tracez un rayon et ajoutez-le à une ligne droite, en lui donnant une direction positive, indiquée par une flèche.
Exemple 7
Dessinez le faisceau dans la direction opposée, en l'étendant jusqu'à une ligne droite
Exemple 8
Mettez de côté des segments uniques selon l'exemple ci-dessus
Sur le côté gauche écrivez les nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5... avec le signe opposé. Faites attention à l'exemple.
Exemple 9
Vous ne pouvez marquer que l'origine et les segments uniques. Voir l'exemple de ce à quoi cela ressemblera.
Exemple 10
Définition 4
- il s'agit d'une ligne droite représentée avec un certain point de référence, pris comme 0, un segment unitaire et une direction de mouvement donnée.
Correspondance entre les points d'une ligne de coordonnées et les nombres réels
Une ligne de coordonnées peut contenir plusieurs points. Ils sont directement liés aux nombres réels. Cela peut être défini comme une correspondance biunivoque.
Définition 5
Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées.
Afin de mieux comprendre la règle, vous devez marquer un point sur la ligne de coordonnées et voir quel nombre naturel correspond à la marque. Si ce point coïncide avec l’origine, il sera marqué zéro. Si le point ne coïncide pas avec le point de départ, nous reportons le nombre requis de segments unitaires jusqu'à ce que nous atteignions la marque spécifiée. Le numéro inscrit en dessous correspondra à ce point. À l’aide de l’exemple ci-dessous, nous allons vous montrer clairement cette règle.
Exemple 11
Si nous ne pouvons pas trouver un point en traçant des segments unitaires, nous devons également marquer les points qui constituent un dixième, un centième ou un millième d’un segment unitaire. Un exemple peut être utilisé pour examiner cette règle en détail.
En mettant de côté plusieurs segments similaires, nous pouvons obtenir non seulement un nombre entier, mais également un nombre fractionnaire, à la fois positif et négatif.
Les segments marqués nous aideront à trouver le point requis sur la ligne de coordonnées. Il peut s'agir de nombres entiers ou fractionnaires. Cependant, il existe des points sur une ligne droite qui sont très difficiles à trouver à l’aide de segments uniques. Ces points correspondent à des fractions décimales. Pour rechercher un tel point, vous devrez réserver un segment unitaire, un dixième, un centième, un millième, des dix millièmes et d'autres parties de celui-ci. Un point sur la droite de coordonnées correspond au nombre irrationnel π (= 3, 141592...).
L'ensemble des nombres réels comprend tous les nombres pouvant être écrits sous forme de fraction. Cela nous permet d'identifier la règle.
Définition 6
Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel spécifique. Différents points définissent différents nombres réels.
Cette correspondance est unique : chaque point correspond à un certain nombre réel. Mais cela fonctionne aussi dans le sens inverse. Nous pouvons également spécifier un point spécifique sur la ligne de coordonnées qui se rapportera à un nombre réel spécifique. Si le nombre n'est pas un nombre entier, nous devons alors marquer plusieurs segments unitaires, ainsi que des dixièmes et des centièmes dans une direction donnée. Par exemple, le nombre 400350 correspond à un point sur la droite de coordonnées, accessible depuis l'origine en traçant dans le sens positif 400 segments unitaires, 3 segments constituant un dixième d'unité et 5 segments constituant un millième.
Ainsi un segment unitaire et ses parties dixième, centième, etc. permettent d'accéder aux points de la ligne de coordonnées, qui correspondront aux fractions décimales finales (comme dans l'exemple précédent). Cependant, il y a des points sur la ligne de coordonnées que nous ne pouvons pas atteindre, mais dont nous pouvons nous rapprocher autant que nous le souhaitons, en utilisant des points de plus en plus petits jusqu'à une fraction infinitésimale d'un segment unitaire. Ces points correspondent à des fractions décimales infinies, périodiques et non périodiques. Donnons quelques exemples. L'un de ces points sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 3.711711711...=3,(711) . Pour aborder ce point, il faut réserver 3 segments unitaires, 7 dixièmes, 1 centième, 1 millième, 7 dix millièmes, 1 cent millième, 1 millionième de segment unitaire, etc. Et un autre point sur la ligne de coordonnées correspond à pi (π=3,141592...).
