Il peut être difficile de compter directement les cas favorisant un événement donné. Par conséquent, pour déterminer la probabilité d’un événement, il peut être avantageux d’imaginer cet événement comme une combinaison d’autres événements plus simples. Dans ce cas, cependant, vous devez connaître les règles qui régissent les probabilités des combinaisons d’événements. C'est à ces règles que se rapportent les théorèmes mentionnés dans le titre du paragraphe.

Le premier concerne le calcul de la probabilité qu’au moins un événement parmi plusieurs se produise.

Théorème d'addition.

Soit A et B deux événements incompatibles. Alors la probabilité qu’au moins un de ces deux événements se produise est égale à la somme de leurs probabilités :

Preuve. Soit un groupe complet d'événements incompatibles par paires. Si donc parmi ces événements élémentaires il y a exactement des événements favorables à A et exactement des événements favorables à B. Puisque les événements A et B sont incompatibles, alors aucun événement ne peut favoriser ces deux événements. Un événement (A ou B), consistant en la survenance d'au moins un de ces deux événements, est évidemment favorisé à la fois par chacun des événements favorisant A et par chacun des événements

Favorable B. Ainsi, le nombre total d'événements favorables à l'événement (A ou B) est égal à la somme qui suit :

Q.E.D.

Il est facile de voir que le théorème d’addition formulé ci-dessus pour le cas de deux événements peut facilement être transféré au cas d’un nombre fini quelconque d’entre eux. Précisément s’il y a des événements incompatibles par paires, alors

Par exemple, pour le cas de trois événements, on peut écrire

Une conséquence importante du théorème d'addition est l'énoncé : si les événements sont incompatibles par paires et uniquement possibles, alors

En effet, l'événement soit ou soit est par hypothèse certain et sa probabilité, comme indiqué au § 1, est égale à un. En particulier, s’ils désignent deux événements mutuellement opposés, alors

Illustrons le théorème d'addition avec des exemples.

Exemple 1. Lors du tir sur une cible, la probabilité de réussir un excellent tir est de 0,3 et la probabilité de réaliser un « bon » tir est de 0,4. Quelle est la probabilité d’obtenir une note au moins « bonne » pour un tir ?

Solution. Si l’événement A signifie recevoir une note « excellent » et que l’événement B signifie recevoir une note « bonne », alors

Exemple 2. Dans une urne contenant des boules blanches, rouges et noires, il y a des boules blanches et des boules rouges. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui n’est pas noire ?

Solution. Si l’événement A consiste en l’apparition d’une boule blanche et que l’événement B consiste en une boule rouge, alors l’apparition de la boule n’est pas noire.

signifie l’apparition d’une boule blanche ou rouge. Puisque par définition de probabilité

alors, d'après le théorème d'addition, la probabilité qu'une boule non noire apparaisse est égale ;

Ce problème peut être résolu de cette façon. Soit l'événement C consistant en l'apparition d'une boule noire. Le nombre de boules noires est égal à P (C) L'apparition d'une boule non noire est l'événement opposé de C, donc, sur la base du corollaire ci-dessus du théorème d'addition, nous avons :

comme avant.

Exemple 3. Dans une loterie matérielle en espèces, pour une série de 1000 billets, il y a 120 gains en espèces et 80 gains matériels. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose avec un seul billet de loterie ?

Solution. Si l'on désigne par A un événement constitué d'un gain monétaire et par B un gain matériel, alors de la définition de la probabilité il résulte

L'événement qui nous intéresse est représenté par (A ou B), il découle donc du théorème d'addition

Ainsi, la probabilité de gagner est de 0,2.

Avant de passer au théorème suivant, il est nécessaire de se familiariser avec un nouveau concept important : le concept de probabilité conditionnelle. Pour cela, nous commencerons par considérer l’exemple suivant.

Supposons qu'il y ait 400 ampoules dans un entrepôt, fabriquées dans deux usines différentes, et que la première produit 75 % de toutes les ampoules et la seconde 25 %. Supposons que parmi les ampoules fabriquées par la première usine, 83 % satisfont aux conditions d'une certaine norme, et pour les produits de la deuxième usine, ce pourcentage est de 63. Déterminons la probabilité qu'une ampoule prise au hasard dans la l'entrepôt satisfera aux conditions de la norme.

Notez que le nombre total d'ampoules standards disponibles comprend les ampoules fabriquées par le premier

usine, et 63 ampoules fabriquées par la deuxième usine, soit égale à 312. Puisque le choix de n'importe quelle ampoule doit être considéré comme également possible, nous avons 312 cas favorables sur 400, donc

où l'événement B indique que l'ampoule que nous avons choisie est standard.

Lors de ce calcul, aucune hypothèse n’a été faite sur le produit à quelle plante appartenait l’ampoule que nous avons sélectionnée. Si nous faisons des hypothèses de ce type, il est alors évident que la probabilité qui nous intéresse peut changer. Ainsi, par exemple, si l'on sait que l'ampoule sélectionnée a été fabriquée dans la première usine (événement A), alors la probabilité qu'elle soit standard ne sera plus de 0,78, mais de 0,83.

Ce type de probabilité, c'est-à-dire la probabilité de l'événement B étant donné que l'événement A se produit, est appelé probabilité conditionnelle de l'événement B étant donné l'occurrence de l'événement A et est noté

Si dans l’exemple précédent nous désignons par A l’événement selon lequel l’ampoule sélectionnée est fabriquée dans la première usine, alors nous pouvons écrire

Nous pouvons maintenant formuler un théorème important lié au calcul de la probabilité de combinaison d’événements.

Théorème des multiplications.

La probabilité de combiner les événements A et B est égale au produit de la probabilité de l'un des événements et de la probabilité conditionnelle de l'autre, en supposant que le premier se soit produit :

Dans ce cas, la combinaison des événements A et B signifie l'occurrence de chacun d'eux, c'est-à-dire l'occurrence à la fois de l'événement A et de l'événement B.

Preuve. Considérons un groupe complet d'événements incompatibles par paires également possibles, dont chacun peut être favorable ou défavorable à la fois à l'événement A et à l'événement B.

Divisons tous ces événements en quatre groupes différents comme suit. Le premier groupe comprend les événements qui favorisent à la fois l'événement A et l'événement B ; Les deuxième et troisième groupes comprennent les événements qui favorisent l'un des deux événements qui nous intéressent et ne favorisent pas l'autre, par exemple, le deuxième groupe comprend ceux qui favorisent A mais ne favorisent pas B, et le troisième groupe comprend ceux qui privilégier B mais ne favorise pas A ; enfin à

Le quatrième groupe comprend les événements qui ne favorisent ni A ni B.

Puisque la numérotation des événements n'a pas d'importance, on peut supposer que cette répartition en quatre groupes ressemble à ceci :

Groupe I :

Groupe II :

Groupe III :

Groupe IV :

Ainsi, parmi les événements également possibles et incompatibles deux à deux, il existe des événements qui favorisent à la fois l'événement A et l'événement B, des événements qui favorisent l'événement A, mais ne favorisent pas l'événement A, des événements qui favorisent B, mais ne favorisent pas A, et enfin, des événements qui ne favorisent ni A ni B.

Notons d'ailleurs qu'aucun des quatre groupes que nous avons considérés (et même plusieurs) ne peut contenir un seul événement. Dans ce cas, le nombre correspondant indiquant le nombre d'événements dans un tel groupe sera égal à zéro.

Notre répartition en groupes vous permet d'écrire immédiatement

car la combinaison des événements A et B est favorisée par les événements du premier groupe et seulement par eux. Le nombre total d'événements en faveur de A est égal au nombre total d'événements dans les premier et deuxième groupes, et ceux en faveur de B est égal au nombre total d'événements dans les premier et troisième groupes.

Calculons maintenant la probabilité, c'est-à-dire la probabilité de l'événement B, à condition que l'événement A ait eu lieu. Or les événements inclus dans les troisième et quatrième groupes disparaissent, puisque leur occurrence contredirait celle de l'événement A, et le nombre de cas possibles n'est plus égal à . Parmi ceux-ci, l’événement B est favorisé uniquement par les événements du premier groupe, on obtient donc :

Pour prouver le théorème, il suffit maintenant d’écrire l’identité évidente :

et remplacez les trois fractions par les probabilités calculées ci-dessus. On arrive à l'égalité énoncée dans le théorème :

Il est clair que l’identité que nous avons écrite ci-dessus n’a de sens que si elle est toujours vraie, à moins que A ne soit un événement impossible.

Puisque les événements A et B sont égaux, alors, en les échangeant, nous obtenons une autre forme du théorème de multiplication :

Cependant, cette égalité peut être obtenue de la même manière que la précédente, si l'on remarque qu'en utilisant l'identité

En comparant les membres droits des deux expressions de la probabilité P(A et B), nous obtenons une égalité utile :

Considérons maintenant des exemples illustrant le théorème de multiplication.

Exemple 4. Dans les produits d'une certaine entreprise, 96 % des produits sont considérés comme appropriés (événement A). Sur cent produits appropriés, 75 produits appartiennent au premier niveau (événement B). Déterminez la probabilité qu'un produit sélectionné au hasard convienne et appartienne à la première année.

Solution. La probabilité recherchée est la probabilité de combiner les événements A et B. Par condition on a : . Le théorème de multiplication donne donc

Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup (événement A) est de 0,2. Quelle est la probabilité d'atteindre la cible si 2 % des fusibles tombent en panne (c'est-à-dire que dans 2 % des cas le tir ne réussit pas)

Solution. Soit l'événement B qu'un tir se produira, et B signifie l'événement opposé. Puis par condition et selon le corollaire du théorème d'addition. De plus, selon la condition.

