- Le segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égal à la moitié de la différence des bases
- Les triangles formés par les bases d'un trapèze et les segments des diagonales jusqu'à leur point d'intersection sont semblables
- Triangles formés par des segments des diagonales d'un trapèze, dont les côtés se trouvent sur les côtés latéraux du trapèze - sont de taille égale (ont la même aire)
- Si vous étendez les côtés du trapèze vers la plus petite base, ils se croiseront en un point avec la ligne droite reliant les milieux des bases.
- Un segment reliant les bases d'un trapèze et passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze est divisé par ce point dans une proportion égale au rapport des longueurs des bases du trapèze
- Un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le point d'intersection des diagonales est divisé en deux par ce point, et sa longueur est égale à 2ab/(a + b), où a et b sont les bases du trapèze. trapèze
Propriétés d'un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze
Relions les milieux des diagonales du trapèze ABCD, ce qui donnera un segment LM.
Un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze se trouve sur la ligne médiane du trapèze.
Ce segment parallèle aux bases du trapèze.
La longueur du segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égale à la moitié de la différence de ses bases.
LM = (AD - BC)/2
ou
LM = (ab)/2
Propriétés des triangles formés par les diagonales d'un trapèze
Triangles formés par les bases d'un trapèze et le point d'intersection des diagonales du trapèze - sont similaires.
Les triangles BOC et AOD sont similaires. Puisque les angles BOC et AOD sont verticaux, ils sont égaux.
Les angles OCB et OAD sont des angles internes transversaux avec des droites parallèles AD et BC (les bases du trapèze sont parallèles entre elles) et une droite sécante AC, ils sont donc égaux.
Les angles OBC et ODA sont égaux pour la même raison (interne transversalement).
Puisque les trois angles d’un triangle sont égaux aux angles correspondants d’un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.
Qu’est-ce qui en découle ?
Pour résoudre des problèmes de géométrie, la similitude des triangles est utilisée comme suit. Si l'on connaît les longueurs de deux éléments correspondants de triangles similaires, alors on trouve le coefficient de similarité (on divise l'un par l'autre). D'où les longueurs de tous les autres éléments sont liées les unes aux autres par exactement la même valeur.
Propriétés des triangles situés sur le côté latéral et des diagonales d'un trapèze
Considérons deux triangles situés sur les côtés latéraux du trapèze AB et CD. Ce sont les triangles AOB et COD. Malgré le fait que les tailles des côtés individuels de ces triangles puissent être complètement différentes, mais les aires des triangles formés par les côtés latéraux et le point d'intersection des diagonales du trapèze sont égales, c'est-à-dire que les triangles sont de même taille.
Si nous étendons les côtés du trapèze vers la plus petite base, alors le point d'intersection des côtés sera coïncider avec une ligne droite qui passe par le milieu des bases.
Ainsi, n’importe quel trapèze peut être transformé en triangle. Où:
- Les triangles formés par les bases d'un trapèze avec un sommet commun au point d'intersection des côtés étendus sont similaires
- La droite reliant les milieux des bases du trapèze est, en même temps, la médiane du triangle construit
Propriétés d'un segment reliant les bases d'un trapèze
Si vous dessinez un segment dont les extrémités reposent sur les bases d'un trapèze, qui se trouve au point d'intersection des diagonales du trapèze (KN), alors le rapport de ses segments constitutifs du côté de la base au point d'intersection des diagonales (KO/ON) sera égal au rapport des bases du trapèze(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Cette propriété découle de la similitude des triangles correspondants (voir ci-dessus).
Propriétés d'un segment parallèle aux bases d'un trapèze
Si l’on trace un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le point d’intersection des diagonales du trapèze, alors il aura les propriétés suivantes :
- Distance spécifiée (KM) divisé en deux par le point d'intersection des diagonales du trapèze
- Longueur de section passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze et parallèlement aux bases est égal à KM = 2ab/(a + b)
Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze
un B- bases trapézoïdales
CD- côtés du trapèze
d1 d2- les diagonales d'un trapèze
α β - angles avec une base de trapèze plus grande
Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze à travers les bases, les côtés et les angles à la base
Le premier groupe de formules (1-3) reflète l'une des principales propriétés des diagonales trapézoïdales :
1. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés des côtés plus le double du produit de ses bases. Cette propriété des diagonales trapézoïdales peut être prouvée comme un théorème distinct
2 . Cette formule est obtenue en transformant la formule précédente. Le carré de la deuxième diagonale est passé par le signe égal, après quoi la racine carrée est extraite des côtés gauche et droit de l'expression.
