Le volume d'un cône s'exprime par la même formule que le volume d'une pyramide : V = 1 / 3 S h,

où V est le volume du cône, S est l'aire de la base du cône, h- son effet.

Finalement V = 1 / 3 πR 2 h, où R est le rayon de la base du cône.

L’obtention de la formule du volume d’un cône peut s’expliquer par le raisonnement suivant :

Soit un cône (fig). Inscrivons-y une pyramide régulière, c'est-à-dire que nous construirons une pyramide à l'intérieur du cône dont le sommet coïncide avec le sommet du cône, et la base est un polygone régulier inscrit dans la base du cône.

Le volume de cette pyramide sera exprimé par la formule : V’ = 1 / 3 S’ h, où V est le volume de la pyramide,

S’ est l’aire de sa base, h- hauteur de la pyramide.

Si nous prenons un polygone avec un très grand nombre de côtés comme base de la pyramide, alors l'aire de la base de la pyramide différera très peu de l'aire du cercle, et le volume de la pyramide sera diffèrent très peu du volume du cône. Si l'on néglige ces différences de taille, alors le volume du cône s'exprime par la formule suivante :

V=1/3S h, où V est le volume du cône, S est l'aire de la base du cône, h- hauteur du cône.

En remplaçant S par πR 2, où R est le rayon du cercle, on obtient la formule : V = 1 / 3 πR 2 h, exprimant le volume du cône.

Note. Dans la formule V = 1 / 3 S h un signe d'égalité exacte et non approximative est placé, même si sur la base du raisonnement effectué, nous pourrions le considérer comme approximatif, mais au lycée, il est prouvé que l'égalité

V=1/3S h exact, pas approximatif.

Volume d'un cône arbitraire

Théorème. Le volume d'un cône arbitraire est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur, ceux.

V = 1/3 QH, (1)

où Q est l'aire de la base et H est la hauteur du cône.

Considérons un cône de sommet S et de base Ф (Fig.).

Soit l'aire de la base Φ égale à Q, et la hauteur du cône soit égale à H. Il existe alors des séquences de polygones Φ n et F' n avec des zones Q n et Q' n tel que

F n⊂ Ф n⊂ Ф' n et \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= Q.

Il est évident qu'une pyramide ayant un sommet S et une base F' n sera inscrit dans un cône donné, et une pyramide de sommet S et de base Ф n- décrit autour du cône.

Les volumes de ces pyramides sont respectivement égaux

V n= 1 / 3Q n H, V' n= 1 / 3Q' n H

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V' n= 1 / 3 QH

alors la formule (1) est prouvée.

Conséquence. Le volume d'un cône dont la base est une ellipse de demi-axes a et b est calculé par la formule

V = 1/3π un B H (2)

En particulier, volume d'un cône dont la base est un cercle de rayon R, calculé par la formule

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

où H est la hauteur du cône.

Comme on le sait, l'aire d'une ellipse à demi-axes UN Et bégal à π un B, et donc la formule (2) est obtenue à partir de (1) avec Q = π un B. Si une = b= R, alors la formule (3) est obtenue.

Volume d'un cône circulaire droit

Théorème 1. Le volume d'un cône circulaire droit de hauteur H et de rayon de base R est calculé par la formule

V = 1 / 3 π R 2 H

Ce cône peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle dont les sommets sont aux points O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) autour de l'axe Oh(riz.).

Le triangle OAB est un trapèze curviligne correspondant à la fonction

y = R / H X, X∈ . Par conséquent, en utilisant la formule bien connue, on obtient

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Conséquence. Le volume d'un cône circulaire droit est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur, c'est à dire.

où Q - surface de base, et H - hauteur du cône.

Théorème 2. Le volume d'un cône tronqué de rayons de base r et R et de hauteur H est calculé par la formule

V = 1 / 3πH( r 2 + R 2 + r R).

Un tronc de cône peut être obtenu en tournant autour d'un axe Oh trapèze O ABC (fig.).

