Le triangle est l’une des formes géométriques les plus courantes, avec laquelle on se familiarise à l’école primaire. Chaque élève est confronté à la question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle dans les cours de géométrie. Alors, quelles caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée peuvent être identifiées ? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche et analyserons également les types de triangles.

Types de triangles

Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de manières complètement différentes, car en géométrie, il existe plus d'un type de figure contenant trois angles. Ces types comprennent :

Obtus.
Équilatéral (correct).
Triangle rectangle.
Isocèle.

Examinons de plus près chacun des types de triangles existants.

Cette figure géométrique est considérée comme la plus courante lors de la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il est nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.

Dans un triangle aigu, comme son nom l’indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.

Ce type de triangle est également très courant, mais un peu moins courant qu'un triangle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que plusieurs de ses côtés et angles sont connus et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus est un nombre négatif.

B, la valeur d'un des angles dépasse 90°, donc les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple 15° voire 3°).

Pour trouver l'aire d'un triangle de ce type, vous devez connaître quelques nuances, dont nous parlerons plus tard.

Triangles réguliers et isocèles

Un polygone régulier est une figure qui comprend n angles et dont les côtés et les angles sont tous égaux. C'est ce qu'est un triangle régulier. Puisque la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°, alors chacun des trois angles vaut 60°.

Un triangle régulier, en raison de sa propriété, est aussi appelé figure équilatérale.

Il convient également de noter qu'un seul cercle peut être inscrit dans un triangle régulier, qu'un seul cercle peut être décrit autour de lui et que leurs centres sont situés au même point.

En plus du type équilatéral, on peut également distinguer un triangle isocèle, qui en est légèrement différent. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux l'un à l'autre, et le troisième côté (auquel les angles égaux sont adjacents) est la base.

La figure montre un triangle isocèle DEF dont les angles D et F sont égaux et DF est la base.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est ainsi nommé car l’un de ses angles est droit, c’est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.

Le plus grand côté d’un tel triangle, opposé à l’angle de 90°, est l’hypoténuse, tandis que les deux autres côtés sont les jambes. Pour ce type de triangle, le théorème de Pythagore s'applique :

La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les pattes AB et BC.

Pour trouver l'aire d'un triangle à angle droit, vous devez connaître les valeurs numériques de ses pattes.

Passons aux formules pour trouver l'aire d'une figure donnée.

Formules de base pour trouver une zone

En géométrie, il existe deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les triangles aigus, obtus, réguliers et isocèles. Regardons chacun d'eux.

Par côté et en hauteur

Cette formule est universelle pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) est la suivante :

où A est le côté d’un triangle donné et H est la hauteur du triangle.

Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur obtenue par deux.

Cependant, il n’est pas toujours facile de trouver l’aire d’un triangle de cette façon. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle obtus, vous devez prolonger l'un de ses côtés et ensuite seulement lui tracer une altitude.

En pratique, cette formule est utilisée plus souvent que d’autres.

Des deux côtés et coin

Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule pour trouver l'aire par côté et par hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule en question peut être facilement dérivée de la précédente. Sa formulation ressemble à ceci :

S = ½*sinO*A*B,

où A et B sont les côtés du triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.

Rappelons que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après l'éminent mathématicien soviétique V. M. Bradis.

Passons maintenant à d'autres formules qui ne conviennent qu'à des types de triangles exceptionnels.

Aire d'un triangle rectangle

En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de trouver l'altitude dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée à partir de ses jambes.

Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses pattes, soit :

où a et b sont les jambes d'un triangle rectangle.

Triangle régulier

Ce type de figure géométrique est différent en ce que son aire peut être trouvée pour la valeur indiquée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux). Ainsi, face à la tâche de « trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux », vous devez utiliser la formule suivante :

S = UNE 2 *√3 / 4,

où A est le côté du triangle équilatéral.

La formule du héron

La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci :

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

où a, b et c sont les côtés d'un triangle donné.

Parfois, le problème est posé : « l’aire d’un triangle régulier consiste à trouver la longueur de son côté ». Dans ce cas, il faut utiliser la formule que l'on connaît déjà pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré) :

UNE 2 = 4S / √3.

Tâches d'examen

Il existe de nombreuses formules dans les problèmes GIA en mathématiques. De plus, il est souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.

Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur à partir des cellules et d'utiliser la formule universelle pour trouver l'aire :

Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle de quelque nature que ce soit.

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. En outre, une figure distincte montre la correspondance entre les symboles alphabétiques dans les formules et les symboles graphiques dans le dessin.

Note . Si le triangle a des propriétés particulières (isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules données ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

"Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.

L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L'exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Même s'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm. L'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de 3 cm de côté.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Les personnes intéressées peuvent immédiatement consulter les solutions.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon les règles générales des mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant, cette méthode est loin d’être la seule. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle

Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :

a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.

Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui y est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Par conséquent, il est bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.

S=½ a b sin γ

Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .

L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.

S = a b c/4R

Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut être fait à l'aide de calculs plus complexes, sur lesquels nous ne nous attarderons pas en détail.

Aires de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle ? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.

Comme vous vous en souvenez peut-être dans votre programme scolaire de géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments reliés par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Un triangle forme trois angles, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Un triangle peut aussi être appelé un polygone à trois angles, la réponse sera également correcte. Les triangles sont divisés en fonction du nombre de côtés égaux et de la taille des angles sur les figures. Ainsi, les triangles se distinguent respectivement en isocèles, équilatéraux et scalènes, ainsi que rectangulaires, aigus et obtus.

Il existe de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Choisissez comment trouver l'aire d'un triangle, c'est-à-dire La formule à utiliser dépend de vous. Mais il convient de noter seulement certaines des notations utilisées dans de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Alors souviens-toi:

S est l'aire du triangle,

a, b, c sont les côtés du triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle circonscrit,

p est le demi-périmètre.

Voici les notations de base qui pourront vous être utiles si vous avez complètement oublié votre cours de géométrie. Vous trouverez ci-dessous les options les plus compréhensibles et les plus simples pour calculer la zone inconnue et mystérieuse d'un triangle. Ce n'est pas difficile et vous sera utile aussi bien pour les besoins de votre ménage que pour aider vos enfants. Rappelons comment calculer l'aire d'un triangle le plus simplement possible :

Dans notre cas, l'aire du triangle est : S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². N'oubliez pas que la superficie est mesurée en centimètres carrés (cm²).

Triangle rectangle et son aire.

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est égal à 90 degrés (appelé donc droit). Un angle droit est formé de deux droites perpendiculaires (dans le cas d'un triangle, deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangle, il ne peut y avoir qu'un seul angle droit, car... la somme de tous les angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles devraient diviser les 90 degrés restants, par exemple 70 et 20, 45 et 45, etc. Alors, rappelez-vous l'essentiel, il ne reste plus qu'à découvrir comment trouver l'aire d'un triangle rectangle. Imaginons que nous ayons un tel triangle rectangle devant nous et que nous devions trouver son aire S.

1. La façon la plus simple de déterminer l'aire d'un triangle rectangle est calculée à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, l'aire du triangle rectangle est : S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

En principe, il n'est plus nécessaire de vérifier l'aire du triangle par d'autres moyens, car Seul celui-ci sera utile et aidera au quotidien. Mais il existe également des options pour mesurer l'aire d'un triangle par des angles aigus.

2. Pour les autres méthodes de calcul, vous devez disposer d'un tableau de cosinus, sinus et tangentes. Jugez par vous-même, voici quelques options pour calculer l'aire d'un triangle rectangle qui peuvent encore être utilisées :

Nous avons décidé d'utiliser la première formule et avec quelques taches mineures (nous l'avons dessinée dans un cahier et utilisé une vieille règle et un rapporteur), mais nous avons obtenu le calcul correct :

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Nous avons obtenu les résultats suivants : 3,6=3,7, mais compte tenu du décalage des cellules, on peut pardonner cette nuance.

Triangle isocèle et son aire.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer la formule d'un triangle isocèle, le moyen le plus simple est d'utiliser la formule principale et ce qui est considéré comme la formule classique de l'aire d'un triangle.

Mais d’abord, avant de trouver l’aire d’un triangle isocèle, découvrons de quel type de figure il s’agit. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont la même longueur. Ces deux côtés sont appelés latéraux, le troisième côté est appelé base. Ne confondez pas un triangle isocèle avec un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle régulier dont les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n’y a pas de tendances particulières dans les angles, ou plutôt dans leur taille. Cependant, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, mais différents de l’angle entre côtés égaux. Ainsi, vous connaissez déjà la première et principale formule ; il reste à découvrir quelles autres formules sont connues pour déterminer l'aire d'un triangle isocèle :

Un triangle est la figure géométrique la plus simple, composée de trois côtés et de trois sommets. En raison de sa simplicité, le triangle est utilisé depuis l'Antiquité pour prendre diverses mesures, et aujourd'hui, le chiffre peut être utile pour résoudre des problèmes pratiques et quotidiens.

Caractéristiques d'un triangle

Le chiffre est utilisé pour les calculs depuis l'Antiquité. Par exemple, les géomètres et les astronomes utilisent les propriétés des triangles pour calculer des superficies et des distances. Il est facile d'exprimer l'aire de n'importe quel n-gon à travers l'aire de cette figure, et cette propriété a été utilisée par les anciens scientifiques pour dériver des formules pour les aires des polygones. Le travail constant avec les triangles, en particulier le triangle rectangle, est devenu la base de toute une branche des mathématiques : la trigonométrie.

