Il existe les formes suivantes de nombres complexes : algébrique(x+iy), trigonométrique(r(cos+isine 
)),
indicatif(à propos de moi 
).
Tout nombre complexe z=x+iy peut être représenté sur le plan XOU comme un point A(x,y).
Le plan sur lequel les nombres complexes sont représentés est appelé le plan de la variable complexe z (on met le symbole z sur le plan).
L'axe OX est l'axe réel, c'est-à-dire il contient des nombres réels. OU est un axe imaginaire avec des nombres imaginaires.
x+iy- forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe.
Dérivons la forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe.
On substitue les valeurs obtenues sous la forme initiale : , c'est-à-dire
r(cos
+isin
)
- forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe.
La forme exponentielle d’écriture d’un nombre complexe découle de la formule d’Euler : 
,Alors 
z= concernant je 
- forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe.
Opérations sur les nombres complexes.
1. ajout. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . soustraction. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2) ;
3. multiplication. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. division. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
Deux nombres complexes qui ne diffèrent que par le signe de l'unité imaginaire, c'est-à-dire z=x+iy (z=x-iy) sont appelés conjugués.
Travail.
z1=r(cos 
+isin 
); z2=r(cos 
+isin 
).
Ce produit z1*z2 de nombres complexes se trouve : , c'est-à-dire le module du produit est égal au produit des modules, et l'argument du produit est égal à la somme des arguments des facteurs.
;
;
Privé.
Si les nombres complexes sont donnés sous forme trigonométrique.
Si les nombres complexes sont donnés sous forme exponentielle.
Exponentiation.
1. Nombre complexe donné dans algébrique formulaire.
z=x+iy, alors z n est trouvé par Formule binomiale de Newton:
- le nombre de combinaisons de n éléments de m (le nombre de façons dont n éléments de m peuvent être pris).
; 
.
n!=1*2***…*n; 0!=1;
Postulez pour des nombres complexes.
Dans l'expression résultante, vous devez remplacer les puissances i par leurs valeurs :
i 0 =1 Ainsi, dans le cas général on obtient : i 4k =1
je 1 =je je 4k+1 =je
je 2 =-1 je 4k+2 =-1
je 3 =-je je 4k+3 =-je.
Exemple
je 31 = je 28 je 3 =-je
2. je 1063 = je 1062 je=je formulaire.
trigonométrique 
+isin 
z=r(cos
- ), Que.
Ici, n peut être « + » ou « - » (entier).
3. Si un nombre complexe est donné dans indicatif formulaire:
Extraction de racines.
Considérons l'équation : 
.
Sa solution sera la nième racine du nombre complexe z : 
.
La nième racine d'un nombre complexe z a exactement n solutions (valeurs). La nième racine d’un nombre réel n’a qu’une seule solution. Dans les cas complexes, il existe n solutions.
Si un nombre complexe est donné dans je 1063 = je 1062 je=je formulaire:
trigonométrique 
+isin 
), alors la nième racine de z est trouvée par la formule :
, où k=0,1…n-1.
Lignes. Série de nombres.
Laissez la variable a prendre séquentiellement les valeurs a 1, a 2, a 3,…, a n. Un tel ensemble de nombres renumérotés est appelé une séquence. C'est sans fin.
Une série de nombres est l’expression a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= 
. Les nombres a 1, a 2, a 3,... et n sont membres de la série.
Par exemple.
et 1 est le premier terme de la série.
et n est le nième ou terme commun de la série.
Une série est considérée comme donnée si le nième (terme commun de la série) est connu.
Une série de nombres comporte un nombre infini de termes.
Numérateurs – progression arithmétique (1,3,5,7…).
Le nième terme est trouvé par la formule a n =a 1 +d(n-1) ; d=un n -un n-1 .
Dénominateur – progression géométrique. b n = b 1 q n-1 ; 
.
Considérons la somme des n premiers termes de la série et notons-la Sn.
Sn=a1+a2+…+an.
Sn est la nième somme partielle de la série.
Considérez la limite : 
S est la somme de la série.
Rangée convergent , si cette limite est finie (une limite finie S existe).
Rangée divergent , si cette limite est infinie.
À l'avenir, notre tâche consiste à établir quelle ligne.
L'une des séries les plus simples mais les plus courantes est la progression géométrique.
, C=const.
La progression géométrique estconvergent
près, Si 
, et divergent si 
.
On retrouve également série harmonique(rangée 
). Ces séries divergent
.
BILLET 1
Rationnel nombres – nombres écrits sous la forme p/q, où q est un nombre naturel. nombre, et p est un nombre entier.
Deux nombres a=p1/q1 et b=p2/q2 sont dits égaux si p1q2=p2q1, et p2q1 et a>b si p1q2
BILLET 2
Nombres complexes. Nombres complexes
Une équation algébrique est une équation de la forme : P n ( X) = 0, où P n ( X) - polynôme n- oh degré. Quelques chiffres réels X Et à Appelons cela ordonné s'il est indiqué lequel d'entre eux est considéré en premier et lequel est considéré en second. Notation de paire ordonnée : ( X, oui). Un nombre complexe est une paire de nombres réels ordonnés arbitrairement. z = (X, oui)-nombre complexe.
X-partie réelle z, oui-partie imaginaire z. Si X= 0 et oui= 0, alors z= 0. Considérons z 1 = (x 1 , y 1) et z 2 = (x 2 , y 2).
Définition 1. z 1 = z 2 si x 1 = x 2 et y 1 = y 2.
Concepts > et< для комплексных чисел не вводятся.
Représentation géométrique et forme trigonométrique des nombres complexes.
M( X, oui) « z = X + je.
