Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(8\); \(onze\); \(14\)... est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées en augmentant.

Cependant, \(d\) peut aussi être un nombre négatif. Par exemple, en progression arithmétique \(16\); \(dix\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression sont appelés membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre qu'une progression arithmétique, mais avec un index numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes de progression arithmétique

En principe, les informations présentées ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Recherchez \(b_5\).
Solution:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62; 49; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression..
Solution:

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Étant donné plusieurs éléments consécutifs d'une progression arithmétique : \(…5; x; 10; 12.5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Solution:

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est définie par les conditions suivantes : \(a_1=-11\) ; \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Solution:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes pour la progression arithmétique

Comme vous pouvez le constater, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (le différence de progression).

Cependant, il arrive parfois que prendre une décision « frontale » soit très gênant. Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Devons-nous ajouter quatre \(385\) fois ? Ou imaginez que dans l’avant-dernier exemple, vous deviez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous en aurez marre de compter...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas les problèmes de manière frontale, mais utilisent des formules spéciales dérivées de la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme des \(n\) premiers termes.

Formule du \(n\)ième terme : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) – terme de la progression de numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement même le trois centième ou le millionième élément, en ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Recherchez \(b_(246)\).
Solution:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) – le dernier terme additionné ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(a_n=3.4n-0.6\). Trouver la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) remplacez-le par la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On a:

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise des premiers éléments \(n\) ;
\(a_1\) – le premier terme additionné ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) – nombre d'éléments dans la somme.

Exemple. Trouver la somme des premiers termes \(33\)-ex de la progression arithmétique : \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solution:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Vous disposez désormais de toutes les informations dont vous avez besoin pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels il faut non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\) ; \(-19\); \(-18,7\)…
Solution:

Répondre: \(S_(65)=-630,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ème à l'élément \(42\) inclus.
Solution:

Répondre: \(S=1683\).

Pour la progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.

Lors de l'étude de l'algèbre dans une école secondaire (9e année), l'un des sujets importants est l'étude des séquences numériques, qui incluent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons une progression arithmétique et des exemples de solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de définir la progression en question, ainsi que de fournir les formules de base qui seront utilisées plus tard pour résoudre les problèmes.

L'arithmétique ou est un ensemble de nombres rationnels ordonnés, dont chaque membre diffère du précédent par une valeur constante. Cette valeur est appelée la différence. Autrement dit, connaissant n'importe quel membre d'une série ordonnée de nombres et la différence, vous pouvez restaurer toute la progression arithmétique.

Donnons un exemple. La séquence de nombres suivante sera une progression arithmétique : 4, 8, 12, 16, ..., puisque la différence dans ce cas est de 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mais l'ensemble des nombres 3, 5, 8, 12, 17 ne peut plus être attribué au type de progression considéré, puisque la différence pour lui n'est pas une valeur constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Formules importantes

Présentons maintenant les formules de base qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes utilisant la progression arithmétique. Désignons par le symbole a n le nième membre de la séquence, où n est un nombre entier. Nous désignons la différence par la lettre latine d. Alors les expressions suivantes sont valides :

1. Pour déterminer la valeur du nième terme, la formule suivante convient : a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Pour déterminer la somme des n premiers termes : S n = (a n +a 1)*n/2.

Pour comprendre d'éventuels exemples de progression arithmétique avec solutions en 9e année, il suffit de retenir ces deux formules, puisque tout problème du type considéré repose sur leur utilisation. N'oubliez pas non plus que la différence de progression est déterminée par la formule : d = a n - a n-1.

Exemple n°1 : trouver un terme inconnu

Donnons un exemple simple d'une progression arithmétique et les formules qui doivent être utilisées pour la résoudre.

Soit la séquence 10, 8, 6, 4, ..., vous devez y trouver cinq termes.

Des conditions du problème, il résulte déjà que les 4 premiers termes sont connus. Le cinquième peut être défini de deux manières :

1. Calculons d'abord la différence. On a : d = 8 - 10 = -2. De même, vous pouvez emmener deux autres membres l’un à côté de l’autre. Par exemple, d = 4 - 6 = -2. Puisqu'on sait que d = a n - a n-1, alors d = a 5 - a 4, d'où on obtient : a 5 = a 4 + d. On substitue les valeurs connues : a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. La deuxième méthode nécessite également de connaître la différence de la progression en question, il faut donc d'abord la déterminer comme indiqué ci-dessus (d = -2). Sachant que le premier terme a 1 = 10, on utilise la formule du nombre n de la suite. On a : a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. En remplaçant n = 5 dans la dernière expression, nous obtenons : a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Comme vous pouvez le constater, les deux solutions ont conduit au même résultat. Notez que dans cet exemple, la différence de progression d est une valeur négative. De telles séquences sont dites décroissantes, puisque chaque terme suivant est inférieur au précédent.