La droite AB passe par les points (0; r) et (H; R), il a donc l'équation

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

on a

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Pour calculer l'intégrale, on fait le remplacement

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Évidemment, quand X varie de 0 à H, variable Et varie de rà R, et donc

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

La géométrie en tant que science s'est formée dans l'Égypte ancienne et a atteint un niveau de développement élevé. Le célèbre philosophe Platon a fondé l'Académie, où une attention particulière a été accordée à la systématisation des connaissances existantes. Le cône comme l’une des figures géométriques a été mentionné pour la première fois dans le célèbre traité d’Euclide « Éléments ». Euclide connaissait les œuvres de Platon. De nos jours, peu de gens savent que le mot « cône » traduit du grec signifie « pomme de pin ». Le mathématicien grec Euclide, qui vivait à Alexandrie, est à juste titre considéré comme le fondateur de l'algèbre géométrique. Les anciens Grecs sont non seulement devenus les successeurs des connaissances des Égyptiens, mais ont également considérablement élargi la théorie.

Histoire de la définition d'un cône

La géométrie en tant que science est née des exigences pratiques de la construction et de l'observation de la nature. Peu à peu, les connaissances expérimentales se sont généralisées et les propriétés de certains corps ont été prouvées à travers d'autres. Les Grecs de l’Antiquité ont introduit le concept d’axiomes et de preuves. Un axiome est un énoncé obtenu par des moyens pratiques et ne nécessite aucune preuve.

Dans son livre, Euclide a donné une définition d'un cône comme une figure obtenue en faisant tourner un triangle rectangle autour d'une de ses pattes. Il possède également le théorème principal qui détermine le volume d'un cône. Ce théorème a été prouvé par le mathématicien grec Eudoxe de Cnide.

Un autre mathématicien de la Grèce antique, Apollonius de Perge, qui fut un élève d'Euclide, développa et exposa la théorie des surfaces coniques dans ses livres. Il possède la définition d'une surface conique et d'une sécante. Les écoliers étudient aujourd'hui la géométrie euclidienne, qui a conservé les théorèmes et définitions de base des temps anciens.

Définitions basiques

Un cône circulaire droit est formé en faisant tourner un triangle rectangle autour d’une jambe. Comme vous pouvez le constater, le concept de cône n’a pas changé depuis l’époque d’Euclide.

L'hypoténuse AS du triangle rectangle AOS, lorsqu'elle tourne autour de la jambe OS, forme la surface latérale du cône, c'est pourquoi elle est appelée génératrice. La jambe OS du triangle se transforme simultanément en hauteur du cône et en son axe. Le point S devient le sommet du cône. La jambe AO, ayant décrit un cercle (base), s'est transformée en rayon d'un cône.

Si nous dessinons un plan d'en haut passant par le sommet et l'axe du cône, nous pouvons voir que la section axiale résultante est un triangle isocèle, dans lequel l'axe est la hauteur du triangle.

Où C- circonférence de la base, je— longueur de la génératrice du cône, R.— rayon de la base.

Formule pour calculer le volume d'un cône

Pour calculer le volume d'un cône, utilisez la formule suivante :

où S est l'aire de la base du cône. Puisque la base est un cercle, son aire est calculée comme suit :

Cela implique:

où V est le volume du cône ;

n est un nombre égal à 3,14 ;

R est le rayon de la base correspondant au segment AO de la figure 1 ;

H est la hauteur égale au segment OS.

Cône tronqué, volume

Il y a un cône circulaire droit. Si vous coupez la partie supérieure avec un plan perpendiculaire à la hauteur, vous obtenez un tronc de cône. Ses deux bases ont la forme d'un cercle de rayons R1 et R2.

Si un cône droit est formé en faisant tourner un triangle rectangle, alors un cône tronqué est formé en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour d'un côté droit.

