Comment s’appelle un cube avec différentes faces ? Hypercube

L'évolution du cerveau humain s'est déroulée dans un espace tridimensionnel. Il nous est donc difficile d’imaginer des espaces dont les dimensions sont supérieures à trois. En fait, le cerveau humain ne peut pas imaginer des objets géométriques dont les dimensions sont supérieures à trois. Et en même temps, on peut facilement imaginer des objets géométriques de dimensions non seulement trois, mais aussi de dimensions deux et une.

La différence et l'analogie entre les espaces unidimensionnels et bidimensionnels, ainsi que la différence et l'analogie entre les espaces bidimensionnels et tridimensionnels nous permettent d'ouvrir légèrement l'écran de mystère qui nous sépare des espaces de dimensions supérieures. Pour comprendre comment cette analogie est utilisée, considérons un objet à quatre dimensions très simple : un hypercube, c'est-à-dire un cube à quatre dimensions. Pour être précis, disons que nous voulons résoudre un problème spécifique, à savoir compter le nombre de faces carrées d’un cube à quatre dimensions. Toute autre considération sera très laxiste, sans aucune preuve, uniquement par analogie.

Pour comprendre comment un hypercube est construit à partir d’un cube régulier, vous devez d’abord regarder comment un cube régulier est construit à partir d’un carré régulier. Par souci d'originalité dans la présentation de ce matériel, nous appellerons ici un carré ordinaire un SubCube (et ne le confondrons pas avec une succube).

Pour construire un cube à partir d'un sous-cube, vous devez étendre le sous-cube dans une direction perpendiculaire au plan du sous-cube en direction de la troisième dimension. Dans ce cas, de chaque côté du sous-cube initial grandira un sous-cube, qui est la face latérale bidimensionnelle du cube, ce qui limitera le volume tridimensionnel du cube sur quatre côtés, deux perpendiculaires à chaque direction dans le plan du sous-cube. Et le long du nouveau troisième axe se trouvent également deux sous-cubes qui limitent le volume tridimensionnel du cube. Il s'agit de la face bidimensionnelle où se trouvait initialement notre sous-cube et de cette face bidimensionnelle du cube où le sous-cube est arrivé à la fin de la construction du cube.

Ce que vous venez de lire est présenté de manière excessivement détaillée et avec beaucoup de précisions. Et pour une bonne raison. Maintenant, nous allons faire une telle astuce, nous remplacerons formellement certains mots du texte précédent de cette manière :
cube -> hypercube
sous-cube -> cube
plan -> volume
troisième -> quatrième
bidimensionnel -> tridimensionnel
quatre -> six
tridimensionnel -> quadridimensionnel
deux -> trois
avion -> espace

En conséquence, nous obtenons le texte significatif suivant, qui ne semble plus trop détaillé.

Pour construire un hypercube à partir d'un cube, vous devez étendre le cube dans une direction perpendiculaire au volume du cube en direction de la quatrième dimension. Dans ce cas, un cube grandira de chaque côté du cube d'origine, qui est la face latérale tridimensionnelle de l'hypercube, ce qui limitera le volume quadridimensionnel de l'hypercube sur six côtés, trois perpendiculaires à chaque direction dans le espace du cube. Et le long du nouveau quatrième axe se trouvent également deux cubes qui limitent le volume quadridimensionnel de l'hypercube. Il s'agit de la face tridimensionnelle où se trouvait initialement notre cube et de la face tridimensionnelle de l'hypercube où le cube est arrivé à la fin de la construction de l'hypercube.

Pourquoi sommes-nous si sûrs d'avoir reçu la description correcte de la construction d'un hypercube ? Oui, car exactement par la même substitution formelle de mots, nous obtenons une description de la construction d'un cube à partir d'une description de la construction d'un carré. (Vérifiez par vous-même.)

Il est maintenant clair que si un autre cube tridimensionnel devait croître de chaque côté du cube, alors une face devrait croître de chaque bord du cube initial. Au total, le cube a 12 arêtes, ce qui signifie que 12 nouvelles faces supplémentaires (sous-cubes) apparaîtront sur ces 6 cubes qui limitent le volume à quatre dimensions le long des trois axes de l'espace tridimensionnel. Et il reste deux autres cubes qui limitent ce volume à quatre dimensions d'en bas et d'en haut le long du quatrième axe. Chacun de ces cubes possède 6 faces.

Au total, on constate que l’hypercube a 12+6+6=24 faces carrées.

L'image suivante montre la structure logique d'un hypercube. C'est comme une projection d'un hypercube sur un espace tridimensionnel. Cela produit un cadre tridimensionnel de nervures. Sur la figure, bien sûr, vous voyez la projection de ce cadre sur un plan.

Sur ce repère, le cube intérieur est comme le cube initial à partir duquel la construction a commencé et qui limite le volume quadridimensionnel de l'hypercube le long du quatrième axe à partir du bas. Nous étirons ce cube initial vers le haut le long du quatrième axe de mesure et il entre dans le cube extérieur. Ainsi, les cubes extérieur et intérieur de cette figure limitent l'hypercube le long du quatrième axe de mesure.