3 . Cette formule pour trouver la longueur de la diagonale d'un trapèze est similaire à la précédente, à la différence qu'une autre diagonale est laissée sur le côté gauche de l'expression
Le groupe suivant de formules (4-5) a une signification similaire et exprime une relation similaire.
Le groupe de formules (6-7) permet de trouver la diagonale d'un trapèze si la plus grande base du trapèze, un côté et l'angle à la base sont connus.
Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze en hauteur
Tâche.
Les diagonales du trapèze ABCD (AD | | BC) se coupent au point O. Trouvez la longueur de la base BC du trapèze si la base AD = 24 cm, longueur AO = 9 cm, longueur OS = 6 cm.
Solution.
La solution à ce problème est idéologiquement absolument identique aux problèmes précédents.
Les triangles AOD et BOC sont similaires sous trois angles - AOD et BOC sont verticaux et les angles restants sont égaux par paires, car ils sont formés par l'intersection d'une ligne et de deux lignes parallèles.
Puisque les triangles sont semblables, toutes leurs dimensions géométriques sont liées entre elles, tout comme les dimensions géométriques des segments AO et OC que nous connaissons selon les conditions du problème. C'est
AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / avant JC
BC = 24 * 6/9 = 16
Répondre: 16 cm
Tâche .
Dans le trapèze ABCD on sait que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Trouvez l'aire du trapèze. 
Solution .
Pour trouver la hauteur d'un trapèze à partir des sommets de la plus petite base B et C, nous abaissons deux hauteurs jusqu'à la plus grande base. Puisque le trapèze est inégal, on note la longueur AM = a, longueur KD = b ( à ne pas confondre avec la notation dans la formule trouver l'aire d'un trapèze). Puisque les bases du trapèze sont parallèles et que nous avons laissé tomber deux hauteurs perpendiculaires à la plus grande base, alors MBCK est un rectangle.
Moyens
AD = AM+BC+KD
une + 8 + b = 24
une = 16 - b
Les triangles DBM et ACK sont rectangulaires, leurs angles droits sont donc formés par les altitudes du trapèze. Notons la hauteur du trapèze par h. Alors, d'après le théorème de Pythagore
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Et
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Prenons en compte que a = 16 - b, alors dans la première équation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Remplaçons la valeur du carré de la hauteur dans la deuxième équation obtenue à l'aide du théorème de Pythagore. On a:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Donc KD = 12
Où
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Trouver l'aire du trapèze grâce à sa hauteur et la moitié de la somme des bases
, où a b - la base du trapèze, h - la hauteur du trapèze
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm2
Répondre: l'aire du trapèze est de 80 cm2.
Un trapèze est un cas particulier de quadrilatère dans lequel une paire de côtés est parallèle. Le terme « trapèze » vient du mot grec τράπεζα, signifiant « table », « table ». Dans cet article, nous examinerons les types de trapèze et leurs propriétés. De plus, nous découvrirons comment calculer des éléments individuels de ceci. Par exemple, la diagonale d'un trapèze isocèle, la ligne médiane, la surface, etc. Le matériau est présenté dans le style de la géométrie populaire élémentaire, c'est-à-dire sous une forme facilement accessible .
informations générales
Voyons d’abord ce qu’est un quadrilatère. Cette figure est un cas particulier d'un polygone contenant quatre côtés et quatre sommets. Deux sommets d'un quadrilatère qui ne sont pas adjacents sont dits opposés. On peut en dire autant de deux côtés non adjacents. Les principaux types de quadrilatères sont le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré, le trapèze et le deltoïde.
Revenons donc aux trapèzes. Comme nous l'avons déjà dit, cette figure a deux faces parallèles. On les appelle des bases. Les deux autres (non parallèles) sont les côtés latéraux. Dans les supports d'examens et de tests divers, on retrouve souvent des problèmes liés aux trapèzes, dont la solution nécessite souvent que l'étudiant ait des connaissances non prévues au programme. Le cours de géométrie scolaire initie les étudiants aux propriétés des angles et des diagonales, ainsi qu'à la ligne médiane d'un trapèze isocèle. Mais en plus de cela, la figure géométrique mentionnée présente d’autres caractéristiques. Mais nous en parlerons un peu plus tard...
Types de trapèze
Il existe de nombreux types de cette figure. Cependant, le plus souvent, il est d'usage d'en considérer deux - isocèle et rectangulaire.
1. Un trapèze rectangulaire est une figure dont l'un des côtés est perpendiculaire aux bases. Ses deux angles sont toujours égaux à quatre-vingt-dix degrés.
2. Un trapèze isocèle est une figure géométrique dont les côtés sont égaux les uns aux autres. Cela signifie que les angles aux bases sont également égaux deux à deux.
Les grands principes de la méthodologie d'étude des propriétés d'un trapèze
Le principe principal comprend l’utilisation de ce que l’on appelle l’approche par tâches. En fait, il n’est pas nécessaire d’introduire de nouvelles propriétés de cette figure dans le cours théorique de géométrie. Ils peuvent être découverts et formulés lors de la résolution de divers problèmes (de préférence systémiques). Dans le même temps, il est très important que l’enseignant sache quelles tâches doivent être confiées aux élèves à un moment ou à un autre du processus éducatif. De plus, chaque propriété d’un trapèze peut être représentée comme une tâche clé dans le système de tâches.
Le deuxième principe est l’organisation dite en spirale de l’étude des propriétés « remarquables » du trapèze. Cela implique un retour dans le processus d'apprentissage aux caractéristiques individuelles d'une figure géométrique donnée. Cela permet aux élèves de s'en souvenir plus facilement. Par exemple, la propriété de quatre points. Cela peut être prouvé à la fois en étudiant la similarité et en utilisant ultérieurement des vecteurs. Et l'équivalence des triangles adjacents aux côtés latéraux d'une figure peut être prouvée en appliquant non seulement les propriétés des triangles d'égales hauteurs dessinés aux côtés qui se trouvent sur la même ligne droite, mais également en utilisant la formule S = 1/2( ab*sinα). De plus, vous pouvez travailler sur un trapèze inscrit ou un triangle rectangle sur un trapèze inscrit, etc.
L'utilisation de caractéristiques « extrascolaires » d'une figure géométrique dans le contenu d'un cours scolaire est une technologie basée sur des tâches pour les enseigner. Se référer constamment aux propriétés étudiées tout en abordant d'autres sujets permet aux étudiants d'acquérir une connaissance plus approfondie du trapèze et garantit le succès de la résolution des problèmes assignés. Alors commençons à étudier ce merveilleux chiffre.
Éléments et propriétés d'un trapèze isocèle
Comme nous l'avons déjà noté, cette figure géométrique a des côtés égaux. Il est également connu sous le nom de trapèze correct. Pourquoi est-il si remarquable et pourquoi a-t-il reçu un tel nom ? La particularité de cette figure est que non seulement les côtés et les angles aux bases sont égaux, mais aussi les diagonales. De plus, la somme des angles d’un trapèze isocèle est de 360 degrés. Mais ce n'est pas tout! De tous les trapèzes connus, seul un trapèze isocèle peut être décrit comme un cercle. Cela est dû au fait que la somme des angles opposés de cette figure est égale à 180 degrés, et ce n'est que dans cette condition qu'on peut décrire un cercle autour d'un quadrilatère. La propriété suivante de la figure géométrique considérée est que la distance entre le sommet de la base et la projection du sommet opposé sur la droite qui contient cette base sera égale à la ligne médiane.
Voyons maintenant comment trouver les angles d'un trapèze isocèle. Considérons une solution à ce problème, à condition que les dimensions des côtés de la figure soient connues.
Solution
En règle générale, un quadrilatère est généralement désigné par les lettres A, B, C, D, où BS et AD sont les bases. Dans un trapèze isocèle, les côtés sont égaux. Nous supposerons que leur taille est égale à X et que les tailles des bases sont égales à Y et Z (respectivement plus petites et plus grandes). Pour effectuer le calcul, il faut tracer la hauteur H de l'angle B. Le résultat est un triangle rectangle ABN, où AB est l'hypoténuse, et BN et AN sont les jambes. On calcule la taille de la jambe AN : on soustrait la plus petite de la plus grande base, et on divise le résultat par 2. On l'écrit sous la forme d'une formule : (Z-Y)/2 = F. Maintenant, pour calculer l'aigu angle du triangle, on utilise la fonction cos. On obtient l’entrée suivante : cos(β) = X/F. Maintenant on calcule l'angle : β=arcos (X/F). De plus, connaissant un angle, nous pouvons déterminer le second, pour cela nous effectuons une opération arithmétique élémentaire : 180 - β. Tous les angles sont définis.
