Travaux terminés

TRAVAUX DE DIPLÔME

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TRAVAUX DE COURS

Le projet de cours est le premier travail pratique sérieux. C'est avec la rédaction du cours que commence la préparation au développement. projets de fin d'études. Si un étudiant apprend à présenter correctement le contenu d'un sujet dans projet de cours et le rédiger correctement, à l'avenir, il n'aura aucun problème ni pour rédiger des rapports ni pour rédiger thèses, ni avec la mise en œuvre d'autres tâches pratiques. Pour aider les étudiants à rédiger ce type de travail d'étudiant et pour clarifier les questions qui se posent lors de sa préparation, en effet, cette section d'information a été créée.
Coût des travaux à partir de 2 500 tenges

THÈS DE MAÎTRE

Actuellement en supérieur établissements d'enseignement Au Kazakhstan et dans les pays de la CEI, le niveau d'enseignement supérieur est très courant enseignement professionnel, qui fait suite à un baccalauréat - une maîtrise. Dans le programme de master, les étudiants étudient dans le but d'obtenir un master, qui est plus reconnu dans la plupart des pays du monde qu'un baccalauréat, et est également reconnu par les employeurs étrangers. Le résultat des études de maîtrise est la soutenance mémoire de maîtrise.
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RAPPORTS DE PRATIQUE

Après avoir effectué tout type de stage étudiant (éducatif, industriel, pré-diplôme), un rapport est exigé. Ce document fera office de confirmation travaux pratiquesétudiant et la base pour former une évaluation pour la pratique. Habituellement, afin de rédiger un rapport sur le stage, il est nécessaire de collecter et d'analyser des informations sur l'entreprise, de considérer la structure et la routine de travail de l'organisation dans laquelle se déroule le stage et de compiler plan de calendrier et décrivez votre activités pratiques.
Nous vous aiderons à rédiger un rapport de stage, en tenant compte des spécificités des activités d'une entreprise particulière.

Les mouvements qui ont différents degrés de répétition sont appelés fluctuations .

Si les valeurs grandeurs physiques, changeant au cours du mouvement, se répètent à intervalles de temps égaux, alors un tel mouvement est appelé périodique . Selon la nature physique processus oscillatoire faire la distinction entre mécanique et vibrations électromagnétiques. Selon le mode d'excitation, les vibrations sont divisées en : gratuit(propre), se produisant dans un système présenté à lui-même près de la position d'équilibre après un impact initial ; forcé– se produisant sous une influence extérieure périodique.

Dans les images UN-e des graphiques de dépendance au déplacement sont présentés x de temps en temps t(en bref, des graphiques de déplacement) pour certains types de vibrations :

a) oscillations sinusoïdales (harmoniques),

b) oscillations carrées,

c) vibrations en dents de scie,

d) exemple d'oscillations type complexe,

d) oscillations amorties,

e) oscillations croissantes.

Conditions d'apparition d'oscillations libres : a) lorsqu'un corps est éloigné d'une position d'équilibre, une force doit apparaître dans le système, tendant à le ramener à la position d'équilibre ; b) les forces de frottement dans le système doivent être suffisamment faibles.

UN amplitudeUN - module de l'écart maximal du point oscillant par rapport à la position d'équilibre .

Les oscillations d'un point qui se produisent avec une amplitude constante sont appelées non amorti , et oscillations avec une amplitude progressivement décroissante – décoloration .

Le temps pendant lequel se produit une oscillation complète est appelé période(T).

Fréquence oscillations périodiques Le nombre d'oscillations complètes effectuées par unité de temps s'appelle :

L'unité de fréquence de vibration est le hertz (Hz). Hertz est la fréquence des oscillations dont la période est de 1 s : 1 Hz = 1 s –1.

Cyclique ou fréquence circulaire les oscillations périodiques sont le nombre d'oscillations complètes effectuées en un temps de 2p s :

. =rad/s.

Harmonique- ce sont les vibrations qui sont décrites loi périodique:

ou (1)

où est une grandeur changeant périodiquement (déplacement, vitesse, force, etc.), UN– l'amplitude.

Un système dont la loi du mouvement a la forme (1) est appelé oscillateur harmonique . L'argument du sinus ou du cosinus s'appelle phase d'oscillation. La phase de l'oscillation détermine le déplacement à un instant donné t. La phase initiale détermine le déplacement du corps au moment où le timing commence.

