Comment construire un graphe de la fonction y = f(kx), si le graphe de la fonction est connu - Hypermarché du savoir. Leçon "Comment tracer un graphique de la fonction y = f(kx) si le graphique de la fonction y = f(x) est connu"

Le matériel présenté dans la leçon vidéo est une continuation du sujet de la construction de graphiques de fonctions à l'aide de diverses transformations. Nous verrons comment est tracé le graphique d'une fonction y=F(kx), si le graphique de la fonction est connu y=F(X) . Dans ce cas k- tout nombre réel différent de zéro.

Considérons d'abord le cas où k- nombre positif. Par exemple, construisons un graphique de la fonction y=F(3 X) , si le graphique d'une fonction y=F(X) nous avons. La figure montre un graphique sur l'axe des coordonnées y=F(X), sur lesquels se trouvent des points de coordonnées A et B. Choisir des valeurs arbitraires X et en les remplaçant dans la fonction y=F(3 X), trouver les valeurs de fonction correspondantes à. Ainsi, on obtient les points du graphe de la fonction y=F(3 X) A 1 et B 1, dont les ordonnées sont les mêmes que celles des points A et B. Autrement dit, on peut dire qu'à partir du graphique de la fonction y=F(X) par compression avec un coefficient kà l'axe des ordonnées, vous pouvez obtenir un graphique de la fonction y=F(kx) . Il est important de noter que les points d'intersection avec l'axe des ordonnées lors de la compression restent au même endroit.

Au cas où k- nombre négatif, graphique d'une fonction y=F(kx) converti à partir du graphique d'une fonction y=F(X) en s'étirant à partir de l'axe des ordonnées avec un coefficient 1/ k.

1) tout d'abord, une partie de l'onde du graphe de fonctions est tracée y =péchéX(voir l'image);

2) parce que k= 2, le graphe de fonction est compressé y=péchéà l'axe des ordonnées, le taux de compression est de 2. Trouver le point d'intersection avec l'axe X. Parce que graphique d'une fonction y =péchéX coupe l'axe des x au point π, alors le graphique de la fonction y =péché 2X coupe l'axe des x au point π/k = π/2. Tous les autres points sur le graphique de la fonction se trouvent de la même manière. y =péché 2x et le graphique entier est construit à partir de ces points.

Considérons le 2ème exemple : tracer une fonction y =cos(x/2).

1) construire une partie du graphe d'onde de la fonction y = cos X(voir l'image);

2) parce que k=1/2, étire le graphique de la fonction y =péchéX de l’axe des ordonnées avec un facteur ½.

Trouver le point d'intersection du graphique avec l'axe X. Parce que graphique d'une fonction y =parce queX coupe l'axe des x au point π/2, alors le graphique de la fonction y =cos(x/2) coupe l'axe des x au point π. De la même manière on retrouve tous les autres points du graphe de fonction y =cos(x/2), construisons le graphique entier en fonction de ces points.

Considérons ensuite la possibilité de construire un graphique de la fonction oui= F(kx), Où k- le nombre est négatif. Par exemple, quand k= -1 fonction oui= F(kx) = F(- X). La figure montre un graphique y=F(X), sur lequel se trouvent des points de coordonnées A et B. En choisissant des valeurs arbitraires de x et en les substituant dans la fonction oui= F(- X), trouver les valeurs de fonction correspondantes à. Obtenons les points graphiques de la fonction oui= F(- X) A 1 et B 1, qui seront symétriques aux points A et B par rapport à l'axe des ordonnées. Autrement dit, lorsque vous utilisez la symétrie autour de l'axe des ordonnées à partir du graphique de la fonction y=F(kx) on obtient le graphique de la fonction y=F(- X).

Passons au tracé de la fonction oui= F(kx) à k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) traçons une partie de la vague du graphique y =péchéX;

2) parce que k= 4, étirons la demi-onde du graphique par rapport à l'axe des x, où le facteur d'étirement est de 4 ;

3) effectuer une transformation symétrique par rapport à l'axe des abscisses ;

4) s'étirer à partir de l'axe des ordonnées (le coefficient d'étirement est de 2) ;

5) terminer la construction de l’ensemble du graphique.