Toucher la cible signifie la combinaison des événements A et B (le tir tirera et touchera), donc, selon le théorème de multiplication

Un cas particulier important du théorème de multiplication peut être obtenu en utilisant le concept d'indépendance des événements.

Deux événements sont dits indépendants si la probabilité de l’un d’eux ne change pas selon que l’autre se produit ou non.

Des exemples d'événements indépendants sont l'apparition d'un nombre différent de points lors du nouveau lancement d'un dé ou de l'un ou l'autre côté des pièces lors du nouveau lancement d'une pièce, car il est évident que la probabilité d'obtenir un blason au deuxième lancer est égale que les armoiries soient apparues ou non le premier.

De même, la probabilité de tirer une seconde fois une boule blanche d'une urne contenant des boules blanches et noires si la première boule tirée est renvoyée précédemment ne dépend pas du fait que la boule ait été tirée la première fois, blanche ou noire. Par conséquent, les résultats du premier et du deuxième retrait sont indépendants l’un de l’autre. Au contraire, si la boule retirée en premier ne revient pas dans l'urne, alors le résultat du deuxième retrait dépend du premier, car la composition des boules dans l'urne après le premier retrait change en fonction de son résultat. Nous avons ici un exemple d'événements dépendants.

En utilisant la notation adoptée pour les probabilités conditionnelles, on peut écrire la condition d'indépendance des événements A et B sous la forme

En utilisant ces égalités, nous pouvons réduire le théorème de multiplication pour les événements indépendants à la forme suivante.

Si les événements A et B sont indépendants, alors la probabilité de leur combinaison est égale au produit des probabilités de ces événements :

En effet, il suffit de mettre l'expression initiale du théorème de multiplication, qui découle de l'indépendance des événements, et on obtiendra l'égalité recherchée.

Considérons maintenant plusieurs événements : nous les appellerons collectivement indépendants si la probabilité d'occurrence de l'un d'entre eux ne dépend pas du fait que d'autres événements considérés se soient produits ou non.

Dans le cas d'événements collectivement indépendants, le théorème de multiplication peut être étendu à n'importe quel nombre fini d'entre eux, il peut donc être formulé comme suit :

La probabilité de combiner des événements indépendants dans l'agrégat est égale au produit des probabilités de ces événements :

Exemple 6. Un travailleur entretient trois machines automatiques, dont chacune doit être approchée pour corriger un dysfonctionnement si la machine s'arrête. La probabilité que la première machine ne s’arrête pas dans l’heure est de 0,9. La même probabilité pour la deuxième machine est de 0,8 et pour la troisième de 0,7. Déterminez la probabilité que, dans une heure, le travailleur n'ait pas besoin de s'approcher d'une des machines qu'il entretient.

Exemple 7. Probabilité d'abattre un avion d'un coup de fusil Quelle est la probabilité de détruire un avion ennemi si 250 fusils sont tirés en même temps ?

Solution. La probabilité que l'avion ne soit pas abattu en un seul tir est égale au théorème d'addition. On peut alors calculer, à l'aide du théorème de multiplication, la probabilité que l'avion ne soit pas abattu en 250 tirs, comme la probabilité de combiner. événements. Il est égal à Après cela, nous pouvons à nouveau utiliser le théorème d'addition et trouver la probabilité que l'avion soit abattu comme probabilité de l'événement opposé

De là, on peut voir que, bien que la probabilité d'abattre un avion avec un seul coup de fusil soit négligeable, néanmoins, lors du tir avec 250 fusils, la probabilité d'abattre un avion est déjà très perceptible. Il augmente considérablement si le nombre de fusils augmente. Ainsi, lors du tir avec 500 fusils, la probabilité d'abattre un avion, comme il est facile à calculer, est égale à celle lors du tir avec 1000 fusils - même.

Le théorème de multiplication démontré ci-dessus nous permet d'élargir quelque peu le théorème d'addition, en l'étendant au cas d'événements compatibles. Il est clair que si les événements A et B sont compatibles, alors la probabilité d'occurrence d'au moins l'un d'entre eux n'est pas égale à la somme de leurs probabilités. Par exemple, si l'événement A signifie un nombre pair

le nombre de points au lancer d'un dé, et l'événement B est la perte d'un nombre de points multiple de trois, alors l'événement (A ou B) est favorisé par la perte de 2, 3, 4 et 6 points, c'est

D’un autre côté, c’est vrai. Donc dans ce cas

Il en ressort clairement que dans le cas d'événements compatibles, le théorème de l'addition des probabilités doit être modifié. Comme nous allons le voir maintenant, il peut être formulé de telle manière qu'il soit valable à la fois pour des événements compatibles et incompatibles, de sorte que le théorème d'addition considéré précédemment s'avère être un cas particulier du nouveau.

Des événements qui ne sont pas favorables à A.

Tous les événements élémentaires qui favorisent un événement (A ou B) doivent favoriser soit uniquement A, soit uniquement B, soit A et B à la fois. Ainsi, le nombre total de ces événements est égal à

et la probabilité

Q.E.D.

En appliquant la formule (9) à l'exemple ci-dessus du nombre de points apparaissant lors du lancement d'un dé, on obtient :

ce qui coïncide avec le résultat du calcul direct.

Évidemment, la formule (1) est un cas particulier de (9). En effet, si les événements A et B sont incompatibles, alors la probabilité de combinaison

Par exemple. Deux fusibles sont connectés en série au circuit électrique. La probabilité de défaillance du premier fusible est de 0,6 et celle du second de 0,2. Déterminons la probabilité de panne de courant suite à la panne d'au moins un de ces fusibles.

Solution. Puisque les événements A et B, consistant en la défaillance du premier et du deuxième des fusibles, sont compatibles, la probabilité requise sera déterminée par la formule (9) :

Des exercices

L'étude de la théorie des probabilités commence par la résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités. Il convient de mentionner d'emblée qu'un étudiant peut rencontrer un problème lors de la maîtrise de ce domaine de connaissances : si les processus physiques ou chimiques peuvent être représentés visuellement et compris empiriquement, alors le niveau d'abstraction mathématique est très élevé, et la compréhension ici ne vient que avec de l'expérience.

Cependant, le jeu en vaut la chandelle, car les formules - aussi bien celles évoquées dans cet article que les plus complexes - sont utilisées partout aujourd'hui et pourraient bien être utiles au travail.

Origine

Curieusement, le moteur du développement de cette branche des mathématiques était... le jeu. En effet, les dés, le tirage au sort, le poker, la roulette sont des exemples typiques qui utilisent l'addition et la multiplication de probabilités. Cela peut être clairement constaté à l’aide des exemples de problèmes contenus dans n’importe quel manuel. Les gens souhaitaient apprendre à augmenter leurs chances de gagner, et il faut dire que certains y sont parvenus.

Par exemple, déjà au 21e siècle, une personne, dont nous ne divulguerons pas le nom, a utilisé ces connaissances accumulées au fil des siècles pour littéralement « nettoyer » le casino, gagnant plusieurs dizaines de millions de dollars à la roulette.

Cependant, malgré l'intérêt croissant pour le sujet, ce n'est qu'au XXe siècle qu'un cadre théorique a été développé qui a rendu le « théorème » complet. Aujourd'hui, dans presque toutes les sciences, on peut trouver des calculs utilisant des méthodes probabilistes.

Applicabilité

Un point important lors de l'utilisation de formules d'addition et de multiplication de probabilités et de probabilités conditionnelles est la satisfiabilité du théorème central limite. Autrement, même si l’élève ne s’en rend pas compte, tous les calculs, aussi plausibles soient-ils, seront erronés.

Oui, un étudiant très motivé est tenté d’utiliser de nouvelles connaissances à chaque occasion. Mais dans ce cas, il faut ralentir un peu et définir strictement le champ d'application.

La théorie des probabilités traite d'événements aléatoires qui, en termes empiriques, représentent les résultats d'expériences : nous pouvons lancer un dé à six faces, tirer une carte d'un jeu, prédire le nombre de pièces défectueuses dans un lot. Cependant, dans certaines questions, il est strictement interdit d'utiliser des formules de cette section des mathématiques. Nous aborderons les caractéristiques de la prise en compte des probabilités d'un événement, les théorèmes d'addition et de multiplication des événements à la fin de l'article, mais passons pour l'instant aux exemples.

Concepts de base

Un événement aléatoire fait référence à un processus ou à un résultat qui peut ou non apparaître à la suite d'une expérience. Par exemple, nous lançons un sandwich – il peut atterrir côté beurre vers le haut ou côté beurre vers le bas. L’une ou l’autre des deux issues sera aléatoire et nous ne savons pas à l’avance laquelle d’entre elles aura lieu.

Lors de l’étude de l’addition et de la multiplication des probabilités, nous aurons besoin de deux autres concepts.

De tels événements sont dits conjoints, dont la survenance de l'un n'exclut pas la survenance de l'autre. Disons que deux personnes tirent sur une cible en même temps. Si l'un d'eux réussit, cela n'affectera en rien la capacité du second à faire mouche ou à rater.

Les événements incompatibles seront les événements dont la survenance simultanée est impossible. Par exemple, si vous sortez une seule balle d’une boîte, vous ne pouvez pas obtenir à la fois du bleu et du rouge.

Désignation

Le concept de probabilité est désigné par la lettre majuscule latine P. Entre parenthèses se trouvent ensuite les arguments désignant certains événements.

