Signification géométrique de la différence entre les valeurs de la fonction primitive. Une fonction F(x) est appelée primitive d'une fonction f(x) si F`(x)=f(x) ou dF(x)=f(x)dx

L'émergence du concept d'intégrale était due à la nécessité de trouver une fonction primitive à partir de sa dérivée, ainsi que de déterminer la quantité de travail, l'aire des figures complexes, la distance parcourue, avec des paramètres délimités par des courbes décrites par des formules non linéaires.

et ce travail est égal au produit de la force et de la distance. Si tout mouvement se produit avec vitesse constante ou la distance est surmontée avec l'application de la même force, alors tout est clair, il suffit de les multiplier. Quelle est l’intégrale d’une constante ? de la forme y=kx+c.

Mais la force peut changer au fil du travail, et dans une sorte de dépendance naturelle. La même situation se présente avec le calcul de la distance parcourue si la vitesse n'est pas constante.

Il est donc clair pourquoi l’intégrale est nécessaire. Le définir comme la somme des produits des valeurs d'une fonction par un incrément infinitésimal de l'argument décrit complètement sens principal ce concept comme l'aire d'une figure, délimitée en haut par la ligne de la fonction, et sur les bords par les limites de la définition.

Jean-Gaston Darboux mathématicien français, dans la seconde moitié du XIXe siècle, a expliqué très clairement ce qu'est une intégrale. Il a clairement indiqué qu'en général, il ne serait pas difficile, même pour un écolier, de comprendre cette question. classes juniors lycée.

Disons qu'il existe une fonction de n'importe quel forme complexe. L'axe des ordonnées sur lequel sont tracées les valeurs de l'argument est divisé en petits intervalles, idéalement ils sont infinitésimaux, mais comme la notion d'infini est assez abstraite, il suffit d'imaginer simplement de petits segments dont la valeur est généralement dénoté lettre grecqueΔ (delta).

La fonction s’est avérée « découpée » en petites briques.

Chaque valeur d'argument correspond à un point sur l'axe des ordonnées, sur lequel sont tracées les valeurs de fonction correspondantes. Mais comme la zone sélectionnée a deux limites, il y aura également deux valeurs de fonction, supérieure et inférieure.

La somme des produits de valeurs plus grandes par l'incrément Δ est appelée une grande quantité Darboux, et est noté S. En conséquence, des valeurs plus petites dans une zone limitée, multipliées par Δ, forment toutes ensemble une petite somme de Darboux s. Le site lui-même ressemble trapèze rectangulaire, puisque la courbure de la ligne de fonction avec un incrément infinitésimal peut être négligée. Le moyen le plus simple de trouver la zone est comme ceci figure géométrique- consiste à additionner les produits d'un plus grand et valeur plus petite fonctionne par incrément Δ et divise par deux, c'est-à-dire défini comme la moyenne arithmétique.

Voici ce qu’est l’intégrale de Darboux :

s=Σf(x) Δ - petite quantité ;

S= Σf(x+Δ)Δ est une grande quantité.

Alors, qu’est-ce qu’une intégrale ? Carré, délimité par une ligne les limites de fonction et de définition seront égales à :

∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c

Autrement dit, la moyenne arithmétique des grandes et petites sommes de Darboux est une valeur constante qui est réinitialisée lors de la différenciation.

Sur la base de l'expression géométrique de ce concept, il devient clair signification physique intégral. Délimitée par la fonction de vitesse et limitée par l'intervalle de temps le long de l'axe des x, sera la longueur de la distance parcourue.

L = ∫f(x)dx sur l'intervalle de t1 à t2,

f(x) est fonction de la vitesse, c'est-à-dire la formule par laquelle elle évolue dans le temps ;

L - longueur du chemin ;

t1 - heure de début du voyage ;

t2 est l'heure de fin du voyage.

Exactement le même principe est utilisé pour déterminer la quantité de travail, seule la distance sera portée en abscisse et la quantité de force appliquée à chaque point spécifique sera portée en ordonnée.

Pour chaque action mathématique, il existe une action inverse. Pour l'action de différenciation (trouver des dérivées de fonctions), il existe également une action inverse - l'intégration. Grâce à l'intégration, une fonction est trouvée (reconstruite) à partir de sa dérivée ou différentielle donnée. La fonction trouvée s'appelle primitive.

Définition. Fonction différenciable F(x) est appelée la primitive de la fonction f(x) sur un intervalle donné, si pour tout Xà partir de cet intervalle, l'égalité suivante est vérifiée : F′(x)=f (x).

Exemples. Trouvez les primitives des fonctions : 1) f (x)=2x ; 2) f(x)=3cos3x.

1) Puisque (x²)′=2x, alors, par définition, la fonction F (x)=x² sera une primitive de la fonction f (x)=2x.

2) (sin3x)′ = 3cos3x. Si on note f (x)=3cos3x et F (x)=sin3x, alors, par définition d'une primitive, on a : F′(x)=f (x), et donc F (x)=sin3x est une primitive pour f ( x)=3cos3x.

Notez que (sin3x +5 )′= 3cos3x, et (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... sous forme générale on peut écrire : (sin3x +C)′= 3cos3x, Où AVEC- quelques constante. Ces exemples indiquent l'ambiguïté de l'action d'intégration, contrairement à l'action de différenciation, lorsqu'une fonction différentiable a une seule dérivée.

Définition. Si la fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme :

F(x)+C, où C est un nombre réel.

L'ensemble de toutes les primitives F (x)+C de la fonction f (x) sur l'intervalle considéré est appelé intégrale indéfinie et est indiqué par le symbole ∫ (signe intégral). Écrire: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Expression ∫f(x)dx lire : « ef intégral de x à de x ».

f(x)dx- expression intégrande,

f(x)— fonction intégrande,

X — variable d'intégration.

