Comment transformer une fraction en un nombre régulier. Comment convertir des fractions en décimales : la méthode la plus simple

Très souvent, dans le programme scolaire de mathématiques, les enfants sont confrontés au problème de savoir comment convertir une fraction régulière en nombre décimal. Afin de convertir une fraction commune en décimale, rappelons d’abord ce que sont une fraction commune et une décimale. Une fraction ordinaire est une fraction de la forme m/n, où m est le numérateur et n le dénominateur. Exemple : 8/13 ; 6/7, etc Les fractions sont divisées en nombres réguliers, impropres et mixtes. Une fraction propre est lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur : m/n, où m 3. Une fraction impropre peut toujours être représentée par un nombre fractionnaire, à savoir : 4/3 = 1 et 1/3 ;

Conversion d'une fraction en nombre décimal

Voyons maintenant comment convertir une fraction mixte en nombre décimal. Toute fraction ordinaire, qu'elle soit propre ou impropre, peut être convertie en nombre décimal. Pour ce faire, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Exemple : fraction simple (propre) 1/2. Divisez le numérateur 1 par le dénominateur 2 pour obtenir 0,5. Prenons l'exemple de 45/12 ; on voit immédiatement qu'il s'agit d'une fraction irrégulière. Ici, le dénominateur est inférieur au numérateur. Conversion d'une fraction impropre en décimal : 45 : 12 = 3,75.

Conversion de nombres mixtes en décimales

Exemple : 25/8. Nous transformons d’abord le nombre fractionnaire en une fraction impropre : 25/8 = 3x8+1/8 = 3 et 1/8 ; divisez ensuite le numérateur égal à 1 par le dénominateur égal à 8, à l'aide d'une colonne ou sur une calculatrice et obtenez une fraction décimale égale à 0,125. L'article fournit les exemples les plus simples de conversion en fractions décimales. Après avoir compris la technique de traduction à l'aide d'exemples simples, vous pouvez facilement résoudre les plus complexes.

Déjà à l'école primaire, les élèves sont exposés aux fractions. Et puis ils apparaissent dans tous les sujets. Vous ne pouvez pas oublier les actions avec ces chiffres. Par conséquent, vous devez connaître toutes les informations sur les fractions ordinaires et décimales. Ces notions ne sont pas compliquées, l'essentiel est de tout comprendre dans l'ordre.

Pourquoi les fractions sont-elles nécessaires ?

Le monde qui nous entoure est constitué d’objets entiers. Il n’est donc pas nécessaire d’avoir des actions. Mais la vie quotidienne pousse constamment les gens à travailler avec des parties d'objets et de choses.

Par exemple, le chocolat est composé de plusieurs morceaux. Considérons une situation où sa tuile est formée de douze rectangles. Si vous le divisez en deux, vous obtenez 6 parties. On peut facilement le diviser en trois. Mais il ne sera pas possible de donner à cinq personnes un nombre entier de tranches de chocolat.

D’ailleurs, ces tranches sont déjà des fractions. Et leur division ultérieure conduit à l'apparition de nombres plus complexes.

Qu'est-ce qu'une « fraction » ?

Il s'agit d'un nombre composé de parties d'une unité. Extérieurement, cela ressemble à deux nombres séparés par une barre horizontale ou une barre oblique. Cette fonctionnalité est appelée fractionnaire. Le nombre écrit en haut (à gauche) s’appelle le numérateur. Ce qui se trouve en bas (à droite) est le dénominateur.

Essentiellement, la barre oblique s’avère être un signe de division. Autrement dit, le numérateur peut être appelé dividende et le dénominateur, diviseur.

Quelles fractions existe-t-il ?

En mathématiques, il n’en existe que deux types : les fractions ordinaires et décimales. Les écoliers font la connaissance des premiers dès l’école primaire, en les appelant simplement « fractions ». Cette dernière sera apprise en 5ème année. C'est alors que ces noms apparaissent.

Les fractions communes sont toutes celles qui s'écrivent sous la forme de deux nombres séparés par une ligne. Par exemple, 4/7. Un nombre décimal est un nombre dans lequel la partie fractionnaire a une notation positionnelle et est séparée du nombre entier par une virgule. Par exemple, 4.7. Les élèves doivent clairement comprendre que les deux exemples donnés sont des nombres complètement différents.

Chaque fraction simple peut être écrite sous forme décimale. Cette affirmation est presque toujours vraie à l’envers. Il existe des règles qui permettent d'écrire une fraction décimale comme une fraction ordinaire.

Quels sous-types ont ces types de fractions ?

Il est préférable de commencer par ordre chronologique, au fur et à mesure qu'ils sont étudiés. Les fractions communes viennent en premier. Parmi elles, on distingue 5 sous-espèces.

Correct. Son numérateur est toujours inférieur à son dénominateur.

Faux. Son numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.

Réductible/irréductible. Cela peut s’avérer soit juste, soit faux. Une autre chose importante est de savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs. S'il y en a, il est alors nécessaire de diviser les deux parties de la fraction par elles, c'est-à-dire de la réduire.

Mixte. Un nombre entier est attribué à sa partie fractionnaire régulière (incorrecte) habituelle. De plus, il est toujours à gauche.