Dans les formules du théorème d'addition, de probabilité conditionnelle et de multiplication, vous verrez des expressions entre parenthèses, par exemple : A+B, AB ou A|B. Ils seront calculés de différentes manières et nous allons maintenant nous y tourner.

Ajout

Considérons les cas dans lesquels des formules d'addition et de multiplication de probabilités sont utilisées.

Pour les événements incompatibles, la formule d'addition la plus simple est pertinente : la probabilité de l'un des résultats aléatoires sera égale à la somme des probabilités de chacun de ces résultats.

Supposons qu’il y ait une boîte avec 2 billes bleues, 3 billes rouges et 5 billes jaunes. Il y a un total de 10 éléments dans la boîte. Quelle est la vérité de l’affirmation selon laquelle nous tirerons une boule bleue ou une boule rouge ? Il sera égal à 2/10 + 3/10, soit cinquante pour cent.

Dans le cas d'événements incompatibles, la formule se complique puisqu'un terme supplémentaire est ajouté. Revenons-y dans un paragraphe, après avoir considéré une autre formule.

Multiplication

L'addition et la multiplication des probabilités d'événements indépendants sont utilisées dans différents cas. Si, selon les conditions de l’expérience, nous sommes satisfaits de l’un des deux résultats possibles, nous calculerons la somme ; si nous voulons obtenir deux résultats l’un après l’autre, nous aurons recours à une formule différente.

En revenant à l’exemple de la section précédente, nous voulons dessiner d’abord la boule bleue, puis la rouge. Nous connaissons le premier chiffre : 2/10. Que se passe-t-il ensuite ? Il reste 9 boules, et il y a toujours le même nombre de boules rouges - trois. Selon les calculs, ce sera 3/9 ou 1/3. Mais que faire maintenant avec deux nombres ? La bonne réponse est de multiplier pour obtenir 2/30.

Événements communs

Nous pouvons maintenant à nouveau nous tourner vers la formule de somme pour les événements communs. Pourquoi avons-nous été distraits du sujet ? Pour découvrir comment les probabilités sont multipliées. Nous aurons maintenant besoin de ces connaissances.

Nous savons déjà quels seront les deux premiers termes (les mêmes que dans la formule d'addition évoquée précédemment), mais nous devons maintenant soustraire le produit des probabilités, que nous venons d'apprendre à calculer. Pour plus de clarté, écrivons la formule : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Il s'avère que l'addition et la multiplication des probabilités sont utilisées dans une seule expression.

Disons que nous devons résoudre l'un des deux problèmes suivants pour obtenir un crédit. Nous pouvons résoudre le premier avec une probabilité de 0,3 et le second avec une probabilité de 0,6. Solution : 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Notez que la simple addition des chiffres ici ne suffira pas.

Probabilite conditionnelle

Il y a enfin la notion de probabilité conditionnelle dont les arguments sont indiqués entre parenthèses et séparés par une barre verticale. L'entrée P(A|B) se lit comme suit : « la probabilité de l'événement A étant donné l'événement B ».

Prenons un exemple : un ami vous offre un appareil, que ce soit un téléphone. Il peut être cassé (20 %) ou intact (80 %). Vous êtes capable de réparer n'importe quel appareil qui vous tombe entre les mains avec une probabilité de 0,4, ou vous ne parvenez pas à le faire (0,6). Enfin, si l'appareil est en état de marche, vous pourrez joindre la bonne personne avec une probabilité de 0,7.

Il est facile de voir comment la probabilité conditionnelle joue dans ce cas : vous ne pourrez pas joindre une personne si le téléphone est cassé, mais s'il fonctionne, vous n'avez pas besoin de le réparer. Ainsi, afin d'obtenir des résultats au « deuxième niveau », vous devez savoir quel événement a été exécuté au premier.

Calculs

Examinons des exemples de résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités, en utilisant les données du paragraphe précédent.

Tout d'abord, trouvons la probabilité que vous répariez l'appareil qui vous a été remis. Pour ce faire, premièrement, il doit être défectueux, et deuxièmement, vous devez pouvoir le réparer. Il s'agit d'un problème typique utilisant la multiplication : nous obtenons 0,2 * 0,4 = 0,08.

Quelle est la probabilité que vous atteigniez immédiatement la bonne personne ? C'est aussi simple que ça : 0,8*0,7 = 0,56. Dans ce cas, vous avez constaté que le téléphone fonctionne et avez passé l'appel avec succès.

Enfin, considérez ce scénario : vous recevez un téléphone cassé, vous le réparez, puis vous composez un numéro et la personne à l'autre bout du fil décroche. Ici, nous devons déjà multiplier trois composants : 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Que faire si vous avez deux téléphones qui ne fonctionnent pas à la fois ? Quelle est la probabilité que vous répariez au moins l’un d’entre eux ? sur l'addition et la multiplication des probabilités, puisque des événements conjoints sont utilisés. Solution : 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Ainsi, si vous recevez deux appareils cassés, vous pourrez les réparer dans 64% des cas.

Utilisation prudente

Comme indiqué au début de l’article, l’utilisation de la théorie des probabilités doit être délibérée et consciente.

Plus la série d’expériences est grande, plus la valeur théorique prédite se rapproche de celle obtenue en pratique. Par exemple, nous jetons une pièce de monnaie. Théoriquement, connaissant l'existence de formules d'addition et de multiplication des probabilités, nous pouvons prédire combien de fois « pile » et « queue » apparaîtront si nous effectuons l'expérience 10 fois. Nous avons mené une expérience et, par coïncidence, le rapport des côtés dessinés était de 3 à 7. Mais si nous effectuons une série de 100, 1000 tentatives ou plus, il s'avère que le graphique de distribution se rapproche de plus en plus de celui théorique : 44 à 56, 482 à 518, et ainsi de suite.

Imaginez maintenant que cette expérience soit réalisée non pas avec une pièce de monnaie, mais avec la production d'une nouvelle substance chimique dont nous ne connaissons pas la probabilité. Nous ferions 10 expériences et, sans obtenir de résultat positif, nous pourrions généraliser : « il est impossible d’obtenir la substance ». Mais qui sait, si nous avions fait la onzième tentative, aurions-nous atteint notre objectif ou non ?

Donc, si vous partez vers l’inconnu, dans une zone inexplorée, la théorie des probabilités pourrait ne pas s’appliquer. Dans ce cas, chaque tentative ultérieure peut être couronnée de succès et des généralisations telles que « X n'existe pas » ou « X est impossible » seront prématurées.

Dernier mot

Nous avons donc examiné deux types d’addition, de multiplication et de probabilités conditionnelles. Avec une étude plus approfondie de ce domaine, il est nécessaire d'apprendre à distinguer les situations dans lesquelles chaque formule spécifique est utilisée. De plus, vous devez imaginer si les méthodes probabilistes sont généralement applicables pour résoudre votre problème.

Si vous pratiquez, après un certain temps, vous commencerez à effectuer toutes les opérations requises uniquement dans votre esprit. Pour ceux qui s'intéressent aux jeux de cartes, cette compétence peut être considérée comme extrêmement précieuse : vous augmenterez considérablement vos chances de gagner simplement en calculant la probabilité qu'une carte ou une couleur particulière tombe. Cependant, vous pouvez facilement trouver une application des connaissances acquises dans d'autres domaines d'activité.

Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité

Théorème d'addition

La probabilité d'apparition d'un événement parmi plusieurs incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements.

Dans le cas de deux événements A et B incompatibles on a :

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

L'événement opposé à l'événement A est noté . La combinaison des événements A donne un événement fiable, et puisque les événements A sont incompatibles, alors

P(A) + P() = 1 (8)

La probabilité de l'événement A, calculée en supposant que l'événement B s'est produit, est appelée probabilite conditionnelleévénement A et est désigné par le symbole P B (A).

Si les événements A et B sont indépendants, alors P(B) = P A (B).

Événements A, B, C, ... s'appellent collectivement indépendant, si la probabilité de chacun d'eux ne change pas en raison de la survenance ou de la non-survenance d'autres événements séparément ou dans n'importe quelle combinaison d'entre eux et en n'importe quel nombre.

Théorème de multiplication

La probabilité que les événements A, B et C se produisent... est égale au produit de leurs probabilités, calculé en supposant que tous les événements précédant chacun d'eux ont eu lieu, c'est-à-dire

P(AB) = P(A)P A (B)(9)

La notation P A (B) désigne la probabilité de l'événement B dans l'hypothèse où l'événement A s'est déjà produit.

Si les événements A, B, C, ... sont collectivement indépendants, alors la probabilité qu'ils se produisent tous est égale au produit de leurs probabilités :

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Exemple 3.1. Le sac contient des boules : 10 blanches, 15 noires, 20 bleues et 25 rouges. Une balle a été retirée. Trouver la probabilité que la boule tirée soit blanche ? noir? Et encore une chose : blanc ou noir ?

Solution.

Le nombre de tous les essais possibles n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70 ;

Probabilité P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Nous appliquons le théorème d’addition de probabilité :

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Note: les lettres majuscules entre parenthèses indiquent respectivement la couleur de chaque boule selon les conditions du problème.

Exemple 3.2 La première boîte contient deux boules blanches et dix boules noires. La deuxième boîte contient huit boules blanches et quatre boules noires. Une balle a été retirée de chaque case. Déterminez la probabilité que les deux boules soient blanches.

Solution.

L'événement A est l'apparition d'une boule blanche dès la première case. L'événement B est l'apparition d'une boule blanche provenant de la deuxième case. Les événements A et B sont indépendants.

Probabilités P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Nous appliquons le théorème de multiplication de probabilité :

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Questions de révision

1 Qu'est-ce que la factorielle ?

2 Énumérez les principales tâches de la combinatoire.

