Vecteurs Multiplication d'un vecteur par un nombre Le produit d'un vecteur nul par un nombre est un vecteur dont la longueur est égale, et les vecteurs et sont codirectionnels. Leçon « Produit d'un vecteur par un nombre »

Soustraction vectorielle

Ajout de vecteur

Des vecteurs peuvent être ajoutés. Le vecteur résultant est la somme des deux vecteurs et détermine la distance et la direction. Par exemple, vous vivez à Kiev et avez décidé de rendre visite à de vieux amis à Moscou, puis de rendre visite à votre belle-mère bien-aimée à Lviv. À quelle distance serez-vous de votre domicile pour rendre visite à la mère de votre femme ?

Pour répondre à cette question, vous devez tracer un vecteur depuis le point de départ du voyage (Kiev) jusqu'au point final (Lviv). Le nouveau vecteur détermine le résultat de tout le voyage du début à la fin.

• Vecteur A - Kyiv-Moscou
• Vecteur B - Moscou-Lviv
• Vecteur C - Kyiv-Lviv

C = A+B, où C - somme vectorielle ou le vecteur résultant

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Les vecteurs peuvent non seulement être ajoutés, mais aussi soustraits ! Pour ce faire, vous devez combiner les bases des vecteurs de soustraction et de soustraction et relier leurs extrémités avec des flèches :

• Vecteur A = CB
• Vecteur B = C-A

23question :

Un vecteur est un segment orienté reliant deux points dans l'espace ou dans un plan. Les vecteurs sont généralement désignés soit par des lettres minuscules, soit par des points de départ et d'arrivée. Il y a généralement un tiret en haut.

Par exemple, un vecteur dirigé à partir du point UN jusqu'au point B, peut être désigné un,

Vecteur zéro 0 ou 0 est un vecteur dont les points de départ et d'arrivée sont les mêmes, c'est-à-dire UN=B.D'ici, 0 = – 0.

La longueur (module) du vecteur a est la longueur du segment AB le représentant, notée | un |. En particulier, | 0 | = 0.

Les vecteurs sont appelés colinéaire, si leurs segments dirigés se trouvent sur des lignes parallèles. Vecteurs colinéaires un Et b sont désignés un|| b.

Trois vecteurs ou plus sont appelés coplanaire, s'ils se trouvent dans le même plan.

Ajout de vecteur. Puisque les vecteurs sont dirigé segments, leur addition peut alors être effectuée géométriquement.(L'addition algébrique de vecteurs est décrite ci-dessous, dans le paragraphe « Vecteurs orthogonaux unitaires »). Faisons comme si

une = AB et b = CD,

alors le vecteur __ __

un+ b = UN B+ CD

est le résultat de deux opérations :

un)transfert parallèle l'un des vecteurs pour que son point de départ coïncide avec le point final du deuxième vecteur ;

b)addition géométrique, c'est-à-dire construire le vecteur résultant allant du point de départ du vecteur fixe au point final du vecteur transféré.

Soustraction de vecteurs. Cette opération se réduit à la précédente en remplaçant le vecteur sous-trahend par son opposé : un B =un+ (–b) .

Lois d'addition.

I.a+ b = b + un(Loi transitoire).

II. (un+ b) + c = un+ (b + c) (Droit combinatoire).

III. un+ 0= un.

IV. un+ (-un) = 0 .

Lois pour multiplier un vecteur par un nombre.

JE. 1 · un= un,0 · un= 0 , m· 0 = 0 , ( – 1) · un= - un.

II. m une = une m,| ma| = | m | · | un | .

III. m (n une) = (mn) une .(C o m b e t a l

loi de multiplication par nombre).

IV. (m+n) un= m a + n a,(DISTRIBUTIONNEL

m(un+ b)= m a + m b . loi de multiplication par nombre).