Dans ce didacticiel vidéo, nous avons examiné en détail comment créer un graphique d'une fonction, étape par étape. y=F(kx) à différentes valeurs k.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Aujourd'hui, nous allons nous familiariser avec une transformation qui vous aidera à apprendre à représenter graphiquement la fonction y = f (kx)

(le y est égal à l'eff de l'argument qui représente le produit de ka et x), si le graphique de la fonction y = f (x) est connu (le y est égal à l'ef de x), où ka est n’importe quel nombre réel (sauf zéro).

1) Considérons le cas où k est un nombre positif en utilisant un exemple spécifique, lorsque k = 3. Autrement dit, vous devez tracer la fonction

y = f (3x) (le y est égal à l'eff de trois x), si le graphique de la fonction y = f (x) est connu. Soit un point A sur le graphique de la fonction y = f (x) de coordonnées (6 ; 5) et B de coordonnées (-3 ; 2). Cela signifie que f (6) = 5 et f (- 3) = 2 (le ef de six est cinq et le ef de moins trois est deux). Suivons le mouvement de ces points lors de la construction d'un graphique de la fonction y = f (3x).

Prenons une valeur arbitraire x = 2, calculons y en substituant la valeur de x dans le graphique de la fonction y = f (3x), on obtient que y = 5. (sur l'écran : y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​​​​​C'est-à-dire que sur le graphique de la fonction y = f (3x) il y a un point avec les coordonnées A 1 (2 ; 5). Si x = - 1, alors en substituant la valeur de x dans le graphique de la fonction y = f (3x), nous obtenons la valeur y = 2.

(Sur l'écran : y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

C'est-à-dire que sur le graphique de la fonction y = f (3x), il y a un point de coordonnées B 1 (- 1 ; 2). Ainsi, sur le graphique de la fonction y = f (3x) il y a des points de même ordonnée que sur le graphique de la fonction y = f (x), tandis que l'abscisse du point est deux fois plus petite en valeur absolue.

Il en sera de même pour les autres points du graphique de la fonction y = f (x), lorsque l'on passera au graphique de la fonction y = f (3x).

Généralement, une telle transformation est appelée compression vers l'axe y (axe y) avec un facteur 3.

Par conséquent, le graphique de la fonction y = f (kx) est obtenu à partir du graphique de la fonction y = f (x) en le compressant sur l'axe des y avec un coefficient k. A noter qu'avec une telle transformation, le point d'intersection du graphique de la fonction y = f (x) avec l'ordonnée reste en place.

Si k est inférieur à un, alors nous ne parlons pas de compression avec un coefficient de k, mais d'étirement à partir de l'axe y avec un coefficient (c'est-à-dire que si k = , alors nous parlons d'étirement avec un coefficient de 4 ).

EXEMPLE 1. Construire un graphique de la fonction y = sin 2x (le y est égal au sinus de deux x).

Solution. Tout d'abord, construisons une demi-onde du graphique y = sin x dans l'intervalle de zéro à pi. Puisque le coefficient est égal à deux, ce qui signifie que k est un nombre positif supérieur à un, nous allons compresser le graphique de la fonction y = sin x à l'axe des ordonnées avec un coefficient de 2. Trouver le point d'intersection avec l'axe OX . Si le graphique de la fonction y = sin x coupe l'axe OX au point π, alors le graphique de la fonction y = sin 2x se croisera au point (π : k =π : 2 =) (pi divisé par pi est égal à pi divisé par deux est égal à pi par deux) . De la même manière, on retrouvera tous les autres points du graphique de la fonction y = sin2 x. Ainsi, un point sur le graphique de la fonction y = sin x de coordonnées (;1) correspondra à un point sur le graphique de la fonction y = sin 2x de coordonnées (;1). Ainsi, on obtient une alternance du graphique de la fonction y = sin 2x. En utilisant la périodicité de la fonction, nous construirons le graphique entier.

EXEMPLE 2. Construire un graphique de la fonction y = cos (le y est égal au cosinus du quotient de x et deux).