Il existe une deuxième solution à ce problème. Tout d'abord, nous l'abaissons du coin jusqu'à la hauteur H. Nous calculons la valeur de la jambe BN. On sait que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes. On obtient : BN = √(X2-F2). Nous utilisons ensuite la fonction trigonométrique tg. On a donc : β = arctan (BN/F). Un angle aigu a été trouvé. Ensuite, nous le définissons de la même manière que la première méthode.
Propriété des diagonales d'un trapèze isocèle
Tout d’abord, écrivons quatre règles. Si les diagonales d’un trapèze isocèle sont perpendiculaires, alors :
La hauteur de la figure sera égale à la somme des bases divisée par deux ;
Sa hauteur et sa ligne médiane sont égales ;
Le centre du cercle est le point où ;
Si le côté latéral est divisé par le point de tangence en segments H et M, alors il est égal à la racine carrée du produit de ces segments ;
Le quadrilatère formé par les points de contact, le sommet du trapèze et le centre du cercle inscrit est un carré dont le côté est égal au rayon ;
L'aire d'une figure est égale au produit des bases et au produit de la moitié de la somme des bases et de sa hauteur.
Trapèzes similaires
Ce sujet est très pratique pour étudier les propriétés de ceci. Par exemple, les diagonales divisent un trapèze en quatre triangles, et celles adjacentes aux bases sont similaires, et celles adjacentes aux côtés sont de taille égale. Cette affirmation peut être appelée une propriété des triangles en lesquels le trapèze est divisé par ses diagonales. La première partie de cette affirmation est prouvée par le signe de similitude sous deux angles. Pour prouver la deuxième partie, il est préférable d’utiliser la méthode donnée ci-dessous.
Preuve du théorème
On admet que la figure ABSD (AD et BS sont les bases du trapèze) est divisée par les diagonales VD et AC. Le point de leur intersection est O. On obtient quatre triangles : AOS - à la base inférieure, BOS - à la base supérieure, ABO et SOD sur les côtés. Les triangles SOD et BOS ont une hauteur commune si les segments BO et OD sont leurs bases. On constate que la différence de leurs surfaces (P) est égale à la différence entre ces segments : PBOS/PSOD = BO/OD = K. Donc PSOD = PBOS/K. De même, les triangles BOS et AOB ont une hauteur commune. Nous prenons comme bases les segments CO et OA. On obtient PBOS/PAOB = CO/OA = K et PAOB = PBOS/K. Il en résulte que PSOD = PAOB.
Pour consolider le matériel, il est recommandé aux élèves de trouver le lien entre les aires des triangles résultants dans lesquels le trapèze est divisé par ses diagonales en résolvant le problème suivant. On sait que les triangles BOS et AOD ont des aires égales ; il faut trouver l'aire du trapèze. Puisque PSOD = PAOB, cela signifie PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitude des triangles BOS et AOD il résulte que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Par conséquent, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). On obtient PSOD = √(PBOS*PAOD). Alors PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Propriétés de similarité
En continuant à développer ce sujet, nous pouvons prouver d’autres caractéristiques intéressantes des trapèzes. Ainsi, en utilisant la similarité, on peut prouver la propriété d'un segment qui passe par le point formé par l'intersection des diagonales de cette figure géométrique, parallèle aux bases. Pour ce faire, résolvons le problème suivant : nous devons trouver la longueur du segment RK qui passe par le point O. De la similitude des triangles AOD et BOS il résulte que AO/OS = AD/BS. De la similitude des triangles AOP et ASB il résulte que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De là, nous obtenons que RO=BS*BP/(BS+BP). De même, de la similitude des triangles DOC et DBS, il résulte que OK = BS*AD/(BS+AD). De là, nous obtenons que RO=OK et RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segment passant par le point d'intersection des diagonales, parallèle aux bases et reliant deux côtés latéraux, est divisé en deux par le point d'intersection. Sa longueur est la moyenne harmonique des bases de la figure.
