En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, tellement plus question d'actualité seront vos connaissances et compétences en dessin. A cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des principaux fonctions élémentaires, et, au minimum, être capable de construire une ligne droite et une hyperbole.

Un trapèze courbe s'appelle silhouette plate, limité par l'axe, les droites, et le graphique d'une fonction continue sur le segment, qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Laisser cette figure situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

D'un point de vue géométrique Intégrale définie- c'est une ZONE.

C'est, une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égal à la superficie trapèze courbé correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. D'abord et le moment le plus important solutions - dessin dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. DANS dans ce cas"à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenions, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne correspondent clairement pas au chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 3

Calculer l'aire de la figure, limité par des lignes, Et axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si trapèze courbé situé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucun signification géométrique, alors cela peut être négatif.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

En pratique, le plus souvent la figure se situe à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, du plus simple problèmes scolaires Passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes , .

Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d’intégration est limite supérieure l'intégration

Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». Néanmoins, méthode analytique trouver des limites doit encore parfois être utilisé si, par exemple, le graphique est assez grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à quelques fonction continue, puis l'aire de la figure, limité par les horaires des fonctions et des droites données , , peuvent être trouvées à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il importe quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon formule correspondante:

Répondre:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un « problème » survient souvent : il faut trouver l'aire d'une figure qui est ombrée vert!

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies.

Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Passons aux applications calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante calculer l'aire d'une figure plane à l'aide d'une intégrale définie. Enfin, tous ceux qui cherchent un sens à mathématiques supérieures- Puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre intégrale indéfinie au moins à un niveau moyen. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales et chaleureuses avec certaines intégrales de la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc également une question pertinente. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), axe BŒUF et des lignes X = un; X = b.

L'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'en dire un de plus fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA. C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Considérons l'intégrale définie

Intégrande

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si vous le souhaitez), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le point le plus important dans la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Avec la technologie construction point par point peuvent être trouvés dans matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Faisons le dessin (notez que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous n’ombragerons pas un trapèze incurvé ; ici, la zone est évidente ; nous parlons de. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] graphique de fonction oui = X 2 + 2 situés au dessus de l'axeBŒUF, C'est pourquoi:

Répondre: .

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions. Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieuBŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et coordonnées des axes.

Solution : Faisons un dessin :

Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe BŒUF , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : Vous devez d’abord faire un dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration un= 0, limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration apparaissent « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Répétons que dans la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent déterminées « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ un; b] une fonction continue F(X) Plus grand ou égal à une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il importe quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc à partir de 2 X – X 2 doit être soustrait – X.

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

Le chiffre souhaité est limité par une parabole oui = 2X – X 2 en haut et droit oui = -X ci-dessous.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X. D'après la formule correspondante :

Répondre: .

En fait, formule scolaire pour l’aire d’un trapèze courbe dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) – cas particulier formules

Parce que l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) situé en dessous de l'axe BŒUF, Que

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... La zone du mauvais chiffre a été trouvée.

Exemple 7

Faisons d'abord un dessin :

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, les gens décident souvent qu'ils doivent trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile car il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au dessus de l'axe BŒUF le graphique est situé droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique d'une hyperbole est localisé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Présentons les équations sous forme « scolaire »

et faites un dessin point par point :

D’après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ?

Peut être, un=(-1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que un=(-1/4). Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez dépenser Du temps en plus et clarifier les limites de l’intégration de manière analytique.

Trouvons les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

Ainsi, un=(-1/3).

L’autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus simples. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Répondre:

Pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution : Représentons cette figure dans le dessin.

Pour faire un dessin point par point il faut savoir apparence sinusoïdes. De manière générale, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs sinusoïdales. On les retrouve dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques . Dans certains cas (par exemple, dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n’y a ici aucun problème avec les limites de l’intégration ; elles découlent directement de la condition :

– « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphique d'une fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, C'est pourquoi:

(1) Vous pouvez voir comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires dans la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques. Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique principale sous la forme

(3) Changeons la variable t=cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

Note: notez comment l'intégrale de la tangente au cube est prise ici ; identité trigonométrique

UN)

Solution.

Le premier et le plus important point de la décision est la construction du dessin.

Faisons le dessin :

L'équation y=0 définit l'axe « x » ;

- x=-2 Et x=1 - droit, parallèle à l'axe UO ;

- y=x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec le sommet au point (0;2).

