Institut des problèmes mathématiques de biologie. Méthodes mathématiques en biologie

Les lois de l’évolution, bien que fondées sur des faits, n’ont pas de base mathématique stricte. C'est ce qui permet aux scientifiques de différentes directions de les interpréter différemment, voire de ne pas les reconnaître du tout. Mais tout cela jusqu’à ce que les mathématiques en arrivent à ces lois.

La première application des mathématiques en biologie est associée au traitement des résultats d'observation. C’est ainsi que furent établies la plupart des lois expérimentales… Cependant, cette application extrêmement utile des mathématiques à la biologie n’est pas seulement la seule, mais même pas la plus importante.

Les lois expérimentales n’existent pas seulement en biologie. Il en existe de nombreux dans les domaines de la physique, de la technologie, de l’économie et d’autres domaines de la connaissance humaine. Mais quelle que soit la science à laquelle appartient une telle loi, elle présente toujours un défaut sérieux : même si elle répond à la question « comment », elle ne répond pas à la question « pourquoi ».

Les alchimistes savaient aussi comment les substances se dissolvent. En mesurant la concentration d'une solution, il est facile de tracer une courbe qui montre clairement qu'au début la substance entre en solution à fortes doses, puis ces doses diminuent progressivement jusqu'à ce que la substance cesse finalement de se dissoudre.

Des courbes similaires peuvent être trouvées dans les livres sur la foresterie. Ils sont obtenus à partir de centaines et de milliers de mesures et montrent que l'arbre pousse d'abord rapidement, puis ralentit et s'arrête complètement.

Ces lois sont expérimentales. Ils décrivent le phénomène avec assez de précision - suffisamment pour la pratique. Mais c'est difficile à prédire, en les connaissant seulement : on peut seulement dire qu'une substance donnée se dissoudra de telle ou telle manière si les conditions dans lesquelles nous l'avons étudiée se répètent. C'est la même chose avec les arbres. Sans savoir pourquoi ils poussent d’une manière ou d’une autre, il est impossible de prédire ce qu’il adviendra de leur croissance dans différentes conditions.

"Les sciences varient considérablement dans la mesure dans laquelle leurs faits sont prévisibles, et certains soutiennent que la biologie n'est pas une science. Parce que les phénomènes biologiques ne peuvent pas toujours être prédits." Cette triste remarque du scientifique K. Willie fait mouche. Pour obtenir le rang de science moderne, il ne suffit plus à la biologie de disposer d'informations détaillées sur des faits nombreux et épars. Nous avons besoin de lois qui répondent à la question « pourquoi ». Et c’est là que réside l’essence même de la biologie mathématique.

Tout comme en physique, lorsqu’on étudie un phénomène biologique, on tente d’en identifier les caractéristiques mathématiques. Par exemple, si un patient est examiné, des données numériques sont nécessaires pour analyser son état - température corporelle, tension artérielle et composition, fréquence du pouls, etc., etc.

Mais généralement, un seul côté est étudié, quelque chose est l'essentiel et quelque chose peut être négligé. En astronomie, par exemple, le globe entier est représenté comme un point sans dimensions. Il semblerait qu'il n'y ait nulle part plus grossier. Néanmoins, ces calculs sont régulièrement utilisés depuis plus de 300 ans pour déterminer le moment des éclipses et, de nos jours, lors du lancement de satellites.

Mais souvent, les biologistes refusent toute simplification. Lors d'un séminaire biologique très représentatif, un modèle de croissance des arbres a été discuté. L'orateur, spécialiste reconnu dans son domaine, a été accueilli favorablement par le public. Tout se passait bien jusqu'à ce qu'il prononce la phrase : « Puisque l'énergie de la photosynthèse est proportionnelle à la surface de la feuille, par souci de simplicité, nous supposerons que la feuille est plate et n'a pas d'épaisseur. Immédiatement, les questions perplexes pleuvent : « Comment est-ce possible ? Après tout, même la feuille la plus fine a de l'épaisseur ! Nous avons également rappelé les conifères, chez lesquels il est généralement difficile de distinguer l'épaisseur de la largeur. Avec quelques difficultés, il a néanmoins été possible d'expliquer que dans le problème auquel est confronté l'intervenant, l'épaisseur de la tôle ne joue aucun rôle et peut être négligée. Mais au lieu d’une feuille vivante avec toutes ses complexités infinies, nous pouvons étudier un modèle simple.

Un modèle mathématique est étudié à l'aide de moyens mathématiques. Par conséquent, vous pouvez vous distraire pendant un moment du contenu biologique du modèle et concentrer votre attention sur son essence mathématique.