Géométrie triangulaire

Les propriétés de la figure géométrique sont étudiées depuis l’Antiquité : les premières informations sur le triangle ont été trouvées dans des papyrus égyptiens datant d’il y a 4 000 ans. Ensuite, la figure a été étudiée dans la Grèce antique et les plus grandes contributions à la géométrie du triangle ont été faites par Euclide, Pythagore et Héron. L'étude du triangle n'a jamais cessé et au XVIIIe siècle, Leonhard Euler a introduit le concept d'orthocentre d'une figure et de cercle d'Euler. Au tournant des XIXe et XXe siècles, alors qu'il semblait qu'on savait absolument tout sur le triangle, Frank Morley formula le théorème des trisecteurs d'angle et Waclaw Sierpinski proposa le triangle fractal.

Il existe plusieurs types de triangles plats qui nous sont familiers des cours de géométrie scolaire :

aigu - tous les coins de la figure sont aigus ;
obtus - la figure a un angle obtus (plus de 90 degrés) ;
rectangulaire - la figure contient un angle droit égal à 90 degrés ;
isocèle - un triangle avec deux côtés égaux ;
équilatéral - un triangle dont tous les côtés sont égaux.
Il existe toutes sortes de triangles dans la vie réelle et, dans certains cas, nous devrons peut-être calculer l'aire d'une figure géométrique.

Aire d'un triangle

L'aire est une estimation de la superficie du plan qu'une figure englobe. L'aire d'un triangle peut être trouvée de six manières, en utilisant les côtés, la hauteur, les angles, le rayon du cercle inscrit ou circonscrit, ainsi qu'en utilisant la formule de Héron ou en calculant l'intégrale double le long des lignes délimitant le plan. La formule la plus simple pour calculer l'aire d'un triangle est :

où a est le côté du triangle, h est sa hauteur.

Cependant, dans la pratique, il n'est pas toujours pratique pour nous de trouver la hauteur d'une figure géométrique. L'algorithme de notre calculateur permet de calculer la superficie en connaissant :

trois côtés ;
deux côtés et l'angle entre eux ;
un côté et deux coins.

Pour déterminer l'aire par trois côtés, nous utilisons la formule de Heron :

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

où p est le demi-périmètre du triangle.

L'aire de deux côtés et d'un angle est calculée à l'aide de la formule classique :

S = une × b × péché (alfa),

où alpha est l'angle entre les côtés a et b.

Pour déterminer l’aire en termes d’un côté et de deux angles, nous utilisons la relation suivante :

a / sin(alfa) = b / sin(bêta) = c / sin(gamma)

À l'aide d'une proportion simple, nous déterminons la longueur du deuxième côté, après quoi nous calculons l'aire à l'aide de la formule S = a × b × sin(alfa). Cet algorithme est entièrement automatisé et il vous suffit de saisir les variables spécifiées et d'obtenir le résultat. Regardons quelques exemples.

Exemples de la vie

Dalles de pavage

Disons que vous souhaitez paver le sol avec des carreaux triangulaires et que pour déterminer la quantité de matériau nécessaire, vous devez connaître la surface d'un carreau et la surface du sol. Supposons que vous deviez traiter 6 mètres carrés de surface à l'aide d'un carreau dont les dimensions sont a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Évidemment, pour calculer l'aire d'un triangle, la calculatrice utilise la formule de Héron et donne. le résultat:

Ainsi, la superficie d'un élément de carrelage sera de 0,021 mètre carré et vous aurez besoin de 6/0,021 = 285 triangles pour l'amélioration du sol. Les nombres 20, 21 et 29 forment un triple nombre pythagoricien qui satisfait . Et c'est vrai, notre calculatrice a également calculé tous les angles du triangle, et l'angle gamma est exactement de 90 degrés.

Tâche scolaire

Dans un problème scolaire, vous devez trouver l'aire d'un triangle, sachant que le côté a = 5 cm et que les angles alpha et bêta sont respectivement de 30 et 50 degrés. Pour résoudre ce problème manuellement, nous trouverions d’abord la valeur du côté b en utilisant la proportion du rapport hauteur/largeur et les sinus des angles opposés, puis déterminerions l’aire à l’aide de la formule simple S = a × b × sin(alfa). Gagnons du temps, saisissons les données dans le formulaire de calculatrice et obtenons une réponse instantanée

Lors de l'utilisation de la calculatrice, il est important d'indiquer correctement les angles et les côtés, sinon le résultat sera incorrect.

Conclusion

Le triangle est une figure unique que l'on retrouve aussi bien dans la vie réelle que dans les calculs abstraits. Utilisez notre calculateur en ligne pour déterminer l'aire de triangles de toute nature.