Composite. Il est formé de deux fractions divisées l’une par l’autre. Autrement dit, il contient trois lignes fractionnaires à la fois.

Les fractions décimales n'ont que deux sous-types :

fini, c'est-à-dire celui dont la partie fractionnaire est limitée (a une fin) ;

infini - un nombre dont les chiffres après la virgule ne se terminent pas (ils peuvent être écrits à l'infini).

Comment convertir une fraction décimale en fraction commune ?

S'il s'agit d'un nombre fini, alors une association est appliquée sur la base de la règle - comme j'entends, c'est ainsi que j'écris. Autrement dit, vous devez le lire correctement et l'écrire, mais sans virgule, mais avec une barre fractionnaire.

À titre indicatif sur le dénominateur requis, vous devez vous rappeler qu'il s'agit toujours d'un et de plusieurs zéros. Il faut en écrire autant qu'il y a de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre en question.

Comment convertir des fractions décimales en fractions ordinaires si leur partie entière est manquante, c'est-à-dire égale à zéro ? Par exemple, 0,9 ou 0,05. Après avoir appliqué la règle spécifiée, il s'avère que vous devez écrire des entiers nuls. Mais ce n’est pas indiqué. Il ne reste plus qu'à noter les parties fractionnaires. Le premier nombre aura un dénominateur de 10, le second aura un dénominateur de 100. C'est-à-dire que les exemples donnés auront les nombres suivants comme réponses : 9/10, 5/100. De plus, il s'avère que ce dernier peut être réduit de 5. Par conséquent, le résultat doit être écrit sous la forme 1/20.

Comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire si sa partie entière est différente de zéro ? Par exemple, 5.23 ou 13.00108. Dans les deux exemples, la partie entière est lue et sa valeur est écrite. Dans le premier cas c'est 5, dans le second c'est 13. Il faut ensuite passer à la partie fractionnaire. La même opération est censée être réalisée avec eux. Le premier nombre apparaît 23/100, le second - 108/100000. La deuxième valeur doit être à nouveau réduite. La réponse donne les fractions mixtes suivantes : 5 23/100 et 13 27/25000.

Comment convertir une fraction décimale infinie en fraction ordinaire ?

Si elle n'est pas périodique, une telle opération ne sera pas possible. Ce fait est dû au fait que chaque fraction décimale est toujours convertie en fraction finie ou périodique.

La seule chose que l’on puisse faire avec une telle fraction est de l’arrondir. Mais alors la décimale sera approximativement égale à cet infini. Il peut déjà être transformé en un appareil ordinaire. Mais le processus inverse : la conversion en décimal ne donnera jamais la valeur initiale. Autrement dit, les fractions infinies non périodiques ne sont pas converties en fractions ordinaires. Il faut s'en souvenir.

Comment écrire une fraction périodique infinie comme une fraction ordinaire ?

Dans ces nombres, il y a toujours un ou plusieurs chiffres après la virgule qui sont répétés. On les appelle une période. Par exemple, 0,3(3). Ici, "3" est dans le point. Elles sont classées comme rationnelles car elles peuvent être converties en fractions ordinaires.

Ceux qui ont rencontré les fractions périodiques savent qu'elles peuvent être pures ou mélangées. Dans le premier cas, le point commence immédiatement à partir de la virgule. Dans la seconde, la partie fractionnaire commence par quelques chiffres, puis la répétition commence.

La règle par laquelle vous devez écrire une décimale infinie comme une fraction ordinaire sera différente pour les deux types de nombres indiqués. Il est assez simple d’écrire des fractions périodiques pures sous forme de fractions ordinaires. Comme pour les finis, il faut les convertir : notez le point au numérateur, et le dénominateur sera le nombre 9, répété autant de fois que le nombre de chiffres que contient le point.

Par exemple, 0,(5). Le nombre n'a pas de partie entière, vous devez donc commencer immédiatement par la partie fractionnaire. Écrivez 5 comme numérateur et 9 comme dénominateur. Autrement dit, la réponse sera la fraction 5/9.

La règle sur la façon d’écrire une fraction périodique décimale ordinaire qui est mixte.

Regardez la durée de la période. C'est le nombre de 9 que le dénominateur aura.

Notez le dénominateur : d'abord neuf, puis des zéros.

Pour déterminer le numérateur, vous devez noter la différence entre deux nombres. Tous les nombres après la virgule seront réduits, ainsi que le point. Franchise - c'est sans période.

Par exemple, 0,5(8) - écrivez la fraction décimale périodique sous forme de fraction commune. La partie fractionnaire avant le point contient un chiffre. Il y aura donc un zéro. Il n'y a également qu'un seul chiffre dans la période - 8. Autrement dit, il n'y a qu'un seul neuf. Autrement dit, vous devez écrire 90 au dénominateur.

Pour déterminer le numérateur, vous devez soustraire 5 de 58. Vous obtenez 53. Par exemple, la réponse devrait être écrite sous la forme 53/90.

Comment les fractions sont-elles converties en décimales ?

L'option la plus simple est un nombre dont le dénominateur est le nombre 10, 100, etc. Ensuite, le dénominateur est simplement supprimé et une virgule est placée entre les parties fractionnaire et entière.

