Probabilité L'événement est le rapport du nombre d'issues élémentaires favorables à un événement donné au nombre de toutes les issues également possibles de l'expérience dans laquelle cet événement peut apparaître. La probabilité de l'événement A est notée P(A) (ici P est la première lettre du mot français probabilite - probabilité). D'après la définition
(1.2.1)
où est le nombre d'issues élémentaires favorables à l'événement A ; - le nombre de tous les résultats élémentaires également possibles de l'expérience, formant un groupe complet d'événements.
Cette définition de la probabilité est dite classique. Il est apparu au stade initial du développement de la théorie des probabilités.

La probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :
1. La probabilité d’un événement fiable est égale à un. Désignons un événement fiable par la lettre . Pour un certain événement, donc
(1.2.2)
2. La probabilité d’un événement impossible est nulle. Désignons par la lettre un événement impossible. Pour un événement impossible, donc
(1.2.3)
3. La probabilité d'un événement aléatoire est exprimée par un nombre positif inférieur à un. Puisque pour un événement aléatoire les inégalités , ou , sont satisfaites, alors
(1.2.4)
4. La probabilité de tout événement satisfait les inégalités
(1.2.5)
Cela découle des relations (1.2.2) - (1.2.4).

Exemple 1. Une urne contient 10 boules de taille et de poids égaux, dont 4 rouges et 6 bleues. Une boule est tirée de l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Solution. On note l'événement « la boule tirée s'est avérée bleue » par la lettre A. Ce test a 10 issues élémentaires également possibles, dont 6 en faveur de l'événement A. Conformément à la formule (1.2.1), on obtient

Exemple 2. Tous les nombres naturels de 1 à 30 sont écrits sur des cartes identiques et placés dans une urne. Après avoir soigneusement mélangé les cartes, une carte est retirée de l'urne. Quelle est la probabilité que le nombre sur la carte prise soit un multiple de 5 ?

Solution. Notons A l'événement « le nombre sur la carte prise est un multiple de 5 ». Dans ce test, il y a 30 résultats élémentaires également possibles, parmi lesquels l'événement A est favorisé par 6 résultats (les nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ainsi,

Exemple 3. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Trouvez la probabilité de l’événement B telle que les faces supérieures des dés aient un total de 9 points.

Solution. Dans ce test, il n'y a que 6 2 = 36 résultats élémentaires également possibles. L'événement B est favorisé par 4 résultats : (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), donc

Exemple 4. Un nombre naturel inférieur ou égal à 10 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?

Solution. Notons l'événement « le nombre choisi est premier » par la lettre C. Dans ce cas, n = 10, m = 4 (nombres premiers 2, 3, 5, 7). Par conséquent, la probabilité requise

Exemple 5. Deux pièces symétriques sont lancées. Quelle est la probabilité qu’il y ait des chiffres sur la face supérieure des deux pièces ?

Solution. Désignons par la lettre D l'événement « il y a un numéro sur la face supérieure de chaque pièce ». Dans ce test, il y a 4 résultats élémentaires également possibles : (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notation (G, C) signifie que la première pièce porte un blason, la seconde un numéro). L'événement D est favorisé par un résultat élémentaire (C, C). Puisque m = 1, n = 4, alors

Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres choisi au hasard ait les mêmes chiffres ?

Solution. Les nombres à deux chiffres sont des nombres de 10 à 99 ; Il existe 90 nombres de ce type au total. 9 nombres ont des chiffres identiques (ce sont les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Puisque dans ce cas m = 9, n = 90, alors
,
où A est l’événement « numéro à chiffres identiques ».

Exemple 7. Des lettres du mot différentiel Une lettre est choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette lettre soit : a) une voyelle, b) une consonne, c) une lettre h?

Solution. Le mot différentiel comporte 12 lettres, dont 5 voyelles et 7 consonnes. Courrier h il n'y a pas dans ce mot. Notons les événements : A - "lettre voyelle", B - "lettre consonne", C - "lettre h". Le nombre d'issues élémentaires favorables : - pour l'événement A, - pour l'événement B, - pour l'événement C. Puisque n = 12, alors
, Et .

Exemple 8. Deux dés sont lancés et le nombre de points au dessus de chaque dé est noté. Trouvez la probabilité que les deux dés affichent le même nombre de points.

Solution. Notons cet événement par la lettre A. L'événement A est favorisé par 6 issues élémentaires : (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Le nombre total de résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements, dans ce cas n=6 2 =36. Cela signifie que la probabilité requise

Exemple 9. Le livre compte 300 pages. Quelle est la probabilité qu’une page ouverte aléatoirement ait un numéro de série divisible par 5 ?

Solution. Des conditions du problème, il s'ensuit que tous les résultats élémentaires également possibles qui forment un groupe complet d'événements seront n = 300. Parmi ceux-ci, m = 60 favorisent l'apparition de l'événement spécifié. En effet, un nombre multiple de 5 a la forme 5k, où k est un nombre naturel, et , d'où . Ainsi,
, où A - l'événement « page » a un numéro de séquence qui est un multiple de 5".

Exemple 10. Deux dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus probable : obtenir un total de 7 ou 8 ?

Solution. Notons les événements : A - « 7 points sont lancés », B – « 8 points sont lancés ». L'événement A est favorisé par 6 résultats élémentaires : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), et l'événement B est favorisé par 5 résultats : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2). Tous les résultats élémentaires également possibles sont n = 6 2 = 36. Par conséquent, Et .

Ainsi, P(A)>P(B), c'est-à-dire qu'obtenir un total de 7 points est un événement plus probable que d'obtenir un total de 8 points.

Tâches

1. Un nombre naturel n’excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un multiple de 3 ?
2. Dans l'urne un rouge et b boules bleues, identiques en taille et en poids. Quelle est la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans cette urne soit bleue ?
3. Un nombre n'excédant pas 30 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit un diviseur de 30 ?
4. Dans l'urne UN bleu et b boules rouges, identiques en taille et en poids. Une boule est retirée de cette urne et mise de côté. Cette balle s'est avérée être rouge. Après cela, une autre boule est tirée de l'urne. Trouvez la probabilité que la deuxième boule soit également rouge.
5. Un nombre national ne dépassant pas 50 est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier ?
6. Trois dés sont lancés et la somme des points sur les faces supérieures est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 9 ou 10 points ?
7. Trois dés sont lancés et la somme des points lancés est calculée. Qu'est-ce qui est le plus susceptible d'obtenir un total de 11 (événement A) ou de 12 points (événement B) ?

Réponses

1. 1/3. 2 . b/(un+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(un+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilité d'obtenir 9 points au total ; p 2 = 27/216 - probabilité d'obtenir 10 points au total ; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Questions

1. Quelle est la probabilité d’un événement appelé ?
2. Quelle est la probabilité d’un événement fiable ?
3. Quelle est la probabilité qu’un événement impossible se produise ?
4. Quelles sont les limites de la probabilité d’un événement aléatoire ?
5. Quelles sont les limites de la probabilité de tout événement ?
6. Quelle définition de la probabilité est dite classique ?

Définition classique et statistique de la probabilité

Pour les activités pratiques, il est nécessaire de pouvoir comparer les événements selon le degré de possibilité de leur survenance. Considérons un cas classique. Il y a 10 boules dans l'urne, 8 d'entre elles sont blanches et 2 noires. Évidemment, l'événement « une boule blanche sera tirée de l'urne » et l'événement « une boule noire sera tirée de l'urne » ont différents degrés de possibilité de leur apparition. Par conséquent, pour comparer des événements, une certaine mesure quantitative est nécessaire.

Une mesure quantitative de la possibilité qu'un événement se produise est probabilité . Les définitions les plus largement utilisées de la probabilité d’un événement sont classiques et statistiques.

Définition classique la probabilité est associée au concept d’issue favorable. Regardons cela plus en détail.

Supposons que les résultats de certains tests forment un groupe complet d'événements et soient également possibles, c'est-à-dire uniquement possible, incompatible et également possible. De tels résultats sont appelés résultats élémentaires, ou cas. On dit que le test se résume à diagramme de cas ou " schéma d'urne", parce que Tout problème de probabilité pour un tel test peut être remplacé par un problème équivalent avec des urnes et des boules de couleurs différentes.

Le résultat s'appelle favorableévénement UN, si la survenance de ce cas entraîne la survenance de l'événement UN.

Selon la définition classique probabilité d'un événement A est égal au rapport du nombre d'issues favorables à cet événement sur le nombre total d'issues, c'est-à-dire

(1.1)

Où PENNSYLVANIE)– probabilité d'événement UN; m– nombre de cas favorables à l’événement UN; n– nombre total de cas.

Exemple 1.1. Lorsque vous lancez un dé, il y a six résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6 points. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair de points ?

Solution. Tous n= 6 résultats forment un groupe complet d'événements et sont également possibles, c'est-à-dire uniquement possible, incompatible et également possible. L'événement A - « l'apparition d'un nombre pair de points » - est favorisé par 3 issues (cas) - la perte de 2, 4 ou 6 points. En utilisant la formule classique de la probabilité d'un événement, on obtient

PENNSYLVANIE) = = . ◄

A partir de la définition classique de la probabilité d'un événement, on note ses propriétés :

1. La probabilité de tout événement est comprise entre zéro et un, c'est-à-dire

0 ≤ R.(UN) ≤ 1.

2. La probabilité d’un événement fiable est égale à un.

3. La probabilité d’un événement impossible est nulle.

Comme indiqué précédemment, la définition classique de la probabilité s'applique uniquement aux événements pouvant survenir à la suite de tests présentant une symétrie des résultats possibles, c'est-à-dire réductible à un ensemble de cas. Il existe cependant une grande classe d’événements dont les probabilités ne peuvent être calculées à l’aide de la définition classique.

Par exemple, si l'on suppose que la pièce est aplatie, alors il est évident que les événements « apparition d'armoiries » et « apparition de têtes » ne peuvent pas être considérés comme également possibles. Par conséquent, la formule permettant de déterminer la probabilité selon le schéma classique n'est pas applicable dans ce cas.

Cependant, il existe une autre approche pour estimer la probabilité d'un événement, basée sur la fréquence à laquelle un événement donné se produira dans les essais effectués. Dans ce cas, la définition statistique de la probabilité est utilisée.

Probabilité statistiquel'événement A est la fréquence relative (fréquence) d'apparition de cet événement dans n essais effectués, c'est-à-dire

(1.2)

Où PENNSYLVANIE)– probabilité statistique d'un événement UN; Washington)– fréquence relative de l’événement UN; m– nombre d’essais au cours desquels l’événement s’est produit UN; n– nombre total de tests.

Contrairement aux probabilités mathématiques PENNSYLVANIE), considéré dans la définition classique, probabilité statistique PENNSYLVANIE) est une caractéristique expérimenté, expérimental. En d'autres termes, la probabilité statistique d'un événement UN est le nombre autour duquel la fréquence relative est stabilisée (définie) Washington) avec une augmentation illimitée du nombre de tests réalisés dans les mêmes conditions.

Par exemple, quand on dit d'un tireur qu'il touche la cible avec une probabilité de 0,95, cela signifie que sur des centaines de coups tirés par lui dans certaines conditions (la même cible à la même distance, le même fusil, etc. ), il y en a en moyenne environ 95 qui réussissent. Naturellement, tous les centaines n'auront pas 95 tirs réussis, parfois il y en aura moins, parfois plus, mais en moyenne, lorsque le tir est répété plusieurs fois dans les mêmes conditions, ce pourcentage de tirs restera inchangé. Le chiffre de 0,95, qui sert d'indicateur de l'habileté du tireur, est généralement très écurie, c'est-à-dire le pourcentage de coups sûrs dans la plupart des tirs sera presque le même pour un tireur donné, s'écartant seulement dans de rares cas de manière significative de sa valeur moyenne.