Bien entendu, le biologiste réalise tout ce travail complexe, qui nécessite des connaissances particulières, en étroite collaboration avec un mathématicien, et certains aspects sont entièrement confiés à un mathématicien spécialisé. À la suite d'un tel travail commun, une loi biologique est obtenue, écrite mathématiquement.

Contrairement à l'expérimental, il répond à la question « pourquoi » et révèle le mécanisme interne du processus étudié. Ce mécanisme est décrit par les relations mathématiques incluses dans le modèle. Dans le modèle de croissance des arbres, par exemple, un tel mécanisme est une équation différentielle exprimant la loi de conservation de l’énergie. Après avoir résolu l'équation, nous obtenons une courbe de croissance théorique - elle coïncide avec la courbe expérimentale avec une précision étonnante.

En 1931, le livre du célèbre mathématicien V. Volterra « La théorie mathématique de la lutte pour l'existence » a été publié à Paris. Dans ce document, en particulier, le problème « prédateur-proie » a été examiné. Le mathématicien raisonnait ainsi : « L'augmentation du nombre de proies sera d'autant plus grande qu'il y aura plus de parents, c'est-à-dire plus le nombre de proies à l'heure actuelle sera grand. Mais, d'autre part, plus le nombre de proies sera grand. , plus elle sera rencontrée et détruite par les prédateurs. Ainsi, et le déclin de la proie est proportionnel à son nombre, ce déclin augmente également avec l'augmentation du nombre de prédateurs.

Pourquoi le nombre de prédateurs change-t-il ? Son déclin se produit uniquement en raison de la mortalité naturelle et est donc proportionnel au nombre d'individus adultes. Et son profit peut être considéré comme proportionnel à la nutrition, c’est-à-dire proportionnel à la quantité de proies détruites par les prédateurs. »

Le dernier de ces problèmes est très intéressant. Son essence est que les méthodes chimiques de lutte contre les espèces nuisibles ne satisfont souvent pas les biologistes. Certains produits chimiques sont si puissants qu’ils détruisent, outre les animaux nuisibles, de nombreux animaux bénéfiques. L'inverse se produit également : l'espèce supprimée s'adapte très rapidement aux poisons chimiques et devient invulnérable. Les experts assurent, par exemple, que la poudre de DDT, dont la simple odeur tuait les punaises de lit dans les années 1930, est aujourd'hui consommée avec succès par les punaises de lit.

Voici un autre petit exemple de la façon dont une approche mathématique a clarifié une situation biologique confuse. Dans l'une des expériences, une chose étonnante a été observée : dès qu'une goutte de sirop de sucre était placée dans une colonie des micro-organismes les plus simples vivant dans l'eau, tous les habitants de la colonie, même les plus éloignés, commençaient à se déplacer vers la gouttelette. Des expérimentateurs étonnés étaient prêts à affirmer que les micro-organismes possèdent un organe spécial qui détecte l'appât à grande distance et les aide à s'en approcher. Encore un peu et ils se seraient précipités à la recherche de cet organe inconnu.

Heureusement, l’un des biologistes familiers avec les mathématiques a proposé une autre explication au phénomène. Sa version était que, loin d'être un appât, le mouvement des micro-organismes n'est pas très différent de la caractéristique de diffusion habituelle des particules inanimées. Les caractéristiques biologiques des organismes vivants n'apparaissent qu'à proximité immédiate de l'appât, lorsqu'ils s'attardent à proximité de celui-ci. Grâce à ce retard, la couche voisine de la goutte devient moins saturée d'habitants que d'habitude, et les micro-organismes de la couche voisine s'y précipitent selon les lois de la diffusion. Selon les mêmes lois, les habitants de la couche suivante, encore plus éloignée, se précipitent dans cette couche, etc., etc. Le résultat est le flux de micro-organismes vers la goutte que les expérimentateurs ont observé.

Cette hypothèse était facile à tester mathématiquement et il n’était pas nécessaire de rechercher l’organe mystérieux.

Les méthodes mathématiques ont permis d'apporter des réponses à de nombreuses questions spécifiques en biologie. Et ces réponses étonnent parfois par leur profondeur et leur grâce. Cependant, il est trop tôt pour parler de la biologie mathématique comme d’une science établie.

Bases de la modélisation mathématique

Cette section du cours magistral « Modèles mathématiques en biologie » aborde les concepts de base de la modélisation mathématique. À l'aide de l'exemple des systèmes les plus simples, les principaux modèles de leur comportement sont analysés. L’accent n’est pas mis sur le système biologique lui-même, mais sur les approches utilisées pour créer son modèle.