3 Comment appelle-t-on les permutations ?

4 Comment appelle-t-on les mouvements ?

5 Comment s'appellent les combinaisons ?

6 Quels événements sont dits fiables ?

7 Quels événements sont dits incompatibles ?

8 Quelle est la probabilité d’un événement ?

9 Qu'appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

10 Formuler des théorèmes d'addition et de multiplication de probabilités.

11 etc..Placement à partir de P. éléments par k (k ≤ n ) est-ce qu'un ensemble composé de À éléments extraits dans un ordre spécifique des données P. éléments.

Ainsi, deux placements de P. éléments par À sont considérés comme différents s'ils diffèrent par les éléments eux-mêmes ou par l'ordre de leur disposition. Nombre de placements de P. éléments par À dénoter Un p k et calculé à l'aide de la formule

Un p k =

Si les emplacements de P. éléments par P. ne diffèrent les uns des autres que par l’ordre des éléments, ils représentent alors des permutations de P. éléments

Exemple 1. Les élèves de deuxième année étudient 9 matières. De combien de manières pouvez-vous établir un programme pour une journée afin qu'il contienne 4 sujets différents ?

Solution : Tout planning d'une journée, composé de 4 matières différentes, diffère de l'autre soit par l'ensemble des matières, soit par l'ordre dans lequel ils sont présentés. Cela signifie que dans cet exemple nous parlons de placements de 9 éléments sur 4. Nous avons

Un 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Vous pouvez créer un planning de 3024 façons

Exemple 2. Combien de nombres à trois chiffres (sans répétition de chiffres dans le nombre) peuvent être formés à partir des nombres 0,1,2,3,4,5,6 ?

Solution S'il n'y a pas de zéro parmi sept chiffres, alors le nombre de nombres à trois chiffres (sans répétition de chiffres) pouvant être formés à partir de ces chiffres est égal au nombre d'emplacements.

de 7 éléments de 3 chacun. Cependant, parmi ces nombres, il y a le chiffre 0, par lequel un nombre à trois chiffres ne peut pas commencer. Donc, des arrangements de 7 éléments par 3, il faut exclure ceux dont le premier élément est 0. Leur nombre est égal au nombre d'arrangements de leurs 6 éléments par 2. =

Cela signifie que le nombre requis de nombres à trois chiffres est

Un 7 3 - Un 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Consolidation des connaissances acquises dans le processus de résolution de problèmes

№754 . De combien de façons une famille de trois personnes peut-elle dormir dans un compartiment à quatre places s'il n'y a pas d'autres passagers dans le compartiment ?

Solution. Le nombre de façons est égal Un 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Parmi les 30 participants à la réunion, un président et un secrétaire doivent être choisis. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution. Puisque n'importe lequel des participants peut être soit secrétaire, soit président, le nombre de façons de les élire est égal

Un 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Combien de nombres à quatre chiffres qui n'ont pas de chiffres identiques peuvent être constitués à partir des chiffres suivants : a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8 ?

Solution a) Un 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) Un 5 4 - Un 4 3 = 5 ! - 4 ! = 120 – 24 = 96

Devoirs n°756, n°757, n°758, n°759.

Sujet de la leçon 6 : « Combinaisons »

Objectif : Donner la notion de combinaisons, présenter la formule de calcul des combinaisons, apprendre à utiliser cette formule pour compter le nombre de combinaisons.

1 Vérification des devoirs.

№ 756 . Il y a 7 voies alternatives à la gare. De combien de manières peut-on y disposer 4 trains ?

Solution : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 façons

№757 De combien de manières un entraîneur peut-il déterminer lequel des 12 athlètes prêts à participer au relais 4x100 m courra dans les première, deuxième, troisième et quatrième étapes ?

Solution: UNE 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. Dans un diagramme circulaire, le cercle est divisé en 5 secteurs. Nous avons décidé de peindre les secteurs avec différentes peintures tirées d'un set contenant 10 peintures. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Solution: UNE 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. De combien de manières 6 étudiants passant un examen peuvent-ils prendre place dans une salle de classe comportant 20 tables individuelles ?

Solution: UNE 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Vous pouvez organiser la vérification des devoirs de différentes manières : vérifier oralement les solutions des devoirs, noter les solutions de certains d'entre eux au tableau, et pendant l'enregistrement des solutions, mener une enquête auprès des élèves sur les questions suivantes :

1. Que signifie l'entrée ? P!

2.Ce qu'on appelle une permutation de P. éléments?

3.Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre de permutations ?

4. Qu'est-ce qu'on appelle le placement de P. éléments par À?

5. P. éléments par À?

2 Explication du nouveau matériel

Qu'il y ait 5 œillets de couleurs différentes. Désignons-les par des lettres a, c, c, d, f. Vous devez réaliser un bouquet de trois œillets. Découvrons quels bouquets peuvent être composés.

Si le bouquet comprend des œillets UN , vous pourrez alors réaliser les bouquets suivants :

avs, avd, ave, asd, ase, ade.

Si le bouquet ne comprend pas d'œillets UN, mais les clous de girofle entrent V , alors vous pouvez obtenir les bouquets suivants :

tout, tout, partout.

Enfin, si le bouquet ne comprend pas d'œillet UN, pas un clou de girofle V, alors une seule option pour composer un bouquet est possible :

sde.

Nous avons indiqué toutes les manières possibles de réaliser des bouquets, dans lesquels trois œillets sur 5 sont combinés de différentes manières. On dit que nous avons rendu tout possible. combinaisons sur 5 éléments, 3 chacun, nous avons trouvé que C 5 3 = 10.

Dérivons la formule du nombre de combinaisons de P. éléments dans k, où k ≤ p.

Voyons d'abord comment C 5 3 s'exprime à travers A 5 3 et P 3 . Nous avons constaté que leurs 5 éléments peuvent être transformés en les combinaisons suivantes de 3 éléments :

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, tous, vde, sde.

Dans chaque combinaison, nous effectuerons toutes les permutations. Le nombre de permutations de 3 éléments est égal à P 3 . En conséquence, nous obtenons toutes les combinaisons possibles de 5 éléments de 3, qui diffèrent soit par les éléments eux-mêmes, soit par l'ordre des éléments, c'est-à-dire tous les placements de 5 éléments sont 3 chacun. Au total, nous obtenons A 5 3 placements.

Moyens , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, donc C 5 3 = A 5 3 : P 3

En raisonnant dans le cas général, on obtient C p k = A p k : P k,

En utilisant le fait que A p k = , où k ≤ p., on a C p k = .

C'est la formule pour calculer le nombre de combinaisons de P. éléments par À à n'importe

k ≤ p.

Exemple 1. Parmi un lot de 15 peintures, vous devez choisir 3 couleurs pour peindre la boîte. De combien de manières ce choix peut-il être fait ?

Solution : Chaque choix de trois couleurs diffère de l’autre par au moins une couleur. Cela signifie qu'il s'agit ici de combinaisons de 15 éléments de 3

De 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Premier2 Il y a 12 garçons et 10 filles dans la classe. Trois garçons et deux filles sont nécessaires pour nettoyer la zone proche de l'école. De combien de manières ce choix peut-il être fait ?

Solution : Vous pouvez choisir 3 garçons sur 12 avec 12 3 , et deux filles sur 10 avec 10 2 . Puisque pour chaque choix de garçons, il est possible de choisir des filles de 10 2 manières, alors vous pouvez faire le choix des élèves, ce qui est discuté dans le problème

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Consolidation du nouveau matériel dans le processus de résolution de problèmes

Tâche

Sasha a 8 romans historiques dans sa bibliothèque personnelle. Petya veut lui prendre 2 romans. De combien de manières ce choix peut-il être fait ?

Solution : C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 un

Il y a 16 personnes dans le club d'échecs. De combien de manières un entraîneur peut-il sélectionner une équipe de 4 personnes pour le tournoi à venir ?

Solution : C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 L'équipe de rénovation de l'école est composée de 12 peintres et 5 menuisiers. Parmi eux, 4 peintres et 2 menuisiers doivent être affectés à la réparation de la salle de sport. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Devoirs n°768, n°769, n°770, n°775

Leçon 7 Sujet : « Résoudre des problèmes à l'aide de formules pour calculer le nombre de mouvements, de placements, de combinaisons »

Objectif : Consolidation des connaissances des étudiants. Formation de compétences pour résoudre des problèmes combinatoires simples

1 Vérification des devoirs

№768 Il y a 7 personnes dans la classe qui réussissent les mathématiques. De combien de manières pouvez-vous en choisir deux pour participer à l’Olympiade mathématique ?

Solution : C 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 La boutique Philatélie vend 8 séries différentes de timbres dédiées aux thèmes sportifs. De combien de façons pouvez-vous en choisir 3 ensembles ?

Solution : C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

№770 Les élèves ont reçu une liste de 10 livres à lire pendant les vacances. De combien de manières un élève peut-il choisir parmi 6 livres ?

Solution : C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 La bibliothèque proposait au lecteur un choix de 10 livres et 4 magazines parmi les nouveautés. De combien de façons peut-il choisir parmi eux 3 livres et 2 magazines ?

Solution : C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Questions pour la classe

1.Ce qu'on appelle une permutation de P. éléments?

2.Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre de permutations ?

3. Qu'est-ce qu'on appelle le placement de P. éléments par À?

4. Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre d'emplacements à partir de P. éléments par À?