Et entre ces deux cubes, vous pouvez voir 6 autres nouveaux cubes, qui touchent des faces communes avec les deux premiers. Ces six cubes délimitaient notre hypercube le long des trois axes de l'espace tridimensionnel. Comme vous pouvez le constater, ils sont non seulement en contact avec les deux premiers cubes, qui sont les cubes intérieurs et extérieurs de ce cadre tridimensionnel, mais ils sont également en contact les uns avec les autres.

Vous pouvez compter directement dans la figure et vous assurer que l'hypercube a bien 24 faces. Mais cette question se pose. Ce cadre hypercube dans un espace tridimensionnel est rempli de huit cubes tridimensionnels sans aucun espace. Pour créer un véritable hypercube à partir de cette projection tridimensionnelle d'un hypercube, vous devez retourner ce cadre afin que les 8 cubes délimitent un volume en 4 dimensions.

C'est fait comme ça. Nous invitons un résident d'un espace à quatre dimensions à nous rendre visite et à lui demander de nous aider. Il saisit le cube intérieur de ce cadre et le déplace dans la direction de la quatrième dimension, perpendiculaire à notre espace tridimensionnel. Dans notre espace tridimensionnel, nous le percevons comme si tout le cadre interne avait disparu et que seul le cadre du cube extérieur restait.

De plus, notre assistant quadridimensionnel propose son aide dans les maternités pour un accouchement sans douleur, mais nos femmes enceintes sont effrayées par la perspective que le bébé disparaisse simplement de l'estomac et se retrouve dans un espace tridimensionnel parallèle. Par conséquent, la personne à quatre dimensions est poliment refusée.

Et nous sommes intrigués par la question de savoir si certains de nos cubes se sont détachés lorsque nous avons retourné le cadre de l'hypercube. Après tout, si certains cubes tridimensionnels entourant un hypercube touchent leurs voisins sur le cadre avec leurs faces, se toucheront-ils également avec les mêmes faces si le cube à quatre dimensions retourne le cadre ?

Revenons à l'analogie avec les espaces de dimensions inférieures. Comparez l'image du cadre hypercube avec la projection d'un cube tridimensionnel sur un plan illustré dans l'image suivante.

Les habitants de l'espace à deux dimensions ont construit sur un plan un cadre pour la projection d'un cube sur un plan et nous ont invités, habitants en trois dimensions, à retourner ce cadre. Nous prenons les quatre sommets du carré intérieur et les déplaçons perpendiculairement au plan. Les résidents bidimensionnels voient la disparition complète de tout le cadre intérieur et il ne leur reste plus que le cadre du carré extérieur. Avec une telle opération, tous les carrés qui étaient en contact avec leurs bords continuent à se toucher avec les mêmes bords.

Par conséquent, nous espérons que le schéma logique de l'hypercube ne sera pas non plus violé lorsque le cadre de l'hypercube est retourné, et que le nombre de faces carrées de l'hypercube n'augmentera pas et sera toujours égal à 24. Ceci, de bien sûr, ce n’est pas du tout une preuve, mais simplement une supposition par analogie.

Après tout ce que vous avez lu ici, vous pouvez facilement dessiner le cadre logique d'un cube à cinq dimensions et calculer le nombre de sommets, d'arêtes, de faces, de cubes et d'hypercubes qu'il possède. Ce n'est pas difficile du tout.

Le Tesseract est un hypercube à quatre dimensions – un cube dans un espace à quatre dimensions.
Selon l'Oxford Dictionary, le mot tesseract a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre A New Age of Thought. Plus tard, certaines personnes ont appelé la même figure un tétracube (grec τετρα - quatre) - un cube à quatre dimensions.
Un tesseract ordinaire dans l'espace euclidien à quatre dimensions est défini comme une coque convexe de points (±1, ±1, ±1, ±1). En d’autres termes, il peut être représenté par l’ensemble suivant :
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Le tesseract est limité par huit hyperplans x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , dont l'intersection avec le tesseract lui-même le définit des faces tridimensionnelles (qui sont des cubes ordinaires) Chaque paire de faces tridimensionnelles non parallèles se croisent pour former des faces bidimensionnelles (carrés), et ainsi de suite. Enfin, le tesseract comporte 8 faces tridimensionnelles. faces, 24 faces bidimensionnelles, 32 arêtes et 16 sommets.
Description populaire
Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter l'espace tridimensionnel.
Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un CDBA carré. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel CDBAGHFE. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.
Le segment unidimensionnel AB sert de côté du carré bidimensionnel CDBA, le carré - de côté du cube CDBAGHFE, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube à quatre dimensions. Un segment de droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.
Tout comme les côtés d'un carré sont 4 segments unidimensionnels et les côtés (faces) d'un cube sont 6 carrés à deux dimensions, de même pour un « cube à quatre dimensions » (tesseract), les côtés sont 8 cubes à trois dimensions. . Les espaces de paires opposées de cubes tesseract (c'est-à-dire les espaces tridimensionnels auxquels appartiennent ces cubes) sont parallèles. Sur la figure ce sont les cubes : CDBAGHFE et KLJIOPNM, CDBAKLJI et GHFEOPNM, EFBAMNJI et GHDCOPLK, CKIAGOME et DLJBHPNF.
De la même manière, nous pouvons poursuivre notre raisonnement pour les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel. Pour cela, nous utiliserons la méthode déjà familière des analogies.
Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront en direction du quatrième axe. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.
Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. L’hypercube à quatre dimensions lui-même est constitué d’un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.
En découpant les six faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il y aura un carré de chaque côté de la face d'origine plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale.
Les propriétés d'un tesseract représentent une continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans un espace à quatre dimensions.