Autre inconvénient de la définition classique de la probabilité ( 1.1 ), ce qui limite son utilisation est qu'il suppose un nombre fini de résultats de test possibles. Dans certains cas, cet inconvénient peut être surmonté en utilisant une définition géométrique de la probabilité, c'est-à-dire : trouver la probabilité qu'un point tombe dans une certaine zone (segment, partie d'un plan, etc.).

Laissez la silhouette plate g fait partie d'une figure plate G(Fig. 1.1). Ajuster G un point est lancé au hasard. Cela signifie que tous les points de la région G« droits égaux » quant à savoir si un point lancé au hasard l'atteint. En supposant que la probabilité d'un événement UN– la pointe lancée touche la figurine g– est proportionnel à l’aire de cette figure et ne dépend pas de sa localisation par rapport à G, ni du formulaire g, nous trouverons

Il s'agit du rapport entre le nombre d'observations dans lesquelles l'événement en question s'est produit et le nombre total d'observations. Cette interprétation est acceptable dans le cas d'un nombre suffisamment important d'observations ou d'expériences. Par exemple, si environ la moitié des personnes que vous rencontrez dans la rue sont des femmes, alors vous pouvez dire que la probabilité que la personne que vous rencontrez dans la rue soit une femme est de 1/2. En d’autres termes, une estimation de la probabilité d’un événement peut être la fréquence de son apparition dans une longue série de répétitions indépendantes d’une expérience aléatoire.

Probabilités en mathématiques

Dans l’approche mathématique moderne, la probabilité classique (c’est-à-dire non quantique) est donnée par l’axiomatique de Kolmogorov. La probabilité est une mesure P., qui est défini sur l'ensemble X, appelé espace de probabilité. Cette mesure doit avoir les propriétés suivantes :

De ces conditions il résulte que la mesure de probabilité P. a également la propriété additivité: si défini UN 1 et UN 2 ne se croisent pas, alors . Pour prouver qu'il faut tout mettre UN 3 , UN 4 , ... égal à l'ensemble vide et appliquer la propriété d'additivité dénombrable.

La mesure de probabilité peut ne pas être définie pour tous les sous-ensembles de l'ensemble X. Il suffit de le définir sur une algèbre sigma, constituée de quelques sous-ensembles de l'ensemble X. Dans ce cas, les événements aléatoires sont définis comme des sous-ensembles mesurables de l'espace X, c'est-à-dire en tant qu'éléments de l'algèbre sigma.

Sens de la probabilité

Lorsque nous constatons que les raisons pour lesquelles un fait possible se produit réellement l'emportent sur les raisons contraires, nous considérons que ce fait probable, sinon - incroyable. Cette prépondérance des bases positives sur les bases négatives, et vice versa, peut représenter un ensemble indéfini de degrés, à la suite desquels probabilité(Et improbabilité) Ça arrive plus ou moins .

Des faits individuels complexes ne permettent pas un calcul exact de leurs degrés de probabilité, mais même ici, il est important d'établir de grandes subdivisions. Ainsi, par exemple, dans le domaine juridique, lorsqu'un fait personnel soumis à jugement est établi sur la base d'un témoignage, il reste toujours, à proprement parler, seulement probable, et il faut savoir quelle est l'importance de cette probabilité ; en droit romain, une quadruple division a été adoptée ici : probation plénière(où la probabilité se transforme pratiquement en fiabilité), alors - probatio moins plena, alors - probation semi-plena majeure et enfin probatio semiplena mineure .

Outre la question de la probabilité du cas, la question peut se poser, tant dans le domaine juridique que dans le domaine moral (avec un certain point de vue éthique), de la probabilité qu'un fait particulier donné constitue un violation du droit général. Cette question, qui sert de motif principal à la jurisprudence religieuse du Talmud, a également donné lieu à des constructions systématiques très complexes et à une immense littérature, dogmatique et polémique, dans la théologie morale catholique romaine (surtout à partir de la fin du XVIe siècle) ( voir Probabilisme).

Le concept de probabilité permet une certaine expression numérique lorsqu'il est appliqué uniquement à des faits faisant partie de certaines séries homogènes. Ainsi (dans l'exemple le plus simple), lorsque quelqu'un lance une pièce cent fois de suite, on retrouve ici une série générale ou grande (la somme de toutes les chutes de la pièce), composée de deux pièces privées ou plus petites, dans ce cas numériquement. égal, série (tombe « face » et tombe « face »); La probabilité que cette fois la pièce tombe face, c'est-à-dire que ce nouveau membre de la série générale appartienne à celle des deux plus petites séries, est égale à la fraction exprimant le rapport numérique entre cette petite série et la plus grande, à savoir 1/2, c'est-à-dire que la même probabilité appartient à l'une ou l'autre de deux séries particulières. Dans des exemples moins simples, la conclusion ne peut pas être déduite directement des données du problème lui-même, mais nécessite une induction préalable. Ainsi, par exemple, la question est : quelle est la probabilité pour un nouveau-né donné de vivre jusqu'à 80 ans ? Il doit y avoir ici une série générale, ou grande, d'un certain nombre de personnes nées dans des conditions similaires et mourant à des âges différents (ce nombre doit être suffisamment grand pour éliminer les écarts aléatoires, et suffisamment petit pour maintenir l'homogénéité de la série, car pour une personne, née, par exemple, à Saint-Pétersbourg dans une famille riche et cultivée, l'ensemble de la population de la ville, forte d'un million d'habitants, dont une partie importante est constituée de personnes appartenant à divers groupes qui peuvent mourir prématurément - soldats, journalistes, les travailleurs exerçant des professions dangereuses - représente un groupe trop hétérogène pour une véritable détermination de probabilité) ; que cette série générale comprenne dix mille vies humaines ; il comprend des séries plus petites représentant le nombre de personnes vivant jusqu'à un âge particulier ; l’une de ces séries plus petites représente le nombre de personnes vivant jusqu’à 80 ans. Mais il est impossible de déterminer le nombre de cette plus petite série (comme toutes les autres) a priori; cela se fait de manière purement inductive, à travers les statistiques. Supposons que des études statistiques établissent que sur 10 000 habitants de la classe moyenne de Saint-Pétersbourg, seuls 45 vivent jusqu'à 80 ans ; Ainsi, cette plus petite série est liée à la plus grande comme 45 l’est à 10 000, et la probabilité pour une personne donnée d’appartenir à cette plus petite série, c’est-à-dire de vivre jusqu’à 80 ans, est exprimée comme une fraction de 0,0045. L'étude des probabilités d'un point de vue mathématique constitue une discipline particulière : la théorie des probabilités.

Voir aussi

Remarques

Littérature

Alfred Renyi. Lettres sur les probabilités / trans. du hongrois D. Saas et A. Crumley, éd. B.V. Gnedenko. M. : Mir. 1970
Gnedenko B.V. Cours de théorie des probabilités. M., 2007. 42 p.
Kuptsov V.I. Déterminisme et probabilité. M., 1976. 256 p.

Fondation Wikimédia.

2010.:

Synonymes:

Antonymes

Voyez ce qu'est « Probabilité » dans d'autres dictionnaires : Scientifique et philosophique général. une catégorie désignant le degré quantitatif de possibilité d'apparition d'événements aléatoires de masse dans des conditions d'observation fixes, caractérisant la stabilité de leurs fréquences relatives. En logique, degré sémantique... ...

Encyclopédie philosophique PROBABILITÉ, un nombre compris entre zéro et un inclus, représentant la possibilité qu'un événement donné se produise. La probabilité d'un événement est définie comme le rapport entre le nombre de chances qu'un événement puisse se produire et le nombre total de chances possibles... ...

Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique Selon toute vraisemblance.. Dictionnaire des synonymes russes et expressions similaires. sous. éd. N. Abramova, M. : Dictionnaires russes, 1999. probabilité possibilité, probabilité, hasard, possibilité objective, maza, admissibilité, risque. Fourmi. impossibilité... ...

probabilité Dictionnaire des synonymes - Une mesure selon laquelle un événement est susceptible de se produire. Remarque La définition mathématique de la probabilité est : « un nombre réel compris entre 0 et 1 associé à un événement aléatoire ». Le nombre peut refléter la fréquence relative dans une série d'observations... ...

Guide du traducteur technique Probabilité - « une caractéristique mathématique et numérique du degré de possibilité d'apparition de tout événement dans certaines conditions spécifiques qui peuvent être répétées un nombre illimité de fois. » Basé sur ce classique... ...

Dictionnaire économique et mathématique - (probabilité) La possibilité de survenance de tout événement ou d'un certain résultat. Il peut se présenter sous la forme d'une échelle divisée en divisions de 0 à 1. Si la probabilité d'un événement est nulle, sa survenance est impossible. Avec une probabilité égale à 1, l'apparition de...

Dictionnaire des termes commerciaux

Jusqu'à présent, presque tout ce dont nous avons parlé était déterministe, et la semaine dernière, nous avons examiné de plus près la mécanique transitive, en entrant dans autant de détails que possible. Mais jusqu'à présent, nous n'avons pas prêté attention à un autre aspect de nombreux jeux, à savoir les aspects non déterministes, en d'autres termes, le hasard.

Comprendre la nature du hasard est très important pour les concepteurs de jeux. Nous créons des systèmes qui affectent l'expérience de l'utilisateur dans un jeu donné, nous devons donc savoir comment fonctionnent ces systèmes. S’il y a du hasard dans un système, nous devons comprendre la nature de ce caractère aléatoire et savoir comment le modifier afin d’obtenir les résultats dont nous avons besoin.

Dés

Commençons par quelque chose de simple : lancer les dés. Lorsque la plupart des gens pensent aux dés, ils pensent à un dé à six faces appelé d6. Mais la plupart des joueurs ont vu bien d'autres dés : tétraédriques (d4), octogonaux (d8), douze faces (d12), vingt faces (d20). Si vous êtes un vrai geek, vous avez peut-être des dés à 30 ou 100 faces quelque part.

Si vous n'êtes pas familier avec la terminologie, d signifie dé, et le nombre après est le nombre de côtés qu'il possède. Si le nombre apparaît avant d, alors il indique le nombre de dés à lancer. Par exemple, dans le jeu de Monopoly, vous lancez 2d6.

Ainsi, dans ce cas, l’expression « dé » est un symbole. Il existe un grand nombre d'autres générateurs de nombres aléatoires qui ne ressemblent pas à des figurines en plastique, mais remplissent la même fonction : générer un nombre aléatoire de 1 à n. Une pièce de monnaie ordinaire peut également être représentée comme un dé dièdre d2.

J'ai vu deux modèles de dés à sept faces : l'un d'eux ressemblait à un dé et l'autre ressemblait davantage à un crayon en bois à sept faces. Le dreidel tétraédrique, également connu sous le nom de titotum, est similaire à l'os tétraédrique. Le plateau de flèches tournantes de Chutes & Ladders, où les scores peuvent aller de 1 à 6, correspond à un dé à six faces.

Le générateur de nombres aléatoires d'un ordinateur peut créer n'importe quel nombre de 1 à 19 si le concepteur le spécifie, même si l'ordinateur ne possède pas de dé à 19 faces (en général, je parlerai davantage de la probabilité que des nombres apparaissent sur un ordinateur la semaine prochaine). Tous ces éléments semblent différents, mais en réalité ils sont équivalents : vous avez une chance égale d’obtenir chacun des résultats possibles.

