Parfois, dans la vie, il y a des situations où vous devez fouiller dans votre mémoire à la recherche de connaissances scolaires oubliées depuis longtemps. Par exemple, vous devez déterminer la superficie d'un terrain de forme triangulaire, ou le moment est venu de procéder à une autre rénovation dans un appartement ou une maison privée, et vous devez calculer la quantité de matériau nécessaire pour une surface avec une forme triangulaire. Il fut un temps où vous pouviez résoudre un tel problème en quelques minutes, mais maintenant vous essayez désespérément de vous rappeler comment déterminer l'aire d'un triangle ?

Ne vous inquiétez pas ! Après tout, il est tout à fait normal que le cerveau d’une personne décide de transférer des connaissances longtemps inutilisées quelque part vers un coin éloigné, d’où il n’est parfois pas si facile de les extraire. Pour que vous n'ayez pas à chercher des connaissances scolaires oubliées pour résoudre un tel problème, cet article contient diverses méthodes qui facilitent la recherche de l'aire requise d'un triangle.

Il est bien connu qu’un triangle est un type de polygone limité au nombre minimum de côtés possible. En principe, tout polygone peut être divisé en plusieurs triangles en reliant ses sommets par des segments qui ne coupent pas ses côtés. Par conséquent, connaissant le triangle, vous pouvez calculer l'aire de presque n'importe quelle figure.

Parmi tous les triangles possibles qui apparaissent dans la vie, on peut distinguer les types particuliers suivants : et rectangulaires.

La façon la plus simple de calculer l'aire d'un triangle est lorsqu'un de ses angles est droit, c'est-à-dire dans le cas d'un triangle rectangle. Il est facile de voir qu’il s’agit d’un demi-rectangle. Son aire est donc égale à la moitié du produit des côtés qui forment un angle droit entre eux.

Si l'on connaît la hauteur d'un triangle, abaissé d'un de ses sommets jusqu'au côté opposé, et la longueur de ce côté, qui s'appelle la base, alors l'aire est calculée comme la moitié du produit de la hauteur et de la base. Ceci s'écrit à l'aide de la formule suivante :

S = 1/2*b*h, dans lequel

S est l'aire requise du triangle ;

b, h - respectivement, la hauteur et la base du triangle.

Il est si facile de calculer l'aire d'un triangle isocèle car la hauteur divisera le côté opposé en deux et peut être facilement mesurée. Si la surface est déterminée, il est alors pratique de prendre comme hauteur la longueur de l'un des côtés formant un angle droit.

Tout cela est bien sûr bien, mais comment déterminer si l'un des angles d'un triangle est droit ou non ? Si la taille de notre figure est petite, nous pouvons alors utiliser un angle de construction, un triangle de dessin, une carte postale ou un autre objet de forme rectangulaire.

Mais que se passe-t-il si nous avons un terrain triangulaire ? Dans ce cas, procédez comme suit : comptez à partir du haut de l'angle droit supposé d'un côté une distance multiple de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), et de l'autre côté mesurez une distance multiple de 4 dans le même proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Vous devez maintenant mesurer la distance entre les extrémités de ces deux segments. Si le résultat est un multiple de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), alors on peut dire que l'angle est droit.

Si la longueur de chacun des trois côtés de notre figure est connue, alors l'aire du triangle peut être déterminée à l'aide de la formule de Heron. Pour qu'il ait une forme plus simple, une nouvelle valeur est utilisée, appelée demi-périmètre. C'est la somme de tous les côtés de notre triangle, divisés en deux. Une fois le demi-périmètre calculé, vous pouvez commencer à déterminer la superficie à l'aide de la formule :

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), où

sqrt - racine carrée ;

p - valeur du demi-périmètre (p = (a+b+c)/2) ;

a, b, c - bords (côtés) du triangle.

Mais que se passe-t-il si le triangle a une forme irrégulière ? Il y a deux manières possibles ici. La première consiste à essayer de diviser une telle figure en deux triangles rectangles, dont la somme des aires est calculée séparément, puis additionnée. Ou, si l'angle entre deux côtés et la taille de ces côtés sont connus, alors appliquez la formule :

S = 0,5 * ab * sinC, où

a,b - côtés du triangle ;

c est la taille de l'angle entre ces côtés.

Ce dernier cas est rare dans la pratique, mais néanmoins, tout est possible dans la vie, la formule ci-dessus ne sera donc pas superflue. Bonne chance avec vos calculs!

Le triangle est une figure familière à tous. Et ce malgré la riche variété de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, isocèle, obtus. Chacun d’eux est différent d’une certaine manière. Mais pour tout le monde, vous devez connaître l'aire d'un triangle.