½ OM½ = r =½ z½ = .(photo)
r est appelé module d'un nombre complexe z.
j est appelé l'argument d'un nombre complexe z. Elle est déterminée avec une précision de ± 2p n.
X= rcosj, oui= rsinj.
z= X+ je= r(cosj + je sinj) est la forme trigonométrique des nombres complexes.
Déclaration 3.
= (cos + je péché),
= (cos + je péché), alors
= (cos( + ) + je péché( + )),
= (cos( - )+ je sin( - )) à ¹0.
Déclaration 4.
Si z=r(cosj+ je sinj), puis "naturel n:
= (cos nj + je péché New Jersey),
BILLET 3
Laisser X- un ensemble numérique contenant au moins un nombre (ensemble non vide).
XÎ X- X contenu dans X. ; XÏ X- X n'appartient pas X.
Définition: Un tas de X est appelé borné au-dessus (en dessous) s'il existe un nombre M(m) tel que pour tout X Î X l’inégalité persiste X £ M (X ³ m), tandis que le nombre M appelée la limite supérieure (inférieure) de l'ensemble X. Un tas de X est dit borné au-dessus si $ M, " X Î X: X £ M. Définition ensemble illimité d'en haut. Un tas de X est dit illimité d'en haut si " M $ X Î X: X> M. Définition un tas de X est appelé borné s'il est borné au-dessus et en dessous, c'est-à-dire $ M, m tel que " X Î X: m £ X £ M. Définition équivalente de l'ogre mn-va : Ensemble X est appelé borné si $ UN > 0, " X Î X: ½ X½£ UN. Définition : La plus petite limite supérieure d'un ensemble délimité au-dessus X est appelé son supremum, et est noté Sup X
(suprême). =Sup X. De même, on peut déterminer la valeur exacte
bord inférieur. Équivalent définition limite supérieure exacte :
Le nombre est appelé le suprême de l'ensemble X, Si: 1) " X Î X: X£ (cette condition montre qu'il s'agit d'une des limites supérieures). 2) " < $ x Î X: X> (cette condition montre que -
la plus petite des faces supérieures).
Souper X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
fam X(infimum) est l'infimum exact. Posons la question : tout ensemble borné a-t-il des arêtes exactes ?
Exemple: X= {X: X>0) n’a pas de plus petit nombre.
Théorème sur l'existence d'une face supérieure (inférieure) exacte. Toute limite supérieure (inférieure) non vide xÎR a une face supérieure (inférieure) exacte.
Théorème sur la séparabilité des nombres numériques :▀▀▄
BILLET 4
Si à chaque nombre naturel n (n=1,2,3..) se voit attribuer un nombre correspondant Xn, alors on dit qu'il est défini et donné sous-séquence x1, x2..., écrivez (Xn), (Xn). Exemple : Xn=(-1)^n : -1,1,-1,1,...Le nom de la limite. par le haut (par le bas) si l'ensemble des points x=x1,x2,…xn situés sur l'axe numérique est limité par le haut (par le bas), c'est-à-dire $C:Xn£C" Limite de séquence : le nombre a est appelé la limite de la suite si pour tout ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N l'inégalité |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
à n>N.
Unicité de la limite séquence bornée et convergente
Propriété 1 : Une séquence convergente n'a qu'une seule limite.
Preuve : par contradiction soit UN Et b limites d'une séquence convergente (x n), et a n'est pas égal à b. considérons des séquences infinitésimales (α n )=(x n -a) et (β n )=(x n -b). Parce que tous les éléments b.m. les séquences (α n -β n ) ont la même valeur b-a, alors par la propriété de b.m. séquences b-a=0 c'est-à-dire b=a et nous sommes arrivés à une contradiction.
Propriété 2 : Une séquence convergente est bornée.
Preuve : Soit a la limite d'une suite convergente (x n), alors α n = x n -a est un élément du b.m. séquences. Prenons n'importe quel ε>0 et utilisons-le pour trouver N ε : / x n -a/< ε при n>N ε . Notons b le plus grand des nombres ε+/a/, /x1/, /x2/,…,/x N ε-1 /,x N ε. Il est évident que /x n/
Remarque : la séquence bornée peut ne pas être convergente.
BILLET 6
La suite a n est dite infinitésimale, ce qui signifie que la limite de cette suite après est 0.
a n – infinitésimal Û lim(n ® + ¥)a n =0 c'est-à-dire que pour tout ε>0 il existe N tel que pour tout n>N |a n |<ε
Théorème. La somme d’un infinitésimal est un infinitésimal.
a n b n ®infinitésimal Þ a n +b n – infinitésimal.
Preuve.
a n - infinitésimal Û "ε>0 $ N 1 :" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - infinitésimal Û "ε>0 $ N 2 :" n >N 2 Þ |b n |<ε
Posons N=max(N 1 ,N 2 ), alors pour tout n>N Þ les deux inégalités sont simultanément satisfaites :
|une n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Posons "ε 1 >0, posons ε=ε 1 /2. Alors pour tout ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2 : " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
est a n + b n – infinitésimal.
Théorème Le produit d’un infinitésimal est un infinitésimal.
a n ,b n – infinitésimal Þ a n b n – infinitésimal.
Preuve:
Posons "ε 1 >0, mettons ε=Öε 1, puisque a n et b n sont infinitésimaux pour ce ε>0, alors il y a N 1 : " n>N Þ |a n |<ε
$N 2 : " n>N 2 Þ |b n |<ε
Prenons N=max (N 1 ;N 2 ), alors "n>N = |a n |<ε
|une n b n |=|une n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – infinitésimal, ce qui devait être prouvé.
Théorème Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale
et n est une suite bornée
a n – séquence infinitésimale Þ a n a n – séquence infinitésimale.