Les dés ont des propriétés intéressantes que nous devons connaître. Premièrement, la probabilité d'atterrir sur l'une ou l'autre face est la même (je suppose que vous lancez un dé de forme régulière). Si vous voulez connaître la valeur moyenne d'un lancer (pour ceux qui aiment les probabilités, c'est ce qu'on appelle la valeur attendue), additionnez les valeurs sur toutes les arêtes et divisez ce nombre par le nombre d'arêtes.

La somme des valeurs de toutes les faces d'un dé standard à six faces est de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Divisez 21 par le nombre de faces et obtenez la valeur moyenne du lancer : 21 / 6 = 3,5. Il s’agit d’un cas particulier car nous supposons que tous les résultats sont également probables.

Et si vous aviez des dés spéciaux ? Par exemple, j'ai vu un jeu de dé à six faces avec des autocollants spéciaux sur les côtés : 1, 1, 1, 2, 2, 3, donc il se comporte comme un étrange dé à trois faces qui est plus susceptible de tirer un 1 qu'un 2. et est plus susceptible de tirer un 2 que un 3. Quel est le lancer moyen pour ce dé ? Ainsi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, divisé par 6 - cela donne 5/3, soit environ 1,66. Donc, si vous avez un dé spécial et que les joueurs lancent trois dés puis additionnent les résultats, vous savez que leur lancer totalisera environ 5, et vous pouvez équilibrer le jeu en fonction de cette hypothèse.

Dés et indépendance

Comme je l’ai déjà dit, nous partons de l’hypothèse que chaque camp est également susceptible de se disputer. Peu importe le nombre de dés que vous lancez. Chaque lancer de dé est indépendant, ce qui signifie que les lancers précédents n’affectent pas les résultats des suivants. Avec suffisamment d'essais, vous remarquerez forcément un modèle de nombres - par exemple, des valeurs principalement supérieures ou inférieures - ou d'autres caractéristiques, mais cela ne signifie pas que les dés sont "chauds" ou "froids". Nous en reparlerons plus tard.

Si vous lancez un dé standard à six faces et que le chiffre 6 apparaît deux fois de suite, la probabilité que le prochain lancer donne un 6 est exactement de 1/6. La probabilité n'augmente pas car le dé a « chauffé ». . Dans le même temps, la probabilité ne diminue pas : il est incorrect de penser que le chiffre 6 est déjà apparu deux fois de suite, ce qui signifie qu'un autre côté devrait maintenant apparaître.

Bien sûr, si vous lancez un dé vingt fois et obtenez un 6 à chaque fois, la probabilité que la vingt et unième fois vous lancez un 6 est assez élevée : peut-être avez-vous simplement le mauvais dé. Mais si le dé est juste, chaque camp a la même probabilité d’atterrir, quels que soient les résultats des autres lancers. Vous pouvez aussi imaginer que l'on remplace le dé à chaque fois : si le chiffre 6 est lancé deux fois de suite, retirez le dé « chaud » du jeu et remplacez-le par un nouveau. Je m'excuse si l'un d'entre vous était déjà au courant, mais je devais clarifier cela avant de continuer.

Comment rendre les dés lancés plus ou moins aléatoirement

Parlons de la façon d'obtenir des résultats différents avec différents dés. Que vous lanciez un dé une seule ou plusieurs fois, le jeu semblera plus aléatoire lorsque le dé aura plus de faces. Plus vous devez lancer les dés souvent, et plus vous lancez de dés, plus les résultats se rapprochent de la moyenne.

Par exemple, dans le cas de 1d6 + 4 (c'est-à-dire si vous lancez une fois un dé standard à six faces et ajoutez 4 au résultat), la moyenne serait un nombre compris entre 5 et 10. Si vous lancez 5d2, la moyenne serait également un nombre compris entre 5 et 10. Les résultats du lancer 5d2 seront principalement les nombres 7 et 8, moins souvent d'autres valeurs. Même série, voire même valeur moyenne (dans les deux cas 7,5), mais la nature du hasard est différente.

Attends une minute. Ne viens-je pas de dire que les dés ne « chauffent » ni ne « refroidissent » ? Maintenant, je dis : si vous lancez beaucoup de dés, les résultats des lancers se rapprocheront de la moyenne. Pourquoi?

Laissez-moi vous expliquer. Si vous lancez un dé, chaque camp a la même probabilité d’atterrir. Cela signifie que si vous lancez beaucoup de dés au fil du temps, chaque côté apparaîtra à peu près le même nombre de fois. Plus vous lancez de dés, plus le résultat total se rapprochera de la moyenne.

Ce n’est pas parce que le numéro tiré « force » à tirer un autre numéro qui n’a pas encore été tiré. Mais parce qu'une petite série de déploiements du chiffre 6 (ou 20, ou un autre chiffre) à la fin n'affectera pas autant le résultat si vous lancez les dés dix mille fois de plus et la plupart du temps, le nombre moyen apparaîtra. Vous obtiendrez maintenant quelques gros chiffres, puis quelques petits - et avec le temps, ils se rapprocheront de la moyenne.

Ce n'est pas parce que les lancers précédents affectent les dés (sérieusement, les dés sont en plastique, il n'a pas le cerveau pour penser : « Oh, ça fait un moment que tu n'as pas lancé un 2 »), mais parce que c'est ce qui habituellement Cela se produit lorsque vous lancez beaucoup de dés

Ainsi, il est assez facile de faire des calculs pour un lancer de dé aléatoire - au moins pour calculer la valeur moyenne du lancer. Il existe également des moyens de calculer « à quel point quelque chose est aléatoire » et de dire que les résultats du lancer 1d6+4 seront « plus aléatoires » que 5d2. Pour 5d2, les lancers seront répartis plus équitablement. Pour ce faire, vous devez calculer l’écart type : plus la valeur est grande, plus les résultats seront aléatoires. Je ne voudrais pas donner autant de calculs aujourd'hui ; j'expliquerai ce sujet plus tard.

La seule chose que je vous demanderai de retenir est qu'en règle générale, moins vous lancez de dés, plus le caractère aléatoire est grand. Et plus un dé a de faces, plus le caractère aléatoire est grand, car il y a plus d'options de valeur possibles.

Comment calculer la probabilité en utilisant le comptage

Vous vous demandez peut-être : comment pouvons-nous calculer la probabilité exacte d’obtenir un certain résultat ? En fait, c'est très important pour de nombreux jeux : si vous lancez initialement les dés, il y a très probablement une sorte de résultat optimal. Ma réponse est : nous devons calculer deux valeurs. Premièrement, le nombre total de résultats lors du lancement d’un dé, et deuxièmement, le nombre de résultats favorables. En divisant la deuxième valeur par la première, vous obtiendrez la probabilité souhaitée. Pour obtenir le pourcentage, multipliez le résultat par 100.

Exemples

Voici un exemple très simple. Vous voulez que le chiffre 4 ou plus lance et lance le dé à six faces une fois. Le nombre maximum de résultats est de 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Parmi ceux-ci, 3 résultats (4, 5, 6) sont favorables. Cela signifie que pour calculer la probabilité, on divise 3 par 6 et on obtient 0,5 ou 50 %.

Voici un exemple un peu plus compliqué. Vous voulez un nombre pair lorsque vous lancez 2d6. Le nombre maximum de résultats est de 36 (6 options pour chaque dé, un dé n'affecte pas l'autre, alors multipliez 6 par 6 et obtenez 36). La difficulté de ce type de question est qu’il est facile de compter deux fois. Par exemple, lorsque vous lancez 2d6, il y a deux résultats possibles de 3 : 1+2 et 2+1. Ils se ressemblent, mais la différence réside dans le nombre affiché sur le premier dé et sur le second.

Vous pouvez également imaginer que les dés sont de couleurs différentes : ainsi, par exemple, dans ce cas, un dé est rouge et l'autre est bleu. Comptez ensuite le nombre d'options pour obtenir un nombre pair :

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Il s'avère qu'il existe 18 options pour une issue favorable sur 36 - comme dans le cas précédent, la probabilité est de 0,5 ou 50 %. Peut-être inattendu, mais tout à fait exact.

Simulation de Monte-Carlo

Et si vous avez trop de dés pour ce calcul ? Par exemple, vous voulez savoir quelle est la probabilité d’obtenir un total de 15 ou plus en lançant 8d6. Il existe un grand nombre de résultats différents pour huit dés, et les compter manuellement prendrait très longtemps - même si nous pouvions trouver une bonne solution pour regrouper différents ensembles de lancers de dés.

Dans ce cas, le plus simple n’est pas de compter manuellement, mais d’utiliser un ordinateur. Il existe deux façons de calculer la probabilité sur un ordinateur. La première méthode peut vous donner une réponse précise, mais elle implique un peu de programmation ou de script. L'ordinateur examinera chaque possibilité, évaluera et comptera le nombre total d'itérations et le nombre d'itérations qui correspondent au résultat souhaité, puis fournira les réponses. Votre code pourrait ressembler à ceci :

Si vous ne comprenez pas la programmation et que vous avez besoin d’une réponse approximative plutôt qu’exacte, vous pouvez simuler cette situation dans Excel, où vous lancez 8d6 plusieurs milliers de fois et obtenez la réponse. Pour lancer 1d6 dans Excel, utilisez la formule =ÉTAGE(RAND()*6)+1.

Il existe un nom pour la situation dans laquelle vous ne connaissez pas la réponse et essayez plusieurs fois : la simulation de Monte Carlo. C'est une excellente solution à utiliser lorsque le calcul de la probabilité est trop difficile. Ce qui est bien, c'est que dans ce cas, nous n'avons pas besoin de comprendre comment fonctionnent les mathématiques, et nous savons que la réponse sera "plutôt bonne" car, comme nous le savons déjà, plus il y a de lancers, plus le résultat se rapproche du moyenne.

Comment combiner des essais indépendants

Si vous posez des questions sur plusieurs essais répétés mais indépendants, le résultat d'un jet n'affecte pas les résultats des autres lancers. Il existe une autre explication plus simple à cette situation.

Comment faire la distinction entre quelque chose de dépendant et d’indépendant ? Fondamentalement, si vous pouvez isoler chaque lancer (ou série de lancers) d’un dé comme un événement distinct, alors il est indépendant. Par exemple, nous lançons 8d6 et souhaitons un total de 15. Cet événement ne peut pas être divisé en plusieurs lancers de dés indépendants. Pour obtenir le résultat, vous calculez la somme de toutes les valeurs, de sorte que le résultat qui apparaît sur un dé affecte les résultats qui devraient apparaître sur les autres.

Voici un exemple de lancers indépendants : vous jouez à un jeu de dés et vous lancez plusieurs fois des dés à six faces. Le premier lancer doit être un 2 ou plus pour rester dans la partie. Pour le deuxième lancer - 3 ou plus. Le troisième nécessite un 4 ou plus, le quatrième nécessite un 5 ou plus et le cinquième nécessite un 6. Si les cinq lancers réussissent, vous gagnez. Dans ce cas, tous les lancers sont indépendants. Oui, si un lancer échoue, cela affectera le résultat de tout le jeu, mais un lancer n'affecte pas l'autre. Par exemple, si votre deuxième lancer de dés est très réussi, cela ne veut pas dire que les prochains lancers seront aussi bons. Par conséquent, nous pouvons considérer la probabilité de chaque lancer de dés séparément.

Si vous avez des probabilités indépendantes et que vous souhaitez connaître la probabilité que tous les événements se produisent, vous déterminez chaque probabilité individuelle et les multipliez entre elles. Une autre façon : si vous utilisez la conjonction « et » pour décrire plusieurs conditions (par exemple, quelle est la probabilité d'apparition d'un événement aléatoire et d'un autre événement aléatoire indépendant ?) - comptez les probabilités individuelles et multipliez-les.