Formules communes à tous les triangles qui utilisent les longueurs de côtés ou les hauteurs

Les désignations qui y sont adoptées : côtés - a, b, c ; hauteurs sur les côtés correspondants sur a, n in, n with.

1. L'aire d'un triangle est calculée comme le produit de ½, d'un côté et de la hauteur qui lui est soustraite. S = ½ * une * n une. Les formules des deux autres côtés doivent être écrites de la même manière.

2. La formule de Héron, dans laquelle apparaît le demi-périmètre (il est généralement désigné par la petite lettre p, contrairement au périmètre complet). Le demi-périmètre doit être calculé comme suit : additionnez tous les côtés et divisez-les par 2. La formule du demi-périmètre est : p = (a+b+c) / 2. Ensuite l'égalité pour l'aire de le chiffre ressemble à ceci : S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si vous ne souhaitez pas utiliser de demi-périmètre, alors une formule qui contient uniquement les longueurs des côtés sera utile : S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Il est légèrement plus long que le précédent, mais cela vous aidera si vous avez oublié comment trouver le demi-périmètre.

Formules générales impliquant les angles d'un triangle

Notations nécessaires pour lire les formules : α, β, γ - angles. Ils se trouvent respectivement sur les côtés opposés a, b et c.

1. Selon lui, la moitié du produit de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare est égal à l'aire du triangle. Soit : S = ½ a * b * sin γ. Les formules pour les deux autres cas doivent être écrites de la même manière.

2. L'aire d'un triangle peut être calculée à partir d'un côté et de trois angles connus. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Il existe également une formule avec un côté connu et deux angles adjacents. Cela ressemble à ceci : S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Les deux dernières formules ne sont pas les plus simples. Il est assez difficile de s'en souvenir.

Formules générales pour la situation où les rayons des cercles inscrits ou circonscrits sont connus

Désignations supplémentaires : r, R - rayons. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour celui décrit.

1. La première formule par laquelle l'aire d'un triangle est calculée est liée au demi-périmètre. S = r * r. Une autre façon de l'écrire est : S = ½ r * (a + b + c).

2. Dans le second cas, il faudra multiplier tous les côtés du triangle et les diviser par quatre fois le rayon du cercle circonscrit. En expression littérale, cela ressemble à ceci : S = (a * b * c) / (4R).

3. La troisième situation permet de se passer de connaître les côtés, mais vous aurez besoin des valeurs des trois angles. S = 2 R 2 * péché α * péché β * péché γ.

Cas particulier : triangle rectangle

C’est la situation la plus simple, puisque seule la longueur des deux jambes est requise. Ils sont désignés par les lettres latines a et b. L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle qui lui est ajouté.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci : S = ½ a * b. C'est le plus simple à retenir. Parce que cela ressemble à la formule de l'aire d'un rectangle, seule une fraction apparaît, indiquant la moitié.

Cas particulier : triangle isocèle

Comme il a deux côtés égaux, certaines formules pour son aire semblent quelque peu simplifiées. Par exemple, la formule de Heron, qui calcule l'aire d'un triangle isocèle, prend la forme suivante :

S = ½ po √((a + ½ po)*(a - ½ po)).

Si vous le transformez, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Heron pour un triangle isocèle s’écrit comme suit :

S = ¼ po √(4 * a 2 - b 2).

La formule de l'aire semble un peu plus simple que pour un triangle arbitraire si les côtés et l'angle qui les sépare sont connus. S = ½ a 2 * sin β.

Cas particulier : triangle équilatéral

Habituellement, dans les problèmes, l'aspect est connu ou peut être découvert d'une manière ou d'une autre. Alors la formule pour trouver l'aire d'un tel triangle est la suivante :

S = (une 2 √3) / 4.

Problèmes pour trouver la zone si le triangle est représenté sur du papier à carreaux

La situation la plus simple est lorsqu'un triangle rectangle est dessiné de manière à ce que ses jambes coïncident avec les lignes du papier. Ensuite, il vous suffit de compter le nombre de cellules qui rentrent dans les jambes. Multipliez-les ensuite et divisez par deux.

Lorsque le triangle est aigu ou obtus, il doit être dessiné en rectangle. Ensuite, la figure résultante aura 3 triangles. L’un est celui donné dans le problème. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Les superficies des deux derniers doivent être déterminées à l’aide de la méthode décrite ci-dessus. Calculez ensuite l'aire du rectangle et soustrayez-en celles calculées pour les auxiliaires. L'aire du triangle est déterminée.

La situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes du papier s'avère beaucoup plus compliquée. Ensuite, il faut l'inscrire dans un rectangle de manière à ce que les sommets de la figure originale se trouvent sur ses côtés. Dans ce cas, il y aura trois triangles rectangles auxiliaires.

Exemple de problème utilisant la formule de Heron

Condition. Certains triangles ont des côtés connus. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm. Vous devez connaître son aire.

Vous pouvez maintenant calculer l'aire du triangle en utilisant la formule ci-dessus. Sous la racine carrée se trouve le produit de quatre nombres : 7, 4, 2 et 1. Autrement dit, l'aire est √(4 * 14) = 2 √(14).

Si une plus grande précision n'est pas requise, vous pouvez alors prendre la racine carrée de 14. Elle est égale à 3,74. La zone sera alors 7,48.

Répondre. S = 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Exemple de problème avec un triangle rectangle

Condition. Une jambe d'un triangle rectangle est 31 cm plus grande que la seconde. Vous devez connaître leurs longueurs si l'aire du triangle est de 180 cm 2.
Solution. Nous devrons résoudre un système de deux équations. Le premier est lié à la superficie. La seconde concerne le rapport des jambes, qui est donné dans le problème.
180 = ½ a * b ;

une = b + 31.
Premièrement, la valeur de « a » doit être remplacée dans la première équation. Il s'avère : 180 = ½ (po + 31) * po. Il n’y a qu’une seule inconnue, donc facile à résoudre. Après avoir ouvert les parenthèses, on obtient l'équation quadratique : 2 + 31 360 = 0. Cela donne deux valeurs pour "in" : 9 et - 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme réponse, puisque la longueur du côté d’un triangle ne peut pas être une valeur négative.

Il reste à calculer la deuxième étape : ajoutez 31 au nombre obtenu, vous obtenez 40. Ce sont les quantités recherchées dans le problème.

Répondre. Les pattes du triangle mesurent 9 et 40 cm.

Problème de trouver un côté à travers l'aire, le côté et l'angle d'un triangle

Condition. L'aire d'un certain triangle est de 60 cm 2. Il est nécessaire de calculer un de ses côtés si le deuxième côté mesure 15 cm et que l'angle entre eux est de 30º.

Solution. Sur la base de la notation acceptée, le côté souhaité est « a », le côté connu est « b », l'angle donné est « γ ». Ensuite, la formule de l’aire peut être réécrite comme suit :

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ici, le sinus de 30 degrés est de 0,5.

Après transformations, « a » s'avère être égal à 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Cela fait 16.

Répondre. Le côté requis est de 16 cm.

Problème concernant un carré inscrit dans un triangle rectangle

Condition. Le sommet d'un carré de 24 cm de côté coïncide avec l'angle droit du triangle. Les deux autres reposent sur les côtés. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur d'une des jambes est de 42 cm. Quelle est l'aire du triangle rectangle ?

Solution. Considérons deux triangles rectangles. Le premier est celui spécifié dans la tâche. La seconde est basée sur la branche connue du triangle d’origine. Ils sont similaires car ils ont un angle commun et sont formés de lignes parallèles.

Alors les rapports de leurs jambes sont égaux. Les jambes du plus petit triangle sont égales à 24 cm (côté du carré) et 18 cm (étant donné la jambe 42 cm, soustrayez le côté du carré 24 cm). Les pattes correspondantes d'un grand triangle mesurent 42 cm et x cm. C'est ce « x » qui est nécessaire pour calculer l'aire du triangle.

18/42 = 24/x, c'est-à-dire x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

L'aire est alors égale au produit de 56 et 42 divisé par deux, soit 1176 cm 2.

Répondre. La surface requise est de 1176 cm 2.

Aire d'une figure géométrique- une caractéristique numérique d'une figure géométrique montrant la taille de cette figure (partie de la surface limitée par le contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient.

Formules d'aire triangulaire

Formule pour l'aire d'un triangle par côté et par hauteur
Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle et de la longueur de l'altitude tracée de ce côté
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle inscrit
Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle et du rayon du cercle inscrit.

Formules de surface carrée

Formule pour l'aire d'un carré par longueur de côté
Surface carréeégal au carré de la longueur de son côté.
Formule pour l'aire d'un carré le long de la diagonale
Surface carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
S= 1 2
2

Formule de zone rectangulaire

Aire d'un rectangle

Formules d'aire de parallélogramme

Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur la longueur et la hauteur des côtés
Aire d'un parallélogramme
Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur deux côtés et l'angle entre eux
Aire d'un parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare.
a b péché α

Formules pour l'aire d'un losange

Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et la hauteur des côtés
Aire d'un losange est égal au produit de la longueur de son côté et de la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et l'angle des côtés
Aire d'un losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle entre les côtés du losange.
Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur de ses diagonales
Aire d'un losangeégal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.