Considérez le décalage x un corps oscillant par rapport à sa position d'équilibre. Équation vibration harmonique:

.

La dérivée première du temps donne l’expression de la vitesse de déplacement du corps :

La vitesse atteint son valeur maximale au moment où = 1, respectivement, est l'amplitude de la vitesse. Le déplacement du point à ce moment est précoce vers zéro = 0.

L'accélération change avec le temps également en fonction loi harmonique:

où est la valeur maximale de l’accélération. Le signe moins signifie que l'accélération est dirigée dans la direction opposée au déplacement, c'est-à-dire que l'accélération et le déplacement changent en antiphase. On constate que la vitesse atteint sa valeur maximale lorsque le point oscillant dépasse la position d'équilibre. A ce moment, le déplacement et l'accélération sont nuls.

Pour qu’un corps effectue un mouvement oscillatoire harmonique, il doit être soumis à l’action d’une force toujours dirigée vers la position d’équilibre, et d’une ampleur directement proportionnelle au déplacement depuis cette position. Les forces dirigées vers la position d'équilibre sont appelées revenir .

Considérons les oscillations libres se produisant dans un système à un degré de liberté. Laisse le corps avoir de la masse T monté sur un ressort dont l'élasticité k. En l’absence de forces de friction, un corps éloigné de sa position d’équilibre subit l’action de force élastique ressorts . Alors, d’après la deuxième loi de la dynamique, on a :

Si nous introduisons la notation , alors l'équation peut être réécrite comme suit :

C'est ça équation différentielle vibrations libres avec un degré de liberté. Sa solution est fonction de la forme ou . La quantité est la fréquence cyclique. pendule à ressort:

. (3).

Pendule mathématique ‑ il s'agit d'un modèle dans lequel toute la masse est concentrée dans un point matériel oscillant sur un fil en apesanteur et indéformable. En cas de déviation point matériel de la position d'équilibre à un petit angle a, tel que la condition soit satisfaite, une force de rappel agira sur le corps. Le signe moins indique que la force est dirigée dans la direction opposée au déplacement. Parce que , alors la force est égale à . La force est proportionnelle au déplacement, donc sous l'influence de cette force, le point matériel effectuera des oscillations harmoniques. Notons , où , nous avons : ou . D'où la période d'oscillation d'un pendule mathématique : .

Pendule physique tout corps qui oscille autour d'un axe qui ne passe pas par le centre de gravité peut servir. Distance entre l'axe de vibration et le centre de gravité UN. L'équation du mouvement dans ce cas s'écrira , ou pour de petites valeurs de l'angle φ : . En conséquence, nous avons l'équation des oscillations harmoniques avec fréquence et période . Dans la dernière égalité, la longueur réduite d'un pendule physique a été introduite pour rendre identiques les formules des pendules physiques et mathématiques.

DANS recherche en laboratoire souvent utilisé pendule de torsion, vous permettant de mesurer le moment d'inertie des corps solides avec une grande précision. Pour de telles oscillations, le moment est proportionnel à l'angle de torsion φ dans une plage assez large.

GOU DOD "RECHERCHE"

ouais

Dynamique

Travaux de laboratoire n°9.7

DYNAMIQUE DU MOUVEMENT VIBRATIONNEL

Instructions

pour effectuer des mesures et des recherches.

Formulaire de rapport

A remplir avec un simple crayon.

Aussi soigné et lisible que possible.

Terminé le travail

« …… » …………….20..….g.

J'ai vérifié le travail

.....................................................

Grade

...............%

« …… » …………….20..….g.

Stavropol 2011

Objectif du travail :

Approfondissez votre compréhension de la théorie des vibrations harmoniques. Maîtriser la technique observations expérimentales et vérifiez les lois des oscillations harmoniques non amorties en utilisant l'exemple d'un pendule mathématique et physique.

Équipement:un support pour observer les oscillations de divers pendules, un chronomètre, une règle.

1. Partie théorique

Vibrations mécaniques – il s’agit d’un type de mouvement dans lequel les coordonnées, vitesses et accélérations d’un corps sont répétées plusieurs fois.