Peu importe ce que vous pensez, n’additionnez jamais de probabilités indépendantes. C'est une erreur courante. Pour comprendre pourquoi cela est faux, imaginez une situation dans laquelle vous lancez une pièce de monnaie et souhaitez savoir quelle est la probabilité d'obtenir face deux fois de suite. La probabilité que chaque camp se dispute est de 50 %. Si vous additionnez ces deux probabilités, vous obtenez 100 % de chances d'obtenir face, mais nous savons que ce n'est pas vrai car cela aurait pu être face deux fois de suite. Si vous multipliez les deux probabilités, vous obtenez 50 % * 50 % = 25 %, ce qui est la bonne réponse pour calculer la probabilité d'obtenir face deux fois de suite.

Exemple

Revenons au jeu de dés à six faces, où vous devez d'abord lancer un nombre supérieur à 2, puis supérieur à 3 - et ainsi de suite jusqu'à 6. Quelles sont les chances que dans une série donnée de cinq lancers, tous les résultats soient favorables ?

Comme indiqué ci-dessus, il s'agit d'essais indépendants, nous calculons donc la probabilité pour chaque lancer individuel, puis nous les multiplions ensemble. La probabilité que le résultat du premier lancer soit favorable est de 5/6. Deuxième - 4/6. Troisième - 3/6. Le quatrième - 2/6, le cinquième - 1/6. Nous multiplions tous les résultats les uns par les autres et obtenons environ 1,5 %. Les gains dans ce jeu sont assez rares, donc si vous ajoutez cet élément à votre jeu, vous aurez besoin d'un jackpot assez important.

Négation

Voici un autre conseil utile : il est parfois difficile de calculer la probabilité qu'un événement se produise, mais il est plus facile de déterminer les chances qu'un événement ne se produise pas. Par exemple, disons que nous avons un autre jeu : vous lancez 6d6 et gagnez si vous obtenez un 6 au moins une fois. Quelle est la probabilité de gagner ?

Dans ce cas, de nombreuses options sont à considérer. Il est possible qu'un chiffre 6 soit lancé, c'est-à-dire que l'un des dés affichera le chiffre 6 et que les autres montreront les chiffres de 1 à 5, il y a alors 6 options pour lequel des dés affichera 6. Vous pouvez obtenir le chiffre 6 sur deux dés, ou trois, ou même plus, et à chaque fois vous devrez faire un calcul séparé, il est donc facile de se tromper ici.

Mais regardons le problème de l’autre côté. Vous perdrez si aucun des dés ne donne un 6. Dans ce cas, nous avons 6 essais indépendants. La probabilité que chaque dé obtienne un nombre autre que 6 est de 5/6. Multipliez-les et vous obtenez environ 33 %. Ainsi, la probabilité de perdre est d’une sur trois. La probabilité de gagner est donc de 67 % (soit deux à trois).

De cet exemple, cela ressort clairement : si vous calculez la probabilité qu'un événement ne se produise pas, vous devez soustraire le résultat de 100 %. Si la probabilité de gagner est de 67 %, alors la probabilité de perdre est de 100 % moins 67 %, soit 33 %, et vice versa. S'il est difficile de calculer une probabilité mais facile de calculer l'opposé, calculez l'opposé puis soustrayez ce nombre de 100 %.

Nous combinons les conditions pour un test indépendant

J'ai dit juste au-dessus qu'il ne faut jamais ajouter de probabilités à travers des essais indépendants. Existe-t-il des cas où il est possible de résumer les probabilités ? Oui, dans une situation particulière.

Si vous souhaitez calculer la probabilité de plusieurs résultats favorables non liés sur un seul essai, additionnez les probabilités de chaque résultat favorable. Par exemple, la probabilité de lancer les nombres 4, 5 ou 6 sur 1d6 est égale à la somme de la probabilité de lancer le nombre 4, la probabilité du nombre 5 et la probabilité du nombre 6. Cette situation peut être représentée comme suit : si vous utilisez la conjonction « ou » dans une question sur la probabilité (par exemple, quelle est la probabilité de l'un ou l'autre résultat d'un événement aléatoire ?) - calculez les probabilités individuelles et résumez-les.

Attention : lorsque vous calculez tous les résultats possibles d'un jeu, la somme des probabilités de leur apparition doit être égale à 100 %, sinon votre calcul a été mal fait. C’est un bon moyen de revérifier vos calculs. Par exemple, vous avez analysé la probabilité de toutes les combinaisons au poker. Si vous additionnez tous vos résultats, vous devriez obtenir exactement 100 % (ou du moins assez proche de 100 % : si vous utilisez une calculatrice, il peut y avoir une petite erreur d'arrondi, mais si vous additionnez les nombres exacts à la main, tout ça devrait s'additionner). Si la somme ne converge pas, cela signifie que vous n'avez probablement pas pris en compte certaines combinaisons ou que vous avez mal calculé les probabilités de certaines combinaisons, et que les calculs doivent être revérifiés.

Probabilités inégales

Jusqu’à présent, nous avons supposé que chaque face d’un dé était lancée à la même fréquence, car c’est ainsi que les dés semblent fonctionner. Mais parfois, vous pouvez rencontrer une situation dans laquelle différents résultats sont possibles et ont des chances différentes d’apparaître.

Par exemple, dans l'un des ajouts au jeu de cartes Nuclear War, il y a un terrain de jeu avec une flèche, dont dépend le résultat d'un lancement de fusée. Le plus souvent, il inflige des dégâts normaux, plus forts ou plus faibles, mais parfois les dégâts sont doublés ou triplés, ou la fusée explose sur la rampe de lancement et vous blesse, ou un autre événement se produit. Contrairement au plateau fléché de Chutes & Ladders ou A Game of Life, les résultats du plateau de jeu dans Nuclear War sont inégaux. Certaines sections du terrain de jeu sont plus grandes et la flèche s'y arrête beaucoup plus souvent, tandis que d'autres sections sont très petites et la flèche s'y arrête rarement.

Donc, à première vue, le dé ressemble à ceci : 1, 1, 1, 2, 2, 3 - nous en avons déjà parlé, c'est quelque chose comme un 1d3 pondéré. Par conséquent, nous devons diviser toutes ces sections en parties égales, trouver la plus petite unité de mesure, le diviseur dont tout est un multiple, puis représenter la situation sous la forme d522 (ou autre) où l'ensemble des dés fait face représentera la même situation, mais avec plus de résultats. C’est une façon de résoudre le problème, et elle est techniquement réalisable, mais il existe une option plus simple.

Revenons à nos dés standards à six faces. Nous avons dit que pour calculer le jet moyen d'un dé normal, vous devez additionner les valeurs de toutes les faces et diviser par le nombre de faces, mais comment fonctionne exactement le calcul ? Il existe une autre façon d’exprimer cela. Pour un dé à six faces, la probabilité que chaque face soit lancée est exactement de 1/6. Maintenant, nous multiplions le résultat de chaque arête par la probabilité de ce résultat (dans ce cas, 1/6 pour chaque arête), puis additionnons les valeurs résultantes. Ainsi, en sommant (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) , on obtient le même résultat (3.5) que dans le calcul ci-dessus. En fait, nous comptons de cette façon à chaque fois : nous multiplions chaque résultat par la probabilité de ce résultat.

Pouvons-nous faire le même calcul pour la flèche sur le terrain de jeu dans Nuclear War ? Bien sûr que nous le pouvons. Et si nous additionnons tous les résultats trouvés, nous obtiendrons la valeur moyenne. Tout ce que nous avons à faire est de calculer la probabilité de chaque résultat pour la flèche sur le terrain de jeu et de la multiplier par la valeur du résultat.

Un autre exemple

Cette méthode de calcul de la moyenne convient également si les résultats sont également probables mais présentent des avantages différents - par exemple, si vous lancez un dé et gagnez plus dans certains côtés que dans d'autres. Par exemple, prenons un jeu de casino : vous placez une mise et lancez 2d6. Si trois numéros de faible valeur (2, 3, 4) ou quatre numéros de valeur élevée (9, 10, 11, 12) sortent, vous gagnerez un montant égal à votre mise. Les numéros avec les valeurs les plus basses et les plus élevées sont spéciaux : si vous obtenez un 2 ou un 12, vous gagnez le double de votre mise. Si un autre numéro sort (5, 6, 7, 8), vous perdrez votre pari. C'est un jeu assez simple. Mais quelle est la probabilité de gagner ?

Commençons par compter combien de fois vous pouvez gagner. Le nombre maximum de résultats lorsque l’on lance 2d6 est de 36. Quel est le nombre de résultats favorables ?

Il y a 1 option selon laquelle un 2 sera lancé et 1 option selon laquelle un 12 sera lancé.
Il y a 2 options pour lesquelles 3 lancera et 2 options pour lesquelles 11 lancera.
Il y a 3 options pour lesquelles un 4 lancera et 3 options pour lesquelles un 10 lancera.
Il existe 4 options pour lancer un 9.

En résumant toutes les options, nous obtenons 16 résultats favorables sur 36. Ainsi, dans des conditions normales, vous gagnerez 16 fois sur 36 possibles - la probabilité de gagner est légèrement inférieure à 50 %.

Mais dans deux cas sur seize, vous gagnerez deux fois plus – c’est comme gagner deux fois. Si vous jouez à ce jeu 36 fois, en misant 1 $ à chaque fois, et que chacun des résultats possibles apparaît une fois, vous gagnerez un total de 18 $ (vous gagnerez en réalité 16 fois, mais deux d'entre eux compteront comme deux victoires). Si vous jouez 36 fois et gagnez 18 $, cela ne signifie-t-il pas que les chances sont égales ?

Prenez votre temps. Si vous comptez le nombre de fois que vous pouvez perdre, vous vous retrouverez avec 20 et non 18. Si vous jouez 36 fois en pariant 1 $ à chaque fois, vous gagnerez un total de 18 $ si vous obtenez tous les choix gagnants. Mais vous perdrez un total de 20 $ si vous obtenez les 20 résultats défavorables. Du coup, vous prendrez un peu de retard : vous perdez en moyenne 2$ net tous les 36 matchs (on peut aussi dire que vous perdez en moyenne 1/18 de dollar par jour). Vous voyez maintenant à quel point il est facile de se tromper dans ce cas et de mal calculer la probabilité.

Réarrangement

Jusqu’à présent, nous avons supposé que l’ordre des nombres lors du lancement des dés n’avait pas d’importance. Lancer 2 + 4 équivaut à lancer 4 + 2. Dans la plupart des cas, nous comptons manuellement le nombre de résultats favorables, mais parfois cette méthode n'est pas pratique et il est préférable d'utiliser une formule mathématique.

Un exemple de cette situation est tiré du jeu de dés Farkle. Pour chaque nouveau tour, vous lancez 6d6. Si vous avez de la chance et obtenez tous les résultats possibles 1-2-3-4-5-6 (droit), vous recevrez un gros bonus. Quelle est la probabilité que cela se produise ? Dans ce cas, il existe de nombreuses options pour obtenir cette combinaison.

La solution est la suivante : un des dés (et un seul) doit porter le chiffre 1. De combien de façons le chiffre 1 peut-il apparaître sur un dé ? Il y a 6 options, puisqu'il y a 6 dés, et n'importe lequel d'entre eux peut tomber sur le chiffre 1. En conséquence, prenez un dé et mettez-le de côté. L’un des dés restants doit maintenant lancer le chiffre 2. Il existe 5 options pour cela. Prenez un autre dé et mettez-le de côté. Ensuite, 4 des dés restants peuvent donner le numéro 3, 3 des dés restants peuvent donner le numéro 4 et 2 des dés restants peuvent donner le numéro 5. En conséquence, il vous reste un dé, qui devrait donner le numéro 5. le numéro 6 (dans ce dernier cas, le dé n'a qu'un seul os, et il n'y a pas de choix).