Solution. Tout d’abord, construisons une demi-onde du graphique y = cos x. Puisque k est un nombre positif inférieur à e unité, nous allons étirer le graphique de la fonction y = cos x à partir de l'ordonnée avec un facteur 2.

Trouvons le point d'intersection avec l'axe OX. Si le graphique de la fonction y = cos x coupe l'axe OX en un point, alors le graphique de la fonction y = cos se croisera au point π. (:k =π : = π). De la même manière, on retrouvera tous les autres points sur le graphique de la fonction y = cos. Ainsi, nous obtenons une demi-onde du graphique souhaité de la fonction. En utilisant la périodicité de la fonction, nous construirons le graphique entier.

Considérons le cas où k est égal à moins un. Autrement dit, vous devez construire un graphique de la fonction y = f (-x) (le y est égal à eff de moins x), si le graphique de la fonction y = f (x) est connu. Soit un point A sur le graphique de coordonnées (4 ; 5) et un point B (-5 ; 1). Cela signifie que f(4) = 5 et f(-5) = 1.

Puisque lorsque nous substituons y = f (-x) au lieu de x = - 4 dans la formule, nous obtenons y = f (4) = 5, alors sur le graphique de la fonction y = f (-x) il y a un point avec coordonnées A 1

(- 4 ; 5) (moins quatre, cinq). De même, le graphique de la fonction y = f (-x) appartient au point B 1 (5 ; 1) C'est-à-dire que le graphique de la fonction y = f (x) appartient aux points A (4 ; 5) et B). (-5 ; 1), et le graphique la fonction y = f (-x) appartient aux points A 1 (- 4 ; 5) et B 1 (5 ; 1). Ces paires de points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Par conséquent, le graphique de la fonction y = f (-x) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction y = f (x) en utilisant une transformation de symétrie autour de l'axe des ordonnées.

3) Et enfin, considérons le cas où k est un nombre négatif. Considérant que l'égalité f (kx) = f (- |k|x) (eff du produit de ka par x est égal à ef du produit du module moins de ka et x) est juste, alors nous parlons de construire un graphique de la fonction y = f (- |k |x), qui peut être construit étape par étape :

1) construire un graphique de la fonction y = f (x) ;

2) soumettre le graphe construit à une compression ou un étirement vers l'axe des ordonnées avec un coefficient |k| (module ka);

3) effectuer une transformation de symétrie autour de l'axe y

(Y) obtenu dans le deuxième paragraphe du graphique.

EXEMPLE 3. Construire un graphique de la fonction y = 4 sin (-) (le y est égal à quatre multiplié par le sinus du quotient moins x par deux).

Solution. Tout d'abord, rappelez-vous que sin(- t) = -sint (le sinus de moins te est égal à moins sine te), ce qui signifie y = 4 sin (-) = - 4 sin (le y est égal à moins quatre fois le sinus du partiel x par deux ). Nous allons le construire par étapes :

1) Construisons une demi-onde du graphique de la fonction у= sinх.

2) Étirons le graphe construit à partir de l'axe des x avec un facteur 4 et obtenons une demi-onde du graphe de fonction

y = 4sinx (E est égal à quatre fois sinus x).

3) Appliquer une transformation de symétrie par rapport à l'axe x(x) à l'alternance construite du graphe de la fonction y= 4sinх et obtenir une demi-onde du graphe de la fonction y= - 4sinx.

4) Pour une demi-onde du graphique de la fonction y = - 4sinх, on l'étirera à partir de l'axe des ordonnées avec un facteur 2 ; nous obtenons une demi-onde du graphique de la fonction - 4 sin.

5) En utilisant la demi-onde résultante, nous construirons le graphique entier.

>> Comment construire un graphe de la fonction y = f(kx), si le graphe de la fonction est connu

§13. Comment représenter graphiquement la fonction y = f(kx), si le graphique de la fonction est connu

Dans cette section, nous ferons connaissance avec une autre transformation qui permet, sachant calendrier fonction y = f(x), construisez assez rapidement un graphique de la fonction y = f(Ax), où k est n'importe quel nombre réel (sauf zéro). Considérons plusieurs cas.