Gratuit vibrations qui se produisent sous l'influence de forces internes systèmes téléphoniques Si, lors du retrait d'un système d'une position d'équilibre, une force apparaît dirigée vers la position d'équilibre et proportionnelle au déplacement, alors dans un tel système apparaît vibrations harmoniques. Ici, les coordonnées, les vitesses et les accélérations se produisent selon la loi du cosinus (sinus)

x=Acos(w0 t+un0 ); v=–v0sin(w0 t+un0 ); a=a0 Acos(w0 t+un0 ) (1)

Où UN– l'amplitude,w0 – fréquence cyclique,un0 – phase initiale hésitation. La fréquence cyclique est liée à la période d'oscillation T

(2)

Les vibrations libres ne sont harmoniques que dans le cas où il n’y a pas de frottement ou si celui-ci est négligeable.

font-size:16.0pt"> Les systèmes de corps dans lesquels se produisent des vibrations libres sont souvent appelés pendules.

Pendule physique appelé solide oscille sous l’influence de la gravité axe fixe À PROPOS, ne passant pas par le centre de masse AVEC corps (Fig. 1).

Lorsque le pendule est déplacé de sa position d'équilibre à un certain anglej, composant Fn pesanteur mgéquilibré par la force de réaction N axes À PROPOS, et le composant F ttend à ramener le pendule à sa position d’équilibre. Toutes les forces sont appliquées au centre de masse du corps.

En même temps

Ft =–mgsinj (3)

Le signe moins signifie que le déplacement angulairej et restaurer la force F t avoir directions opposées. À des angles de déviation suffisamment petits du pendule ( 5-6 ° ) péché j » j (j en radians ) Et F t » -mgj, c'est-à-dire que la force de rappel est proportionnelle à l'angle de déviation et est dirigée vers la position d'équilibre, ce qui est nécessaire pour obtenir des oscillations harmoniques.

Le pendule, en cours d'oscillation, effectue un mouvement de rotation par rapport à son axe À PROPOS, qui est décrit par l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation

M = Je , ( 4)

Où M.– moment de force F tpar rapport à l'axe À PROPOS, J.– moment d'inertie du pendule par rapport au même axe, ε - accélération angulaire pendule.

Moment de force dans F tpar rapport à l'axe À PROPOSégal à :

M=Ft× l = -mgj× je, (5)

Où je– épaule de forceFt - distance la plus courte entre le point de suspension et le centre de masse du pendule.

A partir des équations (4) et (5), composées sous forme différentielle, une solution est obtenue sous la forme

j = jm× cos(w0 t+j0 ) , (6)

Où . (7)

De cette solution, il s'ensuit qu'aux petites amplitudes de vibration (j<5-6 ° ) pendule physique effectue des oscillations harmoniques avec une amplitude angulaire d'oscillationsjm, fréquence cyclique et période T

taille de police : 16,0 pt ; font-weight:normal"> . (8)

L'analyse de la formule (8) permet de formuler les schémas d'oscillations suivants d'un pendule physique (à petite amplitude et en l'absence de forces de frottement) :

· La période d'oscillation d'un pendule physique à petits déplacements ne dépend pas de l'amplitude des oscillations.

· La période d'oscillation d'un pendule physique dépend du moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de rotation (oscillation).

· La période d'oscillation d'un pendule physique dépend de la position du centre de masse du pendule par rapport au point de suspension.

Le pendule physique le plus simple est un poids suspendu massif situé dans un champ de gravité. Si la suspension est inextensible, les dimensionsla charge est négligeable par rapport à la longueur de la suspension et la masse du fil est négligeable par rapport à la masse de la charge, alors la charge peut être considérée comme un point matériel situé à une distance constante je du point de suspension À PROPOS. Ce modèle idéalisé de pendule s'appelle pendule mathématique(Fig.2).

Les oscillations d'un tel pendule se produisent selon la loi harmonique (6). Depuis le moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe passant par le point À PROPOS, est égal J=ml2, alors la période d'oscillation d'un pendule mathématique est égale à

. (9)

L'analyse de la formule (9) permet de formuler les schémas d'oscillations suivants d'un pendule mathématique (avec une petite amplitude et en l'absence de forces de frottement) :

· La période d'oscillation d'un pendule mathématique ne dépend pas de la masse du pendule (ce qui a été vérifié lors de la précédente série de travaux de laboratoire).

· La période d'oscillation d'un pendule mathématique à de petits angles d'oscillation ne dépend pas de l'amplitude des oscillations (ce qui a également été vérifié précédemment).

· La période d'oscillation d'un pendule mathématique est directement proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.