Pour calculer le nombre de résultats favorables pour toucher une quinte, nous multiplions toutes les différentes possibilités indépendantes : 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - il semble y avoir un assez grand nombre de possibilités pour que cette combinaison se produise. .

Pour calculer la probabilité d’obtenir une quinte, nous devons diviser 720 par le nombre de tous les résultats possibles pour lancer 6d6. Quel est le nombre de tous les résultats possibles ? Chaque dé peut avoir 6 faces, on multiplie donc 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (un nombre bien plus grand que le précédent). Divisez 720 par 46656 et nous obtenons une probabilité d'environ 1,5 %. Si vous conceviez ce jeu, il vous serait utile de le savoir afin de pouvoir créer un système de notation en conséquence. Nous comprenons maintenant pourquoi à Farkle vous obtenez un si gros bonus si vous obtenez une quinte : c'est une situation assez rare.

Le résultat est également intéressant pour une autre raison. L'exemple montre à quel point il est rare, sur une courte période, qu'un résultat correspondant à une probabilité se produise. Bien sûr, si nous lancions plusieurs milliers de dés, différentes faces des dés apparaîtraient assez souvent. Mais quand on lance seulement six dés, il n’arrive presque jamais que toutes les faces apparaissent. Il devient clair qu’il est stupide de s’attendre à ce qu’apparaisse maintenant une ligne qui ne s’est pas encore produite, car « nous n’avons pas lancé le chiffre 6 depuis longtemps ». Écoutez, votre générateur de nombres aléatoires est en panne.

Cela nous amène à l’idée fausse commune selon laquelle tous les résultats se produisent à la même fréquence sur une courte période de temps. Si nous lançons les dés plusieurs fois, la fréquence des chutes de chaque côté ne sera pas la même.

Si vous avez déjà travaillé sur un jeu en ligne avec une sorte de générateur de nombres aléatoires, vous avez probablement rencontré une situation dans laquelle un joueur écrit au support technique pour se plaindre que le générateur de nombres aléatoires n'affiche pas de nombres aléatoires. Il est arrivé à cette conclusion parce qu'il a tué 4 monstres d'affilée et a reçu 4 exactement les mêmes récompenses, et ces récompenses ne devraient apparaître que 10 % du temps, donc cela ne devrait évidemment presque jamais arriver.

Vous faites un calcul mathématique. La probabilité est de 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, c'est-à-dire qu'un résultat sur 10 000 est un cas plutôt rare. C'est ce que le joueur essaie de vous dire. Y a-t-il un problème dans ce cas ?

Tout dépend des circonstances. Combien de joueurs sont actuellement sur votre serveur ? Disons que vous avez un jeu assez populaire et que 100 000 personnes y jouent chaque jour. Combien de joueurs peuvent tuer quatre monstres d’affilée ? Peut-être tous, plusieurs fois par jour, mais supposons que la moitié d'entre eux échangent simplement divers objets lors de ventes aux enchères, discutent sur des serveurs RP ou effectuent d'autres activités dans le jeu - donc seulement la moitié d'entre eux chassent des monstres. Quelle est la probabilité que quelqu’un reçoive la même récompense ? Dans cette situation, vous pouvez vous attendre à ce que cela se produise au moins plusieurs fois par jour.

D’ailleurs, c’est pourquoi il semble que toutes les quelques semaines, quelqu’un gagne à la loterie, même si cette personne n’a jamais été vous ou quelqu’un que vous connaissez. Si suffisamment de personnes jouent régulièrement, il y a de fortes chances qu’il y ait au moins un joueur chanceux quelque part. Mais si vous jouez vous-même à la loterie, il est peu probable que vous gagniez, mais vous serez plutôt invité à travailler chez Infinity Ward.

Cartes et addiction

Nous avons discuté d'événements indépendants, tels que lancer un dé, et connaissons désormais de nombreux outils puissants pour analyser le caractère aléatoire dans de nombreux jeux. Le calcul des probabilités est un peu plus compliqué lorsqu'il s'agit de piocher des cartes du jeu, car chaque carte que nous piochons affecte celles qui restent dans le jeu.

Si vous disposez d'un jeu standard de 52 cartes, vous en retirez 10 cœurs et souhaitez connaître la probabilité que la prochaine carte soit de la même couleur - la probabilité a changé par rapport à l'original car vous avez déjà retiré une carte de la même couleur. de cœurs du jeu. Chaque carte que vous supprimez modifie la probabilité que la carte suivante apparaisse dans le jeu. Dans ce cas, l’événement précédent affecte le suivant, c’est pourquoi nous appelons cela dépendant de la probabilité.

Veuillez noter que lorsque je dis « cartes », je parle de toute mécanique de jeu dans laquelle vous disposez d'un ensemble d'objets et vous supprimez l'un des objets sans le remplacer. Un «jeu de cartes» dans ce cas est analogue à un sac de jetons dans lequel on prend un jeton, ou à une urne dans laquelle on prend des boules colorées (je n'ai jamais vu de jeux avec une urne dans laquelle on prend des boules colorées, mais les enseignants de la théorie des probabilités sur la raison pour laquelle cet exemple est préféré).

Propriétés de dépendance

Je voudrais préciser qu'en ce qui concerne les cartes, je suppose que vous piochez des cartes, les regardez et les retirez du jeu. Chacune de ces actions est une propriété importante. Si j'avais un jeu de, disons, six cartes avec les numéros 1 à 6, je les mélangerais et piocherais une carte, puis je mélangerais à nouveau les six cartes - ce serait comme lancer un dé à six faces, car un résultat a aucun effet pour les suivants. Et si je retire des cartes et ne les remplace pas, alors en retirant la carte 1, je augmente la probabilité de retirer une carte avec le numéro 6 la prochaine fois. La probabilité continue d'augmenter jusqu'à ce que je finisse par la retirer. cette carte ou mélangez le jeu.

Le fait que nous regardions des cartes est également important. Si je sors une carte du jeu et que je ne la regarde pas, je n'aurai aucune information supplémentaire et la probabilité ne changera pas réellement. Cela peut sembler contre-intuitif. Comment le simple fait de retourner une carte peut-il changer les chances comme par magie ? Mais c’est possible car vous pouvez calculer la probabilité d’éléments inconnus simplement à partir de ce que vous savez.

Par exemple, si vous mélangez un jeu de cartes standard et révélez 51 cartes et qu'aucune d'entre elles n'est une reine de trèfle, alors vous pouvez être sûr à 100 % que la carte restante est une reine de trèfle. Si vous mélangez un jeu de cartes standard et en retirez 51 sans les regarder, la probabilité que la carte restante soit une reine de trèfle est toujours de 1/52. Au fur et à mesure que vous ouvrez chaque carte, vous obtenez plus d’informations.

Le calcul de la probabilité des événements dépendants suit les mêmes principes que pour les événements indépendants, sauf que c'est un peu plus compliqué car les probabilités changent au fur et à mesure que vous révélez des cartes. Vous devez donc multiplier plusieurs valeurs différentes au lieu de multiplier la même valeur. Cela signifie réellement que nous devons combiner tous les calculs que nous avons effectués en une seule combinaison.

Exemple

Vous mélangez un jeu standard de 52 cartes et piochez deux cartes. Quelle est la probabilité que vous tiriez une paire ? Il existe plusieurs façons de calculer cette probabilité, mais la plus simple est peut-être la suivante : quelle est la probabilité que si vous piochez une carte, vous ne puissiez pas en tirer une paire ? Cette probabilité est nulle, donc peu importe la première carte que vous piochez, tant qu'elle correspond à la seconde. Peu importe la carte que nous piochons en premier, nous avons toujours la possibilité d’en tirer une paire. Par conséquent, la probabilité de tirer une paire après le tirage de la première carte est de 100 %.

Quelle est la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première ? Il reste 51 cartes dans le jeu, et 3 d'entre elles correspondent à la première carte (en fait, il y en aurait 4 sur 52, mais vous avez déjà retiré l'une des cartes correspondantes lorsque vous avez tiré la première carte), donc la probabilité est de 1/ 17. Alors la prochaine fois que vous jouez au Texas Hold'em, le gars en face de vous dit : « Cool, une autre paire ? Je me sens chanceux aujourd’hui », vous saurez qu’il y a de fortes chances qu’il bluffe.

Et si nous ajoutions deux jokers pour avoir 54 cartes dans le jeu et que nous voulions savoir quelle est la probabilité de tirer une paire ? La première carte peut être un joker, et il n'y aura alors qu'une seule carte correspondante dans le jeu, et non trois. Comment trouver la probabilité dans ce cas ? Nous diviserons les probabilités et multiplierons chaque possibilité.

Notre première carte pourrait être un joker ou une autre carte. La probabilité de tirer un joker est de 2/54, la probabilité de tirer une autre carte est de 52/54. Si la première carte est un joker (2/54), alors la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première est de 1/53. Nous multiplions les valeurs (nous pouvons les multiplier car ce sont des événements distincts et nous voulons que les deux événements se produisent) et nous obtenons 1/1431 - moins d'un dixième de pour cent.

Si vous piochez d’abord une autre carte (52/54), la probabilité de faire correspondre la deuxième carte est de 3/53. On multiplie les valeurs et on obtient 78/1431 (un peu plus de 5,5%). Que fait-on de ces deux résultats ? Ils ne se croisent pas et nous voulons connaître la probabilité de chacun d’eux, nous additionnons donc les valeurs. On obtient un résultat final de 79/1431 (toujours environ 5,5%).

Si nous voulions être sûrs de l'exactitude de la réponse, nous pourrions calculer la probabilité de tous les autres résultats possibles : tirer un joker et ne pas correspondre à la deuxième carte, ou tirer une autre carte et ne pas correspondre à la deuxième carte. En additionnant ces probabilités et la probabilité de gagner, on obtiendrait exactement 100 %. Je ne donnerai pas les calculs ici, mais vous pouvez essayer les calculs pour vérifier.

Le paradoxe de Monty Hall

Cela nous amène à un paradoxe assez célèbre qui déroute souvent beaucoup de gens : le paradoxe de Monty Hall. Le paradoxe doit son nom à l'animateur de l'émission télévisée Let's Make a Deal. Pour ceux qui n'ont jamais vu cette émission télévisée, c'était le contraire de The Price Is Right.

Dans The Price Is Right, l'hôte (Bob Barker était l'hôte ; qui est maintenant, Drew Carey ? Peu importe) est votre ami. Il veut que vous gagniez de l'argent ou des prix sympas. Il essaie de vous donner toutes les chances de gagner, à condition que vous puissiez deviner combien valent réellement les articles achetés par les sponsors.

Monty Hall s'est comporté différemment. Il était comme le jumeau maléfique de Bob Barker. Son objectif était de vous faire passer pour un idiot à la télévision nationale. Si vous étiez dans l'émission, il était votre adversaire, vous jouiez contre lui et les chances étaient en sa faveur. Peut-être que je suis trop dur, mais en regardant le spectacle dans lequel vous êtes plus susceptible de participer si vous portez un costume ridicule, c'est exactement ce à quoi j'en viens.