Hypercube et solides platoniciens

Modéliser un icosaèdre tronqué (« ballon de football ») dans le système « Vecteur »
dans lequel chaque pentagone est délimité par des hexagones

Icosaèdre tronqué peut être obtenu en coupant 12 sommets pour former des faces en forme de pentagones réguliers. Dans ce cas, le nombre de sommets du nouveau polyèdre augmente 5 fois (12×5=60), 20 faces triangulaires se transforment en hexagones réguliers (au total les visages deviennent 20+12=32), UN le nombre d'arêtes augmente à 30+12×5=90.

Étapes de construction d'un icosaèdre tronqué dans le système Vector

Chiffres dans un espace à 4 dimensions.

--à

--à ?

Par exemple, étant donné un cube et un hypercube. Un hypercube a 24 faces. Cela signifie qu’un octaèdre à 4 dimensions aura 24 sommets. Bien que non, un hypercube a 8 faces de cubes – chacune a un centre à son sommet. Cela signifie qu’un octaèdre à 4 dimensions aura 8 sommets, ce qui est encore plus léger.

Octaèdre à 4 dimensions. Il se compose de huit tétraèdres équilatéraux et égaux,
reliés par quatre à chaque sommet.

Riz. Une tentative de simulation
hypersphère-hypersphère dans le système Vector

Faces avant - arrière - boules sans distorsion. Six autres boules peuvent être définies via des ellipsoïdes ou des surfaces quadratiques (via 4 lignes de contour servant de générateurs) ou via des faces (définies d'abord via des générateurs).

Plus de techniques pour « construire » une hypersphère
- le même « ballon de football » dans un espace à 4 dimensions

Annexe 2

Pour les polyèdres convexes, il existe une propriété qui relie le nombre de ses sommets, arêtes et faces, prouvée en 1752 par Leonhard Euler et appelée théorème d'Euler.

Avant de le formuler, considérons les polyèdres que nous connaissons et remplissez le tableau suivant, dans lequel B est le nombre de sommets, P - les arêtes et G - les faces d'un polyèdre donné :

D'après ce tableau, il ressort immédiatement que pour tous les polyèdres sélectionnés, l'égalité B - P + G = 2 est vraie. Il s'avère que cette égalité est vraie non seulement pour ces polyèdres, mais également pour un polyèdre convexe arbitraire.

Théorème d'Euler. Pour tout polyèdre convexe, l'égalité est vraie

B - P + G = 2,

où B est le nombre de sommets, P est le nombre d'arêtes et G est le nombre de faces d'un polyèdre donné.

Preuve. Pour prouver cette égalité, imaginez la surface de ce polyèdre constitué d'un matériau élastique. Supprimons (découpons) une de ses faces et étirons la surface restante sur un plan. On obtient un polygone (formé par les arêtes de la face enlevée du polyèdre), divisé en polygones plus petits (formés par les faces restantes du polyèdre).

Notez que les polygones peuvent être déformés, agrandis, réduits ou même courbés sur leurs côtés, à condition qu'il n'y ait pas d'espace sur les côtés. Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces ne changera pas.

Montrons que la partition résultante du polygone en polygones plus petits satisfait à l'égalité

(*)B - P + G " = 1,

où B est le nombre total de sommets, P est le nombre total d'arêtes et Г " est le nombre de polygones inclus dans la partition. Il est clair que Г " = Г - 1, où Г est le nombre de faces d'un élément donné polyèdre.

Montrons que l'égalité (*) ne change pas si une diagonale est tracée dans un polygone d'une partition donnée (Fig. 5, a). En effet, après avoir tracé une telle diagonale, la nouvelle partition aura B sommets, P+1 arêtes et le nombre de polygones augmentera de un. Par conséquent, nous avons

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

En utilisant cette propriété, nous dessinons des diagonales qui divisent les polygones entrants en triangles, et pour la partition résultante, nous montrons la faisabilité de l'égalité (*) (Fig. 5, b). Pour ce faire, nous supprimerons séquentiellement les arêtes externes, réduisant ainsi le nombre de triangles. Dans ce cas, deux cas sont possibles :

a) pour supprimer un triangle abc il faut retirer deux côtes, dans notre cas UN B Et AVANT JC.;

b) pour supprimer le triangleMKNil faut supprimer un bord, dans notre casMN.

Dans les deux cas, l'égalité (*) ne changera pas. Par exemple, dans le premier cas, après suppression du triangle, le graphe sera composé de B - 1 sommets, P - 2 arêtes et G" - 1 polygone :

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Considérez vous-même le deuxième cas.