Preuve : Puisque a n est borné Û $С>0 : "nО NÞ |a n |£C
Posons "ε 1 >0 ; mettons ε=ε 1 /C ; puisque a n est infinitésimal, alors ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N : "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – infinitésimal La séquence s'appelle BBP(dans l'ordre) s'ils écrivent. Évidemment, le BBP n’est pas limité. L'affirmation inverse est généralement fausse (exemple). Si pour les gros n membres, alors écrivez cela signifie que dès que. La signification de l'entrée est déterminée de la même manière Des séquences infiniment grandes une n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Définition(séquences infiniment grandes) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, si "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε où ε est arbitrairement petit. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, si "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BILLET 7 Théorème « Sur la convergence des tons monotones. dernier" Toute séquence monotone est convergente, c'est-à-dire a des limites. Document Soit la séquence (xn) croissante de façon monotone. et est limité par le haut. X – l'ensemble complet de nombres qui accepte l'élément de cette séquence selon la convention. Les théorèmes sont donc en nombre limité, selon Théorème, il a une limite supérieure exacte finie. face supX xn®supX (on note supX par x*). Parce que x* exactement en haut. face, alors xn£x* " n. " e >0 hors nerf $ xm (soit m n avec couvercle) : xm>x*-e avec " n>m => des 2 inégalités indiquées on obtient la la deuxième inégalité x*-e£xn£x*+e pour n>m est équivalente à ½xn-x*1 BILLET 8 Exposant ou nombre e R-numéro romain séquence avec un terme commun xn=(1+1/n)^n (à la puissance n)(1) . Il s'avère que la suite (1) augmente de façon monotone, est bornée par le haut et est convergente ; la limite de cette suite est appelée exponentielle et est désignée par le symbole e»2,7128... Numéro e BILLET 9 Le principe des segments imbriqués Supposons que la droite numérique reçoive une séquence de segments ,,...,,... De plus, ces segments satisfont aux éléments suivants. condition: 1) chaque suivant est imbriqué dans le précédent, c'est-à-dire М, "n=1,2,…; 2) Les longueurs des segments ®0 lorsque n augmente, c'est-à-dire lim(n®¥)(bn-an)=0. Les séquences avec les saints spécifiés sont appelées imbriquées. Théorème Toute séquence de segments imbriqués contient un seul point c qui appartient simultanément à tous les segments de la séquence, avec le point commun de tous les segments auxquels ils sont contractés. Document(an) - séquence des extrémités gauches des segments de phénomènes. monotone non décroissant et limité au-dessus par le nombre b1. (bn) - la séquence des extrémités droites n'est pas croissante de manière monotone, donc ces séquences de phénomènes. convergent, c'est-à-dire il y a des nombres c1=lim(n®¥)an et c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - leur valeur commune. En effet, il a la limite lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) due à la condition 2) o= lim(n®¥) (bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Il est clair que t.c est commun à tous les segments, puisque "n an£c£bn. Nous allons maintenant prouver qu'il en est un. Supposons que $ soit un autre c' auquel tous les segments sont contractés. Si nous prenons des segments c et c' qui ne se coupent pas, alors d'un côté toute la « queue » des séquences (an), (bn) devrait être située à proximité du point c'' (puisque an et bn convergent vers c et c' simultanément). La contradiction est vraie. BILLET 10 Théorème de Bolzano-Weierstrass
De n'importe quelle coupe. Ensuite, vous pouvez sélectionner le rassemblement. Sous-syllabus 1. Puisque la séquence est limitée, alors $ m et M, tels que " m£xn£M, " n. D1= – segment dans lequel se trouvent toutes les séquences t-ki. Divisons-le en deux. Au moins une des moitiés contiendra un nombre infini de séquences t-k. D2 est la moitié où se trouvent un nombre infini de séquences tk. Nous le divisons en deux. Au moins dans une des moitiés négative. D2 a un nombre infini de séquences. Cette mi-temps est D3. Divisez le segment D3... etc. on obtient une séquence de segments imbriqués dont les longueurs tendent vers 0. D'après la règle des segments imbriqués, $ unités. t-ka S, chat. qui appartiennent tous les segments D1, tout t-tu Dn1. Dans le segment D2 je choisis le point xn2, pour que n2>n1. Dans le segment D3...etc. En conséquence, le dernier mot est xnkÎDk. BILLET 11 BILLET 12 fondamental En conclusion, nous considérons la question du critère de convergence d'une suite numérique. Soit par exemple : Nous avons obtenu la déclaration suivante : Si la suite converge, la condition est satisfaite Cauchy: Une séquence de nombres qui satisfait à la condition de Cauchy est appelée fondamental. On peut prouver que l’inverse est également vrai. On a ainsi un critère (condition nécessaire et suffisante) pour la convergence de la suite. Critère de Cauchy. Pour qu’une suite ait une limite, il faut et il suffit qu’elle soit fondamentale. Le deuxième sens du critère de Cauchy. Membres de la séquence et où n Et m– toute approche sans limite à . BILLET 13 Des limites unilatérales. Définition 13.11. Nombre UN appelé la limite de la fonction y = f(x) à X, luttant pour x0 gauche (droite), si tel que | f(x)-UNE|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Désignations : Théorème 13.1 (deuxième définition de la limite). Fonction y=f(x) a à X, luttant pour X 0, limite égale à UN, si et seulement si ses deux limites unilatérales existent à ce stade et sont égales UN. Preuve. 1) Si , alors et pour x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - UNE|<ε, то есть 1) Si , alors il y a δ 1 : | f(x) - UNE| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - UNE| < ε при x - x 0<
