Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes
Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. En outre, une figure distincte montre la correspondance entre les symboles alphabétiques dans les formules et les symboles graphiques dans le dessin.
Note . Si le triangle a des propriétés particulières (isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :
- "Formules pour l'aire d'un triangle équilatéral"
Formules d'aire triangulaire
Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α
- angle opposé au côté a du triangle
β
- angle opposé au côté b du triangle
γ
- angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé du côté a, b, c
Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.
- L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L'exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
- L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Malgré le fait qu'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
- L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
- L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
- La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
- La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
- L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
- L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
- Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
- Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron.
- La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.
Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √
Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux
Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm. L'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.
Solution.
Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ
Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60
Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2
Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)
Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral
Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de 3 cm de côté.
Solution .
L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :
S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :
S = √3 / 4 * une 2
S = √3 / 4 * 3 2
Répondre: 9 √3 / 4.
Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés
Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?
Solution.
Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.
Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Ceux qui le souhaitent peuvent immédiatement consulter la solution.
Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :
S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)
Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :
S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)
Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon les règles générales des mathématiques.
Alors
S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne
La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)
Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.
Notion de zone
La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.
Regardons un exemple.
Exemple 1
Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est égale à
Réponse : 15$.
Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.
Mathématiquement, ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.
Preuve.
Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Le théorème est prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Réponse : 40,5$.
La formule du héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérons la figure suivante :
D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Notion de zone
La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.
Regardons un exemple.
Exemple 1
Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est égale à
Réponse : 15$.
Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.
Mathématiquement, ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.
Preuve.
Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Le théorème est prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Réponse : 40,5$.
La formule du héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérons la figure suivante :
D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
À partir du sommet opposé) et divisez le produit obtenu par deux. Sous forme, cela ressemble à ceci :
S = ½ * a * h,
Où:
S – aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.
La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans ce cas, l’aire du triangle sera obtenue dans les unités « » correspondantes.
Exemple.
D'un côté d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire au sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est obligatoire.
Solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Si les longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle scalène et l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule :
S = ½ * a * b * sinγ,
où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires et γ est l'angle entre eux.
En pratique, par exemple, lors de la mesure de terrains, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite une construction et une mesure d'angles supplémentaires.
Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d'un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c – longueurs des côtés du triangle,
p – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.
Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :
où : r – rayon du cercle inscrit (р – demi-périmètre).
Pour calculer l'aire d'un triangle scalène et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :
où : R – rayon du cercle circonscrit.
Si la longueur d'un des côtés du triangle et trois angles sont connus (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), alors utilisez la formule:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ – valeurs des deux angles restants du triangle.
La nécessité de trouver divers éléments, dont la zone Triangle, est apparu plusieurs siècles avant JC parmi les savants astronomes de la Grèce antique. Carré Triangle peut être calculé de différentes manières en utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments Triangle connu.
Instructions
Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés b, c et l'angle qu'ils forment ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = (bcsin?)/2.
Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés a, b et l'angle qu'ils ne forment pas ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve comme suit :
Trouver l'angle ?, péché ? = bsin?/a, puis utilisez le tableau pour déterminer l'angle lui-même.
Trouver l'angle ?, ? = 180°-?-?.
On retrouve l'aire elle-même S = (absine ?)/2.
Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de seulement trois côtés Triangle a, b et c, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , où p est le demi-périmètre p = (a+b+c)/2
Si, à partir des conditions problématiques, nous connaissons la hauteur Triangle h et le côté vers lequel cette hauteur est abaissée, puis la surface Triangle ABC selon la formule :
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Si nous connaissons la signification des côtés Triangle a, b, c et le rayon décrit à ce sujet Triangle R, alors l'aire de ceci Triangle ABC est déterminé par la formule :
S = abc/4R.
Si trois côtés a, b, c et le rayon de ce qui est inscrit dans sont connus, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = pr, où p est le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2.
Si ABC est équilatéral, alors l'aire est trouvée par la formule :
S = (a^2v3)/4.
Si le triangle ABC est isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = (cv(4a^2-c^2))/4, où c – Triangle.
Si le triangle ABC est rectangle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = ab/2, où a et b sont des jambes Triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = c^2/4 = a^2/2, où c est l'hypoténuse Triangle, a=b – jambe.
Vidéo sur le sujet
Sources:
- comment mesurer l'aire d'un triangle
Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle si l'angle est connu
Connaître un seul paramètre (l'angle) ne suffit pas pour trouver l'aire tre carré . S'il existe des dimensions supplémentaires, pour déterminer la zone, vous pouvez choisir l'une des formules dans lesquelles la valeur de l'angle est également utilisée comme l'une des variables connues. Plusieurs des formules les plus fréquemment utilisées sont indiquées ci-dessous.
