2. Détermination des paramètres de distribution inconnus.

À l’aide d’un histogramme, nous pouvons tracer approximativement la densité de distribution d’une variable aléatoire. L'apparition de ce graphique nous permet souvent de faire une hypothèse sur la distribution de densité de probabilité d'une variable aléatoire. L'expression de cette densité de distribution inclut généralement certains paramètres qui doivent être déterminés à partir de données expérimentales.
Arrêtons-nous sur le cas particulier où la densité de distribution dépend de deux paramètres.
Alors laisse x 1 , x 2 , ..., x n- valeurs observées d'une variable aléatoire continue, et laisser sa densité de distribution de probabilité dépendre de deux paramètres inconnus UN Et B, c'est-à-dire on dirait. Une des méthodes pour trouver des paramètres inconnus UN Et B consiste dans le fait qu'ils sont choisis de telle manière que l'espérance mathématique et la variance de la distribution théorique coïncident avec les moyennes et la variance de l'échantillon :

(66)

(67)

A partir des deux équations obtenues (), on trouve les paramètres inconnus UN Et B. Ainsi, par exemple, si une variable aléatoire obéit à la loi normale de distribution de probabilité, alors sa densité de distribution de probabilité

dépend de deux paramètres un Et . Ces paramètres, comme nous le savons, sont respectivement l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire ; donc les égalités() s'écriront ainsi :

(68)

Par conséquent, la densité de distribution de probabilité a la forme

Remarque 1. Nous avons déjà résolu ce problème dans . Le résultat de la mesure est une variable aléatoire qui obéit à la loi de distribution normale avec des paramètres un Et . Pour une valeur approximative un nous avons choisi la valeur , et pour la valeur approximative - la valeur .

Remarque 2.À grandes quantités les expériences, la recherche de quantités et l'utilisation de formules () sont associées à des calculs fastidieux. Par conséquent, ils font ceci : chacune des valeurs observées de la quantité , tombant dans jeème intervalle ] X je-1 , X je [ série statistique, est considérée comme approximativement égale au milieu c je cet intervalle, c'est-à-dire c je = (X je-1 +X je)/2. Considérons le premier intervalle ] X 0 , X 1 [. Ça l'a frappé m1 valeurs observées de la variable aléatoire, chacune d'entre elles étant remplacée par un nombre à partir de 1. La somme de ces valeurs est donc approximativement égale à m 1 s 1. De même, la somme des valeurs entrant dans le deuxième intervalle est approximativement égale à m 2 avec 2 etc. C'est pourquoi

De la même manière, nous obtenons l'égalité approximative

Alors montrons que

(71)

Equations avec paramètres : méthode de résolution graphique

8e-9e années

L'article traite d'une méthode graphique pour résoudre certaines équations avec paramètres, qui est très efficace lorsque vous devez établir le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre. un.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ? | | X | – 2 | = un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | – 2 | et y = un. Graphique de la fonction y = | | X | – 2 | montré sur la figure.

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si un = 0).

D'après le dessin, on peut voir que :

Si un= 0, alors droite y = un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X | – 2 | deux points communs ; Cela signifie que l'équation originale a deux racines (en dans ce cas
les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Si 0 un Si
Si 0 un= 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines. un> 2, alors droite y =

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un Si
Si un> 2, alors il y a deux racines ;
= 2, puis trois racines ;< un < 2, то четыре корня.

si 0 Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un en fonction du paramètre un?

| x2 – 2| X | – 3 | = un.

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | x2 – 2| X | – 3 | et y = un = 0).

Graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | montré sur la figure. Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand

Si un= 0, alors droite y = un Sur le dessin, vous pouvez voir : un coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = un aura avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | deux points communs à un> 4. Alors, quand un= 0 et
les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = d 2).< un < 3, то прямая y = un> 4 l'équation originale a deux racines. un a avec le graphique de la fonction y = | x2 – 2| X | – 3 | un quatre points communs, ainsi que la droite y=< un < 3, un aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à
Si 0 un= 4. Donc, à 0 un= 4 l'équation originale a quatre racines.
= 3, puis droite y =< un < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Si 0 un < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un < 0, то корней нет;
Si un = 0, un coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
= 2, puis trois racines ;< un < 3, un Si 3
Si un> 4, alors il y a deux racines ;
= 4, puis quatre racines ;< un < 4, то шесть корней.