Il existe des situations où le dénominateur se transforme facilement en 10, 100, etc. Par exemple, les nombres 5, 20, 25. Il suffit de les multiplier respectivement par 2, 5 et 4. Il vous suffit de multiplier non seulement le dénominateur, mais aussi le numérateur par le même nombre.

Pour tous les autres cas, une règle simple est utile : diviser le numérateur par le dénominateur. Dans ce cas, vous pouvez obtenir deux réponses possibles : une fraction décimale finie ou périodique.

Opérations avec des fractions ordinaires

Addition et soustraction

Les étudiants les connaissent plus tôt que les autres. De plus, au début les fractions ont les mêmes dénominateurs, puis elles en ont des différents. Les règles générales peuvent être réduites à ce plan.

Trouvez le plus petit commun multiple des dénominateurs.

Écrivez des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ordinaires.

Multipliez les numérateurs et les dénominateurs par les facteurs qui leur sont spécifiés.

Ajoutez (soustrayez) les numérateurs des fractions et laissez le dénominateur commun inchangé.

Si le numérateur du minuend est inférieur au sous-trahend, alors nous devons savoir si nous avons un nombre fractionnaire ou une fraction propre.

Dans le premier cas, il faut en emprunter un sur la pièce entière. Ajoutez le dénominateur au numérateur de la fraction. Et puis faites la soustraction.

Dans le second, il faut appliquer la règle de soustraire un plus grand nombre à un plus petit nombre. Autrement dit, du module du soustrahend, soustrayez le module du minuend et, en réponse, mettez le signe «-».

Regardez attentivement le résultat de l'addition (soustraction). Si vous obtenez une fraction impropre, vous devez alors sélectionner la partie entière. Autrement dit, divisez le numérateur par le dénominateur.

Multiplication et division

Pour les réaliser, les fractions n'ont pas besoin d'être réduites à un dénominateur commun. Cela facilite l'exécution d'actions. Mais ils exigent quand même que vous suiviez les règles.

Lorsque vous multipliez des fractions, vous devez examiner les nombres aux numérateurs et aux dénominateurs. Si un numérateur et un dénominateur ont un facteur commun, ils peuvent alors être réduits.

Multipliez les numérateurs.

Multipliez les dénominateurs.

Si le résultat est une fraction réductible, il faut alors la simplifier à nouveau.

Lors de la division, vous devez d'abord remplacer la division par la multiplication, et le diviseur (deuxième fraction) par la fraction réciproque (intervertir le numérateur et le dénominateur).

Procédez ensuite comme pour la multiplication (en partant du point 1).

Dans les tâches où vous devez multiplier (diviser) par un nombre entier, ce dernier doit être écrit sous forme de fraction impropre. C'est-à-dire avec un dénominateur de 1. Ensuite, agissez comme décrit ci-dessus.



Opérations avec des décimales

Addition et soustraction

Bien entendu, vous pouvez toujours convertir un nombre décimal en fraction. Et agissez selon le plan déjà décrit. Mais il est parfois plus pratique d’agir sans cette traduction. Ensuite, les règles pour leur addition et leur soustraction seront exactement les mêmes.

Égalisez le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre, c'est-à-dire après la virgule décimale. Ajoutez-y le nombre de zéros manquants.

Écrivez les fractions de manière à ce que la virgule soit en dessous de la virgule.

Additionnez (soustrayez) comme des nombres naturels.

Supprimez la virgule.

Multiplication et division

Il est important que vous n'ayez pas besoin d'ajouter des zéros ici. Les fractions doivent être laissées telles qu’elles sont données dans l’exemple. Et puis procédez comme prévu.

Pour multiplier, vous devez écrire les fractions les unes en dessous des autres, en ignorant les virgules.

Multipliez comme des nombres naturels.

Placez une virgule dans la réponse, en comptant à partir de l’extrémité droite de la réponse autant de chiffres qu’il y a dans les parties fractionnaires des deux facteurs.

Pour diviser, il faut d’abord transformer le diviseur : en faire un nombre naturel. Autrement dit, multipliez-le par 10, 100, etc., en fonction du nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du diviseur.

Multipliez le dividende par le même nombre.

Divisez une fraction décimale par un nombre naturel.

Placez une virgule dans votre réponse au moment où se termine la division de la partie entière.



Et si un exemple contenait les deux types de fractions ?

Oui, en mathématiques, il existe souvent des exemples dans lesquels vous devez effectuer des opérations sur des fractions ordinaires et décimales. Dans de telles tâches, il existe deux solutions possibles. Vous devez peser objectivement les chiffres et choisir le chiffre optimal.

Première façon : représenter des décimales ordinaires

Cela convient si la division ou la traduction aboutit à des fractions finies. Si au moins un nombre donne une partie périodique, alors cette technique est interdite. Par conséquent, même si vous n’aimez pas travailler avec des fractions ordinaires, vous devrez les compter.

Deuxième façon : écrire les fractions décimales comme d'habitude

Cette technique s'avère pratique si la partie après la virgule décimale contient 1 à 2 chiffres. S'il y en a plus, vous risquez de vous retrouver avec une fraction commune très grande et la notation décimale rendra la tâche plus rapide et plus facile à calculer. Par conséquent, vous devez toujours évaluer sobrement la tâche et choisir la méthode de solution la plus simple.