Ainsi, supprimer un triangle ne change pas l’égalité (*). En poursuivant ce processus de suppression des triangles, nous arriverons finalement à une partition constituée d'un seul triangle. Pour une telle partition, B = 3, P = 3, Г " = 1 et, par conséquent, B – Р + Г " = 1. Cela signifie que l'égalité (*) est également valable pour la partition d'origine, à partir de laquelle nous obtenons finalement que pour cette partition du polygone, l'égalité (*) est vraie. Ainsi, pour le polyèdre convexe original, l'égalité B - P + G = 2 est vraie.

Un exemple de polyèdre pour lequel la relation d'Euler ne tient pas, illustré à la figure 6. Ce polyèdre a 16 sommets, 32 arêtes et 16 faces. Ainsi, pour ce polyèdre, l'égalité B – P + G = 0 est vraie.

Annexe 3.

Film Cube 2 : Hypercube est un film de science-fiction, suite du film Cube.

Huit inconnus se réveillent dans des pièces en forme de cube. Les pièces sont situées à l’intérieur d’un hypercube à quatre dimensions. Les pièces se déplacent constamment grâce à la « téléportation quantique », et si vous montez dans la pièce suivante, il est peu probable qu'elle revienne à la précédente. Des mondes parallèles se croisent dans l'hypercube, le temps s'écoule différemment dans certaines pièces et certaines pièces sont des pièges mortels.

L'intrigue du film reprend en grande partie l'histoire de la première partie, qui se reflète également dans les images de certains personnages. Le lauréat du prix Nobel Rosenzweig, qui a calculé l'heure exacte de la destruction de l'hypercube, décède dans les chambres de l'hypercube..

Critique

Si dans le premier volet des gens emprisonnés dans un labyrinthe essayaient de s’entraider, dans ce film c’est chacun pour soi. Il y a beaucoup d'effets spéciaux inutiles (alias pièges) qui ne relient pas logiquement cette partie du film à la précédente. Autrement dit, il s'avère que le film Cube 2 est une sorte de labyrinthe du futur 2020-2030, mais pas de 2000. Dans la première partie, tous les types de pièges peuvent théoriquement être créés par l'homme. Dans la deuxième partie, ces pièges sont une sorte de programme informatique, appelé « réalité virtuelle ».

Commençons par expliquer ce qu'est l'espace à quatre dimensions.

Il s’agit d’un espace unidimensionnel, c’est-à-dire simplement l’axe OX. Tout point sur celui-ci est caractérisé par une coordonnée.

Dessinons maintenant l'axe OY perpendiculaire à l'axe OX. Nous obtenons donc un espace bidimensionnel, c'est-à-dire le plan XOY. Tout point sur celui-ci est caractérisé par deux coordonnées - l'abscisse et l'ordonnée.

Traçons l'axe OZ perpendiculairement aux axes OX et OY. Le résultat est un espace tridimensionnel dans lequel tout point a une abscisse, une ordonnée et une applicative.

Il est logique que le quatrième axe, OQ, soit perpendiculaire aux axes OX, OY et OZ en même temps. Mais nous ne pouvons pas construire avec précision un tel axe et nous ne pouvons donc qu’essayer de l’imaginer. Chaque point dans l'espace à quatre dimensions a quatre coordonnées : x, y, z et q.

Voyons maintenant comment est apparu le cube à quatre dimensions.

L'image montre une figure dans un espace unidimensionnel - une ligne.

Si vous effectuez une translation parallèle de cette ligne le long de l'axe OY, puis connectez les extrémités correspondantes des deux lignes résultantes, vous obtiendrez un carré.

De même, si vous effectuez une translation parallèle du carré le long de l'axe OZ et connectez les sommets correspondants, vous obtiendrez un cube.

Et si nous effectuons une translation parallèle du cube le long de l'axe OQ et connectons les sommets de ces deux cubes, alors nous obtiendrons un cube à quatre dimensions. D'ailleurs, ça s'appelle tesseract.

Pour dessiner un cube sur un avion, il vous en faut projet. Visuellement, cela ressemble à ceci :

Imaginons qu'il soit suspendu dans les airs au-dessus de la surface modèle filaire cube, c'est-à-dire comme s'il était « fait de fil », et au-dessus se trouve une ampoule. Si vous allumez l'ampoule, tracez l'ombre du cube avec un crayon, puis éteignez l'ampoule, une projection du cube sera représentée sur la surface.

Passons à quelque chose d'un peu plus complexe. Regardez à nouveau le dessin avec l'ampoule : comme vous pouvez le voir, tous les rayons convergent en un point. On l'appelle Point de fuite et est utilisé pour construire projection en perspective(et cela arrive aussi parallèlement, lorsque tous les rayons sont parallèles entre eux. Il en résulte que la sensation de volume ne se crée pas, mais elle est plus légère, et de plus, si le point de fuite est assez éloigné de l'objet projeté, alors la différence entre ces deux projections est peu perceptible). Pour projeter un point donné sur un plan donné à l'aide d'un point de fuite, vous devez tracer une ligne droite passant par le point de fuite et le point donné, puis trouver le point d'intersection de la ligne droite résultante et du plan. Et pour projeter une figure plus complexe, par exemple un cube, vous devez projeter chacun de ses sommets, puis connecter les points correspondants. Il convient de noter que algorithme de projection de l'espace sur le sous-espace peut être généralisé au cas de la 4D->3D, et pas seulement de la 3D->2D.