Le volume d’un cône tronqué se calcule à l’aide de la formule suivante :

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Cône et sa section par plan

L'ancien mathématicien grec Apollonius de Perge a écrit l'ouvrage théorique « Sections coniques ». Grâce à ses travaux en géométrie, apparaissent des définitions de courbes : parabole, ellipse, hyperbole. Voyons ce que le cône a à voir avec cela.

Prenons un cône circulaire droit. Si le plan le coupe perpendiculairement à l'axe, alors un cercle se forme dans la section. Lorsqu'une sécante coupe un cône selon un angle par rapport à l'axe, une ellipse est obtenue dans la section.

Un plan coupant perpendiculaire à la base et parallèle à l'axe du cône forme une hyperbole sur la surface. Un plan coupant le cône selon un angle par rapport à la base et parallèle à la tangente au cône crée une courbe sur la surface, appelée parabole.

La solution du problème

Même la simple tâche de fabriquer un seau d’une certaine taille nécessite des connaissances. Par exemple, vous devez calculer la taille d'un seau pour qu'il ait un volume de 10 litres.

V=10 l=10 dm3 ;

Le développement du cône a la forme schématisée sur la figure 3.

L est la génératrice du cône.

Pour connaître la surface du godet, qui se calcule à l'aide de la formule suivante :

S = n*(R 1 +R 2)*L,

il faut calculer le générateur. On le trouve à partir de la valeur du volume V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

D'où H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Un tronc de cône est formé par la rotation d'un trapèze rectangulaire, dont le côté est la génératrice du cône.

L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2.

Nous disposons désormais de toutes les données nécessaires pour créer un dessin d'un seau.

Pourquoi les seaux d'incendie ont-ils la forme d'un cône ?

Qui s'est déjà demandé pourquoi les seaux à incendie ont une forme conique apparemment étrange ? Et ce n’est pas seulement comme ça. Il s'avère qu'un seau conique pour éteindre un incendie présente de nombreux avantages par rapport à un seau ordinaire, qui a la forme d'un cône tronqué.

Premièrement, il s’avère que le seau à incendie se remplit d’eau plus rapidement et ne se renverse pas lorsqu’il est transporté. Un cône avec un volume plus grand qu'un seau ordinaire vous permet de transférer plus d'eau à la fois.

Deuxièmement, l'eau qui en provient peut être projetée sur une plus grande distance que celle d'un seau ordinaire.

Troisièmement, si le seau conique tombe de vos mains et tombe dans le feu, alors toute l'eau est versée sur la source du feu.

Tous ces facteurs permettent de gagner du temps - le principal facteur lors de l'extinction d'un incendie.

Utilisation pratique

Les écoliers se demandent souvent pourquoi ils doivent apprendre à calculer le volume de divers corps géométriques, y compris un cône.

Et les ingénieurs concepteurs sont constamment confrontés à la nécessité de calculer le volume des parties coniques des pièces de machines. Il s'agit de pointes de forets, de pièces de tours et de fraiseuses. La forme conique permettra aux forets de pénétrer facilement dans le matériau sans nécessiter de marquage initial avec un outil spécial.

Le volume d'un cône est un tas de sable ou de terre versé sur le sol. Si nécessaire, en prenant des mesures simples, vous pouvez calculer son volume. Certains peuvent être déroutés par la question de savoir comment connaître le rayon et la hauteur d'un tas de sable. Armé d'un ruban à mesurer, nous mesurons la circonférence du monticule C. En utilisant la formule R=C/2n nous trouvons le rayon. En jetant une corde (ruban) sur le sommet, on trouve la longueur de la génératrice. Et calculer la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore et du volume n'est pas difficile. Bien entendu, ce calcul est approximatif, mais il permet de déterminer si vous vous êtes trompé en apportant une tonne de sable au lieu d'un cube.

Certains bâtiments ont la forme d’un cône tronqué. Par exemple, la tour de télévision d'Ostankino se rapproche de la forme d'un cône. On peut l’imaginer constitué de deux cônes superposés. Les dômes des anciens châteaux et cathédrales représentent un cône dont les architectes anciens calculaient le volume avec une précision étonnante.