δ2. En choisissant le plus petit parmi les nombres δ 1 et δ 2 et en le prenant pour δ, on obtient cela pour | x - x 0| < δ |f(x) - UNE| < ε, то есть . Теорема доказана. Commentaire. L'équivalence des exigences contenues dans la définition de la limite 13.7 et des conditions d'existence et d'égalité des limites unilatérales ayant été prouvée, cette condition peut être considérée comme la deuxième définition de la limite. Définition 4 (selon Heine) Nombre UN est appelée la limite d'une fonction si un BBP de valeurs d'argument, la séquence de valeurs de fonction correspondantes converge vers UN. Définition 4 (d'après Cauchy). Nombre UN appelé si . Il est prouvé que ces définitions sont équivalentes. BILLET 14 et 15 Propriétés de la fonction limite en un point 1) S’il y a une limite, alors c’est la seule 2) Si dans tka x0 la limite de la fonction f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> alors dans ce cas $ est la limite de la somme, de la différence, du produit et du quotient. Séparation de ces 2 fonctions. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Théorème 3. Si ( resp. A ) puis $ le quartier dans lequel l'inégalité se vérifie >B (resp En supposant dans le théorème 3 B=0, on obtient : si ( resp), puis $ , en tout point, qui sera >0 (resp<0),
ceux. la fonction conserve le signe de sa limite. Théorème 4(au passage à la limite des inégalités). Si dans un certain voisinage d'un point (sauf peut-être ce point lui-même) la condition est satisfaite et que ces fonctions ont des limites au point, alors . Dans la langue et. Présentons la fonction. Il est clair qu'à proximité de t. Alors, par le théorème de la conservation d'une fonction, on a la valeur de sa limite, mais Théorème 5.(à la limite d'une fonction intermédiaire). (1) Si BILLET 16 Définition 14.1. Fonction y=α(x) est appelé infinitésimal à x → x 0, Si Propriétés des infinitésimaux. 1. La somme de deux infinitésimaux est infinitésimale. Preuve. Si α(x) Et β(x) – infinitésimal à x → x 0, alors il existe δ 1 et δ 2 tels que | α(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x))|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Commentaire. Il s’ensuit que la somme de tout nombre fini d’infinitésimaux est infinitésimale. 2. Si α( X) – infinitésimal à x → x 0, UN f(x) – une fonction délimitée dans un certain voisinage x0, Que α(x)f(x) – infinitésimal à x → x 0. Preuve. Choisissons un numéro M tel que | f(x)| Corollaire 1. Le produit d’un infinitésimal par un nombre fini est un infinitésimal. Corollaire 2. Le produit de deux ou plusieurs infinitésimaux est un infinitésimal. Corollaire 3. Une combinaison linéaire d’infinitésimaux est infinitésimale. 3. (Troisième définition de la limite). Si , alors une condition nécessaire et suffisante pour cela est que la fonction f(x) peut être représenté sous la forme f(x)=A+α(x), Où α(x) – infinitésimal à x → x 0. Preuve. 1)
Laissez alors | f(x)-UNE|<ε при x → x 0, c'est α(x)=f(x)-UNE– infinitésimal à x → x 0 . Ainsi , f(x)=A+α(x). 2) Laissez f(x)=A+α(x). Alors Commentaire. On obtient ainsi une autre définition de la limite, équivalente aux deux précédentes. Des fonctions infiniment grandes. Définition 15.1. La fonction f(x) est dite infiniment grande pour x x 0 si Pour l'infiniment grand, on peut introduire le même système de classification que pour l'infiniment petit, à savoir : 1. Infiniment grands f(x) et g(x) sont considérés comme des quantités du même ordre si 2. Si , alors f(x) est considéré comme infiniment grand d'un ordre supérieur à g(x). 3. Un f(x) infiniment grand est appelé une quantité du kième ordre par rapport à un g(x) infiniment grand si . Commentaire. Notez que a x est infiniment grand (pour a>1 et x) d'un ordre supérieur à x k pour tout k, et log a x est infiniment grand d'un ordre inférieur à n'importe quelle puissance de x k. Théorème 15.1. Si α(x) est infiniment petit comme x→x 0, alors 1/α(x) est infiniment grand comme x→x 0. Preuve. Montrons que pour |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Cela signifie que 1/α(x) est infiniment grand comme x→x 0. BILLET 17 Théorème 14.7 (première limite remarquable). . Preuve. Considérons un cercle de rayon unité avec un centre à l'origine et supposons que l'angle AOB est égal à x (radians). Comparons les aires du triangle AOB, du secteur AOB et du triangle AOC, où la droite OS est tangente au cercle passant par le point (1;0). Il est évident que . En utilisant les formules géométriques appropriées pour les aires des figures, on en déduit que D'une grande variété de toutes sortes ensembles Les soi-disant ensembles de nombres, c'est-à-dire des ensembles dont les éléments sont des nombres. Il est clair que pour travailler confortablement avec eux, il faut être capable de les écrire. Nous commencerons cet article par la notation et les principes d’écriture des ensembles numériques. Voyons ensuite comment les ensembles numériques sont représentés sur une ligne de coordonnées. Navigation dans les pages. Commençons par la notation acceptée. Comme vous le savez, les majuscules de l'alphabet latin sont utilisées pour désigner des ensembles. Les ensembles numériques, en tant que cas particulier d'ensembles, sont également désignés. Par exemple, on peut parler d’ensembles de nombres A, H, W, etc. Les ensembles de nombres naturels, entiers, rationnels, réels, complexes, etc. revêtent une importance particulière ; leurs propres notations ont été adoptées pour eux : À partir de là, il est clair que vous ne devez pas désigner un ensemble composé, par exemple, de deux nombres 5 et −7 par Q, cette désignation sera trompeuse, puisque la lettre Q désigne généralement l'ensemble de tous les nombres rationnels. Pour désigner l'ensemble numérique spécifié, il est préférable d'utiliser une autre lettre « neutre », par exemple A. Puisque nous parlons de notation, rappelons