Comme je l'ai dit, nous ne pouvons pas imaginer exactement à quoi ressemble l'axe OQ, tout comme le tesseract. Mais on peut s'en faire une idée limitée si on le projette sur un volume puis en le dessinant sur un écran d'ordinateur !

Parlons maintenant de la projection tesseract.

A gauche se trouve la projection du cube sur le plan, et à droite le tesseract sur le volume. Ils sont assez similaires : la projection d'un cube ressemble à deux carrés, petit et grand, l'un dans l'autre, et dont les sommets correspondants sont reliés par des lignes. Et la projection du tesseract ressemble à deux cubes, petit et grand, l'un dans l'autre, et dont les sommets correspondants sont reliés. Mais nous avons tous vu le cube, et nous pouvons affirmer avec certitude que le petit carré et le grand carré, ainsi que les quatre trapèzes au-dessus, en dessous, à droite et à gauche du petit carré, sont en réalité des carrés, et ils sont égaux. . Et le tesseract a la même chose. Et un grand cube, et un petit cube, et six pyramides tronquées sur les côtés d'un petit cube - ce sont tous des cubes, et ils sont égaux.

Mon programme peut non seulement dessiner la projection d'un tesseract sur un volume, mais aussi le faire pivoter. Voyons comment cela se fait.

Tout d'abord, je vais vous dire ce que c'est rotation parallèle au plan.

Imaginez que le cube tourne autour de l'axe OZ. Ensuite chacun de ses sommets décrit un cercle autour de l’axe OZ.

Un cercle est une figure plate. Et les plans de chacun de ces cercles sont parallèles entre eux, et en l'occurrence parallèles au plan XOY. Autrement dit, nous pouvons parler non seulement de rotation autour de l'axe OZ, mais également de rotation parallèle au plan XOY. Comme nous le voyons, pour les points qui tournent parallèlement à l'axe XOY, seules l'abscisse et l'ordonnée changent, tandis que l'appliquée reste. inchangé. Et, en fait, nous ne pouvons parler de rotation autour d’une ligne droite que lorsqu’il s’agit d’un espace tridimensionnel. Dans l'espace à deux dimensions tout tourne autour d'un point, dans l'espace à quatre dimensions tout tourne autour d'un plan, dans l'espace à cinq dimensions on parle de rotation autour d'un volume. Et si nous pouvons imaginer une rotation autour d’un point, alors la rotation autour d’un plan et d’un volume est quelque chose d’impensable. Et si nous parlons de rotation parallèle au plan, alors dans n'importe quel espace à n dimensions, un point peut tourner parallèlement au plan.

Beaucoup d’entre vous ont probablement entendu parler de la matrice de rotation. En multipliant le point par celui-ci, nous obtenons un point tourné parallèlement au plan d'un angle phi. Pour un espace à deux dimensions, cela ressemble à ceci :

Comment multiplier : x d'un point tourné d'un angle phi = cosinus de l'angle phi*ix du point d'origine moins sinus de l'angle phi*ig du point d'origine ;
ig d'un point tourné d'un angle phi = sinus de l'angle phi * ix du point d'origine plus cosinus de l'angle phi * ig du point d'origine.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, où Xa et Ya sont l'abscisse et l'ordonnée du point à faire pivoter, Xa` et Ya` sont l'abscisse et l'ordonnée du point déjà pivoté

Pour l'espace tridimensionnel, cette matrice se généralise comme suit :

Rotation parallèle au plan XOY. Comme vous pouvez le voir, la coordonnée Z ne change pas, mais seuls X et Y changent
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (essentiellement, Za`=Za)

Rotation parallèle au plan XOZ. Rien de nouveau,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (essentiellement, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Et la troisième matrice.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (essentiellement, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Et pour la quatrième dimension, ils ressemblent à ceci :


Je pense que vous savez déjà par quoi multiplier, je n'entrerai donc pas dans les détails. Mais je remarque qu'elle fait la même chose qu'une matrice de rotation parallèle à un plan dans un espace tridimensionnel ! Les deux ne changent que l'ordonnée et l'appliquée, et ne touchent pas les autres coordonnées, elles peuvent donc être utilisées dans le cas tridimensionnel, sans simplement prêter attention à la quatrième coordonnée.

Mais avec la formule de projection, tout n'est pas si simple. Peu importe le nombre de forums que j’ai lus, aucune des méthodes de projection n’a fonctionné pour moi. La projection parallèle ne me convenait pas, car la projection n'aurait pas l'air tridimensionnelle. Dans certaines formules de projection, pour trouver un point, il faut résoudre un système d'équations (et je ne sais pas comment apprendre à un ordinateur à les résoudre), d'autres je n'ai tout simplement pas compris... En général, j'ai décidé de trouver ma propre voie. Pour cela, considérons la projection 2D->1D.

pov signifie "Point de vue", ptp signifie "Point vers le projet" (le point à projeter), et ptp` est le point souhaité sur l'axe OX.