Tache 1. Connaissant le graphique de la fonction y = f(x), construisez un graphique de la fonction y - f(kx), où k est un nombre positif.
Pour vous permettre de mieux comprendre l'essence du problème, considérons un exemple précis lorsque k = 2. Comment construire un graphe de la fonction y = f(2x) si le graphe de la fonction y = f(x) est connu ?

Soit le graphique de la fonction y = f(x) avoir les points (4 ; 7) et (-2 ; 3). Cela signifie que f(4) = 7 et f(-2) = 3. Où se déplacent les points lorsque nous représentons graphiquement la fonction y = f(2x) ? Regardez (Fig. 50) : si x = 2, alors y = f(2x) = f(2 2) = f(4) = 7. Cela signifie que sur le graphique de la fonction y = f(2x) il y a un point (2; 7 ). De plus, si x = -1, alors y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Cela signifie que sur le graphique de la fonction y = f(2x) il y a un point (-1 ; 3) . Ainsi, sur le graphique de la fonction y = f(x) il y a les points (4 ; 7) et (-2 ; 3), et sur le graphique de la fonction y = f(2x) il y a les points (2 ; 7 ) et (- 1; 3) , c'est-à-dire points de même ordonnée.

mais deux fois plus petite (en valeur absolue) que l'abscisse. Il en va de même avec les autres points du graphique de la fonction y = f(x), lorsque l'on passe au graphique de la fonction y = f(2x) (Fig. 51). Cette transformation est généralement appelée compression selon l'axe des y avec 1 coefficient 2.

En général, le graphique de la fonction y = f(kx) est obtenu à partir du graphique de la fonction y-f(x) par compression sur l'axe des y avec un coefficient k. Notons qu'avec cette transformation le point d'intersection du graphique. de la fonction y = f(x) reste en place sur l'axe y (si x = 0, alors kx = 0).

Cependant, si< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Exemple 1. Créer des graphiques de fonctions :

Solution : a) Construisons un graphique demi-onde de la fonction y = sin x et étirons-le à partir de l'axe y avec un facteur 2 ; nous obtenons une demi-onde du graphique souhaité de la fonction (Fig. 52). Ensuite, nous construirons le graphique entier (Fig. 53).

b) Construisons un graphique demi-onde de la fonction y = cos x et compressons-le sur l'axe des y avec un facteur 2 ; nous obtenons une demi-onde du graphique souhaité de la fonction y=cos 2x (Fig. 54). Ensuite, nous construirons le graphique entier (Fig. 55).

Tâche 2. Connaissant le graphique de la fonction y = f(x), construisez un graphique de la fonction y = f(kx), où k = -1. En d’autres termes, nous parlons de construire un graphique de la fonction y = f(-x).

Supposons que sur le graphique de la fonction y = f(x) il y ait des points (3 ; 5) et (-6 ; 1). Cela signifie que f(3) = 5 et f(-6) = 1. En conséquence, sur le graphique de la fonction y = f(-x) il y a un point (-3 ; 5), puisque lors de la substitution dans formule y = f(-x) valeurs x = -3 on obtient y = f(3) = 5. De même, nous sommes convaincus que le graphe de la fonction y = f(-x) appartient au point (6; 1 ).

Ainsi, le point (3 ; 5), appartenant au graphe de la fonction y = f(x), correspond au point (-3 ; 5), appartenant au graphe de la fonction y = f(-x) ; le point (-6; 1), appartenant au graphe de la fonction y = f(x), correspond au point (6; 1), appartenant au graphe de la fonction y = f(-x). Ces paires de points sont symétriques par rapport à l'axe y (Fig. 56).

En résumant ces arguments, nous arrivons à la conclusion suivante : le graphique de la fonction y = f(-x) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction "y = f(x) en utilisant une transformation de symétrie autour de l'axe des y.