Produit scalaire de vecteurs. __ __

Angle entre les vecteurs non nuls AB Et CD– c'est l'angle formé par les vecteurs lorsqu'ils sont transférés en parallèle jusqu'à ce que les points soient alignés UN Et C. Produit scalaire des vecteurs a Et b s'appelle un nombre égal à le produit de leurs longueurs par le cosinus de l'angle qui les sépare :

Si l'un des vecteurs est nul, alors leur produit scalaire, conformément à la définition, est égal à zéro :

(un, 0) = (0,b) = 0 .

Si les deux vecteurs sont non nuls, alors le cosinus de l'angle qui les sépare est calculé par la formule :

Produit scalaire ( un, un), égal à | un| 2, appelé carré scalaire. Longueur du vecteur un et son carré scalaire sont liés par la relation :

Produit scalaire de deux vecteurs :

- positivement, si l'angle entre les vecteurs épicé;

- négatif, si l'angle entre les vecteurs émoussé.

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal à zéro si et seulement si l'angle qui les sépare est droit, c'est-à-dire lorsque ces vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) :

Propriétés du produit scalaire. Pour tous les vecteurs une, b, c et n'importe quel numéro m les relations suivantes sont valides :

JE. (un B) = (b, une) . (Loi transitoire)

II. (ma, b) = m(un B) .

III.(a+b,c) = (une, c) + (avant JC). (Loi distributive

Produit d'un vecteur et d'un nombre

Objectifs: introduire le concept de multiplication d'un vecteur par un nombre ; considérons les propriétés de base de la multiplication d'un vecteur par un nombre.

Pendant les cours

I. Apprendre du nouveau matériel(conférence).

1. Il convient de donner en début de cours un exemple qui conduit à la définition du produit d'un vecteur et d'un nombre, notamment celui-ci :

La voiture se déplace en ligne droite à une vitesse de . Il est dépassé par une deuxième voiture circulant à deux fois plus vite. Une troisième voiture se dirige vers eux, sa vitesse est la même que celle de la deuxième voiture. Comment exprimer les vitesses des deuxième et troisième voitures en fonction de la vitesse de la première voiture et comment représenter ces vitesses à l'aide de vecteurs ?

2. Détermination du produit d'un vecteur et d'un nombre, sa désignation : (Fig. 260).

3. Notez dans vos cahiers :

1) le produit de n'importe quel vecteur et le nombre zéro est un vecteur nul ;

2) pour tout nombre k et tout vecteur, les vecteurs et sont colinéaires.

4. Propriétés de base de la multiplication d'un vecteur par un nombre :

Pour tout nombre k, l et tout vecteur, les égalités sont valables :

1°. (loi combinatoire) (Fig. 261) ;

2°. (première loi distributive) (Fig. 262) ;

3°. (deuxième loi distributive) (Fig. 263).

Note. Les propriétés des opérations sur les vecteurs que nous avons considérées permettent d'effectuer des transformations dans des expressions contenant des sommes, des différences de vecteurs et des produits de vecteurs par des nombres selon les mêmes règles que dans les expressions numériques.

Multiplication d'un vecteur par un nombre Le produit d'un vecteur nul par un nombre est un vecteur dont la longueur est égale et les vecteurs sont codirectionnels et dirigés de manière opposée. Le produit d’un vecteur nul par n’importe quel nombre est considéré comme un vecteur nul. Le produit d'un vecteur zéro et d'un nombre est un vecteur dont la longueur est égale, et les vecteurs et sont codirectionnels et dirigés de manière opposée. Le produit d’un vecteur nul par n’importe quel nombre est considéré comme un vecteur nul.

Le produit d'un vecteur et d'un nombre est noté comme suit : Le produit d'un vecteur et d'un nombre est noté comme suit : Pour tout nombre et tout vecteur, les vecteurs et sont colinéaires. Pour tout nombre et tout vecteur, les vecteurs et sont colinéaires. Le produit de n’importe quel vecteur par le nombre zéro est un vecteur nul. Le produit de n’importe quel vecteur par le nombre zéro est un vecteur nul.

Pour tous vecteurs et tous nombres, les égalités sont valables : Pour tous vecteurs et tous nombres, les égalités sont valables : (loi combinative) (loi combinative) (première loi distributive) (première loi distributive) (deuxième loi distributive) ( deuxième loi distributive)

(-1) est le vecteur opposé au vecteur, c'est-à-dire (-1) =-. Les longueurs des vecteurs (-1) et sont égales à :. (-1) est le vecteur opposé au vecteur, c'est-à-dire (-1) =-. Les longueurs des vecteurs (-1) et sont égales à :. Si le vecteur est non nul, alors les vecteurs (-1) et sont de direction opposée. Si le vecteur est non nul, alors les vecteurs (-1) et sont de direction opposée. EN PLANIMÉTRIE EN PLANIMÉTRIE Si les vecteurs et sont colinéaires et, alors il existe un nombre tel que. Si les vecteurs et sont colinéaires et, alors il existe un nombre tel que.

Vecteurs coplanaires Les vecteurs sont appelés coplanaires si, lorsqu'ils sont tracés à partir du même point, ils se trouvent dans le même plan. Les vecteurs sont appelés coplanaires si, tracés à partir du même point, ils se trouvent dans le même plan.

La figure montre un parallélépipède. La figure montre un parallélépipède. Les vecteurs, et sont coplanaires, puisque si vous remettez un vecteur égal au point O. Les vecteurs, et sont coplanaires, puisque si vous remettez un vecteur égal au point O, vous obtenez un vecteur, et les vecteurs, vous obtenez un vecteur, et vecteurs, et se trouvent dans le même plan OSCE. Les vecteurs ne sont pas coplanaires, puisque le vecteur ne se trouve pas dans le plan OAB. et se trouvent dans le même plan OCE. Les vecteurs ne sont pas coplanaires, puisque le vecteur ne se trouve pas dans le plan OAB.

Preuve de la propriété Les vecteurs ne sont pas colinéaires (si les vecteurs sont colinéaires, alors la coplanarité des vecteurs est évidente). Traçons les vecteurs et à partir d'un point arbitraire O (Fig.). Les vecteurs et se trouvent dans le plan OAB. Les vecteurs se trouvent dans le même plan. Les vecteurs ne sont pas colinéaires (si les vecteurs sont colinéaires, alors la coplanarité des vecteurs est évidente). Traçons les vecteurs et à partir d'un point arbitraire O (Fig.). Les vecteurs et se trouvent dans le plan OAB. Dans le même plan se trouvent les vecteurs, et donc leur vecteur somme, et donc leur vecteur somme, qui est égal au vecteur. Vecteurs égaux au vecteur. Les vecteurs se trouvent dans le même plan, c'est-à-dire vecteurs et se trouvent dans le même plan, c'est-à-dire vecteurs et coplanaires. coplanaire.

Si les vecteurs et sont coplanaires et que les vecteurs et ne sont pas colinéaires, alors le vecteur peut être développé en vecteurs. Si les vecteurs et sont coplanaires et que les vecteurs et ne sont pas colinéaires, alors le vecteur peut être développé en vecteurs et (c'est-à-dire , représenté sous la forme), et (c'est-à-dire représenter sous la forme), et les coefficients de dilatation (c'est-à-dire les nombres et dans la formule) sont déterminés de manière unique. De plus, les coefficients de dilatation (c'est-à-dire les nombres et la formule) sont déterminés de manière unique.

"Cela s'appelle un vecteur" - Vecteurs. Ajout de vecteurs Règle de parallélogramme. Le deuxième concept de vecteur. Égalité des vecteurs. Vecteurs dirigés de manière opposée. Construction : Les vecteurs colinéaires ayant des directions opposées sont appelés vecteurs de direction opposée. Soustraction de vecteurs. Vecteurs colinéaires. Fin du vecteur.

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Le produit d’un vecteur nul et d’un nombre quelconque est considéré comme un vecteur nul. Pour tout nombre k et tout vecteur a, les vecteurs a et ka sont colinéaires. De cette définition, il s'ensuit également que le produit de tout vecteur et le nombre zéro est un vecteur nul.

Géométrie 11e année

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