Puisque les éléments de l'ensemble des nombres réels sont tous des nombres pouvant s'écrire sous forme de fractions décimales finies et infinies, alors toutes les informations présentées ci-dessus dans ce paragraphe permettent d'affirmer que nous avons attribué un nombre réel spécifique à chaque point. de la ligne de coordonnées, et il est clair que différents points correspondent à différents nombres réels.
Il est également bien évident que cette correspondance est biunivoque. Autrement dit, nous pouvons attribuer un nombre réel à un point spécifié sur une ligne de coordonnées, mais nous pouvons également, en utilisant un nombre réel donné, indiquer un point spécifique sur une ligne de coordonnées auquel correspond un nombre réel donné. Pour ce faire, il faudra mettre de côté un certain nombre de segments unitaires, ainsi que des dixièmes, centièmes, etc., de fractions d'un segment unitaire dès le début du compte à rebours dans le sens souhaité. Par exemple, le nombre 703.405 correspond à un point sur la droite de coordonnées, accessible depuis l'origine en traçant dans le sens positif 703 segments unitaires, 4 segments constituant un dixième d'unité et 5 segments constituant un millième d'unité. .
Ainsi, à chaque point de la ligne de coordonnées correspond un nombre réel, et chaque nombre réel a sa place sous la forme d'un point sur la ligne de coordonnées. C'est pourquoi la ligne de coordonnées est souvent appelée droite numérique.
Coordonnées des points sur une ligne de coordonnées
Le nombre correspondant à un point sur une ligne de coordonnées est appelé coordonnée de ce point.
Dans le paragraphe précédent, nous avons dit que chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées, donc la coordonnée d'un point détermine de manière unique la position de ce point sur la ligne de coordonnées. En d'autres termes, la coordonnée d'un point définit de manière unique ce point sur la ligne de coordonnées. D'autre part, chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel - la coordonnée de ce point.
Il ne reste plus qu'à parler de la notation acceptée. La coordonnée du point est inscrite entre parenthèses à droite de la lettre qui représente le point. Par exemple, si le point M a la coordonnée -6, alors vous pouvez écrire M(-6), et la notation de la forme signifie que le point M sur la ligne de coordonnées a la coordonnée.
Bibliographie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques : manuel pour la 5e année. les établissements d'enseignement.
- Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
Le faisceau est droit, limité d'un côté. Cette définition sera mieux comprise si vous apprenez propriétés de la poutre :
- A un début mais pas de fin
- A une direction
- Infini, c'est-à-dire n'a pas de taille.
La désignation correcte du faisceau est une question controversée. L'option la plus correcte est celle de deux points, par exemple OA. De plus, le premier point indique le début du faisceau. Mais ils désignent également des segments et des lignes droites, c'est pourquoi ils écrivent souvent un rayon commençant au point O.
Riz. 1. Faisceau.
Angles
Les angles sont les seules formes constituées de rayons. Qu'est-ce qu'un angle ?
Il s'agit d'une figure géométrique composée de deux rayons dont le début se trouve en un point. Dans les figures, les angles sont constitués de segments plutôt que de rayons.
Une situation peut se produire lorsque les deux côtés de l'angle coïncident, on dit alors que l'angle est de 0 degré. Il peut aussi arriver que les deux côtés de l’angle forment une ligne droite, on dit alors que l’angle est égal à 180 degrés. Cet angle est appelé déplié, et les rayons sont primaires et secondaires.
L'angle reflète la rotation d'un rayon par rapport à un autre.
Coordonner les rayons
Une autre utilisation des rayons concerne divers systèmes de coordonnées. En mathématiques de 5e année, le premier sujet est l'étude de la ligne de coordonnées. Ce sont deux faisceaux avec un angle de rotation de 180 degrés. Le début des rayons est désigné comme le point zéro ou le début du rapport. Les coordonnées négatives sont placées à gauche du début du rapport et les coordonnées positives à droite. Autre nom pour la droite de coordonnées : droite numérique.
Riz. 2. Coordonner le faisceau.