Commentaire. Si nous parlons de tracer la fonction y = f(-x), nous vérifions généralement d'abord si la fonction y = f(x) est paire ou impaire. Si y = f(x) est une fonction paire, c'est-à-dire f(-x)= f(x), alors le graphique de la fonction y = f(-x) coïncide avec le graphique de la fonction y = f(x). Si y = f(x) est une fonction impaire, c'est-à-dire f(-x) = -f(x), alors au lieu du graphique de la fonction y = f(-x), vous pouvez construire un graphique de la fonction y = -f(x).

Tâche 3. Connaissant le graphique de la fonction y = f(x), construisez un graphique de la fonction y = f(kx), où k est un nombre négatif.
Puisque dans ce cas l'égalité f(kx) = f(-\k\x) est vraie, alors nous parlons de construire un graphe de la fonction y = f(-\k\x). Cela peut être fait en trois étapes :

1) construire un graphique de la fonction y = f (x) ;
2) effectuer sa compression (ou étirement) vers l'axe des y avec le coefficient | à |;
3) soumettre le graphique compressé (ou étiré) à une transformation de symétrie autour de l'axe des y.

Exemple 2. Construisez un graphique de la fonction y = -3 cos (~2x).

Solution. Notez tout d’abord que cos (-2x) = cos2x.
1) Construisons un graphique de la fonction y = cosx, ou plus précisément, une demi-onde du graphique (Fig. 57a. Toutes les constructions préliminaires sont indiquées par des lignes pointillées).
2) Étirons le graphique construit à partir de l'axe des x avec un facteur 3 ; on obtient une demi-onde du graphique de la fonction y=3cos x.
3) Soumettons l'alternance construite du graphe de la fonction y = 3 cos x à une transformation de symétrie autour de l'axe des x ; on obtient une demi-onde du graphique de la fonction y = -Зсоs x.
4) Pour l'alternance du graphique de la fonction y = -3cos x, compressons-la à l'axe y avec un facteur 2 ; nous obtenons une demi-onde du graphique de la fonction y = -Зсоs2х (ligne continue sur la Fig. 57a).
5) En utilisant la demi-onde résultante, nous construirons le graphique entier (Fig. 576).

A.G. Mordkovich Algèbre 10e année

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2. Si 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Fig. 3.8). Ainsi, le graphique de la fonction est compressé ou étiré.

AA

oui

oui

0 x X 0 x X

Riz. 3.7 Fig. 3.8

Règle 2. Soit k > 1. Alors le graphe de la fonction f(kx) est obtenu à partir du graphe de la fonction f(x) en le compressant le long de l'axe OX par k fois (en d'autres termes : en le compressant sur l'axe OY par k fois).

Soit 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Exemples. Construire des graphiques de fonctions : 1)
Et
;

2)
Et
.

AA

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Riz. 3.9 Fig. 3.10

Commentaire. Attention : période , couché sur l'axe OY, reste en place. En effet, à chaque point N(0, y) du graphe f(x) correspond un point
graphiquesf(kx).

Graphique d'une fonction
obtenu en étirant le graphique de la fonction
de l'axe OY par 2 fois. En même temps, pointez à nouveau reste inchangé (courbe (3) sur la Fig. 3.9).

Représenter graphiquement une fonction y=f(-x).

Les fonctions f(x) et f(-x) prennent des valeurs égales pour les valeurs opposées de l'argument x. Par conséquent, les points N(x;y) et M(-x;y) de leurs graphiques seront symétriques par rapport à l'axe OY.

Règle 3. Pour construire un graphique de f(-x), vous devez refléter le graphique de la fonction f(x) par rapport à l'axe OY.

Exemples. Fonctions graphiques
Et
.

Les solutions sont présentées dans la Fig. 3.11 et 3.12.

Oui
Oui

Riz. 3.11 Fig. 3.12

Représenter graphiquement une fonction y=f(-kx), où k > 0.

Règle 4. Nous construisons un graphique de la fonction y=f(kx) conformément à la règle 2. Le graphique de la fonction f(kx) est reflété à partir de l'axe OY conformément à la règle.

scrap 3. En conséquence, nous obtenons un graphique de la fonction f(-kx).

Exemples. Fonctions graphiques

.