Si vous regardez attentivement les objets environnants, beaucoup d'entre eux sont des cônes :

• entonnoirs pour verser des liquides;
• haut-parleur à pavillon;
• cônes de stationnement;
• abat-jour pour lampadaire;
• l'arbre de Noël habituel ;
• instruments de musique à vent.

Comme le montrent les exemples donnés, savoir calculer le volume d’un cône et sa surface est nécessaire dans la vie professionnelle et quotidienne. Nous espérons que l'article vous sera utile.

Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.

Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.

Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.

Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.

2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit à une pyramide quadrangulaire régulière est-il supérieur au volume d'un cône inscrit dans cette pyramide ?

C'est simple : dessinez la vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.

Autre point important. On se souvient que dans les problèmes de la partie B de l'examen d'État unifié de mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction décimale finale. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».

Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.

1. Calcul du volume du cube

un- côté du cube

Formule pour le volume d'un cube, ( V ):

2. Trouver par formule le volume d'un parallélépipède rectangle

une, b, c- côtés d'un parallélépipède

Parfois, le côté d’un parallélépipède est appelé une arête.

Formule pour le volume d'un parallélépipède, ( V):

3. Formule pour calculer le volume d'une balle, sphère

R. — rayon de balle

En utilisant la formule, si le rayon est donné, vous pouvez trouver le volume de la balle, ( V):

4. Comment calculer le volume d’un cylindre ?

h- hauteur du cylindre

r— rayon de base

À l'aide de la formule, trouvez le volume d'un cylindre si son rayon de base et sa hauteur sont connus, ( V):

5. Comment trouver le volume d'un cône ?

R— rayon de base

H— hauteur du cône

Formule du volume d'un cône si le rayon et la hauteur sont connus ( V):

7. Formule pour le volume d'un cône tronqué

r- rayon de base supérieur

R— rayon inférieur

h - hauteur du cône

Formule pour le volume d'un cône tronqué, si connu - le rayon de la base inférieure, le rayon de la base supérieure et la hauteur du cône ( V):

8. Volume d'un tétraèdre régulier

Un tétraèdre régulier est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.

UN- bord d'un tétraèdre

Formule pour calculer le volume d'un tétraèdre régulier ( V):

9. Volume d'une pyramide quadrangulaire régulière

Une pyramide avec une base carrée et des côtés de triangle isocèles égaux est appelée pyramide quadrangulaire régulière.

un- côté base

h- hauteur de la pyramide

Formule pour calculer le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière, ( V):

10. Volume d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide dont la base est un triangle équilatéral et dont les côtés sont égaux, les triangles isocèles est appelée pyramide triangulaire régulière.

un- côté base

h- hauteur de la pyramide

Formule pour le volume d'une pyramide triangulaire régulière, étant donné la hauteur et le côté de la base ( V):

11. Trouver le volume d'une pyramide régulière

Une pyramide avec un polygone régulier et des triangles égaux à sa base est dite régulière.

h- hauteur de la pyramide

un- côté de la base de la pyramide

n- le nombre de côtés du polygone à la base

Formule du volume d'une pyramide régulière, connaissant la hauteur, le côté de la base et le nombre de ces côtés ( V):

Toutes les formules pour les volumes de corps géométriques
Géométrie, Algèbre, Physique

Formules de volumes

Volume d'une figure géométrique- une caractéristique quantitative de l'espace occupé par un corps ou une substance. Dans les cas les plus simples, le volume est mesuré par le nombre de cubes unitaires qui rentrent dans le corps, c'est-à-dire des cubes dont le bord est égal à une unité de longueur. Le volume du corps ou la capacité du récipient est déterminé par sa forme et ses dimensions linéaires.

Formule pour le volume d'un cube

1) Le volume d'un cube est égal au cube de son arête.