À l'aide du rayon de coordonnées, il est pratique de comparer des fractions et ainsi de résoudre des inégalités.
À l'aide de rayons de coordonnées, un plan de coordonnées est également créé. Le système de coordonnées dit cartésien se compose de deux lignes de coordonnées ou 4 rayons. Un tel système permet de déterminer la position d'un point sur un plan, de tracer des graphiques de fonctions et de résoudre graphiquement divers types d'équations.
En plus du système cartésien, il existe un système de coordonnées polaires. Le système polaire utilise les notions d'angle et de ligne de coordonnées. La ligne de coordonnées détermine la position d'un point et l'angle détermine le degré de son élévation au-dessus de l'axe.
Le système de coordonnées polaires est l’un des plus anciens de l’histoire de l’humanité. Il se trouve que c’est précisément grâce à ce système que les anciens marins ont conquis les étendues inconnues de notre monde. Le système cartésien est apparu bien plus tard. Mais c'est plus pratique pour s'orienter au sol. Le système cartésien est plus facile à utiliser aussi bien en mathématiques qu'en d'autres disciplines : physique, génie thermique, hydraulique et programmation.
Le système cartésien est divisé par quatre rayons en 4 quarts dont la position d'un point dans chacun d'eux est déterminée par le signe des coordonnées. Les coordonnées sont divisées en abscisses et ordonnées. En d'autres termes, x et y. Par exemple, le point (3, 4) a deux coordonnées positives, ce qui signifie qu'il sera situé au premier quartier. Les deux coordonnées négatives correspondent au troisième quartier, y positif avec x négatif est le deuxième quartier et y négatif avec x positif est le quatrième.
Pour construire un point dans des systèmes de coordonnées cartésiennes, il faut élever une perpendiculaire séparant le rayon numérique correspondant à la coordonnée. Il y a deux coordonnées, ce qui signifie qu’il y aura deux perpendiculaires. Le point de leur intersection sera le point souhaité.
Une droite numérique est un rayon sur lequel sont imprimés des nombres ou des intervalles de nombres. La droite numérique est utilisée pour comparer des fractions, des images pour un problème et trouver l'ODZ d'une fonction. Ce dernier est le plus courant.
L'accolade sur la ligne droite indique la zone dans laquelle les racines ne peuvent pas atteindre. Après avoir résolu l'équation, les racines trouvées sont tracées sur la droite numérique. Les racines qui se trouvent entre les accolades de valeurs non valides sont exclues de la solution.
La coordonnée d'un point est son « adresse » sur la droite numérique, et la droite numérique est la « ville » dans laquelle vivent les nombres et n'importe quel nombre peut être trouvé par adresse.
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Rappelons ce qu'est une série naturelle. Ce sont tous les nombres qui peuvent être utilisés pour compter des objets, strictement dans l'ordre, les uns après les autres, c'est-à-dire dans une rangée. Cette série de nombres commence par 1 et continue jusqu'à l'infini avec des intervalles égaux entre nombres adjacents. Ajoutez 1 - et nous obtenons le numéro suivant, 1 de plus - et encore le suivant. Et, quel que soit le nombre que nous prenons dans cette série, il y a des nombres naturels voisins sur 1 à droite et 1 à gauche de celui-ci. La seule exception est le chiffre 1 : l’entier naturel suivant est là, mais pas le précédent. 1 est le plus petit nombre naturel.
Il existe une figure géométrique qui a beaucoup en commun avec la série naturelle. En regardant le sujet de la leçon écrit au tableau, il n'est pas difficile de deviner que cette figure est un rayon. Et en fait, le rayon a un début, mais pas de fin. Et on pourrait continuer et continuer, mais le cahier ou le tableau s'épuiserait tout simplement et il n'y aurait nulle part où continuer.
En utilisant ces propriétés similaires, mettons en relation la série naturelle des nombres et la figure géométrique - le rayon.