Les angles povptpB et ptpptp`A sont égaux comme correspondant (la ligne pointillée est parallèle à l'axe OX, la droite povptp est une sécante).
Le x du point ptp` est égal au x du point ptp moins la longueur du segment ptp`A. Ce segment peut être trouvé à partir du triangle ptpptp`A : ptp`A = ptpA/tangente de l'angle ptpptp`A. On peut retrouver cette tangente à partir du triangle povptpB : tangente ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Réponse : Xptp`=Xptp-Yptp/tangente de l'angle ptpptp`A.

Je n'ai pas décrit cet algorithme en détail ici, car il existe de nombreux cas particuliers où la formule change quelque peu. Si quelqu'un est intéressé, regardez le code source du programme, tout y est décrit dans les commentaires.

Afin de projeter un point de l'espace tridimensionnel sur un plan, nous considérons simplement deux plans - XOZ et YOZ, et résolvons ce problème pour chacun d'eux. Dans le cas d'un espace à quatre dimensions, il faut considérer trois plans : XOQ, YOQ et ZOQ.

Et enfin, à propos du programme. Cela fonctionne comme ceci : initialiser seize sommets du tesseract -> en fonction des commandes saisies par l'utilisateur, le faire pivoter -> le projeter sur le volume -> en fonction des commandes saisies par l'utilisateur, faire pivoter sa projection -> le projeter sur l'avion -> dessiner.

J'ai écrit moi-même les projections et les rotations. Ils fonctionnent selon les formules que je viens de décrire. La bibliothèque OpenGL dessine des lignes et gère également le mélange des couleurs. Et les coordonnées des sommets du tesseract sont calculées de cette manière :

Coordonnées des sommets d'une ligne centrée à l'origine et de longueur 2 - (1) et (-1) ;
- " - " - carré - " - " - et avec une arête de longueur 2 :
(1 ; 1), (-1 ; 1), (1 ; -1) et (-1 ; -1) ;
- " - " - cube - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Comme vous pouvez le voir, un carré est une ligne au-dessus de l'axe OY et une ligne en dessous de l'axe OY ; un cube est un carré devant le plan XOY et un derrière ; Le tesseract est un cube de l’autre côté du volume XOYZ et un de ce côté. Mais il est beaucoup plus facile de percevoir cette alternance de uns et de moins s'ils sont écrits dans une colonne.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Dans la première colonne, un et moins un alternent. Dans la deuxième colonne, il y a d’abord deux plus, puis deux moins. Dans le troisième - quatre plus un, puis quatre moins un. C'étaient les sommets du cube. Le tesseract en possède deux fois plus, et il a donc fallu écrire une boucle pour les déclarer, sinon il est très facile de se tromper.

Mon programme peut également dessiner des anaglyphes. Les heureux propriétaires de lunettes 3D peuvent observer une image stéréoscopique. Il n’y a rien de compliqué à dessiner une image ; il suffit de dessiner deux projections sur l’avion, pour les yeux droit et gauche. Mais le programme devient beaucoup plus visuel et intéressant, et surtout, il donne une meilleure idée du monde en quatre dimensions.

Des fonctions moins importantes sont l'éclairage de l'un des bords en rouge afin que les virages soient mieux vus, ainsi que des commodités mineures - régulation des coordonnées des points « œil », augmentation et diminution de la vitesse de rotation.

Archivez avec le programme, le code source et le mode d'emploi.

Qu'est-ce qu'un hypercube et un espace à quatre dimensions

Notre espace habituel a trois dimensions. D'un point de vue géométrique, cela signifie que trois lignes mutuellement perpendiculaires peuvent y être indiquées. Autrement dit, pour n’importe quelle droite, vous pouvez trouver une deuxième droite perpendiculaire à la première, et pour une paire, vous pouvez trouver une troisième droite perpendiculaire aux deux premières. Il ne sera plus possible de trouver une quatrième ligne perpendiculaire aux trois existantes.

L'espace à quatre dimensions ne diffère du nôtre que par le fait qu'il comporte une direction supplémentaire. Si vous avez déjà trois lignes perpendiculaires entre elles, vous pouvez en trouver une quatrième, de telle sorte qu’elle soit perpendiculaire aux trois.

Un hypercube est simplement un cube dans un espace à quatre dimensions.
Est-il possible d’imaginer un espace à quatre dimensions et un hypercube ?

Cette question est liée à la question : « est-il possible d'imaginer la Cène en regardant le tableau du même nom (1495-1498) de Léonard de Vinci (1452-1519) ?

D'une part, bien sûr, vous n'imaginerez pas ce que Jésus a vu (il est assis face au spectateur), d'autant plus que vous ne sentirez pas le jardin par la fenêtre et ne goûterez pas la nourriture sur la table, vous n'entendrez pas les oiseaux chanter... Vous n'aurez pas une image complète de ce qui s'est passé ce soir-là, mais on ne peut pas dire que vous n'apprendrez rien de nouveau et que l'image n'a aucun intérêt.