Exemple n°2 : différence de progression

Compliquons maintenant un peu le problème, donnons un exemple de la façon de trouver la différence d'une progression arithmétique.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Remplaçons-y les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) /6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer la séquence au 7ème terme, vous devez utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. En conséquence, on restitue la séquence entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : établir une progression

Compliquons encore plus le problème. Nous devons maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. L'exemple suivant peut être donné : deux nombres sont donnés, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de créer une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors a 1 = -4 et a 5 = 5. Après avoir établi cela, passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme nous utilisons la formule, nous obtenons : a 5 = a 1 + 4 * d. De : d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ce que nous obtenons ici n’est pas une valeur entière de la différence, mais c’est un nombre rationnel, donc les formules de progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui a coïncidé avec les conditions du problème.

Exemple n°4 : premier terme de progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec solutions. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver par quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Dans l’énoncé du problème, on ne sait rien de ces chiffres. Néanmoins, nous écrirons des expressions pour chaque terme sur lequel des informations sont disponibles : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons reçu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d’équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d’exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalisant ces expressions, nous obtenons : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, d'abord : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43ème terme de la progression, qui est précisé dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. La petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n°5 : montant

Examinons maintenant plusieurs exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement de la technologie informatique, il est possible de résoudre ce problème, c'est-à-dire d'ajouter tous les nombres séquentiellement, ce que l'ordinateur fera dès qu'une personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention au fait que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est égale à 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + une n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est dit « gaussien » car au début du XVIIIe siècle le célèbre Allemand, encore âgé de seulement 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si l'on additionne les nombres aux extrémités de la séquence par paires, on obtient toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100 / 2), alors pour obtenir la bonne réponse il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme de termes de n à m

Un autre exemple typique de somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver à quoi sera égale la somme de ses termes de 8 à 14. .

Le problème est résolu de deux manières. La première consiste à trouver les termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne demande pas beaucoup de travail. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème en utilisant une deuxième méthode, plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des nombres entiers. Dans les deux cas, on écrit deux expressions pour la somme :

1. S m = m * (un m + un 1) / 2.
2. S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la 2ème somme inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), nous obtiendrons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + un m * (1- m/2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, nous obtenons : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l’expression du nième terme et de la formule de la somme de l’ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous devez trouver, puis de procéder ensuite à la solution.

Un autre conseil est de rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, c'est exactement ce que vous devez faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n°6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et divisez le problème global en sous-tâches distinctes (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons découvert comment trouver une progression arithmétique. Si vous comprenez, ce n'est pas si difficile.

Calculateur en ligne.
Résoudre une progression arithmétique.
Étant donné : a n , d, n
Trouver : un 1

Ce programme mathématique trouve \(a_1\) d'une progression arithmétique basée sur les nombres spécifiés par l'utilisateur \(a_n, d\) et \(n\).
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions. De plus, le nombre fractionnaire peut être saisi sous forme de fraction décimale (\(2.5\)) et sous forme de fraction ordinaire (\(-5\frac(2)(7)\)).

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.

Ce calculateur en ligne peut être utile aux élèves des écoles secondaires lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie des chiffres

Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions.
Le nombre \(n\) ne peut être qu’un entier positif.

Règles de saisie des fractions décimales.
Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme 2,5 ou 2,5

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Saisir:
Résultat : \(-\frac(2)(3)\)

La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Saisir:
Résultat : \(-1\frac(2)(3)\)

Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
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Un peu de théorie.

Séquence numérique

Dans la pratique quotidienne, la numérotation de divers objets est souvent utilisée pour indiquer l'ordre dans lequel ils sont disposés. Par exemple, les maisons de chaque rue sont numérotées. Dans la bibliothèque, les abonnements des lecteurs sont numérotés puis classés par ordre de numéros attribués dans des fiches spéciales.

Dans une caisse d'épargne, en utilisant le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement retrouver ce compte et voir quel dépôt s'y trouve. Laissez le compte n° 1 contenir un dépôt de 1 roubles, le compte n° 2 contient un dépôt de 2 roubles, etc. séquence de nombres
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une N
où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé à un nombre a n.

Également étudié en mathématiques séquences de nombres infinies :
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ... .
Le nombre un 1 s'appelle premier membre de la séquence, numéro un 2 - deuxième terme de la suite, numéro un 3 - troisième terme de la suite etc.
Le nombre a n s'appelle nième (énième) membre de la séquence, et l'entier naturel n est son nombre.

Par exemple, dans la suite de carrés d'entiers naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 = 1 est le premier terme de la suite ; et n = n 2 est le nième terme de la séquence ; a n+1 = (n + 1) 2 est le (n + 1)ème (n plus premier) terme de la séquence. Souvent, une séquence peut être spécifiée par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) définit la séquence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progression arithmétique

La durée de l'année est d'environ 365 jours. Une valeur plus précise est \(365\frac(1)(4)\) jours, donc tous les quatre ans, une erreur d'un jour s'accumule.

Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté toutes les quatre années et l’année prolongée est appelée année bissextile.

Par exemple, au troisième millénaire, les années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Dans cette séquence, chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre 4. De telles séquences sont appelées progressions arithmétiques.

Définition.
La suite de nombres a 1, a 2, a 3, ..., an n, ... est appelée progression arithmétique, si pour tout naturel n l'égalité
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
où d est un nombre.

De cette formule, il résulte que a n+1 - a n = d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.

Par définition d'une progression arithmétique on a :
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
où
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), où \(n>1 \)

Ainsi, chaque terme d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses deux termes adjacents. Ceci explique le nom de progression « arithmétique ».

Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés à l'aide de la formule récurrente a n+1 = a n + d. De cette façon, il n'est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression, cependant, par exemple, un 100 nécessitera déjà beaucoup de calculs. Généralement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de la progression arithmétique
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Du tout,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
puisque le nième terme d'une progression arithmétique est obtenu à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d.
Cette formule s'appelle formule pour le nième terme d'une progression arithmétique.

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Trouvez la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100.
Écrivons ce montant de deux manières :
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Additionnons ces égalités terme par terme :
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Cette somme comporte 100 termes
Par conséquent, 2S = 101 * 100, donc S = 101 * 50 = 5050.

Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ...
Soit S n la somme des n premiers termes de cette progression :
S n = une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n
Alors la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est égale à
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Puisque \(a_n=a_1+(n-1)d\), alors en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver somme des n premiers termes d'une progression arithmétique:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Instructions

Une progression arithmétique est une séquence de la forme a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Étape numéro d progression.Il est évident que le général d’un n-ième terme arbitraire de l’arithmétique progression a la forme : An = A1+(n-1)d. Alors connaissant l'un des membres progression, membre progression et étape progression, vous pouvez, c'est-à-dire le numéro du membre de progression. Évidemment, il sera déterminé par la formule n = (An-A1+d)/d.

Que maintenant le mois terme soit connu progression et un autre membre progression- nième, mais n , comme dans le cas précédent, mais on sait que n et m ne coïncident pas. progression peut être calculé à l'aide de la formule : d = (An-Am)/(n-m). Alors n = (An-Am+md)/d.

Si la somme de plusieurs éléments d'une équation arithmétique est connue progression, ainsi que son premier et son dernier, alors le nombre de ces éléments peut également être déterminé La somme de l'arithmétique. progression sera égal à : S = ((A1+An)/2)n. Alors n = 2S/(A1+An) - chdenov progression. En utilisant le fait que An = A1+(n-1)d, cette formule peut être réécrite comme suit : n = 2S/(2A1+(n-1)d). À partir de là, nous pouvons exprimer n en résolvant une équation quadratique.

Une suite arithmétique est un ensemble ordonné de nombres dont chaque membre, à l'exception du premier, diffère du précédent du même montant. Cette valeur constante est appelée différence de progression ou son échelon et peut être calculée à partir des termes connus de la progression arithmétique.

Instructions

Si les valeurs du premier et du deuxième ou de toute autre paire de termes adjacents sont connues à partir des conditions du problème, pour calculer la différence (d), soustrayez simplement le précédent du terme suivant. La valeur résultante peut être un nombre positif ou négatif - cela dépend si la progression augmente. Sous sa forme générale, écrivez la solution pour une paire arbitraire (aᵢ et aᵢ₊₁) de termes voisins de la progression comme suit : d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pour une paire de termes d'une telle progression, dont l'un est le premier (a₁) et l'autre est tout autre terme choisi arbitrairement, il est également possible de créer une formule pour trouver la différence (d). Cependant, dans ce cas, le numéro de série (i) d'un membre arbitrairement sélectionné de la séquence doit être connu. Pour calculer la différence, additionnez les deux nombres et divisez le résultat obtenu par le nombre ordinal d'un terme arbitraire réduit de un. En général, écrivez cette formule comme suit : d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Si, en plus d'un membre arbitraire d'une progression arithmétique de numéro ordinal i, un autre membre de numéro ordinal u est connu, modifiez la formule de l'étape précédente en conséquence. Dans ce cas, la différence (d) de la progression sera la somme de ces deux termes divisée par la différence de leurs nombres ordinaux : d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La formule de calcul de la différence (d) devient un peu plus compliquée si les conditions du problème donnent la valeur de son premier terme (a₁) et la somme (Sᵢ) d'un nombre donné (i) des premiers termes de la suite arithmétique. Pour obtenir la valeur souhaitée, divisez la somme par le nombre de termes qui la composent, soustrayez la valeur du premier nombre de la suite et doublez le résultat. Divisez la valeur obtenue par le nombre de termes qui composent la somme réduite de un. En général, écrivez la formule de calcul du discriminant comme suit : d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).