Les solutions sont présentées dans la Fig. 3.13 et 3.14.

p

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Riz. 3.13 Fig. 3.14

Représenter graphiquement une fonction
, où A > 0. Si A > 1, alors pour chaque valeur
l'ordonnée d'une fonction donnée est A fois supérieure à l'ordonnée de la fonction principale f(x). Dans ce cas, le graphe f(x) est étiré A fois le long de l'axe OY (en d'autres termes : à partir de l'axe OX).

Si 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в fois le long de l’axe OY (ou à partir de l’axe OX).

Règle 5. Soit A > 1. Alors le graphique de la fonction
est obtenu à partir du graphe f(x) en l'étirant A fois le long de l'axe OY (ou à partir de l'axe OX).

Soit 0< A < 1. Тогда график функции
est obtenu à partir du graphique de f(x) en le compressant en fois le long de l’axe OY (ou jusqu’à l’axe OX).

Exemples. Construire des graphiques de fonctions 1)
,
et 2)
,

.

Oui
Oui

2

1

1
0p/2pp/3px

Riz. 3.15 Fig. 3.16

Représenter graphiquement une fonction
.

Pour chaque
les points N(x,y) de la fonction f(x) et M(x, -y) de la fonction -f(x) sont symétriques par rapport à l'axe OX, on obtient donc la règle.

Règle 6. Pour représenter graphiquement une fonction
J'ai besoin d'un emploi du temps
miroir par rapport à l’axe OX.

Exemples. Fonctions graphiques
Et
(Fig. 3.17 et 3.18).

AA

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Riz. 3.17 Fig. 3.18

Représenter graphiquement une fonction
, où A>0.

Règle 7. Construire un graphique d'une fonction
, où A>0, conformément à la règle 5. Le graphique résultant est reflété à partir de l'axe OX conformément à la règle 6.

Représenter graphiquement une fonction
.

Si B>0, alors pour chaque
l'ordonnée de la fonction donnée est de B unités supérieures à l'ordonnée de f(x). Si B<0, то для каждого
l'ordonnée de la première fonction est réduite de unités par rapport à l’ordonnéef(x). Ainsi, nous obtenons la règle.

Règle 8. Pour tracer une fonction
d'après le graphe y=f(x), ce graphe doit être déplacé le long de l'axe OY de B unités vers le haut si B>0, ou vers unités en baisse ifB<0.

Exemples. Construire des graphiques de fonctions : 1) et

2)
(Fig. 3.19 et 3.20).

Oui

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Riz. 3.19 Fig. 3.20

Schéma de construction d'un graphique d'une fonction .

Tout d’abord, on écrit l’équation de la fonction sous la forme
et désigne
. Ensuite, nous construisons le graphique de la fonction selon le schéma suivant.

Nous construisons un graphique de la fonction principale f(x).

Conformément à la règle 1, nous construisons un graphe f(x-a).

En compressant ou en étirant le graphe f(x-a) en tenant compte du signe de k, selon les règles 2 à 4, on construit un graphe de la fonction f.

Attention : le graphique f(x-a) est compressé ou étiré par rapport à la droite x=a (pourquoi ?)

Attention : à chaque étape de construction, le graphe précédent fait office de graphe de la fonction principale.

Exemple. Représenter graphiquement la fonction
. Herek=-2, donc
. Étant donné étrange
, nous avons
.

(Fig. 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 × 0 1 3/2 2 ×

-π/2 -π/2

Riz. 3.21 Fig. 3.22

AA

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Riz. 3.23 Fig. 3.24

Tâche 2.

Tracer des graphiques de fonctions contenant le signe du module.

La solution à ce problème comprend également plusieurs étapes. Dans ce cas, vous devez retenir la définition du module :

Représenter graphiquement une fonction
.

Pour ces valeurs
, Pour qui
, volonté
. Voici donc les graphiques de fonctions
et f(x) sont identiques. Pour le même
, pour lequel f(x)<0, будет
. Mais le graphique -f(x) est obtenu à partir du graphique f(x) par réflexion miroir depuis l'axe OX. On obtient la règle pour construire un graphique d'une fonction
.