5. Ce qu'on appelle une combinaison de P. éléments par À?

6. Quelle formule est utilisée pour calculer le nombre de combinaisons de P. éléments par À?

Problèmes pour une solution commune

Lors de la résolution de chaque problème, il y a d'abord une discussion : laquelle des trois formules étudiées permettra d'obtenir la réponse et pourquoi

1. Combien de nombres à quatre chiffres peut-on former à partir des nombres 4,6,8,9, à condition que tous les nombres soient différents ?

2. Parmi 15 personnes dans un groupe d'étudiants, vous devez choisir un proviseur et son adjoint. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

3. Parmi les 10 meilleurs élèves de l’école, deux personnes devraient être envoyées à la réunion des dirigeants.

De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Commentaire: Dans le problème n°3, peu importe qui choisir : 2 personnes sur 10, donc la formule pour compter le nombre de combinaisons fonctionne ici.

Dans le problème n°2, une paire ordonnée est choisie, car dans la paire sélectionnée, si les noms sont intervertis, ce sera un choix différent, donc la formule de calcul du nombre de placements fonctionne ici

Réponses aux problèmes pour une solution commune :

N°1 le 24. N°2 210 voies. N°3 45 façons

Problèmes pour une discussion commune et des calculs indépendants

N°1 6 amis se sont rencontrés et chacun s'est serré la main. Combien y a-t-il eu de poignées de main ?

N°2 De combien de manières pouvez-vous créer un emploi du temps pour les élèves de 1re année pour une journée s'ils ont 7 matières et qu'il devrait y avoir 4 cours ce jour-là ?

(Nombre de placements de 7 à 4)

N°3 Il y a 6 personnes dans la famille, et il y a 6 chaises à table dans la cuisine. Il a été décidé de s'asseoir d'une manière nouvelle sur ces 6 chaises chaque soir avant le dîner. Combien de jours les membres de la famille peuvent-ils faire cela sans répétition ?

N°4 Les invités A, B, C, D sont venus chez le propriétaire de la maison. Il y a cinq chaises différentes à la table ronde. Combien de méthodes d’assise existe-t-il ?

(4 personnes sont venues visiter + le propriétaire = 5 personnes assises sur 5 chaises, il faut compter le nombre de permutations)

5. Dans le livre de coloriage, un triangle, un carré et un cercle sans intersection sont dessinés. Chaque figure doit être peinte dans l'une des couleurs de l'arc-en-ciel, différentes figures dans des couleurs différentes. Combien de façons de colorier existe-t-il ?

(Comptez le nombre de placements de 7 à 3)

N°6 Il y a 10 garçons et 4 filles dans la classe. Il faut choisir 3 personnes de garde pour que parmi elles il y ait 2 garçons et 1 fille. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

(Le nombre de combinaisons de 10 par 2 multiplié par le nombre de combinaisons de 4 par 1)

Réponses aux problèmes d'auto-calcul

№1 15 poignées de main

№2 840 façons

№3 720 jours

№5 120 façons

№6 180 façons

Devoirs n°835, n°841

Leçon 8 Thème : « Travail indépendant »

Objectif : Tester les connaissances des étudiants

1.Vérification des devoirs

№^ 835 Combien de nombres, même à quatre chiffres, dans lesquels les chiffres ne sont pas répétés, peuvent être écrits en utilisant les nombres a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.

a) Nos nombres doivent se terminer par un chiffre pair, un tel chiffre dans la condition un est le chiffre 2, nous le mettrons à la dernière place, et nous réorganiserons les 3 chiffres restants, le nombre de ces permutations est 3 ! = 6. Vous pouvez donc faire 6 nombres pairs

b) on raisonne comme dans l'exemple a) en mettant le chiffre 2 à la dernière place on obtient 6 nombres pairs, en mettant le chiffre 4 à la dernière place on obtient 6 nombres pairs supplémentaires,

ça veut dire qu'il n'y a que 12 nombres pairs

№841 De combien de façons pouvez-vous choisir parmi une classe de 24 élèves : a) deux accompagnateurs ; b) le chef et son assistant ?

a) parce que 2 personnes sur 24 peuvent être de service, alors le nombre de paires est égal

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) ici, ils arrachent une paire ordonnée d'éléments de 24 éléments, le nombre de ces paires est A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

L'option 1 résout les tâches n° 1,2,3,4,5.

L'option 2 résout les tâches n° 6,7,8,9,10.

Résoudre les problèmes combinatoires les plus simples

(basé sur des documents de K.R. en avril 2010)

1 . De combien de manières peut-on disposer cinq livres d’auteurs différents sur une étagère ?

2. De combien de façons peut-on préparer une collation l'après-midi à partir d'une boisson et d'une tarte si le menu comprend : du thé, du café, du cacao et des tartes aux pommes ou aux cerises ?

3. Mercredi, selon l'horaire, il devrait y avoir 5 cours en 9e année « A » : chimie, physique, algèbre, biologie et sécurité des personnes. De combien de manières pouvez-vous créer un emploi du temps pour cette journée ?

4. Il y a 2 chevaux blancs et 4 chevaux bai. De combien de façons pouvez-vous

faire une paire de chevaux de couleurs différentes ?

5. De combien de façons pouvez-vous mettre 5 pièces différentes dans 5 poches différentes ?

6. Il y a 3 chapeaux de styles différents et 4 foulards de couleurs différentes sur l'étagère du placard. De combien de façons peut-on réaliser un ensemble composé d’un chapeau et d’une écharpe ?

7. 4 participantes ont atteint la finale du concours de beauté. De combien de manières

Est-il possible d'établir l'ordre de passage des participants à la finale de beauté ?

^ 8 .Il y a 4 canards et 3 oies. De combien de façons peut-on choisir deux oiseaux différents ?

9. De combien de façons peut-on diviser 5 lettres différentes en 5 lettres différentes ?

enveloppes, si une seule lettre est placée dans chaque enveloppe ?

10. Une boîte contient 5 boules rouges et 4 boules vertes. De combien de façons pouvez-vous fabriquer une paire de boules de couleurs différentes ?

Réponses aux devoirs d'auto-apprentissage

Type de cours : apprendre du nouveau matériel.
Tâches pédagogiques :
- donner la notion d'événement aléatoire, la probabilité d'un événement ;
- apprendre à calculer les probabilités d'un événement ; probabilités d'événements aléatoires selon la définition classique ;
- apprendre à appliquer les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités pour résoudre des problèmes ;
- continuer à développer l'intérêt pour les mathématiques en résolvant des problèmes utilisant la définition classique des probabilités pour calculer directement les probabilités de phénomènes ;
- susciter l'intérêt pour les mathématiques à l'aide de matériel historique ;
- cultiver une attitude consciente envers le processus d'apprentissage, inculquer un sentiment de responsabilité quant à la qualité des connaissances, exercer une maîtrise de soi sur le processus de résolution et de conception des exercices.

Assurer des cours :
- des fiches de tâches pour les interrogatoires individuels ;
- des fiches de tâches pour les travaux de test ;
- présentation.

L'étudiant doit savoir :
- des définitions et des formules pour le nombre de permutations, de placements et de combinaisons ;
- définition classique de la probabilité ;
- déterminer la somme des événements, le produit des événements ; formulations et formules de théorèmes d'addition et de multiplication de probabilités.

L'étudiant doit être capable de :
- calculer des permutations, des placements et des combinaisons ;
- calculer la probabilité d'un événement en utilisant la définition classique et les formules combinatoires ;
- résoudre des problèmes en utilisant des théorèmes d'addition et de multiplication de probabilités.

Motivation de l'activité cognitive des étudiants.
L'enseignant rapporte que l'émergence de la théorie des probabilités remonte au milieu du XVIIe siècle. et associé aux recherches de B. Pascal, P. Fermat et H. Huygens (1629-1695). Une étape majeure dans le développement de la théorie des probabilités est associée aux travaux de J. Bernoulli (1654-1705). Il est la première preuve de l'une des dispositions les plus importantes de la théorie des probabilités : la loi des grands nombres. La prochaine étape du développement de la théorie est associée aux noms de A. Moivre (1667-1754), C. Gauss, P. Laplace (1749-1827), S. Poisson (1781-1840). Parmi les scientifiques de l'école de Saint-Pétersbourg, il convient de mentionner les noms d'A.M. Lyapunov (1857-1918) et A.A Markov (1856-1922). Après les travaux de ces mathématiciens, la théorie des probabilités a commencé à être appelée « science russe » partout dans le monde. Au milieu des années 20, A.Ya. Khinchin (1894-1959) et A.N. Kolmogorov a créé l'École de théorie des probabilités de Moscou. Contribution de l'acad. A.N. Kolmogorov - lauréat du Prix Lénine, prix international du nom. B. Bolzano, membre d'un certain nombre d'académiciens étrangers, est un expert en mathématiques modernes. Le mérite d'A.N. Kolmogorov réside non seulement dans le développement de nouvelles théories scientifiques, mais plus encore dans le fait qu'il a formé toute une galaxie de scientifiques talentueux (académicien de l'Académie des sciences de la RSS d'Ukraine B.V. Gnedenko, académicien Yu.V. . Prokhorov, B.A. Sevastyanov et autres).
La théorie des probabilités - une science mathématique qui étudie les modèles de variables aléatoires - est devenue au cours de la dernière décennie l'une des principales méthodes de la science et de la technologie modernes. Le développement rapide de la théorie du contrôle automatique a conduit à la nécessité de résoudre de nombreux problèmes liés à l'élucidation du déroulement possible de processus influencés par des facteurs aléatoires. La théorie des probabilités est nécessaire à un large éventail de spécialistes - physiciens, biologistes, médecins, économistes, ingénieurs, militaires, directeurs de production, etc.

Déroulement de la leçon.

je. Organisation du temps.