V- le volume du cube

H— hauteur du bord du cube

Formule de volume pyramidal

1) Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de base S (ABCD) et de la hauteur h (OS).

V- volume de la pyramide

S- aire de la base de la pyramide

h- hauteur de la pyramide

Formules pour le volume d'un cône

1) Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur.

2) Le volume du cône est égal au tiers du produit de pi (3,1415) par le carré du rayon de la base et de la hauteur.

V- volume du cône

S- aire de la base du cône

h— hauteur du cône

π — nombre pi (3.1415)

r— rayon du cône

Formules de volume de cylindre

1) Le volume d'un cylindre est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

2) Le volume du cylindre est égal au produit de pi (3,1415) par le carré du rayon de la base et la hauteur.

V- volume du cylindre

S- surface de la base du cylindre

h- hauteur du cylindre

π — nombre pi (3.1415)

r— rayon du cylindre

Formule pour le volume d'une balle

1) Le volume de la balle est calculé à l'aide de la formule ci-dessous.

V- volume de la balle

π — nombre pi (3.1415)

R.- rayon de la balle

Formule pour le volume d'un tétraèdre

1) Le volume d'un tétraèdre est égal à la fraction au numérateur de laquelle la racine carrée de deux multipliée par le cube de la longueur de l'arête du tétraèdre, et au dénominateur douze.

Formules de volumes
Formules de volume et programmes en ligne pour calculer le volume

Formule de volume.

Formule de volume nécessaire pour calculer les paramètres et les caractéristiques d'une figure géométrique.

Volume des chiffres est une caractéristique quantitative de l'espace occupé par un corps ou une substance. Dans les cas les plus simples, le volume est mesuré par le nombre de cubes unitaires qui rentrent dans le corps, c'est-à-dire des cubes dont le bord est égal à une unité de longueur. Le volume du corps ou la capacité du récipient est déterminé par sa forme et ses dimensions linéaires.

Parallélépipède.

Le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Cylindre.

Le volume d'un cylindre est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Le volume du cylindre est égal au produit de pi (3,1415) par le carré du rayon de la base et de la hauteur.

Pyramide.

Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base S (ABCDE) et de la hauteur h (OS).

Pyramide correcte- il s'agit d'une pyramide à la base de laquelle se trouve un polygone régulier, et dont la hauteur passe par le centre du cercle inscrit à la base.

Pyramide triangulaire régulière est une pyramide dont la base est un triangle équilatéral et dont les côtés sont des triangles isocèles égaux.

Pyramide quadrangulaire régulière est une pyramide dont la base est un carré et dont les côtés sont des triangles isocèles égaux.

Tétraèdre est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.

Pyramide tronquée.

Le volume d'une pyramide tronquée est égal au tiers du produit de la hauteur h (OS) par la somme des aires de la base supérieure S 1 (abcde), de la base inférieure de la pyramide tronquée S 2 (ABCDE) et la moyenne proportionnelle entre eux.

Il est facile de calculer le volume d'un cube : vous devez multiplier la longueur, la largeur et la hauteur. Puisqu'un cube a une longueur égale à sa largeur et égale à sa hauteur, le volume du cube est égal à s 3 .

Cône est un corps dans l'espace euclidien obtenu en combinant tous les rayons émanant d'un point (le sommet du cône) et passant par une surface plane.

Frustum cela fonctionnera si vous dessinez une section dans le cône parallèle à la base.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Le volume de la sphère est une fois et demie inférieur au volume du cylindre qui l'entoure.

Prisme.

Le volume d'un prisme est égal au produit de l'aire de la base du prisme et de sa hauteur.

Secteur de balle.

Le volume d'un secteur sphérique est égal au volume d'une pyramide dont la base a la même aire que la partie de la surface sphérique découpée par le secteur, et la hauteur est égale au rayon de la boule.

Couche de balle- c'est la partie de la boule enserrée entre deux plans parallèles sécants.