également ici la notation d'un ensemble vide, c'est-à-dire un ensemble qui ne contient pas d'éléments. Il est désigné par le signe ∅. Rappelons également la désignation selon laquelle un élément appartient ou n'appartient pas à un ensemble. Pour ce faire, utilisez les signes ∈ - appartient et ∉ - n'appartient pas. Par exemple, la notation 5∈N signifie que le nombre 5 appartient à l'ensemble des nombres naturels, et 5,7∉Z - la fraction décimale 5,7 n'appartient pas à l'ensemble des nombres entiers. Et rappelons également la notation adoptée pour inclure un ensemble dans un autre. Il est clair que tous les éléments de l'ensemble N sont inclus dans l'ensemble Z, donc l'ensemble numérique N est inclus dans Z, ceci est noté N⊂Z. Vous pouvez également utiliser la notation Z⊃N, ce qui signifie que l'ensemble de tous les entiers Z inclut l'ensemble N. Les relations non incluses et non incluses sont indiquées respectivement par ⊄ et . Des signes d'inclusion non strictes de la forme ⊆ et ⊇ sont également utilisés, signifiant respectivement inclus ou coïncide et inclut ou coïncide. Nous avons parlé de notation, passons à la description des ensembles numériques. Dans ce cas, nous n'aborderons que les principaux cas les plus souvent utilisés dans la pratique. Commençons par des ensembles numériques contenant un nombre fini et petit d'éléments. Il est pratique de décrire des ensembles numériques constitués d’un nombre fini d’éléments en listant tous leurs éléments. Tous les éléments numériques sont écrits séparés par des virgules et entourés de , ce qui est cohérent avec le général règles de description des ensembles. Par exemple, un ensemble composé de trois nombres 0, −0,25 et 4/7 peut être décrit comme (0, −0,25, 4/7). Parfois, lorsque le nombre d'éléments d'un ensemble numérique est assez grand, mais que les éléments obéissent à un certain modèle, des points de suspension sont utilisés pour la description. Par exemple, l'ensemble de tous les nombres impairs de 3 à 99 inclus peut s'écrire (3, 5, 7, ..., 99). Nous avons donc abordé en douceur la description d'ensembles numériques dont le nombre d'éléments est infini. Parfois, ils peuvent être décrits en utilisant les mêmes ellipses. Par exemple, décrivons l’ensemble de tous les nombres naturels : N=(1, 2. 3, …) . Ils utilisent également la description d'ensembles numériques en indiquant les propriétés de ses éléments. Dans ce cas, la notation (x| propriétés) est utilisée. Par exemple, la notation (n| 8·n+3, n∈N) spécifie l'ensemble des nombres naturels qui, lorsqu'ils sont divisés par 8, laissent un reste de 3. Ce même ensemble peut être décrit comme (11,19, 27, ...). Dans des cas particuliers, les ensembles numériques avec un nombre infini d'éléments sont les ensembles connus N, Z, R, etc. ou des intervalles de nombres. Fondamentalement, les ensembles numériques sont représentés comme syndicat leurs intervalles numériques individuels constitutifs et leurs ensembles numériques à nombre fini d'éléments (dont nous avons parlé juste au-dessus). Montrons un exemple. Soit l'ensemble de nombres composé des nombres −10, −9, −8,56, 0, de tous les nombres du segment [−5, −1,3] et des nombres de la droite numérique ouverte (7, +∞). En raison de la définition d'une union d'ensembles, l'ensemble numérique spécifié peut s'écrire sous la forme {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞)
. Cette notation désigne en fait un ensemble contenant tous les éléments des ensembles (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] et (7, +∞). De même, en combinant différents intervalles de nombres et ensembles de nombres individuels, n'importe quel ensemble de nombres (constitué de nombres réels) peut être décrit. Ici, il devient clair pourquoi des types d'intervalles numériques tels que l'intervalle, le demi-intervalle, le segment, le rayon numérique ouvert et le rayon numérique ont été introduits : tous, couplés à des notations pour des ensembles de nombres individuels, permettent de décrire n'importe quel ensemble numérique à travers leur syndicat. Veuillez noter que lors de l'écriture d'un ensemble de nombres, ses nombres constitutifs et ses intervalles numériques sont classés par ordre croissant. Ce n’est pas une condition nécessaire mais souhaitable, puisqu’un ensemble numérique ordonné est plus facile à imaginer et à représenter sur une ligne de coordonnées. Notez également que ces enregistrements n'utilisent pas d'intervalles numériques avec des éléments communs, car ces enregistrements peuvent être remplacés en combinant des intervalles numériques sans éléments communs. Par exemple, l'union d'ensembles numériques avec des éléments communs [−10, 0] et (−5, 3) est le demi-intervalle [−10, 3) . Il en va de même pour l'union d'intervalles numériques avec les mêmes nombres limites, par exemple, l'union (3, 5]∪(5, 7] est un ensemble (3, 7] , nous y reviendrons séparément lorsque nous apprendrons à trouver l'intersection et l'union d'ensembles numériques En pratique, il est pratique d'utiliser des images géométriques d'ensembles numériques - leurs images. Par exemple, quand résoudre les inégalités, dans lequel il faut prendre en compte ODZ, il faut représenter des ensembles numériques afin de trouver leur intersection et/ou union. Il sera donc utile d’avoir une bonne compréhension de toutes les nuances liées à la représentation d’ensembles numériques sur une ligne de coordonnées. On sait qu'il existe une correspondance biunivoque entre les points de la ligne de coordonnées et les nombres réels, ce qui signifie que la ligne de coordonnées elle-même est un modèle géométrique de l'ensemble de tous les nombres réels R. Ainsi, pour représenter l'ensemble de tous les nombres réels, vous devez tracer une ligne de coordonnées ombrée sur toute sa longueur : Et souvent, ils n’indiquent même