Considérons la propriété suivante d’un trapèze, appelée propriété des quatre points. Les points d'intersection des diagonales (O), l'intersection du prolongement des côtés (E), ainsi que les milieux des bases (T et F) se trouvent toujours sur la même ligne. Cela peut être facilement prouvé par la méthode de similarité. Les triangles résultants BES et AED sont similaires, et dans chacun d'eux les médianes ET et EJ divisent l'angle au sommet E en parties égales. Les points E, T et F se trouvent donc sur la même droite. De la même manière, les points T, O et Zh sont situés sur la même droite. Tout cela découle de la similitude des triangles BOS et AOD. De là, nous concluons que les quatre points – E, T, O et F – se situeront sur la même ligne droite.
À l’aide de trapèzes similaires, vous pouvez demander aux élèves de trouver la longueur du segment (LS) qui divise la figure en deux semblables. Ce segment doit être parallèle aux bases. Puisque les trapèzes résultants ALFD et LBSF sont similaires, alors BS/LF = LF/AD. Il s’ensuit que LF=√(BS*AD). On constate que le segment divisant le trapèze en deux semblables a une longueur égale à la moyenne géométrique des longueurs des bases de la figure.
Considérons la propriété de similarité suivante. Il repose sur un segment qui divise le trapèze en deux figures égales. Nous supposons que le trapèze ABSD est divisé par le segment EH en deux segments similaires. Du sommet B, une hauteur est omise, qui est divisée par le segment EN en deux parties - B1 et B2. On obtient : PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 et PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ensuite, nous composons un système dont la première équation est (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 et la seconde (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Il s’ensuit que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) et BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). On constate que la longueur du segment divisant le trapèze en deux égaux est égale à la moyenne quadratique des longueurs des bases : √((BS2+AD2)/2).
Résultats de similarité
Ainsi, nous avons prouvé que :
1. Le segment reliant les milieux des côtés latéraux d'un trapèze est parallèle à AD et BS et est égal à la moyenne arithmétique de BS et AD (la longueur de la base du trapèze).
2. La droite passant par le point O de l'intersection des diagonales parallèles à AD et BS sera égale à la moyenne harmonique des nombres AD et BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Le segment divisant le trapèze en trapèzes similaires a la longueur de la moyenne géométrique des bases BS et AD.
4. Un élément divisant une figure en deux chiffres égaux a la longueur de la moyenne quadratique des nombres AD et BS.
Pour consolider le matériel et comprendre le lien entre les segments considérés, l'étudiant doit les construire pour un trapèze spécifique. Il peut facilement afficher la ligne médiane et le segment qui passe par le point O - l'intersection des diagonales de la figure - parallèlement aux bases. Mais où seront situés les troisième et quatrième ? Cette réponse amènera l'étudiant à la découverte de la relation recherchée entre les valeurs moyennes.
Un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze
Considérons la propriété suivante de cette figure. On suppose que le segment MH est parallèle aux bases et coupe les diagonales en leur milieu. Appelons les points d'intersection Ш et Ш. Ce segment sera égal à la moitié de la différence des bases. Regardons cela plus en détail. MS est la ligne médiane du triangle ABS, elle est égale à BS/2. MSH est la ligne médiane du triangle ABD, elle est égale à AD/2. Ensuite, nous obtenons que ShShch = MSh-MSh, donc ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Centre de gravité
Voyons comment cet élément est déterminé pour une figure géométrique donnée. Pour ce faire, il est nécessaire d'étendre les bases dans des directions opposées. Qu'est-ce que ça veut dire? Vous devez ajouter la base inférieure à la base supérieure - dans n'importe quelle direction, par exemple vers la droite. Et nous prolongeons celui du bas de la longueur de celui du haut vers la gauche. Ensuite, nous les connectons en diagonale. Le point d'intersection de ce segment avec la ligne médiane de la figure est le centre de gravité du trapèze.
Trapèzes inscrits et circonscrits
Listons les caractéristiques de ces figures :
1. Un trapèze ne peut s'inscrire dans un cercle que s'il est isocèle.
2. Un trapèze peut être décrit autour d'un cercle, à condition que la somme des longueurs de leurs bases soit égale à la somme des longueurs des côtés.