Il arrive que pour faciliter les calculs, vous deviez convertir une fraction ordinaire en décimale et vice versa. Nous expliquerons comment procéder dans cet article. Examinons les règles de conversion des fractions ordinaires en décimales et vice versa, et donnons également des exemples.

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Nous envisagerons de convertir des fractions ordinaires en décimales, en suivant une certaine séquence. Voyons d'abord comment les fractions ordinaires dont le dénominateur est un multiple de 10 sont converties en décimales : 10, 100, 1000, etc. Les fractions avec de tels dénominateurs sont, en fait, une notation plus lourde des fractions décimales.

Ensuite, nous verrons comment convertir des fractions ordinaires avec n'importe quel dénominateur, pas seulement un multiple de 10, en fractions décimales. Notez que lors de la conversion de fractions ordinaires en décimales, non seulement des décimales finies sont obtenues, mais également des fractions décimales périodiques infinies.

Commençons !

Traduction de fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, 1000, etc. en décimales

Tout d’abord, disons que certaines fractions nécessitent une certaine préparation avant d’être converties sous forme décimale. Qu'est-ce que c'est? Avant le nombre au numérateur, vous devez ajouter autant de zéros pour que le nombre de chiffres au numérateur devienne égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, pour la fraction 3100, le chiffre 0 doit être ajouté une fois à gauche du 3 au numérateur. La fraction 610, selon la règle énoncée ci-dessus, n'a pas besoin de modification.

Regardons un autre exemple, après quoi nous formulerons une règle particulièrement pratique à utiliser au début, alors qu'il n'y a pas beaucoup d'expérience dans la conversion de fractions. Ainsi, la fraction 1610000 après avoir ajouté des zéros au numérateur ressemblera à 001510000.

Comment convertir une fraction commune avec un dénominateur de 10, 100, 1000, etc. en décimal ?

Règle pour convertir des fractions propres ordinaires en décimales

1. Notez 0 et mettez une virgule après.
2. Nous notons le nombre du numérateur obtenu après avoir ajouté des zéros.

Passons maintenant aux exemples.

Exemple 1 : Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction 39 100 en nombre décimal.

Tout d'abord, nous examinons la fraction et voyons qu'il n'est pas nécessaire d'effectuer des actions préparatoires - le nombre de chiffres au numérateur coïncide avec le nombre de zéros au dénominateur.

En suivant la règle, nous écrivons 0, mettons un point décimal après et écrivons le nombre à partir du numérateur. On obtient la fraction décimale 0,39.

Regardons la solution d'un autre exemple sur ce sujet.

Exemple 2. Conversion de fractions en décimales

Écrivons la fraction 105 10000000 sous forme décimale.

Le nombre de zéros au dénominateur est 7 et le numérateur n'a que trois chiffres. Ajoutons 4 zéros supplémentaires avant le nombre au numérateur :

0000105 10000000

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal après et notons le nombre à partir du numérateur. Nous obtenons la fraction décimale 0,0000105.

Les fractions considérées dans tous les exemples sont des fractions propres ordinaires. Mais comment convertir une fraction impropre en nombre décimal ? Disons tout de suite qu'il n'est pas nécessaire de préparer l'ajout de zéros pour de telles fractions. Formulons une règle.

Règle pour convertir des fractions impropres ordinaires en décimales

1. Notez le nombre qui est au numérateur.
2. Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Vous trouverez ci-dessous un exemple d'utilisation de cette règle.

Exemple 3. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction 56888038009 100000 d'une fraction irrégulière ordinaire en une décimale.

Tout d'abord, notons le nombre à partir du numérateur :

Maintenant, à droite, nous séparons cinq chiffres par un point décimal (le nombre de zéros au dénominateur est cinq). On obtient :

La question suivante qui se pose naturellement est : comment convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale si le dénominateur de sa partie fractionnaire est le nombre 10, 100, 1000, etc. Pour convertir un tel nombre en fraction décimale, vous pouvez utiliser la règle suivante.

Règle pour convertir des nombres fractionnaires en décimales

1. Nous préparons la partie fractionnaire du nombre, si nécessaire.
2. Nous écrivons toute la partie du numéro d'origine et mettons une virgule après.
3. Nous notons le nombre du numérateur de la partie fractionnaire avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple.

Exemple 4 : Conversion de nombres fractionnaires en décimales

Convertissons le nombre fractionnaire 23 17 10000 en fraction décimale.

Dans la partie fractionnaire nous avons l'expression 17 10000. Préparons-le et ajoutons deux zéros supplémentaires à gauche du numérateur. Nous obtenons : 0017 10000.

Maintenant, nous écrivons toute la partie du nombre et mettons une virgule après : 23, . .

Après la virgule, notez le nombre du numérateur avec les zéros. On obtient le résultat :

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversion de fractions ordinaires en fractions périodiques finies et infinies

Bien entendu, vous pouvez convertir en décimales et en fractions ordinaires dont le dénominateur n'est pas égal à 10, 100, 1000, etc.

Souvent, une fraction peut être facilement réduite à un nouveau dénominateur, puis utiliser la règle énoncée dans le premier paragraphe de cet article. Par exemple, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction 25 par 2, et on obtient la fraction 410, qui se convertit facilement sous la forme décimale 0,4.

Cependant, cette méthode de conversion d’une fraction en décimal ne peut pas toujours être utilisée. Ci-dessous, nous verrons quoi faire s'il est impossible d'appliquer la méthode considérée.

Une façon fondamentalement nouvelle de convertir une fraction en nombre décimal consiste à diviser le numérateur par le dénominateur à l'aide d'une colonne. Cette opération est très similaire à la division d’entiers naturels avec une colonne, mais possède ses propres caractéristiques.

Lors de la division, le numérateur est représenté sous forme de fraction décimale - une virgule est placée à droite du dernier chiffre du numérateur et des zéros sont ajoutés. Dans le quotient résultant, un point décimal est placé lorsque la division de la partie entière du numérateur se termine. Le fonctionnement exact de cette méthode deviendra clair après avoir examiné les exemples.

Exemple 5. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction commune 621 4 sous forme décimale.

Représentons le nombre 621 du numérateur sous forme de fraction décimale, en ajoutant quelques zéros après la virgule décimale. 621 = 621,00

Maintenant, divisons 621,00 par 4 à l'aide d'une colonne. Les trois premières étapes de la division seront les mêmes que lors de la division des nombres naturels, et nous obtiendrons.

Lorsque nous atteignons la virgule décimale du dividende et que le reste est différent de zéro, nous mettons une virgule décimale dans le quotient et continuons à diviser, sans faire attention à la virgule dans le dividende.

En conséquence, nous obtenons la fraction décimale 155, 25, qui est le résultat de l'inversion de la fraction commune 621 4

621 4 = 155 , 25

Regardons un autre exemple pour renforcer le matériau.

Exemple 6. Conversion de fractions en décimales

Inversons la fraction commune 21 800.

Pour ce faire, divisez la fraction 21 000 dans une colonne par 800. La division de la partie entière se terminera à la première étape, donc immédiatement après, nous mettons un point décimal dans le quotient et continuons la division, sans prêter attention à la virgule dans le dividende jusqu'à ce que nous obtenions un reste égal à zéro.

Le résultat est : 21 800 = 0,02625.

Mais que se passe-t-il si, lors de la division, nous n'obtenons toujours pas de reste de 0. Dans de tels cas, la division peut se poursuivre indéfiniment. Cependant, à partir d'une certaine étape, les résidus seront répétés périodiquement. En conséquence, les nombres du quotient seront répétés. Cela signifie qu'une fraction ordinaire est convertie en une fraction périodique infinie décimale. Illustrons cela par un exemple.

Exemple 7. Conversion de fractions en décimales

Convertissons la fraction commune 19 44 en décimale. Pour ce faire, nous effectuons une division par colonne.

On voit que lors de la division, les résidus 8 et 36 se répètent. Dans ce cas, les nombres 1 et 8 sont répétés dans le quotient. C'est le point en fraction décimale. Lors de l'enregistrement, ces numéros sont placés entre parenthèses.

Ainsi, la fraction ordinaire originale est convertie en une fraction décimale périodique infinie.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Voyons une fraction ordinaire irréductible. Quelle forme cela prendra-t-il ? Quelles fractions ordinaires sont converties en décimales finies, et lesquelles sont converties en fractions périodiques infinies ?

Disons d'abord que si une fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1000..., alors elle aura la forme d'une fraction décimale finale. Pour qu'une fraction soit réduite à l'un de ces dénominateurs, il faut que son dénominateur soit un diviseur d'au moins un des nombres 10, 100, 1000, etc. Des règles de transformation des nombres en facteurs premiers, il s'ensuit que le diviseur des nombres est 10, 100, 1000, etc. doit, lorsqu'il est pris en compte en facteurs premiers, contenir uniquement les nombres 2 et 5.

Résumons ce qui a été dit :

1. Une fraction commune peut être réduite à une décimale finale si son dénominateur peut être pris en compte en facteurs premiers de 2 et 5.
2. Si, en plus des nombres 2 et 5, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, la fraction est réduite à la forme d'une fraction décimale périodique infinie.

Donnons un exemple.

Exemple 8. Conversion de fractions en décimales

Laquelle de ces fractions 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 est convertie en une fraction décimale finale, et laquelle - uniquement en une fraction périodique. Répondons à cette question sans convertir directement une fraction en décimale.

La fraction 47 20, comme il est facile de le voir, en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5, est réduite à un nouveau dénominateur 100.

47 20 = 235 100. Nous en concluons que cette fraction est convertie en une fraction décimale finale.

En factorisant le dénominateur de la fraction 7 12, on obtient 12 = 2 · 2 · 3. Puisque le facteur premier 3 est différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une fraction décimale finie, mais aura la forme d'une fraction périodique infinie.

La fraction 21 56 doit tout d'abord être réduite. Après réduction par 7, on obtient la fraction irréductible 3 8 dont le dénominateur est factorisé pour donner 8 = 2 · 2 · 2. Il s’agit donc d’une fraction décimale finie.

Dans le cas de la fraction 31 17, la factorisation du dénominateur est le nombre premier 17 lui-même. En conséquence, cette fraction peut être convertie en une fraction décimale périodique infinie.

Une fraction ordinaire ne peut pas être convertie en une fraction décimale infinie et non périodique

Ci-dessus, nous n'avons parlé que de fractions périodiques finies et infinies. Mais n’importe quelle fraction ordinaire peut-elle être convertie en une fraction infinie non périodique ?

Nous répondons : non !

Important!

Lors de la conversion d’une fraction infinie en nombre décimal, le résultat est soit un nombre décimal fini, soit un nombre décimal périodique infini.

Le reste d'une division est toujours inférieur au diviseur. En d'autres termes, selon le théorème de divisibilité, si nous divisons un nombre naturel par le nombre q, alors le reste de la division ne peut en aucun cas être supérieur à q-1. Une fois la division terminée, l'une des situations suivantes est possible :

1. On obtient un reste de 0, et c'est là que se termine la division.
2. Nous obtenons un reste, qui se répète lors des divisions ultérieures, ce qui donne une fraction périodique infinie.

Il ne peut y avoir d’autres options lors de la conversion d’une fraction en nombre décimal. Disons aussi que la longueur de la période (nombre de chiffres) dans une fraction périodique infinie est toujours inférieure au nombre de chiffres du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Il est maintenant temps d’examiner le processus inverse de conversion d’une fraction décimale en fraction commune. Formulons une règle de traduction qui comprend trois étapes. Comment convertir une fraction décimale en fraction commune ?

Règle pour convertir des fractions décimales en fractions ordinaires

1. Au numérateur, nous écrivons le nombre à partir de la fraction décimale d'origine, en supprimant la virgule et tous les zéros à gauche, le cas échéant.
2. Au dénominateur, nous écrivons un suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule dans la fraction décimale d'origine.
3. Si nécessaire, réduisez la fraction ordinaire résultante.

Examinons l'application de cette règle à l'aide d'exemples.

Exemple 8. Conversion de fractions décimales en fractions ordinaires

Imaginons le nombre 3,025 comme une fraction ordinaire.

1. Nous écrivons la fraction décimale elle-même dans le numérateur, en supprimant la virgule : 3025.
2. Au dénominateur, nous écrivons un, et après trois zéros - c'est exactement le nombre de chiffres contenus dans la fraction originale après la virgule décimale : 3025 1000.
3. La fraction résultante 3025 1000 peut être réduite de 25, ce qui donne : 3025 1000 = 121 40.

Exemple 9. Conversion de fractions décimales en fractions ordinaires

Convertissons la fraction 0,0017 de décimale en ordinaire.

1. Au numérateur, nous écrivons la fraction 0, 0017, en supprimant la virgule et les zéros à gauche. Il s'avérera qu'il sera 17.
2. Nous écrivons un au dénominateur, et après nous écrivons quatre zéros : 17 10000. Cette fraction est irréductible.

Si une fraction décimale a une partie entière, alors une telle fraction peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire. Comment faire cela ?

Formulons une autre règle.

Règle pour convertir des nombres décimaux en nombres fractionnaires.

1. Le nombre avant la virgule décimale dans la fraction s’écrit comme la partie entière du nombre fractionnaire.
2. Au numérateur, nous écrivons le nombre après la virgule décimale dans la fraction, en supprimant les zéros à gauche s'il y en a.
3. Au dénominateur de la partie fractionnaire on ajoute un et autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la partie fractionnaire.

Prenons un exemple

Exemple 10 : Conversion d'un nombre décimal en nombre fractionnaire

Imaginons la fraction 155, 06005 comme un nombre fractionnaire.

1. On écrit le nombre 155 comme une partie entière.
2. Au numérateur, nous écrivons les nombres après la virgule décimale, en supprimant le zéro.
3. On écrit un et cinq zéros au dénominateur

Apprenons un nombre fractionnaire : 155 6005 100000

La partie fractionnaire peut être réduite de 5. On le raccourcit et on obtient le résultat final :

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversion de décimales périodiques infinies en fractions

Examinons des exemples de conversion de fractions décimales périodiques en fractions ordinaires. Avant de commencer, clarifions : toute fraction décimale périodique peut être convertie en fraction ordinaire.

Le cas le plus simple est celui où la période de la fraction est nulle. Une fraction périodique avec une période nulle est remplacée par une fraction décimale finale, et le processus d'inversion d'une telle fraction est réduit à inverser la fraction décimale finale.

Exemple 11. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Inversons la fraction périodique 3, 75 (0).

En éliminant les zéros à droite, nous obtenons la fraction décimale finale 3,75.

En convertissant cette fraction en fraction ordinaire en utilisant l'algorithme évoqué dans les paragraphes précédents, on obtient :

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Et si la période de la fraction est différente de zéro ? La partie périodique doit être considérée comme la somme des termes d’une progression géométrique qui décroît. Expliquons cela avec un exemple :

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Il existe une formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante. Si le premier terme de la progression est b et le dénominateur q est tel que 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Regardons quelques exemples utilisant cette formule.

Exemple 12. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Ayons une fraction périodique 0, (8) et nous devons la convertir en une fraction ordinaire.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Nous avons ici une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme 0, 8 et le dénominateur 0, 1.

Appliquons la formule :

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

C'est la fraction ordinaire requise.

Pour consolider le matériel, considérons un autre exemple.

Exemple 13. Conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction commune

Inversons la fraction 0, 43 (18).

Nous écrivons d’abord la fraction comme une somme infinie :

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Regardons les termes entre parenthèses. Cette progression géométrique peut être représentée comme suit :

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

On ajoute le résultat à la fraction finale 0, 43 = 43 100 et on obtient le résultat :

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Après avoir additionné ces fractions et réduit, nous obtenons la réponse finale :

0 , 43 (18) = 19 44

Pour conclure cet article, nous dirons que les fractions décimales infinies non périodiques ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires.

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Toutes les fractions sont divisées en deux types : ordinaires et décimales. Les fractions de ce type sont dites ordinaires : 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Ils ont un nombre supérieur (numérateur) et un nombre inférieur (dénominateur). Lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est dite propre, sinon la fraction est dite impropre. Les fractions telles que 1 7/8 sont constituées d'une partie entière (1) et d'une partie fractionnaire (7/8) et sont appelées mixtes.

Ainsi, les fractions sont :

1. Ordinaire
   1. Correct
   2. Faux
   3. Mixte
2. Décimal

Comment faire un nombre décimal à partir d'une fraction

Un cours de mathématiques de base à l’école enseigne comment convertir une fraction en nombre décimal. Tout est extrêmement simple : il faut diviser le numérateur par le dénominateur « manuellement » ou, si vous êtes vraiment paresseux, alors à l'aide d'une microcalculatrice. Voici un exemple : 2/5=0,4 ; 3/4=0,75 ; 1/2=0,5. Il n'est pas beaucoup plus difficile de convertir une fraction impropre en nombre décimal. Exemple : 1 3/4= 7/4= 1,75. Le dernier résultat peut être obtenu sans division, si l'on prend en compte que 3/4 = 0,75 et en ajoutant un : 1 + 0,75 = 1,75.

Cependant, toutes les fractions ordinaires ne sont pas aussi simples. Par exemple, essayons de convertir 1/3 de fractions ordinaires en décimales. Même quelqu'un qui a eu un C en mathématiques (en utilisant un système à cinq points) remarquera que peu importe la durée de la division, après zéro et une virgule il y aura un nombre infini de triples 1/3 = 0,3333…. . Il est d'usage de lire ainsi : zéro point, trois en période. Il s'écrit donc comme suit : 1/3=0,(3). Une situation similaire se produira si vous essayez de convertir 5/6 en fraction décimale : 5/6=0,8(3). De telles fractions sont appelées périodiques infinies. Voici un exemple pour la fraction 3/7 : 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, soit 3/7=0.(428571).

Ainsi, en convertissant une fraction commune en décimale, vous pouvez obtenir :

1. fraction décimale non périodique ;
2. fraction décimale périodique.

Il est à noter qu'il existe également des fractions infinies non périodiques qui s'obtiennent en effectuant les actions suivantes : prise de la nième racine, logarithme, potentialisation. Par exemple, √3= 1,732050807568877… . Le fameux nombre π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

Multiplions maintenant 3 par 0,(3) : 3×0,(3)=0,(9)=1. Il s’avère que 0,(9) est une autre forme d’unité d’écriture. De même, 9=9/9,16=16,0, etc.

La question opposée à celle posée dans le titre de cet article est également légitime : « comment convertir une fraction décimale en fraction régulière ». La réponse à cette question est donnée par un exemple : 0,5= 5/10=1/2. Dans le dernier exemple, nous avons réduit le numérateur et le dénominateur de la fraction 5/10 de 5. Autrement dit, pour transformer une décimale en une fraction commune, vous devez la représenter comme une fraction avec un dénominateur de 10.

Il sera intéressant de regarder cette vidéo sur ce que sont les fractions :

Pour plus d'informations sur la façon de convertir une fraction décimale en fraction ordinaire, voir ici :

Il semblerait que convertir une fraction décimale en fraction régulière soit un sujet élémentaire, mais beaucoup d'élèves ne le comprennent pas ! Par conséquent, aujourd'hui, nous examinerons en détail plusieurs algorithmes à la fois, à l'aide desquels vous comprendrez toutes les fractions en une seconde seulement.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il existe au moins deux formes d'écriture d'une même fraction : commune et décimale. Les fractions décimales sont toutes sortes de constructions de la forme 0,75 ; 1,33 ; et même −7,41. Voici des exemples de fractions ordinaires qui expriment les mêmes nombres :

Voyons maintenant : comment passer de la notation décimale à la notation régulière ? Et surtout : comment faire cela le plus rapidement possible ?

Algorithme de base

En fait, il existe au moins deux algorithmes. Et nous allons examiner les deux maintenant. Commençons par le premier – le plus simple et le plus compréhensible.

Pour convertir un nombre décimal en fraction, vous devez suivre trois étapes :

Une remarque importante sur les nombres négatifs. Si dans l'exemple d'origine, il y a un signe moins devant la fraction décimale, alors dans la sortie, il devrait également y avoir un signe moins devant la fraction ordinaire. Voici quelques exemples supplémentaires :

Je voudrais accorder une attention particulière au dernier exemple. Comme vous pouvez le constater, la fraction 0,0025 contient de nombreux zéros après la virgule décimale. Pour cette raison, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 jusqu'à quatre fois. Est-il possible de simplifier d'une manière ou d'une autre l'algorithme dans ce cas ?

Bien sûr que vous le pouvez. Et maintenant, nous allons examiner un algorithme alternatif - il est un peu plus difficile à comprendre, mais après un peu de pratique, il fonctionne beaucoup plus rapidement que l'algorithme standard.

Un moyen plus rapide

Cet algorithme comporte également 3 étapes. Pour obtenir une fraction à partir d’un nombre décimal, procédez comme suit :

1. Comptez combien de chiffres se trouvent après la virgule. Par exemple, la fraction 1,75 a deux de ces chiffres et 0,0025 en a quatre. Notons cette quantité par la lettre $n$.
2. Réécrivez le nombre d'origine sous la forme $\frac(a)(((10)^(n)))$, où $a$ sont tous les chiffres de la fraction d'origine (sans les zéros « de départ » sur le à gauche, le cas échéant), et $n$ est le même nombre de chiffres après la virgule décimale que nous avons calculé à la première étape. En d'autres termes, vous devez diviser les chiffres de la fraction originale par un suivi de $n$ zéros.
3. Si possible, réduisez la fraction obtenue.

C'est ça! À première vue, ce schéma est plus compliqué que le précédent. Mais en réalité, c’est à la fois plus simple et plus rapide. Jugez par vous-même :

Comme vous pouvez le voir, dans la fraction 0,64, il y a deux chiffres après la virgule - 6 et 4. Donc $n=2$. Si on supprime la virgule et les zéros à gauche (dans ce cas, un seul zéro), on obtient le nombre 64. Passons à la deuxième étape : $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, donc le dénominateur est exactement cent. Eh bien, il ne reste plus qu'à réduire le numérateur et le dénominateur :)

Autre exemple :

Ici, tout est un peu plus compliqué. Premièrement, il y a déjà 3 nombres après la virgule, c'est-à-dire $n=3$, vous devez donc diviser par $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Deuxièmement, si on supprime la virgule de la notation décimale, on obtient ceci : 0,004 → 0004. N'oubliez pas que les zéros à gauche doivent être supprimés, donc en fait nous avons le chiffre 4. Ensuite tout est simple : diviser, réduire et obtenir la réponse.

Enfin, le dernier exemple :

La particularité de cette fraction est la présence d'une partie entière. Par conséquent, le résultat que nous obtenons est une fraction impropre de 47/25. Vous pouvez bien sûr essayer de diviser 47 par 25 avec un reste et ainsi à nouveau isoler toute la partie. Mais pourquoi se compliquer la vie si cela peut se faire au stade de la transformation ? Eh bien, découvrons-le.

Que faire de toute la partie

En fait, tout est très simple : si nous voulons obtenir une fraction appropriée, alors nous devons en supprimer toute la partie lors de la transformation, puis, lorsque nous obtenons le résultat, l'ajouter à nouveau à droite avant la ligne de fraction. .

Par exemple, considérons le même nombre : 1,88. Notons par un (la partie entière) et regardons la fraction 0,88. Il peut être facilement converti :

Ensuite, nous nous souvenons de l'unité « perdue » et l'ajoutons au recto :

\[\frac(22)(25)\à 1\frac(22)(25)\]

C'est ça! La réponse s’est avérée être la même qu’après avoir sélectionné toute la partie la dernière fois. Quelques autres exemples :

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\à 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\à 13\frac(4)(5). \\\fin (aligner)\]

C'est la beauté des mathématiques : peu importe la voie que vous prenez, si tous les calculs sont effectués correctement, la réponse sera toujours la même :)

En conclusion, je voudrais considérer une autre technique qui aide beaucoup.

Transformations "à l'oreille"

Pensons à ce qu'est même une décimale. Plus précisément, comment nous le lisons. Par exemple, le nombre 0,64 - nous le lisons comme « zéro virgule 64 centièmes », n'est-ce pas ? Eh bien, ou juste « 64 centièmes ». Le mot clé ici est « centièmes », c'est-à-dire numéro 100.

Et 0,004 ? Il s’agit de « zéro virgule 4 millièmes » ou simplement « quatre millièmes ». D'une manière ou d'une autre, le mot clé est « milliers », c'est-à-dire 1000.

Alors, quel est le problème ? Et le fait est que ce sont ces chiffres qui finissent par « apparaître » dans les dénominateurs à la deuxième étape de l’algorithme. Ceux. 0,004 équivaut à « quatre millièmes » ou « 4 divisé par 1 000 » :

Essayez de vous entraîner - c'est très simple. L'essentiel est de lire correctement la fraction originale. Par exemple, 2,5 équivaut à « 2 entiers, 5 dixièmes », donc

Et quelque 1,125 équivaut à « 1 entier, 125 millièmes », donc

Dans le dernier exemple, bien sûr, quelqu'un objectera en disant qu'il n'est pas évident pour tous les élèves que 1000 est divisible par 125. Mais ici, vous devez vous rappeler que 1000 = 10 3 et 10 = 2 ∙ 5, donc

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Ainsi, toute puissance de dix ne peut être décomposée qu'en facteurs 2 et 5 - ce sont ces facteurs qu'il faut rechercher au numérateur pour qu'au final tout soit réduit.

Ceci conclut la leçon. Passons à une opération inverse plus complexe - voir "