pas l’origine et le segment unitaire : Parlons maintenant de l'image des ensembles numériques, qui représentent un certain nombre fini de nombres individuels. Par exemple, décrivons l'ensemble de nombres (−2, −0.5, 1.2) . L'image géométrique de cet ensemble, composé de trois nombres −2, −0,5 et 1,2, sera trois points de la ligne de coordonnées avec les coordonnées correspondantes : Notez que, généralement, pour des raisons pratiques, il n’est pas nécessaire de réaliser le dessin avec précision. Souvent, un dessin schématique suffit, ce qui implique qu'il n'est pas nécessaire de maintenir l'échelle ; dans ce cas, il est seulement important de maintenir la position relative des points les uns par rapport aux autres : tout point avec une coordonnée plus petite doit être à l'écart ; à gauche d'un point avec une coordonnée plus grande. Le dessin précédent ressemblera schématiquement à ceci : Séparément, de toutes sortes d'ensembles numériques, on distingue les intervalles numériques (intervalles, demi-intervalles, rayons, etc.), qui représentent leurs images géométriques, nous les avons examinés en détail dans la section ; Nous ne nous répéterons pas ici. Et il ne reste plus qu'à s'attarder sur l'image des ensembles numériques, qui sont une union de plusieurs intervalles numériques et ensembles constitués de nombres individuels. Il n'y a rien de compliqué ici : selon le sens de l'union dans ces cas, toutes les composantes de l'ensemble d'un ensemble numérique donné doivent être représentées sur la ligne de coordonnées. À titre d'exemple, montrons l'image d'un ensemble de nombres (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : Et attardons-nous sur des cas assez courants où l'ensemble numérique représenté représente l'ensemble des nombres réels, à l'exception d'un ou plusieurs points. De tels ensembles sont souvent spécifiés par des conditions telles que x≠5 ou x≠−1, x≠2, x≠3,7, etc. Dans ces cas, ils représentent géométriquement toute la ligne de coordonnées, à l’exception des points correspondants. En d’autres termes, ces points doivent être « extraits » de la ligne de coordonnées. Ils sont représentés par des cercles avec un centre vide. Pour plus de clarté, décrivons un ensemble numérique correspondant aux conditions Résumer. Idéalement, les informations des paragraphes précédents devraient former la même vue de l'enregistrement et de la représentation des ensembles numériques que la vue des intervalles numériques individuels : l'enregistrement d'un ensemble numérique devrait immédiatement donner son image sur la ligne de coordonnées, et à partir de l'image sur la ligne de coordonnées, nous devrions être prêts à décrire facilement l'ensemble numérique correspondant grâce à l'union d'intervalles individuels et d'ensembles constitués de nombres individuels. Bibliographie. Une représentation géométrique expressive du système de nombres rationnels peut être obtenue comme suit. Riz. 8. Axe des nombres Sur une certaine ligne droite, « l'axe des nombres », nous marquons le segment de 0 à 1 (Fig. 8). Ceci établit la longueur d'un segment unitaire, qui, d'une manière générale, peut être choisie arbitrairement. Les entiers positifs et négatifs sont ensuite représentés par un ensemble de points équidistants sur l'axe des nombres, à savoir les nombres positifs sont marqués à droite et les nombres négatifs à gauche du point 0. Pour représenter les nombres avec un dénominateur, nous divisons chacun des nombres. les segments résultants d'unité de longueur en parties égales ; les points de division représenteront des fractions avec un dénominateur. Si nous faisons cela pour les valeurs correspondant à tous les nombres naturels, alors chaque nombre rationnel sera représenté par un point sur l'axe des nombres. On conviendra de qualifier ces points de « rationnels » ; De manière générale, nous utiliserons les termes « nombre rationnel » et « point rationnel » comme synonymes. Au chapitre I, § 1, la relation d'inégalité pour les nombres naturels a été définie. Sur l'axe des nombres, cette relation se reflète comme suit : si l'entier naturel A est inférieur à l'entier naturel B, alors le point A se trouve à gauche du point B. Puisque la relation géométrique indiquée est établie pour toute paire de points rationnels, elle Il est naturel d'essayer de généraliser ainsi la relation d'inégalité arithmétique, de maintenir cet ordre géométrique pour les points en question. Ceci est possible si l'on accepte la définition suivante : on dit qu'un nombre rationnel A est inférieur à un nombre rationnel ou qu'un nombre B est supérieur à un nombre si la différence est positive. Il s'ensuit (en ) que les points (nombres) entre sont ceux qui simultanément Chacune de ces paires de points, ainsi que tous les points entre eux, est appelée un segment (ou segment) et est notée (et l'ensemble des points intermédiaires seul est appelé un intervalle (ou intervalle), noté La distance d'un point arbitraire A à l'origine 0, considérée comme un nombre positif, est appelée valeur absolue de A et est désignée par le symbole La notion de « valeur absolue » est définie comme suit : si , alors si alors Il est clair que si les nombres ont le même signe, alors l'égalité est vraie s'ils ont des signes différents, alors . En mettant ces deux résultats ensemble, nous arrivons à l’inégalité générale ce qui est vrai quels que soient les signes Un fait d'importance fondamentale est exprimé par la phrase suivante : les points rationnels sont situés de manière dense partout sur la droite numérique. La signification de cette affirmation est que chaque intervalle, aussi petit soit-il, contient des points rationnels. Pour vérifier la validité de l'énoncé énoncé, il suffit de prendre un nombre si grand que l'intervalle ( sera inférieur à l'intervalle donné ; alors au moins un des points