Corollaires du cercle inscrit :
1. La hauteur du trapèze décrit est toujours égale à deux rayons.
2. Le côté du trapèze décrit est observé depuis le centre du cercle à angle droit.
Le premier corollaire est évident, mais pour prouver le second, il faut établir que l'angle SOD est droit, ce qui, en fait, n'est pas non plus difficile. Mais la connaissance de cette propriété vous permettra d'utiliser un triangle rectangle pour résoudre des problèmes.
Précisons maintenant ces conséquences pour un trapèze isocèle inscrit dans un cercle. On trouve que la hauteur est la moyenne géométrique des bases de la figure : H=2R=√(BS*AD). Tout en pratiquant la technique de base pour résoudre des problèmes liés aux trapèzes (le principe du dessin à deux hauteurs), l'élève doit résoudre la tâche suivante. Nous supposons que BT est la hauteur de la figure isocèle ABSD. Il faut trouver les segments AT et TD. En utilisant la formule décrite ci-dessus, cela ne sera pas difficile à faire.
Voyons maintenant comment déterminer le rayon d'un cercle en utilisant l'aire du trapèze circonscrit. Nous abaissons la hauteur du sommet B à la base AD. Puisque le cercle est inscrit dans un trapèze, alors BS+AD = 2AB ou AB = (BS+AD)/2. A partir du triangle ABN on trouve sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. On obtient PABSD = (BS+BP)*R, il s'ensuit que R = PABSD/(BS+BP).
Toutes les formules pour la ligne médiane d'un trapèze
Il est maintenant temps de passer au dernier élément de cette figure géométrique. Voyons à quoi est égale la ligne médiane du trapèze (M) :
1. Par les bases : M = (A+B)/2.
2. Par la hauteur, la base et les coins :
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2 ;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Par la hauteur, les diagonales et l'angle qui les sépare. Par exemple, D1 et D2 sont les diagonales d'un trapèze ; α, β - angles entre eux :
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Surface traversante et hauteur : M = P/N.
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\[(\Large(\text(trapèze libre)))\]
Définitions
Un trapèze est un quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.
Les côtés parallèles d’un trapèze sont appelés ses bases et les deux autres côtés sont appelés ses côtés latéraux.
La hauteur d'un trapèze est la perpendiculaire descendante d'un point quelconque d'une base à une autre base.
Théorèmes : propriétés d'un trapèze
1) La somme des angles sur le côté est \(180^\circ\) .
2) Les diagonales divisent le trapèze en quatre triangles, dont deux sont semblables et les deux autres sont de taille égale.
Preuve
1) Parce que \(AD\parallèle BC\), alors les angles \(\angle BAD\) et \(\angle ABC\) sont unilatéraux pour ces droites et la transversale \(AB\), donc, \(\angle MAUVAIS +\angle ABC=180^\circ\).
2) Parce que \(AD\parallel BC\) et \(BD\) sont sécants, alors \(\angle DBC=\angle BDA\) se trouvent transversalement.
Aussi \(\angle BOC=\angle AOD\) comme vertical.
Donc sous deux angles \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).
Prouvons que \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Soit \(h\) la hauteur du trapèze. Alors \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Alors: \
Définition
La ligne médiane d'un trapèze est un segment reliant les milieux des côtés.
Théorème
La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.
Preuve*
1) Montrons le parallélisme.
Traçons par le point \(M\) la droite \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Alors, d’après le théorème de Thalès (puisque \(MN"\parallèle AD\parallèle BC, AM=MB\)) le point \(N"\) est le milieu du segment \(CD\). Cela signifie que les points \(N\) et \(N"\) coïncideront.
2) Démontrons la formule.
Faisons \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Laisser \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Ensuite, d'après le théorème de Thales, \(M"\) et \(N"\) sont respectivement les milieux des segments \(BB"\) et \(CC"\). Cela signifie que \(MM"\) est la ligne médiane de \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) est la ligne médiane de \(\triangle DCC"\) . C'est pourquoi: \
Parce que \(MN\AD parallèle\BC parallèle\) et \(BB", CC"\perp AD\), alors \(B"M"N"C"\) et \(BM"N"C\) sont des rectangles. D'après le théorème de Thales, de \(MN\parallel AD\) et \(AM=MB\) il s'ensuit que \(B"M"=M"B\) . Ainsi, \(B"M"N"C "\) et \(BM"N"C\) sont des rectangles égaux, donc \(M"N"=B"C"=BC\) .