L'un des mèmes les plus célèbres du spectacle était le suivant : il y a trois portes devant vous, la porte numéro 1, la porte numéro 2 et la porte numéro 3. Vous pouvez choisir une porte gratuitement. Derrière l'un d'eux se trouve un magnifique prix, par exemple une nouvelle voiture. Il n'y a pas de prix derrière les deux autres portes, qui n'ont aucune valeur. Ils sont censés vous humilier, donc derrière eux, il n'y a pas rien, mais quelque chose de stupide, par exemple une chèvre ou un énorme tube de dentifrice - tout sauf une nouvelle voiture.

Vous choisissez une des portes, Monty s'apprête à l'ouvrir pour vous faire savoir si vous avez gagné ou non... mais attendez. Avant de le découvrir, jetons un coup d’œil à l’une de ces portes que vous n’avez pas choisies. Monty sait quelle porte se trouve derrière le prix et il peut toujours ouvrir la porte qui n'a pas de prix derrière elle. « Choisissez-vous la porte numéro 3 ? Alors ouvrons la porte numéro 1 pour montrer qu'il n'y avait aucun prix derrière." Et maintenant, par générosité, il vous offre la possibilité d'échanger la porte numéro 3 sélectionnée contre ce qui se trouve derrière la porte numéro 2.

Se pose alors la question de la probabilité : cette opportunité augmente-t-elle votre probabilité de gagner, ou la diminue-t-elle, ou reste-t-elle inchangée ? Comment pensez-vous?

Bonne réponse : la possibilité de choisir une autre porte augmente la probabilité de gagner de 1/3 à 2/3. C'est illogique. Si vous n'avez jamais rencontré ce paradoxe auparavant, vous vous demandez probablement : attendez, comment se fait-il qu'en ouvrant une porte, nous ayons changé la probabilité comme par magie ? Comme nous l'avons déjà vu avec les cartes, c'est exactement ce qui se produit lorsque nous obtenons plus d'informations. Évidemment, lorsque vous choisissez pour la première fois, la probabilité de gagner est de 1/3. Lorsqu’une porte s’ouvre, cela ne change pas du tout la probabilité de gagner pour le premier choix : la probabilité est toujours de 1/3. Mais la probabilité que l’autre porte soit correcte est désormais de 2/3.

Regardons cet exemple sous un angle différent. Vous choisissez une porte. La probabilité de gagner est de 1/3. Je vous suggère de changer les deux autres portes, ce que fait Monty Hall. Bien sûr, il ouvre l'une des portes pour révéler qu'il n'y a aucun prix derrière, mais il peut toujours le faire, donc cela ne change vraiment rien. Bien sûr, vous souhaiterez choisir une autre porte.

Si vous ne comprenez pas bien la question et avez besoin d'une explication plus convaincante, cliquez sur ce lien pour accéder à une super petite application Flash qui vous permettra d'explorer ce paradoxe plus en détail. Vous pouvez jouer en commençant avec environ 10 portes, puis progresser progressivement jusqu'à un jeu à trois portes. Il existe également un simulateur dans lequel vous pouvez jouer avec n'importe quel nombre de portes, de 3 à 50, ou exécuter plusieurs milliers de simulations et voir combien de fois vous gagneriez si vous jouiez.

Choisissez l'une des trois portes - la probabilité de gagner est de 1/3. Vous disposez désormais de deux stratégies : modifier ou non votre choix après avoir ouvert la mauvaise porte. Si vous ne modifiez pas votre choix, alors la probabilité restera de 1/3, puisque le choix n'intervient qu'à la première étape et que vous devez deviner tout de suite. Si vous changez, alors vous pouvez gagner si vous choisissez d'abord la mauvaise porte (puis ils en ouvrent une autre, la bonne reste - en changeant votre décision, vous la prenez). La probabilité de choisir la mauvaise porte au début est de 2/3 - il s'avère donc qu'en changeant votre décision, vous doublez la probabilité de gagner.
Une remarque du professeur de mathématiques supérieur et spécialiste de l'équilibre du jeu Maxim Soldatov - bien sûr, Schreiber ne l'avait pas, mais sans elle, il est assez difficile de comprendre cette transformation magique

Et encore une fois sur le paradoxe de Monty Hall

Quant au spectacle lui-même : même si les adversaires de Monty Hall n'étaient pas bons en mathématiques, il était bon dans ce domaine. Voici ce qu'il a fait pour changer un peu la donne. Si vous choisissiez une porte qui avait un prix derrière elle, ce qui avait 1/3 de chance de se produire, elle vous offrirait toujours la possibilité de choisir une autre porte. Vous choisirez une voiture, puis l'échangerez contre une chèvre et vous aurez l'air assez stupide - ce qui est exactement ce que vous voulez puisque Hall est un type plutôt méchant.

Mais si vous choisissez une porte qui n'a pas de prix derrière elle, il vous demandera seulement d'en choisir une autre la moitié du temps, ou il vous montrera simplement votre nouvelle chèvre et vous quitterez la scène. Analysons ce nouveau jeu où Monty Hall peut décider de vous offrir ou non la possibilité de choisir une porte différente.

Supposons qu'il suive cet algorithme : si vous choisissez une porte avec un prix, il vous offre toujours la possibilité de choisir une autre porte, sinon il est également susceptible de vous proposer de choisir une autre porte ou de vous offrir une chèvre. Quelle est votre probabilité de gagner ?

Dans l'une des trois options, vous choisissez immédiatement la porte derrière laquelle se trouve le prix, et le présentateur vous invite à en choisir une autre.

Sur les deux options restantes sur trois (vous choisissez initialement une porte sans prix), dans la moitié des cas, le présentateur vous proposera de modifier votre décision, et dans l'autre moitié des cas, non.

La moitié des 2/3 est 1/3, c'est-à-dire que dans un cas sur trois vous obtiendrez une chèvre, dans un cas sur trois vous choisirez la mauvaise porte et l'hôte vous demandera d'en choisir une autre, et dans un cas sur trois vous choisirez la bonne porte, mais lui encore il vous en proposera une autre.

Si le présentateur propose de choisir une autre porte, on sait déjà que ce cas sur trois, où il nous donne une chèvre et que nous partons, ne s'est pas produit. C’est une information utile : cela signifie que nos chances de gagner ont changé. Deux cas sur trois où nous avons la possibilité de choisir : dans un cas, cela signifie que nous avons bien deviné, et dans l'autre que nous avons mal deviné, donc si on nous offrait la possibilité de choisir, alors la probabilité de notre gain est 1/2 , et d'un point de vue mathématique, peu importe que vous restiez sur votre choix ou que vous choisissiez une autre porte.

Comme le poker, c’est un jeu psychologique et non mathématique. Pourquoi Monty t'a-t-il donné le choix ? Pense-t-il que vous êtes un simplet qui ne sait pas que choisir une autre porte est la « bonne » décision et qui s'accrochera obstinément à son choix (après tout, la situation est psychologiquement plus difficile lorsque vous choisissez une voiture et que vous la perdez ensuite ) ?

Ou est-ce qu'il, décidant que vous êtes intelligent et que vous choisirez une autre porte, vous offre cette chance parce qu'il sait que vous avez bien deviné en premier lieu et que vous deviendrez accro ? Ou peut-être qu'il est inhabituellement gentil et vous pousse à faire quelque chose qui vous est bénéfique parce qu'il n'a pas donné de voitures depuis un moment et que les producteurs disent que le public s'ennuie et qu'il serait préférable d'offrir un gros prix bientôt pour le faire. les notes baissent ?

De cette façon, Monty parvient à offrir occasionnellement un choix tout en gardant la probabilité globale de gagner à 1/3. N'oubliez pas que la probabilité que vous perdiez carrément est de 1/3. La chance que vous deviniez correctement tout de suite est de 1/3, et dans 50 % de ces cas, vous gagnerez (1/3 x 1/2 = 1/6).

La chance que vous vous trompiez au début, puis que vous ayez ensuite la possibilité de choisir une autre porte est de 1/3, et la moitié de ces fois, vous gagnerez (également 1/6). Additionnez deux possibilités de gain indépendantes et vous obtenez une probabilité de 1/3, donc peu importe que vous vous en teniez à votre choix ou que vous choisissiez une autre porte - votre probabilité globale de gagner tout au long du jeu est de 1/3.

La probabilité ne devient pas plus grande que dans la situation où vous avez deviné la porte et que le présentateur vous a simplement montré ce qu'il y avait derrière, sans vous proposer d'en choisir une autre. Le but de la proposition n’est pas de modifier la probabilité, mais de rendre le processus décisionnel plus amusant à regarder à la télévision.

C'est d'ailleurs une des raisons pour lesquelles le poker peut être si intéressant : dans la plupart des formats, entre les tours où les mises sont effectuées (par exemple, le flop, le tournant et la rivière au Texas Hold'em), les cartes sont révélées progressivement, et si au début du jeu vous avez une chance de gagner, alors après chaque tour d'enchères, lorsque plus de cartes sont révélées, cette probabilité change.

Paradoxe garçon et fille

Cela nous amène à un autre paradoxe bien connu, qui, en règle générale, laisse tout le monde perplexe : le paradoxe du garçon et de la fille. La seule chose sur laquelle j'écris aujourd'hui n'est pas directement liée aux jeux (même si je suppose que je suis simplement censé vous encourager à créer des mécanismes de jeu appropriés). Il s’agit plutôt d’un casse-tête, mais intéressant, et pour le résoudre, vous devez comprendre la probabilité conditionnelle, dont nous avons parlé ci-dessus.

Problème : j'ai un ami qui a deux enfants, dont au moins une est une fille. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ? Supposons que dans n'importe quelle famille, les chances d'avoir une fille et un garçon soient de 50/50, et cela est vrai pour chaque enfant.

En fait, certains hommes ont plus de spermatozoïdes avec un chromosome X ou un chromosome Y dans leur sperme, donc les chances changent légèrement. Si vous savez qu'un enfant est une fille, la probabilité d'avoir une deuxième fille est légèrement plus élevée et il existe d'autres conditions, comme l'hermaphrodisme. Mais pour résoudre ce problème, nous n'en tiendrons pas compte et supposerons que la naissance d'un enfant est un événement indépendant et que la naissance d'un garçon et d'une fille sont également probables.

Puisque nous parlons d’une chance de 1/2, nous nous attendons intuitivement à ce que la réponse soit très probablement 1/2 ou 1/4, ou un autre nombre qui est un multiple de deux au dénominateur. Mais la réponse est 1/3. Pourquoi?

La difficulté ici est que les informations dont nous disposons réduisent le nombre de possibilités. Supposons que les parents soient fans de Sesame Street et que, quel que soit le sexe de leurs enfants, ils les appellent A et B. Dans des conditions normales, il existe quatre possibilités également probables : A et B sont deux garçons, A et B sont deux filles, A est un garçon et B est une fille, A est une fille et B est un garçon. Puisque nous savons qu’au moins un enfant est une fille, nous pouvons exclure la possibilité que A et B soient deux garçons. Cela nous laisse trois possibilités, toujours aussi probables. Si toutes les possibilités sont également probables et qu’il y en a trois, alors la probabilité de chacune d’elles est de 1/3. Dans une seule de ces trois options, les deux enfants sont des filles, la réponse est donc 1/3.

Et encore sur le paradoxe d'un garçon et d'une fille

La solution au problème devient encore plus illogique. Imaginez que mon ami a deux enfants et que l’un d’eux est une fille née mardi. Supposons que, dans des conditions normales, un enfant puisse naître chacun des sept jours de la semaine avec une probabilité égale. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ?

On pourrait penser que la réponse serait quand même 1/3 : qu’importe mardi ? Mais même dans ce cas, notre intuition nous fait défaut. La réponse est 13/27, ce qui est non seulement peu intuitif, mais aussi très étrange. Quel est le problème dans ce cas ?