de la forme sera à l'intérieur de l'intervalle donné. Ainsi, il y a Il n'existe pas d'intervalle de ce type sur l'axe des nombres (même le plus petit imaginable), à l'intérieur duquel il n'y aurait pas de points rationnels. Un autre corollaire s'ensuit : chaque intervalle contient un nombre infini de points rationnels. En effet, si un certain intervalle ne contenait qu'un. un nombre fini de points rationnels, alors dans l'intervalle formé par deux de ces points adjacents, il n'y aurait plus de points rationnels, ce qui contredit ce qui vient d'être prouvé. §1.1. Nombres réels Les nombres réels sont divisés en deux classes : la classe des nombres rationnels et la classe des nombres irrationnels. Rationnel sont des nombres qui ont la forme , où m Et n sont des entiers premiers entre eux, mais Par exemple, le numéro Les nombres réels peuvent également être divisés en nombres algébriques - les racines d'un polynôme à coefficients rationnels (ceux-ci incluent notamment tous les nombres rationnels - les racines de l'équation Les ensembles de tous les nombres naturels, entiers et réels sont désignés comme suit : NZ, R. §1.2. Image de nombres réels sur la droite numérique. Intervalles Géométriquement (pour plus de clarté), les nombres réels sont représentés par des points sur une ligne droite infinie (dans les deux sens) appelée numérique
axe. A cet effet, un point est pris sur la ligne considérée (l'origine est le point 0), une direction positive est indiquée, représentée par une flèche (généralement vers la droite) et une unité d'échelle est sélectionnée, qui est réservée indéfiniment. des deux côtés du point 0. C’est ainsi que les entiers sont représentés. Pour représenter un nombre avec une décimale, vous devez diviser chaque segment en dix parties, etc. Ainsi, chaque nombre réel est représenté par un point sur la droite numérique. Retour à chaque point Symbole Riz. 1.1. Axe des nombres. Riz. 1.2. Intervalle Riz. 1.3. Intervalle fermé En omettant les mots « l'ensemble de tous les nombres (points) X tel que », etc., on note en outre : §1.3. Valeur absolue (ou module) d'un nombre réel Par exemple, Géométriquement signifie la distance du point unà l'origine. Si nous avons deux points et , alors la distance entre eux peut être représentée par Propriétés des quantités absolues. 1. De la définition, il résulte que 2. La valeur absolue de la somme et de la différence ne dépasse pas la somme des valeurs absolues : 3. 4. 5. 6. Inégalité 7. Inégalité 8. §1.4. Quelques concepts et notations 1
. Concept ensembles est l'un des fondamentaux des mathématiques, initial, universel - et ne peut donc pas être défini. Il ne peut être que décrit (remplacé par des synonymes) : c'est une collection, une collection de quelques objets, choses, unis par certaines caractéristiques. Ces objets sont appelés éléments multitudes. Exemples : de nombreux grains de sable sur le rivage, des étoiles dans l'Univers, des élèves en classe, les racines d'une équation, les points d'un segment. Les ensembles dont les éléments sont des nombres sont appelés ensembles numériques. Pour certains ensembles de normes, une notation spéciale est introduite, par exemple : N,Z,R- voir § 1.1. Laisser UN– beaucoup et X est son élément, alors ils écrivent : Si X est une désignation générale pour les éléments d'un ensemble UN, puis ils écrivent L'ensemble s'appelle final, s'il est constitué d'un nombre fini d'éléments. Si, quel que soit l’entier naturel N pris, dans l’ensemble UN il y a plus d'éléments que N, alors UN appelé sans fin ensemble : il contient une infinité d’éléments. Si chaque élément de l'ensemble ^UNE appartient à plusieurs B, Que L'ensemble des éléments des deux ensembles UN Et B appelé unification ensembles et est noté Si une correspondance biunivoque peut être établie entre les éléments d'ensembles, alors ils disent que ces ensembles sont équivalents et écrivent 2
. Soit deux affirmations, deux faits : et Entrée: 
En plus d'un nombre naturel, vous pouvez remplacer un autre nombre naturel dans la dernière inéquation 
,Alors
et dans un certain voisinage du point (sauf peut-être le point lui-même) la condition (2) est satisfaite, alors la fonction a une limite dans le point et cette limite est égale à UN. par condition (1) $ pour (voici le plus petit quartier du point ). Mais alors, en vertu de la condition (2), la valeur sera également située à proximité du point UN, ceux. .
, c'est α(x)+β(x) – infinitésimal.
signifie | f(x)-UNE|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ou sinx Écrire des ensembles numériques
Représentation d'ensembles de nombres sur une ligne de coordonnées
(cet ensemble existe essentiellement) : 
La première connaissance des nombres réels se fait dans un cours de mathématiques à l'école. Tout nombre réel est représenté par une fraction décimale finie ou infinie.
. (L'ensemble des nombres rationnels est désigné par la lettre Q). Les nombres réels restants sont appelés irrationnel. Les nombres rationnels sont représentés par une fraction périodique finie ou infinie (la même que les fractions ordinaires), alors ceux et seulement ces nombres réels qui peuvent être représentés par des fractions infinies non périodiques seront irrationnels.
- rationnel, et 
, 
, 
et ainsi de suite. - nombres irrationnels.
) – et aux transcendantaux – tout le reste (par exemple, les nombres 
et d'autres).
(lettres initiales des mots Naturel, Zahl, Reel).
correspond à un nombre réel égal à la longueur du segment 
et pris avec le signe « + » ou « – » selon que le point se situe à droite ou à gauche de l'origine. De cette manière, une correspondance biunivoque est établie entre l'ensemble de tous les nombres réels et l'ensemble de tous les points sur l'axe des nombres. Les termes « nombre réel » et « point de l'axe des nombres » sont utilisés comme synonymes. 