Ainsi:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Théorème : propriété d'un trapèze arbitraire
Les milieux des bases, le point d'intersection des diagonales du trapèze et le point d'intersection des prolongements des côtés latéraux se trouvent sur une même droite.
Preuve*
Il est recommandé de vous familiariser avec la preuve après avoir étudié le thème « Similitude des triangles ».
1) Montrons que les points \(P\) , \(N\) et \(M\) se trouvent sur la même droite.
Traçons une droite \(PN\) (\(P\) est le point d'intersection des extensions des côtés latéraux, \(N\) est le milieu de \(BC\)). Laissez-le couper le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .
Considérez \(\triangle BPN\) et \(\triangle APM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle APM\) – général, \(\angle PAM=\angle PBN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(AB\) sécant). Moyens: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Considérez \(\triangle CPN\) et \(\triangle DPM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle DPM\) – général, \(\angle PDM=\angle PCN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(CD\) sécant). Moyens: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
D'ici \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Mais \(BN=NC\) donc \(AM=DM\) .
2) Montrons que les points \(N, O, M\) se trouvent sur la même droite.
Soit \(N\) le milieu de \(BC\) et \(O\) le point d'intersection des diagonales. Traçons une ligne droite \(NO\) , elle coupera le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) le long de deux angles (\(\angle OBN=\angle ODM\) situés transversalement à \(BC\parallèle AD\) et \(BD\) sécants ; \(\angle BON=\angle DOM\) comme verticaux). Moyens: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
De même \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Moyens: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
D'ici \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Mais \(BN=CN\) donc \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(Trapèze isocèle)))\]
Définitions
Un trapèze est dit rectangulaire si l’un de ses angles est droit.
Un trapèze est dit isocèle si ses côtés sont égaux.
Théorèmes : propriétés d'un trapèze isocèle
1) Un trapèze isocèle a des angles de base égaux.
2) Les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales.
3) Deux triangles formés de diagonales et d'une base sont isocèles.
Preuve
1) Considérons le trapèze isocèle \(ABCD\) .
À partir des sommets \(B\) et \(C\), nous déposons respectivement les perpendiculaires \(BM\) et \(CN\) du côté \(AD\). Puisque \(BM\perp AD\) et \(CN\perp AD\) , alors \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , alors \(MBCN\) est un parallélogramme, donc \(BM = CN\) .
Considérons les triangles rectangles \(ABM\) et \(CDN\) . Puisque leurs hypoténuses sont égales et que la jambe \(BM\) est égale à la jambe \(CN\) , alors ces triangles sont égaux, donc \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Parce que \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- général, puis selon le premier signe. Par conséquent, \(AC=BD\) .
3) Parce que \(\triangle ABD=\triangle ACD\), puis \(\angle BDA=\angle CAD\) . Le triangle \(\triangle AOD\) est donc isocèle. De même, il est prouvé que \(\triangle BOC\) est isocèle.
Théorèmes : signes d'un trapèze isocèle
1) Si un trapèze a des angles de base égaux, alors il est isocèle.
2) Si un trapèze a des diagonales égales, alors il est isocèle.
Preuve
Considérons le trapèze \(ABCD\) tel que \(\angle A = \angle D\) .
Complétons le trapèze jusqu'au triangle \(AED\) comme indiqué sur la figure. Puisque \(\angle 1 = \angle 2\) , alors le triangle \(AED\) est isocèle et \(AE = ED\) . Les angles \(1\) et \(3\) sont égaux aux angles correspondants des droites parallèles \(AD\) et \(BC\) et sécantes \(AB\). De même, les angles \(2\) et \(4\) sont égaux, mais \(\angle 1 = \angle 2\), alors \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), donc le triangle \(BEC\) est également isocèle et \(BE = EC\) .
Finalement \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), c'est-à-dire \(AB = CD\), ce qui devait être prouvé.
2) Soit \(AC=BD\) . Parce que \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), alors nous désignons leur coefficient de similarité par \(k\) . Alors si \(BO=x\) , alors \(OD=kx\) . Similaire à \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Parce que \(AC=BD\) , puis \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Cela signifie que \(\triangle AOD\) est isocèle et \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Ainsi, d'après le premier signe \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- général). Alors, \(AB=CD\) , pourquoi.