II. Vérification des devoirs
Réaliser une enquête frontale sous forme de réponses aux questions :

Vérifiez la solution des exercices :

De combien de manières pouvez-vous dresser une liste de 10 personnes ?
De combien de manières peut-on utiliser 15 travailleurs pour créer des équipes de 5 personnes chacune ?
30 étudiants ont échangé des cartes-photos entre eux. Combien de cartes photo ont été distribuées au total ?

III. Apprendre du nouveau matériel.
Dans le dictionnaire explicatif de S.I. Ozhegov et N.Yu. Shvedova, nous lisons : « La probabilité est la possibilité d'accomplissement, la faisabilité de quelque chose. » On utilise souvent « probablement », « plus probable », « incroyablement » dans la vie de tous les jours, sans avoir du tout à l'esprit des estimations quantitatives précises de cette possibilité d'exécution.
Le fondateur de la théorie moderne des probabilités A.N. Kolmogorov a écrit à propos de la probabilité comme suit : « La probabilité mathématique est une caractéristique numérique du degré de possibilité d'apparition de tout événement spécifique dans certaines conditions spécifiques qui peuvent être répétées un nombre illimité de fois. »
Ainsi, en mathématiques, la probabilité est mesurée par un nombre. Très bientôt, nous découvrirons exactement comment cela peut être fait. Mais nous commencerons par discuter des événements qui ont une « probabilité mathématique » et de ce que sont ces « certaines conditions qui peuvent être répétées un nombre illimité de fois ». C'est pourquoi nous considérerons des événements aléatoires et des expériences aléatoires.
Il faut dire que la théorie des probabilités, comme aucun autre domaine des mathématiques, est pleine de contradictions et de paradoxes. L’explication est très simple : elle est trop étroitement liée à la réalité réelle qui nous entoure. Pendant longtemps, ils n’ont même pas voulu la classer, avec la statistique mathématique, parmi les disciplines mathématiques, les considérant comme des sciences purement appliquées.
Ce n'est que dans la première moitié du siècle dernier, principalement grâce aux travaux de notre grand compatriote A.N. Kolmogorov, dont le nom a déjà été évoqué plus haut, a construit les fondements mathématiques de la théorie des probabilités, qui ont permis de séparer la science elle-même de ses applications. L'approche proposée par Kolmogorov est maintenant communément appelée axiomatique, puisque la probabilité (ou plutôt l'espace de probabilité) est définie comme une certaine structure mathématique qui satisfait un certain système d'axiomes.
C'est sur cette approche que se construit le cours universitaire moderne de théorie des probabilités, que tous les professeurs de mathématiques actuels ont suivi en même temps. Cependant, à l’école, une telle approche de l’étude des probabilités (et des mathématiques en général) n’est guère raisonnable. Si dans une université l'accent est mis sur l'étude de l'appareil mathématique pour étudier les modèles probabilistes, alors à l'école l'étudiant doit apprendre à construire ces modèles, analyser, vérifier leur adéquation aux situations réelles. Ce point de vue est partagé aujourd'hui par la majorité des scientifiques impliqués dans les problèmes de l'enseignement des mathématiques à l'école.
Dans les manuels scolaires modernes, vous pouvez trouver la définition suivante : un événement s'appelle aléatoire, si dans les mêmes conditions cela peut se produire ou non. Par exemple, l’événement « En lançant un dé, 6 points apparaîtront » sera aléatoire.
La définition ci-dessus implique implicitement une exigence importante sur laquelle il faut insister : nous devons être capables de reproduire de manière répétée les mêmes conditions dans lesquelles un événement donné est observé(par exemple, lancer un cube) - sinon il est impossible de juger de son caractère aléatoire.
Par conséquent, lorsque nous parlons d'un événement aléatoire, nous entendons toujours la présence de certaines conditions, sans lesquelles cela n'a aucun sens de parler de cet événement. Cet ensemble de conditions est appelé expérience aléatoire ou expérience aléatoire.
Plus loin nous appellerons aléatoire tout événement associé à une expérience aléatoire. En règle générale, avant une expérience, il est impossible de dire avec certitude si un événement donné se produira ou non - cela ne devient clair qu'après son achèvement. Mais ce n’est pas sans raison que nous avons fait la clause « en règle générale » : en théorie des probabilités, il est d’usage de considérer comme aléatoires tous les événements associés à une expérience aléatoire, notamment :

impossible cela ne pourra jamais arriver ;
fiable, qui se produisent dans chacune de ces expériences.

Par exemple, l'événement « Les dés donneront 7 points » est impossible, mais « Les dés donneront moins de 7 points » est fiable. Bien sûr, s'il s'agit d'un cube avec des chiffres de 1 à 6 écrits sur ses faces.
Les événements sont appelés incompatible, si un seul d'entre eux peut apparaître à chaque fois. Les événements sont appelés articulation, si, dans des conditions données, la survenance de l'un de ces événements n'exclut pas la survenance de l'autre au cours du même essai (Il y a deux boules dans l'urne - blanche et noire, l'apparition d'une boule noire n'exclut pas la survenance d'un blanc lors du même procès). Les événements sont appelés opposé, si, dans les conditions du test, ils sont incompatibles, étant ses seuls résultats. La probabilité d'un événement est considérée comme une mesure de la possibilité objective de survenance d'un événement aléatoire.

Désignations :
Evénements aléatoires (en majuscules de l'alphabet latin) : A,B,C,D,.. (ou ). « Aléatoire » est omis et ils disent simplement « événements ».
Le nombre d'issues favorables à la survenance d'un événement donné – m ;
Le nombre de tous les résultats (expériences) est n.
Définition classique de la probabilité.
Probabilité l'événement A est le rapport entre le nombre de résultats m qui favorisent la survenance de cet événement et le nombre n de tous les résultats (incohérents, seulement possibles et également possibles), c'est-à-dire
– probabilité d'un événement aléatoire
La probabilité d'un événement ne peut être inférieure à zéro et supérieure à un, c'est-à-dire 0≤P(A)≤1
Un événement impossible correspond à la probabilité P(A)=0, et un événement fiable correspond à la probabilité P(A)=1

Théorèmes d'addition de probabilité.
Théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles.
La probabilité d'apparition de l'un de plusieurs événements incompatibles par paires, quel que soit celui-ci, est égale à la somme des probabilités de ces événements :

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints.
La probabilité de survenance d'au moins un des deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur survenance conjointe :

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Pour trois événements conjoints, la formule est la suivante :
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

L'événement opposé à l'événement A (c'est-à-dire la non-occurrence de l'événement A) est noté . La somme des probabilités de deux événements opposés est égale à un : P(A)+P()=1

La probabilité d'occurrence de l'événement A, calculée en supposant que l'événement B s'est déjà produit, est appelée probabilite conditionnelle les événements A sont soumis à B et sont notés (A) ou P(A/B).
Si A et B sont des événements indépendants, alors
P(B)-(B)=(B).

Les événements A,B,C,... sont appelés indépendant dans l'ensemble, si la probabilité de chacun d'eux ne change pas en raison de la survenance ou de la non-survenance d'autres événements séparément ou dans une combinaison de ceux-ci.

Théorèmes de multiplication de probabilité.
Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants.
La probabilité de survenance conjointe de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements :
P(AB)=P(A) P(B)

La probabilité d'apparition de plusieurs événements indépendants dans l'ensemble est calculée par la formule :
P()=P() P()… P().

Théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants.
La probabilité d'occurrence conjointe de deux événements dépendants est égale au produit de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle du second :
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Application des connaissances à la résolution de problèmes typiques
Tache 1.
Dans une loterie de 1000 tickets, il y a 200 gagnants. Un ticket est tiré au hasard. Quelle est la probabilité que ce ticket soit gagnant ?
Solution: Le ticket A pour l'événement est gagnant. Le nombre total de résultats différents est n=1000
Le nombre de résultats favorables au gain est m=200. D'après la formule P(A)=, on obtient P(A)== = 0,2 = 0,147

Problème 4.
Il y a 20 pièces disposées dans un ordre aléatoire dans la boîte, dont 5 standards. Un ouvrier prend 3 parts au hasard. Trouvez la probabilité qu'au moins une des pièces prises soit standard.

Tâche 5.
Trouvez la probabilité qu'un nombre à deux chiffres choisi au hasard soit un multiple de 3 ou de 5, ou des deux.

Tâche 6.
Une urne contient 4 boules blanches et 8 boules noires, l'autre contient 3 boules blanches et 9 boules noires. Une balle était retirée de chaque urne. Trouvez la probabilité que les deux boules soient blanches.
Solution: Soit A l’apparence d’une boule blanche provenant de la première urne, et B l’apparence d’une boule blanche provenant de la deuxième urne. Évidemment, les événements A et B sont indépendants. Trouvons P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, on obtient
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Tâche 7.
La boîte contient 12 pièces, dont 8 standards. Un ouvrier prend deux parts au hasard, l'une après l'autre. Trouvez la probabilité que les deux parties soient standard.
Solution: Introduisons la notation suivante : A – la première partie prise est standard ; B – la deuxième partie prise est standard. La probabilité que la première partie soit standard est P(A)=8/12=2/3. La probabilité que la deuxième partie prise soit standard, à condition que la première partie soit standard, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle de l'événement B est égale à (B)=7/11.
La probabilité que les deux parties s'avèrent standard est trouvée à l'aide du théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants :
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Application indépendante des connaissances, des compétences et des aptitudes.
Option 1.

Quelle est la probabilité qu’un nombre entier choisi au hasard entre 40 et 70 soit un multiple de 6 ?
Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée cinq fois, elle retombera trois fois ?