Règle 9. Nous construisons un graphique de la fonction y=f(x). Après cela, cette partie du graphique f(x), où
, laissez-le inchangé et laissez cette partie où f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Commentaire. Veuillez noter que l'horaire
se trouve toujours au-dessus de l'axe OX ou le touche.

Exemples. Fonctions graphiques

(Fig. 3.24, 3.25, 3.26).

AA

2

Riz. 3.25 Fig. 3.26

Représenter graphiquement une fonction
.

Parce que
, Que
, c'est-à-dire qu'une fonction paire est donnée dont le graphique est symétrique par rapport à l'axe OY.

Règle 10. Nous traçons la fonction y=f(x) à
. Nous reflétons le graphique construit à partir de l'axe OY. Ensuite la combinaison des deux courbes obtenues donnera le graphique de la fonction
.

Exemples. Fonctions graphiques

(Fig. 3.27, 3.28, 3.29)

O O O

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Riz. 3.27 Fig. 3.28 Fig. 3.29

Représenter graphiquement une fonction
.

Construire un graphique d'une fonction
selon la règle 10.

Construire un graphique d'une fonction
selon la règle 9.

Exemples. Fonctions graphiques
Et
.

La partie négative du graphique est reflétée par l'axe OX. Calendrier
montré sur la fig. 15h30.

AA

2 0 2 x -1 0 1 x

Riz. 3.30 Fig. 3.31

2. Construisez un graphique de la fonction
(Fig. 3.29).

Nous reflétons la partie négative du graphique à partir de l'axe OX. Calendrier
montré sur la fig. 3.31.

Lors du tracé d'un graphique d'une fonction contenant des signes de module, il est très important de connaître les intervalles de signe constant de la fonction. Par conséquent, la solution à chaque problème doit commencer par déterminer ces intervalles.

Exemple. Représenter graphiquement la fonction
.

Domaine . Les expressions x+1 et x-1 changent de signe aux points x=-1 et x=1. Par conséquent, nous divisons le domaine de définition en quatre intervalles :

En prenant en compte les signes x+1 et x-1, on a

;

;

.

Ainsi, la fonction peut être écrite sans signes de module comme suit :

Les fonctions
correspondent à des hyperboles, et la fonction y=2 correspond à une droite. Une construction ultérieure peut être réalisée par points (Fig. 3.32).

Oui

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Commentaire. Notez que lorsque x=0 la fonction n'est pas définie. On dit que la fonction souffre d'une discontinuité à ce stade. En figue. 3.32 ceci est marqué par des flèches.

Tâche 3. Tracer un graphique d'une fonction définie par plusieurs expressions analytiques.

Dans l'exemple précédent, la fonction
nous l'avons présenté dans plusieurs expressions analytiques. Oui, entre les deux
ça change selon la loi de l'hyperbole
; dans l'intervalle
, sauf x=0, c'est une fonction linéaire ; dans l'intervalle
nous avons encore une hyperbole
. Des fonctions similaires seront fréquemment rencontrées à l’avenir. Regardons un exemple simple.

Le trajet en train de la gare A à la gare B se compose de trois sections. Dans la première section, il prend de la vitesse, c'est-à-dire dans l'intervalle
sa vitesse
, Où
. Dans la deuxième section, il se déplace à une vitesse constante, c'est-à-dire v=c, si
. Enfin, au freinage, sa vitesse sera
.
Ainsi, entre

la vitesse de déplacement change selon la loi

Transfert parallèle.