La situation est similaire avec la question de l’hypercube. Il est impossible de l’imaginer pleinement, mais vous pouvez mieux comprendre à quoi cela ressemble.
Construction d'un hypercube
Cube à 0 dimension

Commençons par le début – avec un cube à 0 dimension. Ce cube contient 0 faces mutuellement perpendiculaires, c’est-à-dire qu’il ne s’agit que d’un point.

Cube à 1 dimension

Dans un espace unidimensionnel, nous n’avons qu’une seule direction. Nous déplaçons le point dans cette direction et obtenons un segment.

Il s'agit d'un cube unidimensionnel.
cube en 2 dimensions

Nous avons une deuxième dimension, nous déplaçons notre cube (segment) unidimensionnel dans le sens de la deuxième dimension et nous obtenons un carré.

Il s'agit d'un cube dans un espace à deux dimensions.
cube en 3 dimensions

Avec l'avènement de la troisième dimension, on fait de même : on déplace le carré et on obtient un cube régulier en trois dimensions.

Cube à 4 dimensions (hypercube)

Nous avons maintenant une quatrième dimension. C'est-à-dire que nous avons à notre disposition une direction perpendiculaire aux trois précédentes. Utilisons-le exactement de la même manière. Un cube à quatre dimensions ressemblera à ceci.

Naturellement, les cubes tridimensionnels et quadridimensionnels ne peuvent pas être représentés sur un plan d'écran bidimensionnel. Ce que j'ai dessiné, ce sont des projections. Nous parlerons de projections un peu plus tard, mais pour l'instant quelques faits et chiffres.
Nombre de sommets, arêtes, faces
Caractéristiques des cubes de différentes tailles
1-dimension de l'espace
2-nombre de sommets
3-nombre d'arêtes
4-nombre de visages

0 (point) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (points)
2 (carré) 4 4 4 (segments)
3 (cube) 8 12 6 (carrés)
4 (hypercube) 16 32 8 (cubes)
N (formule générale) 2N N 2N-1 2 N

Veuillez noter que la face d'un hypercube est notre cube tridimensionnel ordinaire. Si vous regardez attentivement le dessin d’un hypercube, vous pouvez en réalité trouver huit cubes.
Projections et vision d'un habitant d'un espace à quatre dimensions
Quelques mots sur la vision

Nous vivons dans un monde tridimensionnel, mais nous le considérons comme bidimensionnel. Cela est dû au fait que la rétine de nos yeux est située dans un plan qui n'a que deux dimensions. C'est pourquoi nous sommes capables de percevoir des images bidimensionnelles et de les trouver similaires à la réalité. (Bien sûr, grâce à l’accommodation, l’œil peut estimer la distance jusqu’à un objet, mais il s’agit d’un effet secondaire associé à l’optique intégrée à nos yeux.)

Les yeux d'un habitant d'un espace à quatre dimensions doivent avoir une rétine à trois dimensions. Une telle créature peut voir immédiatement la totalité de la figure tridimensionnelle : tous ses visages et ses intérieurs. (De la même manière, nous pouvons voir une figure en deux dimensions, toutes ses faces et ses intérieurs.)

Ainsi, avec l’aide de nos organes de vision, nous ne sommes pas capables de percevoir un cube à quatre dimensions de la même manière que le percevrait un habitant d’un espace à quatre dimensions. Hélas. Il ne vous reste plus qu'à vous fier à votre esprit et à votre imagination, qui, heureusement, n'ont aucune limite physique.

Cependant, lorsque je représente un hypercube sur un plan, je suis simplement obligé de le projeter sur un espace bidimensionnel. Tenez compte de ce fait lors de l’étude des dessins.
Intersections de bords

Naturellement, les bords de l’hypercube ne se croisent pas. Les intersections apparaissent uniquement dans les dessins. Cependant, cela ne devrait pas surprendre, car les bords d’un cube ordinaire sur les images se croisent également.
Longueurs de côtes

Il convient de noter que toutes les faces et arêtes d’un cube à quatre dimensions sont égales. Sur la figure, ils s'avèrent inégaux uniquement parce qu'ils sont situés à des angles différents par rapport à la direction de vue. Cependant, il est possible de faire pivoter un hypercube pour que toutes les projections aient la même longueur.

À propos, sur cette figure, huit cubes, qui sont les faces d'un hypercube, sont clairement visibles.
L'hypercube est vide à l'intérieur

C’est difficile à croire, mais entre les cubes qui délimitent l’hypercube, il y a de l’espace (un fragment d’espace à quatre dimensions).

Pour mieux comprendre cela, regardons une projection bidimensionnelle d'un cube tridimensionnel ordinaire (je l'ai délibérément rendue quelque peu schématique).

Pouvez-vous en deviner qu’il y a de l’espace à l’intérieur du cube ? Oui, mais seulement en utilisant votre imagination. L'œil ne voit pas cet espace. Cela se produit parce que les bords situés dans la troisième dimension (qui ne peuvent pas être représentés dans un dessin à plat) se sont désormais transformés en segments situés dans le plan du dessin. Ils ne fournissent plus de volume.