2. Partie expérimentale

Zdevoir 1.Etude des oscillations d'un pendule physique

Cible.Vérifiez l'exactitude de la dépendance (8) de la période d'oscillation d'un pendule physique sur ses caractéristiques. Pour ce faire, il est nécessaire de construire des graphiques expérimentaux appropriés.

Le pendule physique utilisé dans ce travail est une tige droite homogène. La distance entre le centre de gravité de la tige, c'est-à-dire son milieu, et le point de suspension peut être modifiée. Moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation (balançoire) font-size:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

Où d– longueur de la tige, je– distance du centre de gravité (centre de la tige) à l’axe de balancement.

Graphique de dépendance T=f(l) représente une courbe forme complexe. Il doit être linéarisé pour un traitement ultérieur. Pour ce faire, on transforme la formule (10) sous la forme

taille de police : 16,0 pt ; font-weight:normal"> (11)

De là, nous pouvons voir que si nous traçons la dépendance (T2l) = f(l2), alors tu devrais avoir une ligne droite y=kx+b, dont le coefficient angulaire est égal à https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Renforcer la suspension en situation d'urgence. Mesurer la distance je du centre de gravité à l'axe

2. Mesurer la période d'oscillation T pendule. Pour ce faire, vous devez le dévier sous un petit angle et mesurer le temps 10-15 hésitation totale.

4. Réduire constamment la distance je , mesurer les périodes d'oscillation du pendule dans chacune de ces positions.

5. Deux graphiques doivent être construits. Premier graphe de dépendance T=f(l) affiche la dépendance non linéaire complexe de la période d'oscillation d'un pendule physique sur la distance à l'axe d'oscillation. Le deuxième graphique est la linéarisation de la même dépendance. Si les points du deuxième graphique se trouvent sur une ligne droite avec une petite dispersion (ce qui peut s'expliquer par des erreurs de mesure), alors nous pouvons conclure que formule générale(8) et, dans dans ce cas, formules (10) pour la période d'oscillation d'un pendule physique.

6. Utilisation du graphique de dépendance résultant(T2l) = f(l2), déterminer l'accélération chute libre et la longueur de la tige utilisée dans l'expérience. Pour ce faire, vous devez d'abord déterminer le coefficient angulaire de la droite et la taille du segment b coupée par une ligne droite à partir de l'axe vertical (Fig. 3). Alors

(12)

Lors du calcul de la longueur de la tige, utilisez la valeur obtenue expérimentalement de l'accélération due à la gravité.

Dans la sortie, comparez les valeurs obtenues g Et d avec leurs valeurs réelles.

Rapport

Tableau 1

Graphique de dépendance T = f(l).

Graphique de dépendance T2l =f(l2)

Résultats de l'expérimentation : ……………………………………………………….

Conclusions : …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… s2 / m b = ………… s2 × m

taille de police : 16,0 pt ; hauteur de ligne : 150 %"> ……… m/s2………m

Conclusion : ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Tâche 2. Étudier oscillations d'un pendule mathématique

1. Accrochez-vous à un fil balle de plomb, qui simule le mieux un point matériel. Modifiez la longueur de la suspension par incréments d'environ 10 cm afin d'obtenir 5 à 6 points expérimentaux. Le nombre d'oscillations dans chaque expérience n'est pas inférieur à. L'angle de déviation du pendule par rapport à la position d'équilibre ne doit pas dépasser 5-6°.

2. Dépendance Т=f(l) non linéaire. Par conséquent, pour faciliter la vérification expérimentale, cette dépendance doit être linéarisée. Pour ce faire, tracez la dépendance du carré de la période d'oscillation sur la longueur du pendule Т2=f(l). Si les points expérimentaux se trouvent sur une ligne droite avec une petite dispersion (ce qui peut s'expliquer par des erreurs de mesure), alors nous pouvons conclure que la formule (9) est satisfaite. Si la dispersion est importante, toute la série de mesures doit être répétée.

3. À l’aide du graphique obtenu, déterminez l’accélération de la gravité. Vous devez d’abord obtenir l’équation exacte de la droite expérimentale : y = kx + b. Pour ce faire, utilisez la méthode moindres carrés(LSM) (Tableau 3) et déterminer la pente de la droite k. Basé sur la valeur obtenue pente, calculez l’accélération due à la gravité.

k=DT2/Dl = 4p2 /g, où g=4 p2 /k. (13)

Rapport

Déviation initialej = ................