Ce n'est pas un hasard s'il y a un espace vide au début du rayon : à côté des nombres naturels, il faut écrire le nombre bien connu 0. Désormais, chaque nombre naturel trouvé dans la série naturelle a deux voisins sur le rayon -. un plus petit et un plus grand. En faisant juste un pas +1 à partir de zéro, vous pouvez obtenir le nombre 1, et en faisant le pas suivant +1, vous pouvez obtenir le nombre 2... En continuant ainsi, nous pouvons obtenir tous les nombres naturels un par un. C’est ainsi que le rayon présenté au tableau est appelé rayon de coordonnées. Vous pouvez le dire plus simplement - par un faisceau numérique. Il a le plus petit numéro - le numéro 0, appelé point de départ , chaque nombre suivant est à la même distance du précédent, mais il n'y a pas de plus grand nombre, tout comme ni un rayon ni une série naturelle n'ont de fin. Permettez-moi de souligner encore une fois que la distance entre le début du décompte et le nombre suivant 1 est la même qu'entre deux autres nombres adjacents du rayon numérique. Cette distance est appelée segment unique . Pour marquer n'importe quel nombre sur un tel rayon, vous devez mettre de côté exactement le même nombre de segments unitaires à partir de l'origine.
Par exemple, pour marquer le chiffre 5 sur un rayon, on réserve 5 segments unitaires à partir du point de départ. Pour marquer le nombre 14 sur le rayon, nous mettons de côté 14 segments unitaires à partir de zéro.
Comme vous pouvez le voir dans ces exemples, dans différents dessins, les segments unitaires peuvent être différents(), mais sur un rayon, tous les segments unitaires() sont égaux les uns aux autres(). (il y aura peut-être un changement de diapositives dans les images, confirmant les pauses)
Comme vous le savez, dans les dessins géométriques, il est d'usage de nommer les points en majuscules de l'alphabet latin. Appliquons cette règle au dessin au tableau. Chaque rayon de coordonnées a un point de départ ; sur le rayon numérique, ce point correspond au chiffre 0, et ce point est habituellement appelé la lettre O. De plus, on marquera plusieurs points à des endroits correspondant à certains numéros de ce rayon. Désormais, chaque point de faisceau possède sa propre adresse spécifique. A(3), ... (5-6 points sur les deux poutres). Le numéro correspondant à un point du rayon (appelé adresse de point) est appelé coordonner points. Et le faisceau lui-même est un faisceau de coordonnées. Un rayon de coordonnées ou un rayon numérique - la signification ne change pas.
Terminons la tâche - marquons les points sur la droite numérique en fonction de leurs coordonnées. Je vous conseille de réaliser vous-même cette tâche dans votre cahier. M(3), T(10), U(7).
Pour ce faire, nous construisons d’abord un rayon de coordonnées. C'est-à-dire un rayon dont l'origine est le point O(0). Vous devez maintenant sélectionner un seul segment. C'est exactement ce dont nous avons besoin choisir afin que tous les points requis tiennent sur le dessin. La plus grande coordonnée est désormais 10. Si vous placez le début de la poutre à 1 ou 2 cellules du bord gauche de la page, elle peut alors être étendue de plus de 10 cm. Prenez ensuite un segment unitaire de 1 cm, marquez-le sur le rayon, et le chiffre 10 se situe à 10 cm du début du rayon. Le point T correspond à ce chiffre (...).
Mais si vous devez marquer le point H (15) sur le rayon de coordonnées, vous devrez sélectionner un autre segment unitaire. Après tout, cela ne fonctionnera plus comme dans l'exemple précédent, car le cahier ne pourra pas accueillir une poutre de la longueur visible requise. Vous pouvez sélectionner un seul segment d'une cellule de long et compter 15 cellules de zéro au point requis.
Segment unique. ? Un même segment peut avoir des longueurs différentes. Par exemple, nous devons construire un rayon de coordonnées avec un segment unitaire égal à deux cellules. Pour ce faire, il faut : construire un rayon (selon les règles évoquées ci-dessus), compter deux cellules à partir du point O, marquer le point et lui donner la coordonnée 1, la distance de 0 à 1, égale à deux cellules, est un segment unitaire. O. 0. 1. Ci-dessous se trouve un rayon de coordonnées avec un segment unitaire égal à cinq cellules. O. 0. 1.
Diapositive 6 de la présentation "Faisceau de coordonnées". La taille de l'archive avec la présentation est de 107 Ko.Mathématiques 5ème année
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