Segment de balle- cette partie de la balle, coupée d'elle par un plan, est appelée segment sphérique ou sphérique

Formule de volume
Formule pour le volume d'un cube, d'une sphère, d'une pyramide, d'un parallélogramme, d'un cylindre, d'un tétraèdre, d'un cône, d'un prisme et des volumes d'autres formes géométriques.

Dans un cours de stéréométrie, l'une des principales questions est de savoir comment calculer le volume d'un corps géométrique particulier. Tout commence par un simple parallélépipède et se termine par une boule.

Dans la vie aussi, on est souvent confronté à des problèmes similaires. Par exemple, pour calculer le volume d'eau qui rentre dans un seau ou un baril.

Propriétés valables pour le volume de chaque corps

1. Cette valeur est toujours un nombre positif.
2. Si le corps peut être divisé en parties afin qu'il n'y ait pas d'intersections, alors le volume total s'avère être égal à la somme des volumes des parties.
3. Des corps égaux ont des volumes égaux.
4. Si un corps plus petit est entièrement contenu dans un corps plus grand, alors le volume du premier est inférieur à celui du second.

Dénominations générales pour tous les organismes

Chacun d’eux a des bords et des bases, et des hauteurs y sont construites. Par conséquent, ces éléments leur sont également désignés. C'est exactement ainsi qu'ils sont écrits dans les formules. Nous apprendrons plus loin comment calculer le volume de chaque corps et appliquerons de nouvelles compétences dans la pratique.

Certaines formules ont d'autres quantités. Leur désignation sera discutée lorsqu'un tel besoin se fera sentir.

Prisme, parallélépipède (droit et incliné) et cube

Ces corps sont combinés car ils se ressemblent beaucoup et les formules permettant de calculer le volume sont identiques :

V = S * h.

Seul S sera différent. Dans le cas d'un parallélépipède, il est calculé comme pour un rectangle ou un carré. Dans un prisme, la base peut être un triangle, un parallélogramme, un quadrilatère arbitraire ou un autre polygone.

Pour un cube, la formule est considérablement simplifiée car toutes ses dimensions sont égales :

V = un 3.

Pyramide, tétraèdre, pyramide tronquée

Pour le premier de ces corps, il existe une formule pour calculer le volume :

V = 1/3 * S * n.

Un tétraèdre est un cas particulier de pyramide triangulaire. Tous les bords sont égaux. Par conséquent, nous obtenons à nouveau une formule simplifiée :

V = (a 3 * √2) / 12, ou V = 1/ 3 S h

Une pyramide devient tronquée lorsque sa partie supérieure est coupée. Son volume est donc égal à la différence entre deux pyramides : celle qui serait intacte et le sommet enlevé. S'il est possible de connaître les deux bases d'une telle pyramide (S 1 - la plus grande et S 2 - la plus petite), alors il est pratique d'utiliser cette formule pour calculer le volume :

Cylindre, cône et cône tronqué

V = π * r 2 * h.

La situation avec un cône est un peu plus compliquée. Il existe une formule pour cela :

V = 1/3 π * r 2 * h. Elle est très similaire à celle indiquée pour le cylindre, seule la valeur est réduite de trois fois.

Tout comme pour une pyramide tronquée, la situation n’est pas facile avec un cône qui a deux bases. La formule de calcul du volume d'un cône tronqué ressemble à ceci :

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Ici r 1 est le rayon de la base inférieure, r 2 est le rayon de la base supérieure (plus petite).

Bille, segments de bille et secteur

Ce sont les formules les plus difficiles à retenir. Pour le volume de la balle cela ressemble à ceci :

V = 4/3 π *r 3 .

Dans les problèmes, la question se pose souvent de savoir comment calculer le volume d'un segment sphérique - une partie d'une sphère qui est pour ainsi dire coupée parallèlement au diamètre. Dans ce cas, la formule suivante viendra à la rescousse :

V = π h 2 * (r - h/3). Dans celui-ci, la hauteur du segment est prise comme h, c'est-à-dire la partie qui longe le rayon de la balle.