Tableau 2

Non.	je, m	N	t, c	T, c	T2 , c2

je, m

Tableau 3 des MCO

Désignations : je = x, T2 =oui

Au § 27, nous avons découvert que lors d'un mouvement oscillatoire, l'accélération est variable. Ce mouvement est donc provoqué par l’action force variable. Supposons que, sous l'action d'une force variable, un point matériel de masse effectue une oscillation harmonique d'accélération a. Alors, en tenant compte de la formule (5), on peut écrire

Ainsi, la force provoquant une oscillation harmonique est proportionnelle au déplacement et dirigée contre le déplacement. À cet égard, nous pouvons donner définition suivante oscillation harmonique (sauf celle donnée au § 27) : l'oscillation harmonique est appelée

provoquée par une force proportionnelle au déplacement et dirigée contre le déplacement. Cette force tend à ramener la pointe vers sa position d’équilibre, c’est pourquoi on l’appelle force de rappel. La force de rappel peut être par exemple la force élastique, puisqu'elle est également proportionnelle au déplacement et de signe opposé (voir § 10). Les forces de rappel peuvent également avoir une nature différente, non élastique. Dans ces cas, on les appelle des forces quasi-élastiques.

Si la masse du point matériel et le coefficient sont connus, alors à partir de la formule (10), nous pouvons déterminer la fréquence circulaire et la période d'oscillation :

Considérons maintenant la mécanique système oscillatoire, appelé pendule physique ; Il s'agit d'un corps solide qui oscille sous l'influence de la gravité autour d'un axe horizontal. Généralement, un pendule physique est une tige avec une extrémité lestée ; son autre extrémité est reliée de manière mobile à axe horizontal B, perpendiculaire à la tige (Fig. 51). Dévié de la position d'équilibre d'un angle a, le pendule, sous l'influence de la gravité, revient à cette position, la dépasse par inertie et dévie vers le côté opposé, puis repasse par la position d'équilibre, etc. Si le frottement dans la suspension est faible, le pendule oscillera pendant très longtemps. Le centre de gravité du pendule C décrira un arc de cercle Convenons de considérer l'angle comme positif lorsque le pendule s'écarte vers la droite de la position d'équilibre et négatif lorsqu'il s'écarte vers la gauche.

restaurer la force

où est la masse du pendule. Le signe moins est dû au fait que les directions de la force et l'angle de déviation sont toujours opposés. Pour les petits écarts rad a a. Alors

où est le déplacement en arc du centre de gravité du pendule par rapport à la position d'équilibre, la longueur du pendule (la distance du point de suspension au centre de gravité). Ainsi, la force de rappel s’avère proportionnelle au déplacement et de signe opposé (c’est-à-dire qu’il s’agit d’une force quasi-élastique). Les oscillations du pendule sont donc harmoniques.

Conformément à la loi fondamentale de la dynamique de rotation (voir § 21), le moment de la force de rappel sera exprimé par la relation :

où est le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe de la suspension, et est l'accélération angulaire. Alors

Puisque (voir § 6), alors, compte tenu de la formule (5), on peut écrire

où (o est la fréquence circulaire des oscillations du pendule. En comparant les formules (13) et (14), on obtient

d'où l'on trouve les expressions de la fréquence circulaire et de la période d'oscillation d'un pendule physique :

En pratique, il est souvent possible de considérer un pendule physique comme un pendule mathématique. Un pendule mathématique est un point matériel qui oscille sur un fil en apesanteur et indéformable (Fig. 52). D'après la définition du moment d'inertie d'un point matériel (voir § 21), le moment d'inertie d'un pendule mathématique

où est la masse du point matériel, la longueur du fil. En substituant cette valeur dans la formule (16), nous obtenons l'expression finale de la période d'oscillation d'un pendule mathématique :

De la formule (17), il résulte que

pour les petits écarts et la période d'oscillation d'un pendule mathématique est proportionnelle à racine carréeà partir de la longueur du pendule, est inversement proportionnelle à la racine carrée de l'accélération de la gravité et ne dépend pas de l'amplitude des oscillations et de la masse du pendule.

Afin de décrire quantitativement les vibrations d’un corps sous l’action de la force élastique d’un ressort ou les vibrations d’une bille suspendue à un fil, on utilise les lois de la mécanique de Newton.