Option 2.

Quelle est la probabilité qu’un entier choisi au hasard entre 1 et 30 (inclus) soit un diviseur de 30 ?
L'institut de recherche emploie 120 personnes, dont 70 connaissent l'anglais, 60 l'allemand et 50 les deux. Quelle est la probabilité qu’un employé sélectionné au hasard ne connaisse aucune langue étrangère ?

VI. Résumer la leçon.

VII. Devoirs:
G.N. Yakovlev, mathématiques, livre 2, § 24.1, 24.2, pp. 365-386. Exercices 24.11, 24.12, 24.17

Notes IMPORTANTES!
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Qu'est-ce que la probabilité ?

La première fois que j’ai rencontré ce terme, je n’aurais pas compris de quoi il s’agissait. Je vais donc essayer de l'expliquer clairement.

La probabilité est la chance que l'événement souhaité se produise.

Par exemple, vous avez décidé d’aller chez un ami, vous vous souvenez de l’entrée et même de l’étage où il habite. Mais j'ai oublié le numéro et l'emplacement de l'appartement. Et maintenant, vous vous trouvez dans l'escalier et devant vous, vous avez le choix entre des portes.

Quelle est la chance (probabilité) que si vous sonnez à la première porte, votre ami ouvre la porte à votre place ? Il n'y a que des appartements, et un ami n'habite que derrière l'un d'eux. A chances égales, nous pouvons choisir n’importe quelle porte.

Mais quelle est cette chance ?

La porte, la bonne porte. Probabilité de deviner en sonnant à la première sonnette : . Autrement dit, une fois sur trois, vous devinerez avec précision.

Nous voulons savoir, après avoir appelé une fois, à quelle fréquence devinerons-nous la porte ? Examinons toutes les options :

Vous avez appelé 1er porte
Vous avez appelé 2ème porte
Vous avez appelé 3ème porte

Examinons maintenant toutes les options où un ami pourrait se trouver :

UN. Derrière 1er porte
b. Derrière 2ème porte
V. Derrière 3ème porte

Comparons toutes les options sous forme de tableau. Une coche indique les options lorsque votre choix coïncide avec l'emplacement d'un ami, une croix - lorsqu'il ne coïncide pas.

Comment vois-tu tout Peut être choix l'emplacement de votre ami et votre choix de la porte à sonner.

UN issue favorable à tous . Autrement dit, vous devinerez une fois en sonnant une fois à la porte, c'est-à-dire .

Il s’agit de la probabilité – le rapport entre une issue favorable (lorsque votre choix coïncide avec l’emplacement de votre ami) et le nombre d’événements possibles.

La définition est la formule. La probabilité est généralement notée p, donc :

Il n'est pas très pratique d'écrire une telle formule, nous prendrons donc pour - le nombre d'issues favorables, et pour - le nombre total d'issues.

La probabilité peut s'écrire en pourcentage ; pour ce faire, vous devez multiplier le résultat obtenu par :

Le mot « résultats » a probablement attiré votre attention. Puisque les mathématiciens appellent diverses actions (dans notre cas, une telle action est une sonnette) des expériences, le résultat de telles expériences est généralement appelé le résultat.

Eh bien, il y a des résultats favorables et défavorables.

Revenons à notre exemple. Disons que nous avons sonné à l'une des portes, mais qu'un étranger nous l'a ouverte. Nous n'avons pas bien deviné. Quelle est la probabilité que si nous sonnons à l’une des portes restantes, notre ami nous l’ouvre ?

Si vous pensiez cela, alors c'est une erreur. Voyons cela.

Il nous reste deux portes. Nous avons donc des étapes possibles :

1) Appeler 1er porte
2) Appeler 2ème porte

L’ami, malgré tout cela, est définitivement derrière l’un d’eux (après tout, il n’était pas derrière celui que nous avons appelé) :

a) Ami pour 1er porte
b) Ami pour 2ème porte

Dessinons à nouveau le tableau :

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options favorables. Autrement dit, la probabilité est égale.

Pourquoi pas?

La situation que nous avons considérée est exemple d'événements dépendants. Le premier événement est la première sonnette, le deuxième événement est la deuxième sonnette.

Et ils sont appelés dépendants car ils influencent les actions suivantes. Après tout, si après la première sonnerie, un ami répondait à la sonnette, quelle serait la probabilité qu'il se trouve derrière l'un des deux autres ? Droite, .

Mais s’il y a des événements dépendants, alors il doit aussi y en avoir. indépendant? C'est vrai, cela arrive.

Un exemple classique est de lancer une pièce de monnaie.

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face, par exemple ? C'est vrai - car il y a toutes les options (que ce soit face ou face, nous négligerons la probabilité que la pièce atterrisse sur sa tranche), mais cela ne convient qu'à nous.
Mais c'est tombé sur face. D'accord, relançons-le. Quelle est la probabilité d’obtenir face maintenant ? Rien n'a changé, tout est pareil. Combien d'options ? Deux. De combien sommes-nous satisfaits ? Un.

Et laissez-le apparaître face au moins mille fois de suite. La probabilité d’obtenir face d’un coup sera la même. Il existe toujours des options, et des plus avantageuses.

Il est facile de distinguer les événements dépendants des événements indépendants :

Si l’expérience est réalisée une fois (ils lancent une pièce de monnaie une fois, sonnent une fois à la porte, etc.), alors les événements sont toujours indépendants.
Si une expérience est réalisée plusieurs fois (une pièce est lancée une fois, la sonnette retentit plusieurs fois), alors le premier événement est toujours indépendant. Et puis, si le nombre de résultats favorables ou le nombre de résultats change, alors les événements sont dépendants, et sinon, ils sont indépendants.

Entraînons-nous un peu à déterminer la probabilité.

Exemple 1.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face deux fois de suite ?

Solution:

Considérons toutes les options possibles :

Aigle-aigle
Pile-queue
Queues-Têtes
Queues-queues

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options. Parmi ceux-ci, nous sommes seulement satisfaits. C'est-à-dire la probabilité :

Si la condition vous demande simplement de trouver la probabilité, alors la réponse doit être donnée sous la forme d’une fraction décimale. S'il était précisé que la réponse doit être donnée sous forme de pourcentage, nous multiplierions par.

Répondre:

Exemple 2.

Dans une boîte de chocolats, tous les chocolats sont conditionnés dans le même emballage. Cependant, des bonbons - aux noix, au cognac, aux cerises, au caramel et au nougat.

Quelle est la probabilité de prendre un bonbon et d’obtenir un bonbon aux noix ? Donnez votre réponse en pourcentage.

Solution:

Combien y a-t-il de résultats possibles ? .

Autrement dit, si vous prenez un bonbon, ce sera l'un de ceux disponibles dans la boîte.

Combien d’issues favorables ?

Car la boîte ne contient que des chocolats aux noix.

Répondre:

Exemple 3.

Dans une boîte de ballons. dont des blancs et des noirs.

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
Nous avons ajouté d'autres boules noires à la boîte. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule blanche ?

Solution:

a) Il n'y a que des balles dans la boîte. Parmi eux sont blancs.

La probabilité est :

b) Il y a maintenant plus de balles dans la boîte. Et il reste autant de Blancs.

Répondre:

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

Disons qu'il y a des boules rouges et vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Boule verte ? Boule rouge ou verte ?

Probabilité de tirer une boule rouge

Boule verte :

Boule rouge ou verte :

Comme vous pouvez le constater, la somme de tous les événements possibles est égale à (). Comprendre ce point vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.

Exemple 4.

Il y a des marqueurs dans la boîte : vert, rouge, bleu, jaune, noir.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de marqueur rouge ?

Solution:

Comptons le nombre des issues favorables.

PAS un marqueur rouge, cela signifie vert, bleu, jaune ou noir.

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

Vous savez déjà ce que sont les événements indépendants.

Que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver la probabilité que deux événements indépendants (ou plus) se produisent consécutivement ?

Disons que nous voulons savoir quelle est la probabilité que si nous lançons une pièce de monnaie une fois, nous voyions face deux fois ?

Nous avons déjà considéré - .

Et si on jetait une pièce de monnaie une fois ? Quelle est la probabilité de voir un aigle deux fois de suite ?

Total des options possibles :

Aigle-aigle-aigle
Pile-pile-face
Pile-face-tête
Pile-pile-pile
Face-face-face
Pile-pile-pile
Queues-queues-têtes
Queues-queues-queues

Je ne sais pas pour vous, mais j’ai commis des erreurs à plusieurs reprises en dressant cette liste. Ouah! Et seule l'option (la première) nous convient.

Pour 5 lancers, vous pouvez faire vous-même une liste des résultats possibles. Mais les mathématiciens ne sont pas aussi travailleurs que vous.

Par conséquent, ils ont d'abord remarqué puis prouvé que la probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants diminue à chaque fois de la probabilité d'un événement.

Autrement dit,

Regardons l'exemple de la même pièce malheureuse.

Probabilité de se prendre la tête dans un défi ? . Maintenant, on lance la pièce une fois.

Quelle est la probabilité d’avoir face à face ?

Cette règle ne fonctionne pas seulement si l’on nous demande de trouver la probabilité qu’un même événement se produise plusieurs fois de suite.

Si nous voulions retrouver la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES pour des lancers consécutifs, nous ferions de même.

La probabilité d'obtenir pile est de face - .

Probabilité d’obtenir la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES-QUEUES :

Vous pouvez le vérifier vous-même en créant un tableau.

La règle pour ajouter les probabilités d'événements incompatibles.