Instructions
Si, en plus de la taille de l'angle (γ) formé par les deux côtés tre carré , les longueurs de ces côtés (A et B) sont également connues, alors carré(S) d'une figure peut être défini comme la moitié du produit des longueurs des côtés et du sinus de cet angle connu : S=½×A×B×sin(γ).
Parfois, dans la vie, il y a des situations où vous devez fouiller dans votre mémoire à la recherche de connaissances scolaires oubliées depuis longtemps. Par exemple, vous devez déterminer la superficie d'un terrain de forme triangulaire, ou le moment est venu de procéder à une autre rénovation dans un appartement ou une maison privée, et vous devez calculer la quantité de matériau nécessaire pour une surface avec une forme triangulaire. Il fut un temps où vous pouviez résoudre un tel problème en quelques minutes, mais maintenant vous essayez désespérément de vous rappeler comment déterminer l'aire d'un triangle ?
Ne vous inquiétez pas ! Après tout, il est tout à fait normal que le cerveau d’une personne décide de transférer des connaissances longtemps inutilisées quelque part vers un coin éloigné, d’où il n’est parfois pas si facile de les extraire. Pour que vous n'ayez pas à chercher des connaissances scolaires oubliées pour résoudre un tel problème, cet article contient diverses méthodes qui facilitent la recherche de l'aire requise d'un triangle.
Il est bien connu qu’un triangle est un type de polygone limité au nombre minimum de côtés possible. En principe, tout polygone peut être divisé en plusieurs triangles en reliant ses sommets par des segments qui ne coupent pas ses côtés. Par conséquent, connaissant le triangle, vous pouvez calculer l'aire de presque n'importe quelle figure.
Parmi tous les triangles possibles qui apparaissent dans la vie, on peut distinguer les types particuliers suivants : et rectangulaires.
La façon la plus simple de calculer l'aire d'un triangle est lorsqu'un de ses angles est droit, c'est-à-dire dans le cas d'un triangle rectangle. Il est facile de voir qu’il s’agit d’un demi-rectangle. Son aire est donc égale à la moitié du produit des côtés qui forment un angle droit entre eux.
Si l'on connaît la hauteur d'un triangle, abaissé d'un de ses sommets jusqu'au côté opposé, et la longueur de ce côté, qui s'appelle la base, alors l'aire est calculée comme la moitié du produit de la hauteur et de la base. Ceci s'écrit à l'aide de la formule suivante :
S = 1/2*b*h, dans lequel
S est l'aire requise du triangle ;
b, h - respectivement, la hauteur et la base du triangle.
Il est si facile de calculer l'aire d'un triangle isocèle car la hauteur divisera le côté opposé en deux et peut être facilement mesurée. Si la surface est déterminée, il est alors pratique de prendre comme hauteur la longueur de l'un des côtés formant un angle droit.
Tout cela est bien sûr bien, mais comment déterminer si l'un des angles d'un triangle est droit ou non ? Si la taille de notre figure est petite, nous pouvons alors utiliser un angle de construction, un triangle de dessin, une carte postale ou un autre objet de forme rectangulaire.
Mais que se passe-t-il si nous avons un terrain triangulaire ? Dans ce cas, procédez comme suit : comptez à partir du haut de l'angle droit supposé d'un côté une distance multiple de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), et de l'autre côté mesurez une distance multiple de 4 dans le même proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Vous devez maintenant mesurer la distance entre les extrémités de ces deux segments. Si le résultat est un multiple de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), alors on peut dire que l'angle est droit.
Si la longueur de chacun des trois côtés de notre figure est connue, alors l'aire du triangle peut être déterminée à l'aide de la formule de Heron. Pour qu'il ait une forme plus simple, une nouvelle valeur est utilisée, appelée demi-périmètre. C'est la somme de tous les côtés de notre triangle, divisés en deux. Une fois le demi-périmètre calculé, vous pouvez commencer à déterminer la superficie à l'aide de la formule :
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), où
sqrt - racine carrée ;
p - valeur du demi-périmètre (p = (a+b+c)/2) ;
a, b, c - bords (côtés) du triangle.
Mais que se passe-t-il si le triangle a une forme irrégulière ? Il y a deux manières possibles ici. La première consiste à essayer de diviser une telle figure en deux triangles rectangles, dont la somme des aires est calculée séparément, puis additionnée. Ou, si l'angle entre deux côtés et la taille de ces côtés sont connus, alors appliquez la formule :
S = 0,5 * ab * sinC, où
a,b - côtés du triangle ;
c est la taille de l'angle entre ces côtés.
Ce dernier cas est rare dans la pratique, mais néanmoins, tout est possible dans la vie, la formule ci-dessus ne sera donc pas superflue. Bonne chance avec vos calculs!