Équation du mouvement d'un corps oscillant sous l'action d'une force élastique. Selon la deuxième loi de Newton, le produit de la masse m d’un corps par son accélération est égal à la résultante de toutes les forces appliquées au corps :

C'est l'équation du mouvement. Écrivons l'équation du mouvement d'une balle se déplaçant rectilignement le long de l'horizontale sous l'action de la force élastique d'un ressort (voir Fig. 3.3). Dirigons l'axe OX vers la droite. Laissez l'origine des coordonnées correspondre à la position d'équilibre de la balle (voir Fig. 3.3, a).

En projection sur l'axe OX, l'équation du mouvement (3.1) peut s'écrire comme suit : ma x = contrôle F x, où a x et F x contrôlent respectivement projections d'accélération et de force élastique du ressort sur cet axe.

Selon la loi de Hooke, la projection F x ynp est directement proportionnelle au déplacement de la balle depuis sa position d'équilibre. Le déplacement est égal à la coordonnée x de la balle, et la projection de la force et la coordonnée ont signes opposés(voir Fig. 3.3, b, c). Ainsi,

F x contrôle = -kx (3.2)

où k est la raideur du ressort.

L’équation du mouvement de la balle prendra alors la forme

max = -kx. (3.3)

En divisant les côtés gauche et droit de l'équation (3.3) par m, nous obtenons

Puisque la masse m et la rigidité k - constantes, alors leur rapport est également une valeur constante.

Nous avons obtenu une équation qui décrit les vibrations d'un corps sous l'action d'une force élastique. C’est très simple : la projection a x de l’accélération du corps est directement proportionnelle à sa coordonnée x, prise avec le signe opposé.

Équation du mouvement d'un pendule mathématique. Lorsqu'une balle oscille sur un fil inextensible, elle se déplace constamment le long d'un arc de cercle dont le rayon est égal à la longueur fils l. Par conséquent, la position de la balle à tout moment est déterminée par une valeur - l'angle de déviation du fil par rapport à la verticale. Nous considérerons l'angle comme positif si le pendule est incliné vers la droite par rapport à la position d'équilibre, et négatif s'il est incliné vers la gauche (voir Fig. 3.5). La tangente à la trajectoire sera considérée comme dirigée vers la référence d'angle positif.

Notons la projection de la gravité sur la tangente à la trajectoire du pendule par F t. Cette projection au moment où le fil du pendule s'écarte d'un angle est égale à :

Le signe « - » est ici car les valeurs F t et ont des signes opposés. Lorsque le pendule dévie vers la droite ( > 0), la composante gravitationnelle t est dirigée vers la gauche et sa projection est négative : F t< 0. При отклонении маятника влево ( < 0) эта проекция положительна: F t > 0.

Notons la projection de l'accélération du pendule sur la tangente à sa trajectoire par t.. Cette projection caractérise le taux de variation du module de vitesse du pendule.

D'après la deuxième loi de Newton

En divisant les côtés gauche et droit de cette équation par m, nous obtenons

Auparavant, on supposait que les angles de déviation du fil du pendule par rapport à la verticale pouvaient être quelconques. À l'avenir, nous les considérerons comme petits. Pour les petits angles, si l'angle est mesuré en radians,

Si l'angle est petit, alors la projection de l'accélération est approximativement égale à la projection de l'accélération sur l'axe OX : (voir Fig. 3.5). Du triangle ABO pour le petit angle a on a :

En substituant cette expression par l'égalité (3.8) au lieu de l'angle , on obtient

Cette équation a la même forme que l'équation (3.4) pour l'accélération d'une bille attachée à un ressort. Par conséquent, la solution de cette équation aura la même forme que la solution de l’équation (3.4). Cela signifie que le mouvement de la balle et les oscillations du pendule se produisent de la même manière. Les déplacements de la bille sur le ressort et le corps du pendule depuis les positions d'équilibre évoluent dans le temps selon la même loi, malgré le fait que les forces provoquant les oscillations ont des valeurs différentes nature physique. En multipliant les équations (3.4) et (3.10) par m et en rappelant la deuxième loi de Newton ma x = Fх res, on peut conclure que les oscillations dans ces deux cas se produisent sous l'influence de forces dont la résultante est directement proportionnelle au déplacement de le corps oscillant de la position d'équilibre et est dirigé vers le côté opposé à ce déplacement.

L'équation (3.4), comme (3.10), est apparemment très simple : l'accélération est directement proportionnelle à la coordonnée (déplacement par rapport à la position d'équilibre).