TRANSLATION LE LONG DE L'AXE Y
f(x) => f(x) -b

Supposons que vous souhaitiez construire un graphique de la fonction y = f(x) - b. Il est facile de voir que les ordonnées de ce graphique pour toutes les valeurs de x sur |b| unités inférieures aux ordonnées correspondantes du graphique de fonction y = f(x) pour b>0 et |b| unités de plus - à b 0 ou jusqu'à b Pour tracer le graphique de la fonction y + b = f(x), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et déplacer l'axe des x vers |b| unités jusqu'à b>0 ou par |b| unités en baisse à b

TRANSFERT LE LONG DE L'AXE ABSCISS
Supposons que vous souhaitiez tracer la fonction y = f(x + a). Considérons la fonction y = f(x), qui à un moment donné x = x1 prend la valeur y1 = f(x1). Évidemment, la fonction y = f(x + a) prendra la même valeur au point x2 dont la coordonnée est déterminée à partir de l'égalité x2 + a = x1, c'est-à-dire x2 = x1 - a, et l'égalité considérée est valable pour la totalité de toutes les valeurs du domaine de définition de la fonction. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x + a) peut être obtenu en déplaçant parallèlement le graphique de la fonction y = f(x) le long de l'axe des x vers la gauche de |a| unités pour a > 0 ou vers la droite par |a| unités pour a Pour construire un graphique de la fonction y = f(x + a), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et déplacer l'axe des ordonnées vers |a| unités vers la droite lorsque a>0 ou par |a| unités vers la gauche à un

Exemples:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Réflexion.

CONSTRUCTION D'UN GRAPHE D'UNE FONCTION DE LA FORME Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Il est évident que les fonctions y = f(-x) et y = f(x) prennent des valeurs égales en des points dont les abscisses sont égales en valeur absolue mais opposées en signe. Autrement dit, les ordonnées du graphique de la fonction y = f(-x) dans la région des valeurs positives (négatives) de x seront égales aux ordonnées du graphique de la fonction y = f(x) pour les valeurs négatives (positives) correspondantes de x en valeur absolue. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer la fonction y = f(-x), vous devez tracer la fonction y = f(x) et la refléter par rapport à l'ordonnée. Le graphique résultant est le graphique de la fonction y = f(-x)

CONSTRUCTION D'UN GRAPHE D'UNE FONCTION DE LA FORME Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Les ordonnées du graphique de la fonction y = - f(x) pour toutes les valeurs de l'argument sont égales en valeur absolue, mais opposées en signe aux ordonnées du graphique de la fonction y = f(x) pour le mêmes valeurs de l'argument. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer un graphique de la fonction y = - f(x), vous devez tracer un graphique de la fonction y = f(x) et le refléter par rapport à l'axe des x.

Exemples:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Déformation.

DÉFORMATION DU GRAPHE LE LONG DE L'AXE Y

f(x) => k f(x)
Considérons une fonction de la forme y = k f(x), où k > 0. Il est facile de voir qu'à valeurs égales de l'argument, les ordonnées du graphique de cette fonction seront k fois supérieures aux ordonnées de le graphe de la fonction y = f(x) pour k > 1 ou 1/k fois inférieur aux ordonnées du graphe de la fonction y = f(x) pour k Construire un graphe de la fonction y = k f(x ), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et augmenter ses ordonnées de k fois pour k > 1 (étirer le graphique le long de l'axe des ordonnées) ou réduire ses ordonnées de 1/k fois à k
k > 1- s'étendant à partir de l'axe Ox
0 - compression sur l'axe OX

DÉFORMATION DU GRAPHE LE LONG DE L'AXE ABSCISS

f(x) => f(kx)
Supposons qu'il soit nécessaire de construire un graphe de la fonction y = f(kx), où k>0. Considérons la fonction y = f(x), qui en un point arbitraire x = x1 prend la valeur y1 = f(x1). Il est évident que la fonction y = f(kx) prend la même valeur au point x = x2 dont la coordonnée est déterminée par l'égalité x1 = kx2, et cette égalité est valable pour la totalité de toutes les valeurs de x du domaine de définition de la fonction. Par conséquent, le graphe de la fonction y = f(kx) s'avère compressé (pour k 1) le long de l'axe des abscisses par rapport au graphe de la fonction y = f(x). Ainsi, nous obtenons la règle.
Pour construire un graphique de la fonction y = f(kx), vous devez construire un graphique de la fonction y = f(x) et réduire ses abscisses de k fois pour k>1 (compresser le graphique le long de l'axe des abscisses) ou augmenter ses abscisses par 1/k fois pour k
k > 1- compression vers l'axe Oy
0 - s'étendant à partir de l'axe OY