F(x)- primitive d'une fonction f(x),

AVEC- une valeur constante.

Maintenant, les exemples considérés peuvent s'écrire comme suit :

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Que signifie le signe d ?

d- signe différentiel - a un double objectif : d'une part, ce signe sépare l'intégrande de la variable d'intégration ; deuxièmement, tout ce qui vient après ce signe est différencié par défaut et multiplié par l'intégrande.

Exemples. Trouvez les intégrales : 3) ∫ 2pxdx ; 4) ∫ 2pxdp.

3) Après l'icône différentielle d frais XX, UN R.

∫ 2хрdx=рх²+С. Comparez avec l'exemple 1).

Faisons une vérification. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Après l'icône différentielle d frais R.. Cela signifie que la variable d'intégration R., et le multiplicateur X doit être considérée comme une valeur constante.

∫ 2хрдр=р²х+С. Comparez avec des exemples 1) Et 3).

Faisons une vérification. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Considérons le mouvement d'un point le long d'une ligne droite. Que ça prenne du temps t depuis le début du mouvement, la pointe a parcouru une distance St). Alors Vitesse instantanée Vermont)égal à la dérivée de la fonction St), c'est v(t) = s"(t).

En pratique, cela se produit problème inverse: à une vitesse donnée de déplacement du point Vermont) retrouver le chemin qu'elle a emprunté St), c'est-à-dire trouver une telle fonction St), dont la dérivée est égale à Vermont). Fonction St), tel que s"(t) = v(t), est appelée la primitive de la fonction Vermont).

Par exemple, si v(t) = à, Où UN– numéro donné, alors la fonction
s(t) = (à 2) / 2Vermont), parce que
s"(t) = ((à 2) / 2) " = à à = v(t).

Fonction F(x) appelé la primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, si pour tout X de cet écart F"(x) = f(x).

Par exemple, la fonction F(x) = sinx est la primitive de la fonction f(x) = cosx, parce que (péché x)" = cos x; fonction F(x) = x4/4 est la primitive de la fonction f(x) = x3, parce que (x 4/4)" = x 3.

Considérons le problème.

Tâche.

Montrer que les fonctions x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sont des primitives de la même fonction f(x) = x 2.

Solution.

1) Notons F 1 (x) = x 3 /3, alors F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

En général, toute fonction x 3 /3 + C, où C est une constante, est une primitive de la fonction x 2. Cela découle du fait que la dérivée de la constante est nulle. Cet exemple montre que pour fonction donnée sa primitive est déterminée de manière ambiguë.

Soient F 1 (x) et F 2 (x) deux primitives de la même fonction f(x).

Alors F 1 "(x) = f(x) et F" 2 (x) = f(x).

La dérivée de leur différence g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) est égale à zéro, puisque g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Si g"(x) = 0 sur un certain intervalle, alors la tangente au graphique de la fonction y = g(x) en chaque point de cet intervalle est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, le graphique de la fonction y = g(x) est une droite parallèle à l'axe Ox, c'est-à-dire e. g(x) = C, où C est une constante des égalités g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) il s'ensuit que F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Ainsi, si la fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, alors toutes les primitives de la fonction f(x) s'écrivent sous la forme F(x) + C, où C est un constante arbitraire.

Considérons les graphiques de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x). Si F(x) est l'une des primitives de la fonction f(x), alors toute primitive de cette fonction s'obtient en ajoutant à F(x) une constante : F(x) + C. Graphiques des fonctions y = F( x) + C sont obtenus à partir du graphique y = F(x) par décalage le long de l'axe Oy. En choisissant C, vous pouvez vous assurer que le graphe de la primitive passe par un point donné.

Faisons attention aux règles de recherche des primitives.

Rappelons que l'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction donnée s'appelle différenciation. Opération inverse trouver la primitive pour une fonction donnée s'appelle l'intégration(depuis mot latin "restaurer").

Tableau des primitives pour certaines fonctions, il peut être compilé à l'aide d'une table de dérivées. Par exemple, sachant que (cos x)" = -sin x, on a (-cos x)" = péché x, d'où il résulte que toutes les fonctions primitives péché x s'écrivent sous la forme -cos x + C, Où AVEC- constante.

Examinons certaines des significations des primitives.

1) Fonction: xp, p ≠ -1. Primitive : (x p+1) / (p+1) + C.

2) Fonction: 1/x, x > 0. Primitive : lnx + C.

3) Fonction: xp, p ≠ -1. Primitive : (x p+1) / (p+1) + C.

4) Fonction: ex. Primitive : e x + C.

5) Fonction: péché x. Primitive : -cos x + C.

6) Fonction: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Primitive : (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Fonction: 1/(kx + b), k ≠ 0. Primitive : (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Fonction: e kx + b, k ≠ 0. Primitive : (1/k)e kx + b + C.

9) Fonction: péché (kx + b), k ≠ 0. Primitive : (-1/k) cos (kx + b).

10) Fonction: cos (kx + b), k ≠ 0. Primitive : (1/k) péché (kx + b).

Règles d'intégration peut être obtenu en utilisant règles de différenciation. Regardons quelques règles.

Laisser F(x) Et G(x)– primitives de fonctions respectivement f(x) Et g(x)à un certain intervalle. Alors:

1) fonction F(x) ± G(x) est la primitive de la fonction f(x) ± g(x);

2) fonction àF(x) est la primitive de la fonction unf(x).

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Un certain intervalle X. Si Pour tout xХ F"(x) = f(x), alors fonction F appeléprimitivePourles fonctions f sur l'intervalle X. PrimitivePourles fonctions tu peux essayer de trouver...