Commentaire. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées, c'est-à-dire en mettant x=0 trouver l'intersection avec l'axe UO et décider en conséquence équation quadratique, trouvez l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet d'une parabole peut être trouvé à l'aide des formules :

Vous pouvez également construire des lignes point par point.

Sur l'intervalle [-2;1] le graphique de la fonction y=x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf , C'est pourquoi:

Répondre: S =9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu Oh?

b) Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=-ex , x=1 et coordonner les axes.

Solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe Oh , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Répondre: S=(e-1) unités carrées" 1,72 unités carrées

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

En pratique, la figure est le plus souvent située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur.

Avec) Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes y=2x-x 2, y=-x.

Solution.

Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique.

On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration une=0 , limite supérieure d'intégration b=3 .

Nous construisons lignes données: 1. Parabole - sommet au point (1;1); intersection des axes Oh - points (0;0) et (0;2). 2. Droite - bissectrice du 2e et du 4e angles de coordonnées. Et maintenant Attention ! Si sur le segment [ un B] une fonction continue f(x) supérieur ou égal à une fonction continue g(x), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée à l'aide de la formule : .

Et peu importe où se trouve la figure - au-dessus ou en dessous de l'axe, mais ce qui compte, c'est quel graphique est PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est EN DESSOUS. Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

On peut construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration deviennent claires « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre: S =4,5 unités carrées

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante – comment utiliser une intégrale définie pour calculer l'aire d'une figure plane. Enfin, ceux qui recherchent un sens aux mathématiques supérieures puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (pour beaucoup, c'est nécessaire) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphiques.

En fait, tout le monde est familier avec la tâche consistant à trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas beaucoup plus loin de programme scolaire. Cet article n'existait peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre d'une école détestée et maîtrise avec enthousiasme un cours de mathématiques supérieures.

Matériaux de cet atelier présenté simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze courbe.

Trapèze curviligne est une figure plate délimitée par un axe, des droites, et le graphique d'une fonction continue sur un intervalle qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans le document de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Je n’ombragerai pas le trapèze incurvé ; il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si un trapèze courbé est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes , .

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point des différents graphiques est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, alors

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

...Eh, le dessin est nul, mais tout semble lisible.

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Passons à une autre tâche significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :

D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes ; les calculs ici ne sont pas des plus simples ;

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Eh bien, pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,

Solution: Représentons cette figure dans le dessin.

Bon sang, j'ai oublié de signer le planning et, désolé, je ne voulais pas refaire la photo. Pas un jour de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point, il est nécessaire de connaître l'aspect d'une sinusoïde (et en général il est utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les trouve dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration ; elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Dans cet article, vous apprendrez comment trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d’un tel problème au lycée, alors que nous venons de terminer l’étude des intégrales définies et qu’il est temps de commencer interprétation géométrique acquis des connaissances dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à réaliser des dessins compétents ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant formule célèbre Newton-Leibniz ;
La capacité de « voir » une option de solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre en quoi il sera plus pratique de réaliser l'intégration dans un cas ou un autre ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où serions-nous sans des calculs corrects ?) Cela implique de comprendre comment résoudre cet autre type d’intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur une feuille de papier à carreaux, avec sur une grande Scale. On signe le nom de cette fonction avec un crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour faciliter les calculs ultérieurs. Après avoir reçu un graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. C'est ainsi que nous résolvons le problème méthode graphique. Cependant, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement spécifiées, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux et voyons si notre solution graphique avec analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonctions sont disposés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples sur la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze courbe. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? Il s'agit d'une figure plate limitée par l'axe des x (y = 0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant b. De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale, calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Par quelles lignes la figure est-elle délimitée ? Nous avons une parabole y = x2 – 3x + 3, qui est situé au dessus de l'axe OH, c'est non négatif, car tous les points de cette parabole ont valeurs positives. Ensuite, étant donné les lignes droites x = 1 Et x = 3, qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de démarcation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est aussi l'axe des x, qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze courbe, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons examiné le cas où un trapèze courbe est situé au-dessus de l'axe des x. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se situe sous l'axe des x. À formule standard Newton-Leibniz moins est ajouté. Comment décider tâche similaire Regardons cela plus en détail.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

DANS dans cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2, qui provient de l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème de la recherche de l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que fonction donnée non positif, et toujours continu sur l'intervalle [-4; -1] . Comment ça, pas positif ? Comme le montre la figure, la figure qui se situe dans les x donnés a des coordonnées exclusivement « négatives », ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.

Calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes spécifiées. Trouver l'aire d'une figure délimitée par les droites y=f(x), x=g(y)

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure