Comment apprendre facilement les fractions mixtes. Expressions complexes avec des fractions

Allons au combat avec les devoirs de mathématiques ! L’ennemi, ce sont les fractions indisciplinées. Programme de 5ème année. Une tâche stratégiquement importante consiste à expliquer les fractions à un enfant. Inversons les rôles avec l'enseignant et essayons de le faire avec peu d'effort, sans nerfs et sous une forme accessible. Il est beaucoup plus facile de former un soldat qu'une compagnie...

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Comment expliquer les fractions à un enfant

N'attendez pas que votre enfant soit en 5e année et qu'il rencontre des fractions sur les pages d'un manuel de mathématiques. Nous vous recommandons de chercher la réponse à la question « Comment expliquer les fractions à un enfant » dans la cuisine ! Et faites-le maintenant ! Même si votre enfant n’a que 4-5 ans, il est capable de comprendre le sens du concept de « fractions » et peut même apprendre les opérations les plus simples avec des fractions.

Nous avons partagé une orange.
Nous sommes nombreux, mais lui est seul
Cette tranche est pour le hérisson, cette tranche est pour le tarin...
Et pour le loup - la peau.

Vous vous souvenez du poème ? Voici l’exemple le plus clair et le guide d’action le plus efficace ! La façon la plus simple d'expliquer les fractions à un enfant est de prendre l'exemple de la nourriture : couper une pomme en moitiés et en quartiers, diviser la pizza entre les membres de la famille, couper une miche de pain avant le déjeuner, etc. L'essentiel est qu'avant de manger « l'aide visuelle », n'oubliez pas d'exprimer quelle partie du tout vous « détruisez ».

• Entrez la notion de « partage ».

Insistez sur le fait qu'une orange ENTIÈRE (pomme, chocolat, pastèque, etc.) vaut 1 (indiqué par le chiffre 1).

• Introduire le concept de « fraction ».

On divise une orange ou une barre de chocolat, on peut aussi dire « diviser » en plusieurs parties.

Montrez à votre enfant un objet familier : une règle. Expliquez qu'entre les nombres, il existe des valeurs intermédiaires - des parties.

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• Expliquez comment écrire des fractions : ce que signifie le numérateur et vers quoi pointe le dénominateur.

La signification du concept de « fractions » et la notation correcte peuvent être facilement montrées à l'aide de l'exemple d'un constructeur. Au numérateur AU-DESSUS de la ligne, nous écrivons en quelle partie, et au dénominateur EN DESSOUS de la ligne, nous écrivons en combien de parties le tout a été divisé.

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Assurez-vous d'utiliser un exemple clair pour montrer la différence entre des fractions ayant le même numérateur mais des dénominateurs différents.

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En utilisant l’exemple de 4 carrés de même taille, montrez comment vous pouvez les diviser en un nombre de parties identique/différent. Laissez l'enfant découper les flans de papier avec des ciseaux, puis noter les résultats en utilisant des fractions.

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• Expliquer comment écrire un tout sous forme de fraction.

Rappelez-vous le carré et comment nous l'avons divisé en 4 parties. Un carré est un tout, on peut l'écrire sous la forme 1. Mais comment l'écrire sous la forme d'une fraction : qu'y a-t-il au numérateur, qu'y a-t-il au dénominateur ? Si nous divisons un carré en 4 parties, alors le carré entier fait 4/4. Si nous divisons un carré en 8 parties, alors le carré entier fait 8/8. Mais c'est toujours un carré, c'est-à-dire 1. 4/4 et 8/8 ne font qu’un, un tout !

Comment expliquer les fractions à un enfant : poser les BONNES questions

Pour qu'un élève de 5e comprenne le sujet « Fractions » et apprenne à effectuer des calculs avec des fractions, regardons la méthodologie. Il est important pour nous, parents, de comprendre comment l'enseignant explique les fractions aux enfants à l'école, sinon nous risquons de confondre complètement notre « soldat ».

Une fraction est un nombre qui fait partie d’un objet entier. C'est toujours moins d'un.

Exemple 1. Une pomme est un tout et une moitié est une moitié. N'est-elle pas plus petite qu'une pomme entière ? Divisez à nouveau les moitiés en deux. Chaque tranche représente un quart d’une pomme entière et est plus petite que la moitié.

Une fraction est le nombre de parties d'un tout.

Exemple 2. Par exemple, un nouveau produit a été livré dans un magasin de vêtements : 30 chemises. Les vendeurs n'ont réussi à disposer et à accrocher qu'un tiers de toutes les chemises de la nouvelle collection. Combien de chemises ont-ils accrochées ?
L'enfant peut facilement calculer verbalement qu'un tiers (un tiers) équivaut à 10 chemises, c'est-à-dire 10 ont été accrochés et transportés dans l'aire de vente, et 20 autres sont restés dans l'entrepôt.

CONCLUSION: Les fractions peuvent être utilisées pour mesurer n'importe quoi, pas seulement des morceaux de pizza, mais aussi des litres de barils, le nombre d'animaux sauvages dans la forêt, la superficie, etc.

Donnez une variété d'exemples tirés de la vie pour qu'un enfant de 5e année comprenne l'ESSENCE des fractions : cela aidera à l'avenir à résoudre des problèmes et à effectuer des calculs avec des fractions régulières et impropres, et étudier en 5e ne sera pas un fardeau, mais un joie.

Comment pouvez-vous vous assurer que votre enfant comprend ce que représentent les nombres du numérateur et du dénominateur lorsqu’il écrit des fractions ?

Exemple 3. Demandez ce que signifie 5 dans la fraction 4/5 ?

- C'est en combien de parties ils l'ont divisé.
- Que signifie 4 ?
- C'est combien ils ont pris.

Comparer des fractions est peut-être le sujet le plus difficile.

Exemple 4. Invitez votre enfant à dire quelle fraction est la plus grande : 3/10 ou 3/20 ? Il semble que puisque 10 est inférieur à 20, alors la réponse est évidente, mais ce n'est pas le cas ! N'oubliez pas les carrés que nous coupons en morceaux. Si deux carrés de même taille sont découpés - l'un en 10, le second en 20 parties - la réponse est-elle évidente ? Alors, quelle fraction est la plus grande ?

Opérations avec des fractions

Si vous voyez que l'enfant a bien compris le sens de l'écriture sous forme de fraction, vous pouvez passer à des opérations arithmétiques simples avec des fractions. En utilisant l'exemple d'un constructeur, vous pouvez le faire très clairement.

Exemple 5.

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Exemple 6. Loto mathématique sur le thème « Fractions ».

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Chers lecteurs, si vous connaissez d'autres méthodes efficaces pour expliquer les fractions à un enfant, partagez-les dans les commentaires. Nous serons heureux d’ajouter à notre collection de conseils scolaires utiles.

Admettons que « actions avec des fractions » dans notre leçon signifiera des actions avec des fractions ordinaires. Une fraction commune est une fraction qui possède des attributs tels qu'un numérateur, une ligne de fraction et un dénominateur. Cela distingue une fraction ordinaire d'une décimale, qui est obtenue à partir d'une fraction ordinaire en réduisant le dénominateur à un multiple de 10. La décimale s'écrit avec une virgule séparant la partie entière de la fraction. Nous parlerons des opérations avec des fractions ordinaires, car ce sont elles qui posent le plus de difficultés aux élèves qui ont oublié les bases de ce sujet, abordé dans la première moitié du cours de mathématiques à l'école. Dans le même temps, lors de la transformation d'expressions en mathématiques supérieures, ce sont principalement des opérations avec des fractions ordinaires qui sont utilisées. Les abréviations de fractions à elles seules en valent la peine ! Les fractions décimales ne posent pas de difficultés particulières. Donc vas-y!

On dit que deux fractions sont égales si .

Par exemple, puisque

Les fractions et (depuis) ​​et (depuis) ​​sont également égales.

Évidemment, les deux fractions et sont égales. Cela signifie que si le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, vous obtiendrez une fraction égale à celle donnée : .

Cette propriété est appelée propriété fondamentale d’une fraction.

La propriété de base d'une fraction peut être utilisée pour changer les signes du numérateur et du dénominateur d'une fraction. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par -1, on obtient . Cela signifie que la valeur d'une fraction ne changera pas si les signes du numérateur et du dénominateur sont modifiés en même temps. Si vous changez le signe uniquement du numérateur ou uniquement du dénominateur, alors la fraction changera de signe :

Réduire les fractions

En utilisant la propriété de base d'une fraction, vous pouvez remplacer une fraction donnée par une autre fraction égale à celle donnée, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Cette substitution est appelée réduction de fraction.

Donnons, par exemple, une fraction. Les nombres 36 et 48 ont pour plus grand commun diviseur 12. Alors

.

En général, réduire une fraction est toujours possible si le numérateur et le dénominateur ne sont pas des nombres premiers entre eux. Si le numérateur et le dénominateur sont des nombres premiers entre eux, alors la fraction est dite irréductible.

Ainsi, réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par un facteur commun. Tout ce qui précède s'applique également aux expressions fractionnaires contenant des variables.

Exemple 1. Réduire la fraction

Solution. Pour factoriser le numérateur, en présentant d'abord le monôme - 5 xy en somme - 2 xy - 3xy, on a

Pour factoriser le dénominateur, nous utilisons la formule de la différence des carrés :

Par conséquent

.

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Soit deux fractions et . Elles ont des dénominateurs différents : 5 et 7. En utilisant la propriété fondamentale des fractions, vous pouvez remplacer ces fractions par d'autres qui leur sont égales, et telles que les fractions résultantes auront les mêmes dénominateurs. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7, on obtient

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 5, on obtient

Ainsi, les fractions sont réduites à un dénominateur commun :

.

Mais ce n'est pas la seule solution au problème : par exemple, ces fractions peuvent aussi être réduites à un dénominateur commun de 70 :

,

et en général à tout dénominateur divisible par 5 et par 7.

Prenons un autre exemple : ramenons les fractions et à un dénominateur commun. En argumentant comme dans l’exemple précédent, on obtient

,

.

Mais dans ce cas, il est possible de réduire les fractions à un dénominateur commun inférieur au produit des dénominateurs de ces fractions. Trouvons le plus petit commun multiple des nombres 24 et 30 : LCM(24, 30) = 120.

Puisque 120 : 4 = 5, pour écrire une fraction avec un dénominateur de 120, vous devez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par 5, ce nombre est appelé facteur supplémentaire. Moyens .

Ensuite, nous obtenons 120:30=4. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par un facteur supplémentaire de 4, nous obtenons .

Ainsi, ces fractions sont réduites à un dénominateur commun.

Le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions est le plus petit dénominateur commun possible.

Pour les expressions fractionnaires impliquant des variables, le dénominateur commun est un polynôme divisé par le dénominateur de chaque fraction.

Exemple 2. Trouvez le dénominateur commun des fractions et.

Solution. Le dénominateur commun de ces fractions est un polynôme, puisqu'il est divisible à la fois par et. Cependant, ce polynôme n'est pas le seul qui puisse être un dénominateur commun de ces fractions. Cela peut aussi être un polynôme , et polynôme , et polynôme etc. Habituellement, ils prennent un dénominateur commun tel que tout autre dénominateur commun est divisé par celui choisi sans reste. Ce dénominateur est appelé le plus petit dénominateur commun.

Dans notre exemple, le plus petit dénominateur commun est . A obtenu:

;

.

Nous avons pu réduire les fractions à leur plus petit dénominateur commun. Cela s'est produit en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par , et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par . Les polynômes sont appelés facteurs supplémentaires, respectivement pour la première et la deuxième fraction.

Additionner et soustraire des fractions

L'addition de fractions est définie comme suit :

.

Par exemple,

.

Si b = d, Que

.

Cela signifie que pour additionner des fractions ayant le même dénominateur, il suffit d'ajouter les numérateurs et de laisser le dénominateur identique. Par exemple,

.

Si vous additionnez des fractions avec des dénominateurs différents, vous réduisez généralement les fractions au plus petit dénominateur commun, puis ajoutez les numérateurs. Par exemple,

.

Regardons maintenant un exemple d'ajout d'expressions fractionnaires avec des variables.

Exemple 3. Convertir l'expression en une fraction

.

Solution. Trouvons le plus petit dénominateur commun. Pour ce faire, nous factorisons d’abord les dénominateurs.

J'ai moi-même été confronté au fait que les fractions s'avéraient être un sujet assez difficile pour mes enfants.

Il existe un très bon jeu Nikitin's Fractions, il est destiné aux enfants d'âge préscolaire, mais aussi à l'école il aidera parfaitement l'enfant à comprendre ce qu'elles sont - les fractions, leurs relations les unes avec les autres..., et le tout de manière accessible, visuelle et forme passionnante.

Il se compose de douze cercles multicolores. Un cercle est entier et tous les autres sont divisés en parties égales - deux, trois... (jusqu'à douze).

L'enfant est invité à accomplir des tâches de jeu simples, par exemple :

Comment s’appellent les parties des cercles ? ou

Quelle partie est la plus grande ? (mettez le plus petit au-dessus du plus grand.)

Cette technique m'a aidé. En général, je regrette vraiment que tous ces développements de Nikitine n'aient pas attiré mon attention lorsque les enfants étaient encore bébés.

Vous pouvez créer le jeu vous-même ou en acheter un tout fait et en savoir plus sur tout -.

La résolution de fractions peut également être expliquée à l’aide de briques Lego. Il développe non seulement l'imagination, mais aussi la pensée créative et logique, ce qui signifie qu'il peut également être utilisé comme support pédagogique.

Alicia Zimmerman a eu l'idée d'utiliser les blocs du célèbre designer pour enseigner aux enfants les bases des mathématiques.

Et voici comment expliquer les fractions en utilisant des Lego.





La pratique montre que la plupart des difficultés surviennent lors de l'addition (soustraction) de fractions avec des dénominateurs différents et lors de la division de fractions.

Des difficultés surviennent en raison d'instructions tordues dans le manuel, comme diviser une fraction par une fraction.

Pour diviser une fraction par une fraction, vous multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction et le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction.

Un enfant de 4e peut-il comprendre cela et ne pas se tromper ? NON!

Et le professeur nous l'a expliqué de manière élémentaire : il faut retourner la deuxième fraction puis la multiplier !

Même chose avec l'ajout.

Pour additionner deux fractions, vous devez multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, multiplier le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction, additionner les nombres obtenus et les écrire au numérateur. Et au dénominateur, vous devez écrire le produit des dénominateurs des fractions. Après cela, la fraction résultante peut (ou doit) être réduite.

Et c'est plus simple : réduisez les fractions à un dénominateur commun, qui est égal au LCM des dénominateurs, puis additionnez les numérateurs.

Montrez-leur avec un exemple clair. Par exemple, coupez une pomme en 4 parties, mettez-la en 8 parties, ajoutez 12 parties dans un tout, ajoutez plusieurs parties, soustrayez. En même temps, expliquez sur papier en utilisant des règles. Règles d'addition et de soustraction. diviser des fractions, ainsi que comment isoler un tout d'une fraction impropre - apprenez tout cela en manipulant une pomme. Ne précipitez pas les enfants, laissez-les trier soigneusement les tranches avec votre aide.

Apprendre aux enfants à résoudre des fractions est assez courant et ne créera pas beaucoup de problèmes. La chose la plus simple que vous puissiez faire est de prendre quelque chose d'entier, par exemple une mandarine, ou tout autre fruit, de le diviser en parties et d'utiliser un exemple pour montrer la soustraction, l'addition et d'autres opérations avec des morceaux de ce fruit, qui seront des fractions du entier. Tout doit être expliqué et montré, et le facteur final sera d'expliquer et de résoudre des problèmes ensemble à l'aide d'exemples mathématiques jusqu'à ce que l'enfant apprenne à effectuer ces tâches lui-même.

La figure montre clairement ce qui correspond à quoi et à quoi ressemble la fraction sur un objet réel, c'est exactement ainsi qu'elle doit être expliquée.



Vous devez aborder ce problème de manière approfondie, car résoudre des fractions vous sera utile dans la vie. Il faut en la matière, comme on dit, être sur un pied d'égalité avec les enfants, et expliquer la théorie dans une langue qu'ils comprennent, par exemple la langue du gâteau ou de la mandarine. Vous devez diviser le gâteau en tâches et le donner à des amis, après quoi l'enfant commencera à comprendre l'essence de la résolution de fractions. Ne commencez pas par des fractions lourdes, commencez par les concepts de 1/2, 1/3, 1/10. Commencez par soustraire et additionner, puis passez à des concepts plus complexes comme la multiplication et la division.

Il existe différents types de problèmes avec les fractions. Un enfant ne peut pas comprendre qu'une seconde et cinq dixièmes sont la même chose, d'autres sont perplexes en ramenant différentes fractions au même dénominateur, et d'autres encore sont confus par la division des fractions. Il n’y a donc pas de règle unique pour toutes les occasions.

L’essentiel dans les problèmes impliquant des fractions est de ne pas rater le moment où ce qui est compréhensible cesse de l’être. Retournez aux fourneaux et recommencez tout, même si cela semble misérablement primitif. Par exemple, revenez à qu'est-ce qu'une seconde.

L'enfant doit comprendre que les concepts mathématiques sont abstraits, qu'un même phénomène peut être décrit avec des mots différents et exprimé avec des nombres différents.

J'aime la réponse donnée par Mefody66. J'ajouterai de nombreuses années de pratique personnelle : apprendre à résoudre des problèmes avec des fractions (et non résoudre des fractions ; résoudre des fractions est impossible, tout comme il est impossible de résoudre des nombres) est assez simple, il suffit d'être proche de l'enfant lorsqu'il commence à résoudre de tels problèmes, et corriger sa solution à temps, afin que les erreurs, inévitables dans tout apprentissage, n'aient pas le temps de s'installer dans l'esprit de l'enfant. Réapprendre est plus difficile que d’apprendre quelque chose de nouveau. Et résolvez ces problèmes autant que possible. Ce serait une bonne chose de rendre automatique la solution de ces tâches. La capacité de résoudre des problèmes avec des fractions ordinaires est aussi importante dans un cours de mathématiques à l'école que la connaissance de la table de multiplication. Vous devez donc prendre le temps d’observer comment votre enfant résout ces problèmes.

Et ne vous fiez pas trop au manuel : les enseignants des écoles expliquent exactement ce que Mefody66 a écrit dans sa réponse. Il est préférable de parler avec le professeur, de découvrir avec quels mots le professeur a expliqué ce sujet. Et utilisez les mêmes mots et phrases autant que possible (afin de ne pas trop confondre l'enfant)

Aussi : je vous conseille d'utiliser des exemples visuels uniquement au stade initial de l'explication, puis de résumer rapidement et de passer à l'algorithme de solution. Sinon, la clarté peut être préjudiciable lors de la résolution de problèmes plus complexes. Par exemple, si vous devez additionner des fractions avec les dénominateurs 29 et 121, quel type d'aide visuelle vous aidera ? Cela ne fera que confondre.

Les fractions sont l'un de ces sujets mathématiques bénis où il n'y a pas d'abstractions qui ne soient pas applicables au cas. Des produits doivent être utilisés (sur des gâteaux, comme Juanita Solis dans Desperate Housewives - une méthode d'explication vraiment cool). Tous ces numérateurs-dénominateurs viennent plus tard. Ensuite, il faut que l'enfant comprenne que diviser par une fraction n'est plus du tout une diminution, et que la multiplication n'est pas une augmentation. Ici, il vaut mieux montrer comment diviser par une fraction sous forme de multiplication par inversion. Présentez l'abréviation de manière ludique ; si elles sont divisées par un nombre, puis divisez, cela s'avère presque être du Sudoku, si cela vous intéresse. L'essentiel est de remarquer les malentendus à temps, car plus loin il y aura des sujets plus intéressants qui ne sont pas faciles à comprendre. Par conséquent, entraînez-vous davantage à résoudre des fractions et tout ira mieux rapidement. Pour moi, le plus pur humaniste, loin du moindre degré d’abstraction, les fractions ont toujours été plus claires que les autres sujets.

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier facteur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. Dans les établissements d’enseignement, il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, surlignez toute la partie de celle-ci.

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Tout d’abord, nous trouvons le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. Le LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur identique.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une demi-pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble une pizza, divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Nous allons maintenant nous familiariser avec un sujet très intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des "numéros inversés".

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par

Cet article est un aperçu général du fonctionnement avec des fractions. Ici, nous formulerons et justifierons les règles d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation des fractions de la forme générale A/B, où A et B sont des nombres, des expressions numériques ou des expressions avec des variables. Comme d'habitude, nous fournirons au matériel des exemples explicatifs avec des descriptions détaillées des solutions.

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Règles pour effectuer des opérations avec des fractions numériques générales

Admettons que par fractions numériques générales nous entendons des fractions dans lesquelles le numérateur et/ou le dénominateur peuvent être représentés non seulement par des nombres naturels, mais aussi par d'autres nombres ou expressions numériques. Pour plus de clarté, voici quelques exemples de telles fractions : , .

Nous connaissons les règles selon lesquelles ils sont exécutés. En utilisant les mêmes règles, vous pouvez effectuer des opérations avec des fractions générales :

Justification des règles

Pour justifier la validité des règles d'exécution d'opérations avec des fractions numériques de forme générale, vous pouvez partir des points suivants :

• La barre oblique est essentiellement un signe de division,
• la division par un nombre non nul peut être considérée comme une multiplication par l'inverse du diviseur (cela explique immédiatement la règle de division des fractions),
• propriétés des opérations avec des nombres réels,
• et sa compréhension générale,

Ils permettent d'effectuer les transformations suivantes qui justifient les règles d'addition, de soustraction de fractions à dénominateurs semblables et différents, ainsi que la règle de multiplication des fractions :

Exemples

Donnons des exemples d'opérations avec des fractions générales selon les règles apprises dans le paragraphe précédent. Disons tout de suite que généralement après avoir effectué des actions avec des fractions, la fraction résultante nécessite une simplification et que le processus de simplification d'une fraction est souvent plus compliqué que d'effectuer des actions précédentes. Nous ne nous attarderons pas en détail sur la simplification des fractions (les transformations correspondantes sont abordées dans l'article transformer les fractions), afin de ne pas nous laisser distraire du sujet qui nous intéresse.

Commençons par des exemples d’addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Commençons par additionner les fractions et . Les dénominateurs sont évidemment égaux. Selon la règle correspondante, nous écrivons une fraction dont le numérateur est égal à la somme des numérateurs des fractions d'origine, et laissons le même dénominateur, nous avons. L'addition est faite, il ne reste plus qu'à simplifier la fraction résultante : . Donc, .

La solution aurait pu être traitée différemment : faire d'abord le passage aux fractions ordinaires, puis effectuer l'addition. Avec cette approche, nous avons .

Maintenant, soustrayons de la fraction fraction . Les dénominateurs des fractions sont égaux, nous suivons donc la règle de soustraction des fractions avec les mêmes dénominateurs :

Passons aux exemples d'addition et de soustraction de fractions avec différents dénominateurs. La principale difficulté ici est de ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour les fractions générales, il s'agit d'un sujet assez vaste, nous l'examinerons en détail dans un article séparé. amener les fractions à un dénominateur commun. Pour l'instant, nous nous limiterons à quelques recommandations générales, car pour le moment nous nous intéressons davantage à la technique permettant d'effectuer des opérations avec des fractions.

En général, le processus est similaire à la réduction de fractions ordinaires à un dénominateur commun. C'est-à-dire que les dénominateurs sont présentés sous forme de produits, puis tous les facteurs du dénominateur de la première fraction sont pris et les facteurs manquants du dénominateur de la deuxième fraction leur sont ajoutés.

Lorsque les dénominateurs des fractions ajoutées ou soustraites n'ont pas de facteurs communs, il est alors logique de prendre leur produit comme dénominateur commun. Donnons un exemple.

Disons que nous devons effectuer l'addition de fractions et 1/2. Ici, comme dénominateur commun, il est logique de prendre le produit des dénominateurs des fractions originales, c'est-à-dire . Dans ce cas, le facteur supplémentaire pour la première fraction sera 2. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par ceux-ci, la fraction prendra la forme . Et pour la deuxième fraction, le facteur supplémentaire est l’expression. Avec son aide, la fraction 1/2 est réduite à la forme . Il ne reste plus qu'à additionner les fractions obtenues avec les mêmes dénominateurs. Voici un résumé de l’ensemble de la solution :

Dans le cas des fractions générales, nous ne parlons plus du plus petit dénominateur commun, auquel sont habituellement réduites les fractions ordinaires. Bien que dans ce domaine, il soit toujours conseillé de rechercher un certain minimalisme. Nous voulons dire par là qu'il ne faut pas immédiatement prendre le produit des dénominateurs des fractions originales comme dénominateur commun. Par exemple, il n'est pas du tout nécessaire de prendre le dénominateur commun des fractions et du produit . Ici, nous pouvons prendre .

Passons aux exemples de multiplication de fractions générales. Multiplions les fractions et . La règle pour effectuer cette action nous demande d'écrire une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions originales et le dénominateur est le produit des dénominateurs. Nous avons . Ici, comme dans de nombreux autres cas, lors de la multiplication de fractions, vous pouvez réduire la fraction : .

La règle de division des fractions permet de passer de la division à la multiplication par la fraction réciproque. Ici, vous devez vous rappeler que pour obtenir l'inverse d'une fraction donnée, vous devez échanger le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée. Voici un exemple du passage de la division de fractions numériques générales à la multiplication : . Il ne reste plus qu'à effectuer la multiplication et simplifier la fraction obtenue (si nécessaire, voir la transformation des expressions irrationnelles) :

En conclusion des informations contenues dans ce paragraphe, rappelons que tout nombre ou expression numérique peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur 1, par conséquent, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de nombres et de fractions peuvent être considérées comme effectuant l'opération correspondante avec des fractions, une dont un au dénominateur. Par exemple, remplacer dans l'expression racine de trois par une fraction, on passe de la multiplication d'une fraction par un nombre à la multiplication de deux fractions : .

Faire des choses avec des fractions contenant des variables

Les règles de la première partie de cet article s’appliquent également à l’exécution d’opérations avec des fractions contenant des variables. Justifions le premier d'entre eux - la règle d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs identiques, les autres sont prouvées absolument de la même manière.

Montrons que pour toutes expressions A, C et D (D n'est pas identiquement égal à zéro) l'égalité est vraie sur sa plage de valeurs admissibles de variables.

Prenons un certain ensemble de variables de l'ODZ. Soit les expressions A, C et D prennent les valeurs a 0, c 0 et d 0 pour ces valeurs des variables. Ensuite, le remplacement des valeurs des variables de l'ensemble sélectionné dans l'expression le transforme en une somme (différence) de fractions numériques avec des dénominateurs similaires de la forme , qui, selon la règle d'addition (soustraction) de fractions numériques avec des dénominateurs similaires , est égal à . Mais substituer les valeurs des variables de l'ensemble sélectionné dans l'expression la transforme en la même fraction. Cela signifie que pour l'ensemble sélectionné de valeurs de variables de l'ODZ, les valeurs des expressions et sont égales. Il est clair que les valeurs des expressions indiquées seront égales pour tout autre ensemble de valeurs de variables de l'ODZ, ce qui signifie que les expressions et sont identiquement égales, c'est-à-dire que l'égalité prouvée est vraie .

Exemples d'ajout et de soustraction de fractions avec des variables

Lorsque les dénominateurs des fractions ajoutées ou soustraites sont les mêmes, alors tout est assez simple : les numérateurs sont ajoutés ou soustraits, mais le dénominateur reste le même. Il est clair que la fraction obtenue ensuite est simplifiée si nécessaire et possible.