Voir également:

Thème 1 : Intégration des données et des connaissances. Objectifs de modélisation. Concepts de base

Thème 2 : Modèles décrits par une équation différentielle autonome

Thème 3 : Modèles décrits par des systèmes de deux équations différentielles autonomes

Thème 4 : Hiérarchie des temps dans les systèmes biologiques. Variables rapides et lentes

Thème 5 : Systèmes multi-stationnaires

Thème 6 : Processus oscillatoires

Thème 7 : Processus quasi-sistochastiques. Chaos dynamique

Thème 8 : Systèmes vivants et milieux cinétiques actifs

Thème 9 : Structures dissipatives

Biologie mathématique est une théorie des modèles mathématiques des processus et phénomènes biologiques. La biologie mathématique peut être classée parmi les mathématiques appliquées et utilise activement ses méthodes. Le critère de vérité est la preuve mathématique. Le rôle le plus important est joué par la modélisation mathématique à l'aide d'ordinateurs. Contrairement aux sciences purement mathématiques, en biologie mathématique, les problèmes et problèmes purement biologiques sont étudiés à l'aide des méthodes des mathématiques modernes et les résultats ont une interprétation biologique. Les tâches de la biologie mathématique sont la description des lois de la nature au niveau de la biologie et la tâche principale est l'interprétation des résultats obtenus au cours de la recherche, un exemple est la loi de Hardy-Weinberg, qui est fournie par des moyens qui n'existent pas. pour certaines raisons, mais cela prouve qu'un système de population peut être et également prédit sur la base de cette loi. Sur la base de cette loi, nous pouvons dire qu’une population est un groupe d’allèles autonomes sur lesquels la sélection naturelle constitue la base. Ensuite, la sélection naturelle elle-même est, du point de vue des mathématiques, une variable indépendante, et la population est une variable dépendante, et la population est considérée comme un certain nombre de variables s'influençant mutuellement. C'est le nombre d'individus, le nombre d'allèles, la densité des allèles, le rapport entre la densité des allèles dominants et la densité des allèles récessifs, etc., etc. La sélection naturelle n'est pas non plus à l'écart, et la première chose qui se démarque ici le pouvoir de la sélection naturelle, dans laquelle implique l'influence des conditions environnementales qui influencent les caractéristiques des individus d'une population qui se sont développées au cours de la phylogenèse de l'espèce à laquelle appartient la population.

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Mathématiques en biologie Complété par l'élève de 8b Marina Goncharova School 457, année scolaire de Saint-Pétersbourg

Les biologistes utilisent les mathématiques depuis longtemps. La biologie moderne utilise activement diverses branches des mathématiques : théorie des probabilités et statistiques, théorie des équations différentielles, théorie des jeux, géométrie différentielle et théorie des ensembles pour étudier les structures et les principes de fonctionnement des objets vivants. Ilya Ilyich Mechnikov, biologiste russe, a développé la théorie de l'immunité. Alexander Fleming, scientifique écossais, a découvert la pénicilline Nikolai Ivanovich Pirogov, scientifique et chirurgien russe. Créé une théorie de l'évolution de la vie sur Terre. James Dewey Watson Francis Harry Compton Biologistes moléculaires anglais. Les structures des molécules d'ADN ont été découvertes

Le code génétique est un moyen de coder la séquence d’acides aminés des protéines à l’aide d’une séquence de nucléotides caractéristique de tous les organismes vivants. Les méthodes statistiques jouent un rôle important dans le déchiffrement du code génétique, ainsi que dans l'établissement de cartes chromosomiques. Alfred Sturtevant A compilé la première carte génétique Exemple de carte génétique

Biochimie La biochimie est la science de la composition chimique des cellules et des organismes vivants et des processus chimiques qui sous-tendent leur activité vitale. Les équations thermodynamiques sont largement utilisées dans cette science. Novitsky Alexey Ivanovich a créé la doctrine de la thermodynamique des processus biologiques. Ilya Prigogine A créé la thermodynamique dite non classique Josiah Willard Gibbs Créateur de la théorie mathématique de la thermodynamique

Biologie et géométrie analytique La connaissance de la géométrie est souvent utilisée en biologie. Chaque biologiste de recherche doit concilier ses résultats avec des critères statiques, et les relations établies sont généralement représentées à l'aide de courbes issues de la géométrie analytique.

Automatisation des industries biologiques Lors de l'étude et de la recherche de phénomènes biologiques, les scientifiques doivent être capables de contrôler des équipements complexes ainsi que de traiter leurs lectures. Cela nécessite des connaissances en mathématiques. Appareil IRM Utilisé pour obtenir des images des organes internes Électrocardiographe Détermination de la fréquence cardiaque et de la régularité Cœur artificiel, un exemple d'ingénierie biomédicale.