Les carrés entourant l'espace du cube se chevauchaient. Mais on peut imaginer que dans la figure originale (un cube tridimensionnel) ces carrés étaient situés dans des plans différents, et non les uns sur les autres dans le même plan, comme c'est le cas sur la figure.

La situation est exactement la même avec un hypercube. Les faces des cubes d'un hypercube ne se chevauchent pas réellement, comme cela nous semble sur la projection, mais sont situées dans un espace à quatre dimensions.
Balayages

Ainsi, un résident d’un espace à quatre dimensions peut voir un objet en trois dimensions simultanément de tous les côtés. Pouvons-nous voir un cube tridimensionnel de tous les côtés en même temps ? Avec l'œil - non. Mais les gens ont trouvé un moyen de représenter simultanément toutes les faces d'un cube tridimensionnel sur un dessin plat. Une telle image s’appelle un scan.
Développement d'un cube tridimensionnel

Tout le monde sait probablement comment se forme le développement d’un cube tridimensionnel. Ce processus est montré dans l'animation.

Pour plus de clarté, les bords des faces du cube sont translucides.

Il convient de noter que nous ne pouvons percevoir cette image bidimensionnelle que grâce à notre imagination. Si l’on considère les phases qui se déroulent d’un point de vue purement bidimensionnel, le processus semblera étrange et pas du tout clair.

Cela ressemble à l'apparition progressive des contours d'abord de carrés déformés, puis à leur mise en place tout en prenant simultanément la forme souhaitée.

Si vous regardez le cube qui se déroule dans la direction d'une de ses faces (de ce point de vue, le cube ressemble à un carré), alors le processus de formation du dépli est encore moins clair. Tout ressemble à des carrés sortant du carré initial (pas au cube déplié).

Mais le scan n’est pas visuel uniquement pour les yeux. C’est grâce à votre imagination que vous pourrez en tirer de nombreuses informations.
Développement d'un cube à quatre dimensions

Il est tout simplement impossible de rendre le processus animé de déploiement d'un hypercube au moins quelque peu visuel. Mais ce processus peut être imaginé. (Pour ce faire, vous devez le regarder à travers les yeux d’un être à quatre dimensions.)

L'analyse ressemble à ceci.

Les huit cubes délimitant l'hypercube sont visibles ici.

Les bords qui doivent s'aligner une fois pliés sont peints avec les mêmes couleurs. Les visages pour lesquels les paires ne sont pas visibles sont laissés en gris. Après le pliage, la face supérieure du cube supérieur doit être alignée avec le bord inférieur du cube inférieur. (Le déroulement d’un cube tridimensionnel est réduit de la même manière.)

A noter qu'après convolution, toutes les faces des huit cubes entreront en contact, fermant l'hypercube. Et enfin, lorsque vous imaginez le processus de pliage, n'oubliez pas que lors du pliage, ce n'est pas le chevauchement des cubes qui se produit, mais leur enroulement autour d'une certaine zone quadridimensionnelle (hypercubique).

Salvador Dali (1904-1989) a représenté la crucifixion à plusieurs reprises et des croix apparaissent dans plusieurs de ses tableaux. Le tableau « La Crucifixion » (1954) utilise un scan hypercube.
Espace-temps et espace euclidien à quatre dimensions

J'espère que vous avez pu imaginer l'hypercube. Mais avez-vous réussi à mieux comprendre comment fonctionne l’espace-temps à quatre dimensions dans lequel nous vivons ? Hélas, pas tout à fait.

Nous avons parlé ici de l’espace euclidien à quatre dimensions, mais l’espace-temps a des propriétés complètement différentes. En particulier, lors d'éventuelles rotations, les segments restent toujours inclinés par rapport à l'axe du temps, soit d'un angle inférieur à 45 degrés, soit d'un angle supérieur à 45 degrés.

SOURCE2

Le Tesseract est un hypercube à quatre dimensions, un analogue d'un cube dans un espace à quatre dimensions. Selon l'Oxford Dictionary, le mot « tesseract » a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre A New Age of Thought. Plus tard, certaines personnes ont appelé la même figure un « tétracube ».

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter l'espace tridimensionnel.
Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un carré ABCD. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel ABCDHEFG. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

Le segment unidimensionnel AB sert de face au carré bidimensionnel ABCD, le carré sert de côté au cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube à quatre dimensions. Un segment de droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.

De la même manière, nous pouvons poursuivre notre raisonnement pour les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel. Pour cela, nous utiliserons la méthode déjà familière des analogies.
Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la quatrième dimension. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. La partie qui est restée dans « notre » espace est dessinée en lignes pleines, et la partie qui est entrée dans l’hyperespace est dessinée en pointillés. L’hypercube à quatre dimensions lui-même est constitué d’un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les six faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il y aura un carré de chaque côté de la face d'origine, plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale. Les propriétés d'un tesseract représentent une continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans un espace à quatre dimensions.

Autres noms
Hexadécachore
Octachoron
Tétracube
4 cubes
Hypercube (si le nombre de dimensions n'est pas précisé)

Espace à 10 dimensions
C'est en anglais. Pour ceux qui ne le savent pas, les images le montrent clairement.

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