Notez que parfois les dénominateurs des fractions ne diffèrent qu'à première vue, mais en fait ce sont des expressions identiques, comme par exemple : et , ou et . Et parfois, il suffit de simplifier les fractions originales pour que leurs dénominateurs identiques « apparaissent ».

Exemple.

, b) , V) .

Solution.

a) Nous devons soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. D'après la règle correspondante, on laisse le dénominateur identique et on soustrait les numérateurs, on a . L'action est terminée. Mais vous pouvez aussi ouvrir les parenthèses au numérateur et présenter des termes similaires : .

b) Évidemment, les dénominateurs des fractions ajoutées sont les mêmes. Par conséquent, nous additionnons les numérateurs et laissons le même dénominateur : . Ajout terminé. Mais il est facile de voir que la fraction résultante peut être réduite. En effet, le numérateur de la fraction résultante peut être réduit en utilisant la formule carré de la somme comme (lgx+2) 2 (voir formules de multiplication abrégée), ainsi les transformations suivantes ont lieu : .

c) Fractions en somme ont des dénominateurs différents. Mais, après avoir transformé l'une des fractions, vous pouvez procéder à l'addition de fractions avec les mêmes dénominateurs. Nous allons montrer deux solutions.

Première façon. Le dénominateur de la première fraction peut être factorisé à l'aide de la formule de la différence des carrés, puis réduire cette fraction : . Ainsi, . Cela ne fait toujours pas de mal de se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction : .

Deuxième façon. Multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (cette expression ne disparaît pour aucune valeur de la variable x de l'ODZ pour l'expression originale) permet d'atteindre deux objectifs à la fois : se libérer de l'irrationalité et passer à l'ajout de fractions avec les mêmes dénominateurs. Nous avons

Répondre:

UN) , b) , V) .

Le dernier exemple nous a amené à la question de la réduction des fractions à un dénominateur commun. Là, nous sommes arrivés presque accidentellement aux mêmes dénominateurs en simplifiant l’une des fractions ajoutées. Mais dans la plupart des cas, lors de l'addition et de la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents, vous devez délibérément ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour ce faire, les dénominateurs des fractions sont généralement présentés sous forme de produits, tous les facteurs du dénominateur de la première fraction sont pris et les facteurs manquants du dénominateur de la deuxième fraction leur sont ajoutés.

Exemple.

Effectuer des opérations avec des fractions : a) , avant JC) .

Solution.

a) Il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec les dénominateurs des fractions. Comme dénominateur commun, nous prenons le produit . Dans ce cas, le facteur supplémentaire pour la première fraction est l'expression et pour la deuxième fraction - le nombre 3. Ces facteurs supplémentaires amènent les fractions à un dénominateur commun, ce qui nous permet en outre d'effectuer l'action dont nous avons besoin, nous avons

b) Dans cet exemple, les dénominateurs sont déjà représentés sous forme de produits et ne nécessitent aucune transformation supplémentaire. Évidemment, les facteurs dans les dénominateurs ne diffèrent que par les exposants. Par conséquent, comme dénominateur commun, nous prenons le produit des facteurs avec les exposants les plus élevés, c'est-à-dire . Ensuite, le facteur supplémentaire pour la première fraction sera x 4 et pour la seconde - ln(x+1) . Nous sommes maintenant prêts à soustraire des fractions :

c) Et dans ce cas, nous travaillerons d’abord avec les dénominateurs des fractions. Les formules de la différence des carrés et du carré de la somme permettent de passer de la somme originale à l'expression . Il est désormais clair que ces fractions peuvent être réduites à un dénominateur commun . Avec cette approche, la solution ressemblera à ceci :

Répondre:

UN)

b)

V)

Exemples de multiplication de fractions avec des variables

La multiplication de fractions produit une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions d'origine et le dénominateur est le produit des dénominateurs. Ici, comme vous pouvez le constater, tout est familier et simple, et on ne peut qu'ajouter que la fraction obtenue grâce à cette action s'avère souvent réductible. Dans ces cas, elle est réduite, à moins bien entendu que cela ne soit nécessaire et justifié.