Alors arrêtez! Nouvelle définition.

Voyons cela. Prenons notre pièce usée et lançons-la une fois.
Options possibles :

Aigle-aigle-aigle
Pile-pile-face
Pile-face-tête
Pile-pile-pile
Face-face-face
Pile-pile-pile
Queues-queues-têtes
Queues-queues-queues

Ainsi, les événements incompatibles sont une certaine séquence d'événements donnée. - ce sont des événements incompatibles.

Si nous voulons déterminer quelle est la probabilité de deux (ou plusieurs) événements incompatibles, alors nous ajoutons les probabilités de ces événements.

Vous devez comprendre que pile ou face sont deux événements indépendants.

Si nous voulons déterminer la probabilité qu’une séquence (ou toute autre) se produise, alors nous utilisons la règle de multiplication des probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer et face au deuxième et au troisième lancer ?

Mais si nous voulons savoir quelle est la probabilité d’obtenir une séquence parmi plusieurs, par exemple lorsque face apparaît exactement une fois, c’est-à-dire options et, ensuite, nous devons additionner les probabilités de ces séquences.

Toutes les options nous conviennent.

On peut obtenir la même chose en additionnant les probabilités d’occurrence de chaque séquence :

Ainsi, nous ajoutons des probabilités lorsque nous voulons déterminer la probabilité de certaines séquences d’événements incohérentes.

Il existe une excellente règle pour vous aider à éviter de confondre quand multiplier et quand additionner :

Revenons à l'exemple où nous avons lancé une pièce de monnaie une fois et avons voulu connaître la probabilité de voir face une fois.
Ce qui va se passer?

Devrait tomber :
(pile ET pile ET pile) OU (pile ET pile ET pile) OU (face ET pile ET pile).
Voici comment cela se passe :

Regardons quelques exemples.

Exemple 5.

Il y a des crayons dans la boîte. rouge, vert, orange et jaune et noir. Quelle est la probabilité de dessiner des crayons rouges ou verts ?

Solution:

Exemple 6.

Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

Solution.

Comment pouvons-nous obtenir des points ?

(et) ou (et) ou (et) ou (et) ou (et).

La probabilité d’obtenir un (n’importe quel) visage est de .

On calcule la probabilité :

Entraînement.

Je pense que vous comprenez maintenant quand vous devez calculer des probabilités, quand les additionner et quand les multiplier. N'est-ce pas? Pratiquons un peu.

Tâches:

Prenons un jeu de cartes contenant des cartes comprenant des piques, des cœurs, 13 trèfles et 13 carreaux. De à l'As de chaque couleur.

Quelle est la probabilité de tirer des trèfles d'affilée (on remet la première carte retirée dans le paquet et on la mélange) ?
Quelle est la probabilité de tirer une carte noire (pique ou trèfle) ?
Quelle est la probabilité de tirer une image (valet, dame, roi ou as) ?
Quelle est la probabilité de tirer deux images d'affilée (on retire la première carte tirée du jeu) ?
Quelle est la probabilité, en prenant deux cartes, d'obtenir une combinaison - (valet, dame ou roi) et un as. L'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance.

Réponses:

Si vous étiez capable de résoudre tous les problèmes vous-même, alors vous êtes génial ! Vous allez maintenant résoudre les problèmes de théorie des probabilités lors de l'examen d'État unifié comme des fous !

THÉORIE DES PROBABILITÉS. NIVEAU MOYEN

Regardons un exemple. Disons que nous jetons un dé. De quel genre d'os s'agit-il, le savez-vous ? C'est ce qu'on appelle un cube avec des chiffres sur ses faces. Combien de visages, autant de chiffres : de à combien ? Avant.

Alors on lance les dés et on veut qu'il arrive ou. Et nous comprenons.

Dans la théorie des probabilités, ils disent ce qui s'est passé événement propice(à ne pas confondre avec prospère).

Si cela se produisait, l’événement serait également favorable. Au total, seuls deux événements favorables peuvent survenir.

Combien sont défavorables ? Puisqu'il existe un total d'événements possibles, cela signifie que les événements défavorables sont des événements (c'est-à-dire si ou tombe).

Définition:

La probabilité est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.. Autrement dit, la probabilité montre quelle proportion de tous les événements possibles est favorable.

Ils désignent la probabilité par une lettre latine (apparemment du mot anglais probabilité - probabilité).

Il est d'usage de mesurer la probabilité en pourcentage (voir sujets et). Pour ce faire, la valeur de probabilité doit être multipliée par. Dans l’exemple des dés, probabilité.

Et en pourcentage : .

Exemples (décidez vous-même) :

Quelle est la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ? Quelle est la probabilité que des têtes atterrissent ?
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé ? Lequel est étrange ?
Dans une boîte de crayons simples, bleus et rouges. Nous dessinons un crayon au hasard. Quelle est la probabilité d’en obtenir un simple ?

Solutions:

Combien y a-t-il d’options ? Pile et queue – juste deux. Combien d’entre eux sont favorables ? Un seul est un aigle. Donc la probabilité
C'est la même chose avec les queues : .
Options totales : (combien de côtés le cube a, autant d'options différentes). Les favorables : (ce sont tous des nombres pairs :).
Probabilité. Bien sûr, c’est la même chose avec les nombres impairs.
Total: . Favorable : . Probabilité : .

Probabilité totale

Tous les crayons de la boîte sont verts. Quelle est la probabilité de dessiner un crayon rouge ? Il n'y a pas de hasard : probabilité (après tout, événements favorables -).

Un tel événement est dit impossible.

Quelle est la probabilité de dessiner un crayon vert ? Il y a exactement le même nombre d’événements favorables que le nombre total d’événements (tous les événements sont favorables). La probabilité est donc égale à ou.

Un tel événement est dit fiable.

Si une boîte contient des crayons verts et rouges, quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ? Encore. Notons ceci : la probabilité de retirer le vert est égale, et le rouge est égale.

En somme, ces probabilités sont exactement égales. C'est, la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à ou.

Exemple:

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de ne pas tirer vert ?

Solution:

Nous nous souvenons que toutes les probabilités s’additionnent. Et la probabilité de devenir vert est égale. Cela signifie que la probabilité de ne pas tirer du vert est égale.

Rappelez-vous cette astuce : La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Événements indépendants et règle de multiplication

Vous lancez une pièce une fois et vous voulez qu'elle tombe face les deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

Passons en revue toutes les options possibles et déterminons combien il y en a :

Pile-Tête, Pile-Tête, Pile-Pile, Pile-Tail. Quoi d'autre?

Options totales. Parmi ceux-ci, un seul nous convient : Aigle-Aigle. Au total, la probabilité est égale.

Bien. Maintenant, tirons à pile ou face une fois. Faites le calcul vous-même. Arrivé? (répondre).

Vous avez peut-être remarqué qu'avec l'ajout de chaque lancer suivant, la probabilité diminue de moitié. La règle générale s'appelle règle de multiplication:

Les probabilités d'événements indépendants changent.

Que sont les événements indépendants ? Tout est logique : ce sont ceux qui ne dépendent pas les uns des autres. Par exemple, lorsque l'on lance une pièce plusieurs fois, à chaque fois un nouveau lancer est effectué dont le résultat ne dépend pas de tous les lancers précédents. On peut tout aussi bien lancer deux pièces différentes en même temps.

Plus d'exemples :

Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise les deux fois ?
La pièce est lancée une fois. Quelle est la probabilité que cela tombe face la première fois, puis face deux fois ?
Le joueur lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme de leurs nombres soit égale ?

Réponses:

Les événements sont indépendants, ce qui signifie que la règle de multiplication fonctionne : .
La probabilité de tomber sur face est égale. La probabilité d’obtenir pile est la même. Multiplier:
12 ne peut être obtenu que si deux -ki sont lancés : .

Les événements incompatibles et la règle d'addition

Les événements qui se complètent au point d’être pleinement probables sont appelés incompatibles. Comme leur nom l’indique, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut tomber sur pile ou sur face.

Exemple.

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ?

Solution .

La probabilité de dessiner un crayon vert est égale. Rouge - .

Événements favorables en tout : vert + rouge. Cela signifie que la probabilité de tirer du vert ou du rouge est égale.

La même probabilité peut être représentée sous cette forme : .

Voici la règle d'addition : les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

Problèmes de type mixte

Exemple.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité que les résultats des lancers soient différents ?

Solution .

Cela signifie que si le premier résultat est face, le second doit être face, et vice versa. Il s’avère qu’il existe deux paires d’événements indépendants et que ces paires sont incompatibles entre elles. Comment ne pas se tromper sur où multiplier et où ajouter.

Il existe une règle simple pour de telles situations. Essayez de décrire ce qui va se passer en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU ». Par exemple, dans ce cas :

Il devrait apparaître (pile et face) ou (pile et face).

Là où il y a une conjonction « et », il y aura multiplication, et là où il y a « ou », il y aura addition :

Essayez-le vous-même :

Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée deux fois, elle tombe du même côté à chaque fois ?
Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de points ?

Solutions:

Un autre exemple:

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité que des têtes apparaissent au moins une fois ?

Solution:

THÉORIE DES PROBABILITÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La probabilité est le rapport entre le nombre d’événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise.

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

La probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de chaque événement

Événements incompatibles

Les événements incompatibles sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérience. Un certain nombre d'événements incompatibles forment un groupe complet d'événements.

Les probabilités d’événements incompatibles s’additionnent.

Après avoir décrit ce qui devrait se passer, en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU », au lieu de « ET » nous mettons un signe de multiplication, et au lieu de « OU » nous mettons un signe d'addition.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

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