Le secteur est divisé en deux parties : un cône et un segment sphérique. Son volume est donc défini comme la somme de ces corps. La formule après transformations ressemble à ceci :

V = 2/3 πr 2 * h. Ici h est aussi la hauteur du segment.

Exemples de problèmes

À propos des volumes d'un cylindre, d'une sphère et d'un cône

Condition: le diamètre du cylindre (1er corps) est égal à sa hauteur, au diamètre de la boule (2ème corps) et à la hauteur du cône (3ème corps), vérifier la proportionnalité des volumes V 1 : V 2 : V 3 = 3 : 2 : 1

Solution. Vous devez d’abord écrire trois formules pour les volumes. Considérons alors que le rayon est la moitié du diamètre. C'est-à-dire que la hauteur sera égale à deux rayons : h = 2r. En effectuant une simple substitution, il s'avère que les formules de volumes ressembleront à ceci :

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. La formule du volume d’une balle ne change pas car la hauteur n’y apparaît pas.

Il reste maintenant à noter les rapports de volume et à effectuer la réduction 2π et r 3. Il s'avère que V 1 : V 2 : V 3 = 1 : 2/3 : 1/3. Ces nombres peuvent facilement s’écrire sous la forme 3:2:1.

À propos du volume de la balle

Condition: Il y a deux pastèques avec des rayons de 15 et 20 cm, lequel est plus rentable de les manger : la première à quatre personnes ou la seconde à huit ?

Solution. Pour répondre à cette question, vous devrez trouver le rapport des volumes des parties qui proviendront de chaque pastèque. Étant donné qu’il s’agit de sphères, nous devons écrire deux formules pour les volumes. Tenez ensuite compte du fait qu'à partir du premier, chacun ne recevra qu'un quart et à partir du second, un huitième.

Reste à noter le rapport des volumes des pièces. Il ressemblera à ceci:

(V 1 : 4) / (V 2 : 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Après la transformation, il ne reste que la fraction : (2 r 1 3) / r 2 3. Après substitution des valeurs et calcul, la fraction 6750/8000 est obtenue. Il en ressort clairement que la portion de la première pastèque sera inférieure à celle de la seconde.

Répondre. Il est plus rentable de manger un huitième de pastèque d'un rayon de 20 cm.

À propos des volumes de la pyramide et du cube

Condition: il y a une pyramide en argile avec une base rectangulaire de 8X9 cm et une hauteur de 9 cm, un cube a été réalisé à partir du même morceau d'argile, quel est son bord ?

Solution. Si nous désignons les côtés du rectangle par les lettres b et c, alors l'aire de la base de la pyramide est calculée comme leur produit. Alors la formule de son volume est :

La formule du volume d'un cube est écrite dans l'article ci-dessus. Ces deux valeurs sont égales : V 1 = V 2 . Il ne reste plus qu'à égaliser les membres droits des formules et à effectuer les calculs nécessaires. Il s'avère que le bord du cube sera égal à 6 cm.

À propos du volume d'un parallélépipède

Condition: il faut réaliser une boîte d'une capacité de 0,96 m3, sa largeur et sa longueur sont connues - 1,2 et 0,8 mètres, quelle doit être sa hauteur ?

Solution. Puisque la base d’un parallélépipède est un rectangle, son aire est définie comme le produit de la longueur (a) et de la largeur (b). Par conséquent, la formule du volume ressemble à ceci :

À partir de là, il est facile de déterminer la hauteur en divisant le volume par la surface. Il s'avère que la hauteur devrait être de 1 m.

Répondre. La hauteur de la boîte est d'un mètre.

Comment calculer le volume de divers corps géométriques ?
Dans un cours de stéréométrie, l'une des tâches principales est de savoir comment calculer le volume d'un corps géométrique particulier. Tout commence par un simple parallélépipède et se termine par une boule.