En fait, mardi change la probabilité parce que nous ne savons pas quel enfant est né mardi, ou peut-être que les deux sont nés mardi. Dans ce cas, on utilise la même logique : on compte toutes les combinaisons possibles lorsqu'au moins un enfant est une fille née un mardi. Comme dans l'exemple précédent, supposons que les enfants s'appellent A et B. Les combinaisons ressemblent à ceci :

A est une fille née un mardi, B est un garçon (dans cette situation il y a 7 possibilités, une pour chaque jour de la semaine où un garçon aurait pu naître).
B est une fille née un mardi, A est un garçon (7 possibilités également).
A - une fille née un mardi, B - une fille née un autre jour de la semaine (6 possibilités).
B est une fille née un mardi, A est une fille qui n'est pas née mardi (également 6 probabilités).
A et B sont deux filles nées un mardi (1 possibilité, il faut y faire attention pour ne pas compter deux fois).

Nous additionnons et obtenons 27 combinaisons différentes également possibles de naissances d'enfants et de jours avec au moins une possibilité de naissance d'une fille mardi. Parmi celles-ci, il existe 13 possibilités à la naissance de deux filles. Cela semble également complètement illogique : il semble que cette tâche ait été inventée juste pour provoquer des maux de tête. Si vous êtes toujours perplexe, le site Web du théoricien des jeux Jesper Juhl propose une bonne explication de ce problème.

Si vous travaillez actuellement sur un jeu

S’il y a du hasard dans le jeu que vous concevez, c’est le moment idéal pour l’analyser. Sélectionnez un élément que vous souhaitez analyser. Demandez-vous d’abord quelle est, à votre avis, la probabilité d’un élément donné, quelle devrait être cette probabilité dans le contexte du jeu.

Par exemple, si vous créez un RPG et que vous vous demandez quelle devrait être la probabilité que le joueur batte un monstre au combat, demandez-vous quel pourcentage de victoire vous convient. Généralement, avec les RPG sur console, les joueurs sont très contrariés lorsqu'ils perdent, il est donc préférable qu'ils perdent rarement - 10 % du temps ou moins. Si vous êtes un concepteur de RPG, vous le savez probablement mieux que moi, mais vous devez avoir une idée de base de ce que devrait être la probabilité.

Demandez-vous ensuite si vos probabilités sont dépendantes (comme avec les cartes) ou indépendantes (comme avec les dés). Analysez tous les résultats possibles et leurs probabilités. Assurez-vous que la somme de toutes les probabilités est de 100 %. Et bien sûr, comparez les résultats obtenus avec vos attentes. Êtes-vous capable de lancer les dés ou de tirer des cartes comme vous le souhaitiez, ou est-il clair que les valeurs doivent être ajustées. Et bien sûr, si vous constatez des lacunes, vous pouvez utiliser les mêmes calculs pour déterminer dans quelle mesure modifier les valeurs.

Devoir à la maison

Vos devoirs cette semaine vous aideront à perfectionner vos compétences en probabilités. Voici deux jeux de dés et un jeu de cartes que vous analyserez en utilisant les probabilités, ainsi qu'un étrange mécanisme de jeu que j'ai développé un jour et qui testera la méthode de Monte Carlo.

Jeu n°1 – Os de dragon

Il s'agit d'un jeu de dés que mes collègues et moi avons inventé un jour (grâce à Jeb Heavens et Jesse King) - il épate particulièrement les gens avec ses probabilités. Il s'agit d'un jeu de casino simple appelé Dragon Dice, et c'est une compétition de dés entre le joueur et la maison.

Vous recevez un dé normal de 1d6. Le but du jeu est d'obtenir un chiffre supérieur à celui de la maison. Tom reçoit un 1d6 non standard - le même que le vôtre, mais sur l'une de ses faces au lieu d'une unité il y a une image d'un dragon (ainsi, le casino a un cube dragon - 2-3-4-5-6 ). Si la maison reçoit un dragon, elle gagne automatiquement et vous perdez. Si les deux obtiennent le même numéro, c'est un match nul et vous relancez les dés. Celui qui obtient le chiffre le plus élevé gagne.

Bien sûr, tout ne fonctionne pas entièrement en faveur du joueur, car le casino a un avantage sous la forme du tranchant du dragon. Mais est-ce vraiment vrai ? C'est ce que vous devez calculer. Mais vérifiez d’abord votre intuition.

Disons que les chances sont de 2 contre 1. Donc si vous gagnez, vous conservez votre mise et obtenez le double de votre mise. Par exemple, si vous pariez 1 dollar et gagnez, vous conservez ce dollar et en obtenez 2 de plus, pour un total de 3 dollars. Si vous perdez, vous perdez seulement votre pari. Veux-tu jouer ? Sentez-vous intuitivement que la probabilité est supérieure à 2 pour 1, ou pensez-vous toujours qu'elle est inférieure ? Autrement dit, en moyenne sur 3 matchs, espérez-vous gagner plus d’une fois, ou moins, ou une fois ?

Une fois que vous avez compris votre intuition, utilisez les mathématiques. Il n'y a que 36 positions possibles pour les deux dés, vous pouvez donc toutes les compter sans problème. Si vous n'êtes pas sûr de cette offre 2 pour 1, considérez ceci : disons que vous avez joué au jeu 36 fois (en pariant 1 $ à chaque fois). Pour chaque victoire, vous recevez 2 dollars, pour chaque perte, vous en perdez 1, et un match nul ne change rien. Calculez tous vos gains et pertes probables et décidez si vous perdrez ou gagnerez quelques dollars. Demandez-vous ensuite si votre intuition était juste. Et puis réalisez à quel point je suis un méchant.

Et oui, si vous avez déjà réfléchi à cette question, je vous embrouille délibérément en déformant les mécanismes réels des jeux de dés, mais je suis sûr que vous pouvez surmonter cet obstacle avec juste un peu de réflexion. Essayez de résoudre ce problème vous-même.

Jeu n°2 - Lancez la chance

Il s'agit d'un jeu de dés appelé "Roll for Luck" (aussi appelé "Birdcage" car parfois les dés ne sont pas lancés, mais placés dans une grande cage grillagée, qui rappelle la cage du Bingo). Le jeu est simple et se résume essentiellement à ceci : pariez, disons, 1 $ sur un nombre de 1 à 6. Ensuite, vous lancez 3d6. Pour chaque dé qui obtient votre numéro, vous recevez 1 $ (et conservez votre mise initiale). Si votre numéro n’apparaît sur aucun dé, le casino récupère votre dollar et vous ne recevez rien. Ainsi, si vous pariez sur 1 et que vous obtenez trois fois un 1 sur les côtés, vous obtenez 3 $.

Intuitivement, il semble que ce jeu offre des chances égales. Chaque dé représente une chance individuelle de gagner de 1 sur 6, donc sur la somme des trois lancers, votre chance de gagner est de 3 sur 6. Cependant, bien sûr, n'oubliez pas que vous ajoutez trois dés distincts et que vous n'êtes autorisé à ajoutez si nous parlons de combinaisons gagnantes distinctes du même dé. Quelque chose que vous devrez multiplier.

Une fois que vous avez calculé tous les résultats possibles (probablement plus facile à faire dans Excel qu'à la main, puisqu'il y en a 216), le jeu semble toujours impair-pair à première vue. En fait, le casino a encore de meilleures chances de gagner – combien de plus ? Plus précisément, combien d’argent en moyenne pensez-vous perdre à chaque tour de jeu ?

Tout ce que vous avez à faire est d'additionner les victoires et les défaites des 216 résultats, puis de diviser par 216, ce qui devrait être assez simple. Mais, comme vous pouvez le constater, il y a ici plusieurs pièges, c'est pourquoi je dis : si vous pensez que ce jeu a une chance égale de gagner, vous avez tout faux.

Jeu n°3 – Stud Poker à 5 cartes

Si vous vous êtes déjà familiarisé avec les jeux précédents, vérifions ce que nous savons sur la probabilité conditionnelle en utilisant ce jeu de cartes comme exemple. Imaginons une partie de poker avec un jeu de 52 cartes. Imaginons également le 5 card stud, où chaque joueur ne reçoit que 5 cartes. Vous ne pouvez pas défausser une carte, vous ne pouvez pas en piocher une nouvelle, il n’y a pas de deck partagé – vous n’obtenez que 5 cartes.

Une quinte flush royale vaut 10-J-Q-K-A dans une main, il y en a quatre au total, il y a donc quatre façons possibles d'obtenir une quinte flush royale. Calculez la probabilité que vous obteniez une telle combinaison.

Je dois vous prévenir d'une chose : n'oubliez pas que vous pouvez piocher ces cinq cartes dans n'importe quel ordre. Autrement dit, vous pouvez d’abord tirer un as ou un dix, cela n’a pas d’importance. Alors, pendant que vous faites le calcul, gardez à l’esprit qu’il existe en réalité plus de quatre façons d’obtenir une quinte flush royale, en supposant que les cartes ont été distribuées dans l’ordre.

Jeu n°4 - Loterie du FMI

Le quatrième problème ne peut pas être résolu aussi facilement en utilisant les méthodes dont nous avons parlé aujourd'hui, mais vous pouvez facilement simuler la situation en utilisant la programmation ou Excel. C'est sur l'exemple de ce problème que l'on peut élaborer la méthode de Monte Carlo.

J'ai mentionné plus tôt le jeu Chron X, sur lequel j'ai travaillé une fois, et il y avait une carte très intéressante là-bas - la loterie du FMI. Voici comment cela a fonctionné : vous l'avez utilisé dans le jeu. Une fois le tour terminé, les cartes étaient redistribuées et il y avait 10 % de chances que la carte soit hors du jeu et qu'un joueur aléatoire reçoive 5 unités de chaque type de ressource dont le jeton était présent sur cette carte. La carte était mise en jeu sans un seul jeton, mais chaque fois qu'elle restait en jeu au début du tour suivant, elle recevait un jeton.

Il y avait donc 10 % de chances que si vous la mettiez en jeu, le tour se terminerait, la carte quitterait le jeu et personne n'obtiendrait rien. Si cela ne se produit pas (90 % de chances), il y a 10 % de chances (en fait 9 %, puisque c'est 10 % de 90 %) qu'au prochain tour, elle quitte le jeu et que quelqu'un reçoive 5 unités de ressources. Si la carte quitte le jeu après un tour (10 % des 81 % disponibles, donc la probabilité est de 8,1 %), quelqu'un recevra 10 unités, un autre tour - 15, un autre - 20, et ainsi de suite. Question : Quelle est la valeur générale attendue du nombre de ressources que vous obtiendrez de cette carte lorsqu'elle quittera finalement le jeu ?

Normalement, nous essayons de résoudre ce problème en calculant la possibilité de chaque résultat et en multipliant par le nombre de tous les résultats. Il y a 10 % de chances que vous obteniez 0 (0,1 * 0 = 0). 9% que vous recevrez 5 unités de ressources (9% * 5 = 0,45 ressources). 8,1 % de ce que vous obtiendrez correspond à 10 (8,1 % * 10 = 0,81 ressources - valeur globale attendue). Et ainsi de suite. Et puis nous résumerions tout cela.

Et maintenant, le problème est évident pour vous : il y a toujours une chance que la carte ne quitte pas le jeu, elle peut rester dans le jeu pour toujours, pendant un nombre infini de tours, il n'y a donc aucun moyen de calculer toutes les probabilités. Les méthodes que nous avons étudiées aujourd'hui ne permettent pas de calculer une récursivité infinie, nous devrons donc la créer artificiellement.