Formules de zone trapézoïdale

Formule du héron pour le trapèze
Où S est l'aire du trapèze,
- les longueurs des bases du trapèze,
- les longueurs des côtés du trapèze,

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. En outre, une figure distincte montre la correspondance entre les symboles alphabétiques dans les formules et les symboles graphiques dans le dessin.

Note . Si le triangle a des propriétés particulières (isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

"Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.

L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L'exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Malgré le fait qu'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée, et l'expression du radicand est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm. L'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de côté 3 cm.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Ceux qui le souhaitent peuvent immédiatement consulter la solution.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon les règles générales des mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Comme vous vous en souvenez peut-être dans votre programme scolaire de géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments reliés par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Un triangle forme trois angles, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Un triangle peut aussi être appelé un polygone à trois angles, la réponse sera également correcte. Les triangles sont divisés selon le nombre de côtés égaux et la taille des angles sur les figures. Ainsi, les triangles se distinguent respectivement en isocèles, équilatéraux et scalènes, ainsi que rectangulaires, aigus et obtus.

Il existe de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Choisissez comment trouver l'aire d'un triangle, c'est-à-dire La formule à utiliser dépend de vous. Mais il convient de noter seulement certaines des notations utilisées dans de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Alors souviens-toi:

S est l'aire du triangle,

a, b, c sont les côtés du triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle circonscrit,

p est le demi-périmètre.

Voici les notations de base qui pourront vous être utiles si vous avez complètement oublié votre cours de géométrie. Vous trouverez ci-dessous les options les plus compréhensibles et les plus simples pour calculer la zone inconnue et mystérieuse d'un triangle. Ce n'est pas difficile et vous sera utile aussi bien pour les besoins de votre ménage que pour aider vos enfants. Rappelons comment calculer l'aire d'un triangle le plus simplement possible :

Dans notre cas, l'aire du triangle est : S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². N'oubliez pas que la superficie est mesurée en centimètres carrés (cm²).

Triangle rectangle et son aire.

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est égal à 90 degrés (appelé donc droit). Un angle droit est formé de deux droites perpendiculaires (dans le cas d'un triangle, deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangle, il ne peut y avoir qu'un seul angle droit, car... la somme de tous les angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles devraient diviser les 90 degrés restants, par exemple 70 et 20, 45 et 45, etc. Alors, rappelez-vous l'essentiel, il ne reste plus qu'à découvrir comment trouver l'aire d'un triangle rectangle. Imaginons que nous ayons un tel triangle rectangle devant nous et que nous devions trouver son aire S.

1. La façon la plus simple de déterminer l'aire d'un triangle rectangle est calculée à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, l'aire du triangle rectangle est : S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

En principe, il n'est plus nécessaire de vérifier l'aire du triangle par d'autres moyens, car Seul celui-ci sera utile et aidera au quotidien. Mais il existe également des options pour mesurer l'aire d'un triangle par des angles aigus.

2. Pour les autres méthodes de calcul, vous devez disposer d'un tableau de cosinus, sinus et tangentes. Jugez par vous-même, voici quelques options pour calculer l'aire d'un triangle rectangle qui peuvent encore être utilisées :

Nous avons décidé d'utiliser la première formule et avec quelques taches mineures (nous l'avons dessinée dans un cahier et utilisé une vieille règle et un rapporteur), mais nous avons obtenu le calcul correct :

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Nous avons obtenu les résultats suivants : 3,6=3,7, mais compte tenu du décalage des cellules, on peut pardonner cette nuance.

Triangle isocèle et son aire.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer la formule d'un triangle isocèle, le moyen le plus simple est d'utiliser la formule principale et ce qui est considéré comme la formule classique de l'aire d'un triangle.

Mais d’abord, avant de trouver l’aire d’un triangle isocèle, découvrons de quel type de figure il s’agit. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont la même longueur. Ces deux côtés sont appelés latéraux, le troisième côté est appelé base. Ne confondez pas un triangle isocèle avec un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle régulier dont les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n’y a pas de tendances particulières dans les angles, ou plutôt dans leur taille. Cependant, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, mais différents de l’angle entre côtés égaux. Ainsi, vous connaissez déjà la première et principale formule ; il reste à découvrir quelles autres formules sont connues pour déterminer l'aire d'un triangle isocèle :