On désignera à la fois un nombre réel et le point qui lui correspond. Les nombres positifs sont situés à droite du point 0, les nombres négatifs sont situés à gauche. Si 
, puis sur l'axe des nombres le point 
se trouve à gauche du point 
. Laissons le point 
correspond au nombre, alors le nombre est appelé la coordonnée du point, écrivez 
; Le plus souvent, le point lui-même est désigné par la même lettre que le chiffre. Le point 0 est l'origine des coordonnées. L'axe est également désigné par la lettre 
(Fig. 1.1).
L'ensemble de tous les nombres couchés entre nombres donnés et est appelé intervalle ou intervalle ; les fins peuvent ou non lui appartenir. Clarifions cela. Laisser 
. Un ensemble de nombres qui satisfont à la condition 
, appelé intervalle (au sens étroit) ou intervalle ouvert, désigné par le symbole 
(Fig. 1.2).
Un ensemble de nombres tel que 
est appelé intervalle fermé (segment, segment) et est noté 
; sur l'axe des nombres, il est marqué comme suit :
Il ne diffère de l'écart ouvert que par deux points (extrémités) et . Mais cette différence est fondamentale, significative, comme nous le verrons plus tard, par exemple en étudiant les propriétés des fonctions.
Et 
, noté 
Et 
intervalles mi-ouverts ou mi-fermés (parfois : demi-intervalles) ;
ou 
moyens: 
ou 
et est désigné 
ou 
;
ou 
moyens 
ou 
et est désigné 
ou 
;
, noté 
l'ensemble de tous les nombres réels. Insignes 
symboles « infini » ; ils sont appelés nombres impropres ou idéaux. 
Définition. Valeur absolue (ou module) le numéro est appelé le numéro lui-même si 
ou 
Si 
. La valeur absolue est indiquée par le symbole 
. Donc, 
, 
, 
.
(ou 
). Par exemple, 
puis la distance 
.
, 
, c'est 
.
. 
1) Si 
, Que 
. 2) Si 
, Que . ▲
.
, puis par la propriété 2 : 
, c'est à dire. 
. De même, si vous imaginez 
, alors on arrive à l'inégalité 
▲ 
– découle de la définition : considérer les cas 
Et 
. 
, à condition que 
La même chose découle de la définition.
,
, moyens 
. Cette inégalité est satisfaite par les points situés entre 
Et 
.
équivaut à une inégalité 
, c'est à dire. . Il s'agit d'un intervalle centré en un point de longueur 
. On l'appelle 
voisinage d'un point (nombre). Si 
, alors le quartier est appelé perforé : c'est ou 
. (Fig.1.4).
d'où il s'ensuit que l'inégalité 
(
) est équivalent à l’inégalité 
ou 
; et les inégalités 
définit un ensemble de points pour lesquels 
, c'est à dire. ce sont des points situés en dehors du segment 
, exactement: 
Et 
.
Présentons quelques concepts et notations largement utilisés dans la théorie des ensembles, la logique mathématique et d'autres branches des mathématiques modernes.
; lit " X fait parti UN» ( 
signe d'inclusion pour les éléments). Si l'objet X non inclus dans UN, puis ils écrivent 
; lit : " X n'appartient pas UN" Par exemple, 
N; 8,51
N; mais 8.51 
R..
. S'il est possible d'écrire la désignation de tous les éléments, alors écrivez 
, 
etc. Un ensemble qui ne contient pas un seul élément est appelé un ensemble vide et est désigné par le symbole ; par exemple, l'ensemble des racines (réelles) de l'équation 
il y a du vide.
appelé partie ou sous-ensemble d'un ensemble B et écrire 
; lit " UN contenu dans B» ( 
il y a un signe d'inclusion pour les ensembles). Par exemple, NZR. Si 
, alors ils disent que les ensembles UN Et B sont égaux et écrivent 
. Sinon ils écrivent 
. Par exemple, si 
, UN 
ensemble de racines de l'équation 
, Que .
(Parfois 
). Un ensemble d'éléments appartenant à et UN Et B, appelé intersection ensembles et est noté 
. L'ensemble de tous les éléments d'un ensemble ^UNE, qui ne sont pas contenus dans B, appelé différence ensembles et est noté 
. Ces opérations peuvent être représentées schématiquement comme suit :
. N'importe quel ensemble UN, équivalent à l'ensemble des nombres naturels N= appelé dénombrable ou dénombrable. En d’autres termes, un ensemble est dit dénombrable si ses éléments peuvent être numérotés et disposés de manière infinie. sous-séquence 
, dont tous les membres sont différents : 
à 
, et cela peut être écrit sous la forme . D'autres ensembles infinis sont appelés innombrable. Comptable, à l'exception de l'ensemble lui-même N, il y aura par exemple des ensembles 
, Z. Il s'avère que les ensembles de tous les nombres rationnels et algébriques sont dénombrables, et que les ensembles équivalents de tous les nombres et points irrationnels, transcendantaux et réels de tout intervalle sont indénombrables. On dit que ces derniers ont le pouvoir du continu (le pouvoir est une généralisation du concept du nombre (nombre) d'éléments pour un ensemble infini).
. Symbole 
signifie : « si vrai, alors vrai et » ou « cela suit », « implique que la racine de l'équation a la propriété de l'anglais Exister- exister.
, ou 
, signifie : il y a (au moins un) objet ayant la propriété 
. Et l'enregistrement 
, ou 
, signifie : tout le monde possède la propriété. On peut notamment écrire : 
Et .