Si vous êtes assez bon en programmation, écrivez un programme qui simulera cette carte. Vous devriez avoir une boucle temporelle qui amène la variable à une position de départ de zéro, affiche un nombre aléatoire et avec 10 % de chances que la variable quitte la boucle. Sinon, il ajoute 5 à la variable et la boucle se répète. Lorsqu'elle sort enfin de la boucle, augmentez le nombre total d'essais de 1 et le nombre total de ressources (le montant dépend de l'endroit où se termine la variable). Ensuite, réinitialisez la variable et recommencez.

Exécutez le programme plusieurs milliers de fois. En fin de compte, divisez le nombre total de ressources par le nombre total d'exécutions - ce sera votre valeur Monte Carlo attendue. Exécutez le programme plusieurs fois pour vous assurer que les nombres que vous obtenez sont à peu près les mêmes. Si la dispersion est toujours importante, augmentez le nombre de répétitions dans la boucle externe jusqu'à ce que vous commenciez à obtenir des correspondances. Vous pouvez être sûr que les chiffres que vous obtiendrez seront à peu près corrects.

Si vous débutez en programmation (même si c'est le cas), voici un exercice rapide pour tester vos compétences sur Excel. Si vous êtes game designer, ces compétences ne seront jamais superflues.

Désormais les fonctions if et rand vous seront très utiles. Rand ne nécessite pas de valeurs, il crache simplement un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. Nous le combinons généralement avec un plancher et des plus et des moins pour simuler le lancement d'un dé, ce que j'ai mentionné plus tôt. Cependant, dans ce cas, nous ne laissons qu'une chance de 10 % que la carte quitte le jeu, nous pouvons donc simplement vérifier si la valeur du rand est inférieure à 0,1 et ne plus nous en soucier.

Si a trois significations. Dans l'ordre : une condition qui est vraie ou fausse, puis une valeur renvoyée si la condition est vraie et une valeur renvoyée si la condition est fausse. Ainsi, la fonction suivante renverra 5 % du temps, et 0 les 90 % restants : =SI(RAND()<0.1,5,0) .

Il existe de nombreuses façons de définir cette commande, mais j'utiliserais cette formule pour la cellule qui représente le premier tour, disons que c'est la cellule A1 : =SI(RAND()<0.1,0,-1) .

Ici, j'utilise une variable négative pour signifier "cette carte n'a pas quitté le jeu et n'a pas encore abandonné aucune ressource". Ainsi, si le premier tour est terminé et que la carte quitte le jeu, A1 vaut 0 ; sinon c'est –1.

Pour la cellule suivante représentant le deuxième tour : =SI(A1>-1, A1, SI(RAND()<0.1,5,-1)) . Ainsi, si le premier tour se termine et que la carte quitte immédiatement le jeu, A1 vaut 0 (le nombre de ressources) et cette cellule copiera simplement cette valeur. Sinon, A1 vaut -1 (la carte n'est pas encore sortie du jeu), et cette cellule continue de se déplacer aléatoirement : 10% du temps elle rendra 5 unités de ressources, le reste du temps sa valeur sera toujours égale à -1. Si nous appliquons cette formule à des cellules supplémentaires, nous obtenons des tours supplémentaires, et quelle que soit la cellule avec laquelle vous vous retrouverez, vous obtiendrez le résultat final (ou -1 si la carte n'a jamais quitté le jeu après tous les tours auxquels vous avez joué).

Prenez cette rangée de cellules, qui représente le seul tour avec cette carte, et copiez et collez plusieurs centaines (ou milliers) de rangées. Nous ne pourrons peut-être pas faire un test infini pour Excel (il y a un nombre limité de cellules dans un tableau), mais au moins nous pouvons couvrir la plupart des cas. Sélectionnez ensuite une cellule dans laquelle vous placerez la moyenne des résultats de tous les tours - Excel fournit utilement une fonction moyenne() pour cela.

Sous Windows, vous pouvez au moins appuyer sur F9 pour recalculer tous les nombres aléatoires. Comme auparavant, faites cela plusieurs fois et voyez si vous obtenez les mêmes valeurs. Si l’écart est trop important, doublez le nombre d’exécutions et réessayez.

Problèmes non résolus

Si vous avez un diplôme en théorie des probabilités et que les problèmes ci-dessus vous semblent trop faciles, voici deux problèmes sur lesquels je me gratte la tête depuis des années, mais malheureusement je ne suis pas assez bon en mathématiques pour les résoudre.

Problème n°1 non résolu : la loterie du FMI

Le premier problème non résolu est le devoir précédent. Je peux facilement appliquer la méthode de Monte Carlo (en utilisant C++ ou Excel) et avoir confiance dans la réponse à la question « combien de ressources le joueur recevra-t-il », mais je ne sais pas exactement comment fournir mathématiquement une réponse exacte et prouvable (c'est une série infinie) .

Problème non résolu n°2 : séquences de figures

Ce problème (il va également bien au-delà des tâches résolues dans ce blog) m'a été posé par un ami joueur il y a plus de dix ans. Alors qu'il jouait au blackjack à Vegas, il a remarqué une chose intéressante : lorsqu'il retirait des cartes d'un sabot à 8 jeux, il voyait dix figures d'affilée (la figure ou la figure est 10, Joker, Roi ou Reine, il y en a donc 16 dans total dans un jeu de cartes standard de 52 cartes ou 128 dans un sabot de 416 cartes).

Quelle est la probabilité que cette chaussure contienne au moins une séquence de dix chiffres ou plus ? Supposons qu'ils aient été mélangés équitablement, dans un ordre aléatoire. Ou, si vous préférez, quelle est la probabilité qu’une séquence de dix chiffres ou plus n’apparaisse nulle part ?

Nous pouvons simplifier la tâche. Voici une séquence de 416 parties. Chaque partie vaut 0 ou 1. Il y a 128 uns et 288 zéros dispersés de manière aléatoire dans la séquence. De combien de façons existe-t-il d'intercaler aléatoirement 128 uns avec 288 zéros, et combien de fois de cette manière au moins un groupe de dix uns ou plus se produira-t-il ?

Chaque fois que je cherchais à résoudre ce problème, cela me paraissait facile et évident, mais dès que j'entrais dans les détails, cela s'effondrait soudainement et semblait tout simplement impossible.

Alors ne vous précipitez pas pour donner la réponse : asseyez-vous, réfléchissez bien, étudiez les conditions, essayez d'insérer des chiffres réels, car toutes les personnes à qui j'ai parlé de ce problème (y compris plusieurs étudiants diplômés travaillant dans ce domaine) ont réagi à ce sujet. le même : "C'est complètement évident... oh non, attends, ce n'est pas évident du tout." C’est le cas lorsque je n’ai pas de méthode pour calculer toutes les options. Je pourrais bien sûr forcer brutalement le problème grâce à un algorithme informatique, mais il serait bien plus intéressant de connaître la solution mathématique.

Afin de comparer quantitativement les événements entre eux selon leur degré de possibilité, il est évidemment nécessaire d'associer à chaque événement un certain nombre, qui est d'autant plus grand que l'événement est possible. Nous appellerons ce nombre la probabilité d'un événement. Ainsi, probabilité d'un événement est une mesure numérique du degré de possibilité objective de cet événement.

La première définition de la probabilité doit être considérée comme la définition classique, issue de l’analyse du jeu et initialement appliquée intuitivement.

La méthode classique de détermination des probabilités est basée sur le concept d'événements également possibles et incompatibles, qui sont le résultat d'une expérience donnée et forment un groupe complet d'événements incompatibles.

L'exemple le plus simple d'événements également possibles et incompatibles formant un groupe complet est l'apparition de l'une ou l'autre boule d'une urne contenant plusieurs boules de même taille, poids et autres caractéristiques tangibles, ne différant que par la couleur, soigneusement mélangées avant d'être retirées.

Par conséquent, un test dont les résultats forment un groupe complet d’événements incompatibles et également possibles est dit réductible à un modèle d’urnes, ou à un modèle de cas, ou s’inscrit dans le modèle classique.

Les événements également possibles et incompatibles qui constituent un groupe complet seront appelés simplement cas ou chances. De plus, dans chaque expérience, ainsi que dans les cas, des événements plus complexes peuvent se produire.

Exemple : Lors du lancement d'un dé, avec les cas A i - la perte de i points sur la face supérieure, nous pouvons considérer des événements tels que B - la perte d'un nombre pair de points, C - la perte d'un certain nombre de points qui sont un multiple de trois...

Par rapport à chaque événement pouvant survenir au cours de l'expérimentation, les cas sont répartis en favorable, dans lequel cet événement se produit, et défavorable, dans lequel l'événement ne se produit pas. Dans l'exemple précédent, l'événement B est favorisé par les cas A 2, A 4, A 6 ; événement C - cas A 3, A 6.

Probabilité classique l'apparition d'un certain événement est appelée le rapport du nombre de cas favorables à l'apparition de cet événement au nombre total de cas également possibles et incompatibles qui composent le groupe complet dans une expérience donnée :

Où PENNSYLVANIE)- probabilité d'occurrence de l'événement A ; m- le nombre de cas favorables à l'événement A ; n- nombre total de cas.

Exemples :

1) (voir exemple ci-dessus) P(B)= , P(C) =.

2) L'urne contient 9 boules rouges et 6 boules bleues. Trouvez la probabilité qu’une ou deux boules tirées au hasard soient rouges.

UN- une boule rouge tirée au sort :

m= 9, n= 9 + 6 = 15, PENNSYLVANIE)=

B- deux boules rouges tirées au sort :

Les propriétés suivantes découlent de la définition classique de la probabilité (montrez-vous) :

1) La probabilité d’un événement impossible est 0 ;

2) La probabilité d'un événement fiable est de 1 ;

3) La probabilité de tout événement se situe entre 0 et 1 ;

4) La probabilité d'un événement opposé à l'événement A,

La définition classique de la probabilité suppose que le nombre de résultats d’un essai est fini. En pratique, il existe très souvent des tests dont le nombre de cas possibles est infini. De plus, la faiblesse de la définition classique est que bien souvent il est impossible de représenter le résultat d'un test sous la forme d'un ensemble d'événements élémentaires. Il est encore plus difficile d’indiquer les raisons pour lesquelles les résultats élémentaires d’un test sont considérés comme également possibles. Habituellement, l’équipossibilité des résultats des tests élémentaires est conclue à partir de considérations de symétrie. Toutefois, de telles tâches sont très rares dans la pratique. Pour ces raisons, outre la définition classique de la probabilité, d’autres définitions de la probabilité sont également utilisées.

Probabilité statistique l'événement A est la fréquence relative d'apparition de cet événement dans les tests effectués :

où est la probabilité d'occurrence de l'événement A ;

Fréquence relative d'apparition de l'événement A ;

Le nombre d'essais dans lesquels l'événement A est apparu ;

Nombre total d'essais.

Contrairement à la probabilité classique, la probabilité statistique est une caractéristique expérimentale.

Exemple : Pour contrôler la qualité des produits d'un lot, 100 produits ont été sélectionnés au hasard, parmi lesquels 3 produits se sont révélés défectueux. Déterminez la probabilité de mariage.

La méthode statistique de détermination de la probabilité n'est applicable qu'aux événements qui ont les propriétés suivantes :

Les événements considérés doivent être le résultat uniquement de tests pouvant être reproduits un nombre illimité de fois dans le même ensemble de conditions.

Les événements doivent avoir une stabilité statistique (ou une stabilité des fréquences relatives). Cela signifie que dans différentes séries de tests, la fréquence relative de l'événement change peu.

Le nombre d'essais aboutissant à l'événement A doit être assez important.

Il est facile de vérifier que les propriétés de probabilité issues de la définition classique sont également préservées dans la définition statistique de la probabilité.