= 3, puis cinq racines ;

si 3 un?

Problème 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ? en fonction du paramètre

Solution. Construisons un graphique de la fonction dans le système de coordonnées (x; y) un obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à un> – 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

À un = – 1, un= – 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À – 2< un < – 1, un < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un> – 1, puis une solution ;
Si un = – 1, un= – 2, alors il y a deux solutions ;
si – 2< un < – 1, un < – 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation (1) du problème 3, une attention particulière doit être accordée au cas où un= – 2, puisque le point (– 1 ; – 1) n'appartient pas au graphique de la fonction mais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Passons à la résolution d'un autre problème.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = un| x – 1 |

si 3 un?

(2) un Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racine de cette équation, puisque l'égalité 3 = un· 0 ne peut être vrai pour aucune valeur de paramètre . Divisons les deux côtés de l'équation par | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), alors l'équation (2) prendra la forme

Dans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction un Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = un = 0).

aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines. un est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si
Ј – 1, alors il n’y a pas de racines ;< un si – 1
Si unЈ 1, puis une racine ;

> 1, alors il y a deux racines.

Considérons l'équation la plus complexe. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

unéquation

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

a trois solutions ? un Solution. 1. La valeur de contrôle du paramètre pour cette équation sera le nombre un= 0, auquel l'équation (3) prend la forme 0 + | x – 1 | = 0, d'où x = 1. Par conséquent, lorsque

= 0, l'équation (3) a une racine, ce qui ne satisfait pas aux conditions du problème. un № 0.

2. Considérons le cas où un Réécrivons l'équation (3) sous la forme suivante : un < 0.

x2 = – | x – 1 |. Notez que l'équation n'aura de solutions que lorsque un Dans le système de coordonnées xOy nous construirons des graphiques des fonctions y = | x – 1 | et y = un x2 . Graphique de la fonction y = | x – 1 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y = un < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque un L'équation (3) n'aura trois solutions que lorsque la droite y = – x + 1 est tangente au graphique de la fonction y=

x2 . un Soit x 0 l'abscisse du point de tangence de la droite y = – x + 1 avec la parabole y =

x2 . L'équation tangente a la forme

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Écrivons les conditions de tangence :

Cette équation peut être résolue sans utiliser la notion de dérivée. un Considérons une autre méthode. Utilisons le fait que si la droite y = kx + b a un seul point commun avec la parabole y = un x 2 + px + q = kx + b doit avoir une solution unique, c'est-à-dire que son discriminant est nul. Dans notre cas, nous avons l'équation un x 2 = – x + 1 ( un n°0). Équation discriminante

Problèmes à résoudre de manière autonome

6. Combien de racines l'équation a-t-elle en fonction du paramètre un?

1)| | X | – 3 | = un;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = un;
3)| x2 – 4| X | + 3 | = un;
4)| x2 – 6| X | + 5 | = un.

1) si un<0, то корней нет; если un=0, un>3, puis deux racines ; Si un=3, puis trois racines ; si 0<un<3, то четыре корня;
2) si un<1, то корней нет; если un=1, alors il existe un ensemble infini de solutions de l'intervalle [– 2; un– 1]; Si
> 1, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, un<3, то четыре корня; если 0<un<1, то восемь корней; если un 3) si un=1, puis six racines ; Si un=3, alors il y a trois solutions ; Si
>3, alors il y a deux solutions ; un<0, то корней нет; если un=0, 4<un<5, то четыре корня; если 0<un< 4, то восемь корней; если un 4) si un=4, puis six racines ; Si un=5, puis trois racines ; Si

>5, alors il y a deux racines. un 7. Combien de racines l'équation a-t-elle | x + 1 | = un?

(x – 1) selon le paramètre .

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Réponse : si un > 1, un J-1,<un<0, то два корня; если 0<un=0, puis une racine ; si – 1

Ј 1, alors il n’y a pas de racines. un 8. Combien de racines l'équation x + 1 = un?

| x – 1 |selon le paramètre

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Dessinez un graphique (voir figure).<unЈ –1, alors il n’y a pas de racines ; si – 1 unЈ 1, puis une racine ; Si

>1, alors il y a deux racines.

9. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

si 3 un?

2| X | – 1 = une(x – 1)

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Note: Réduire l'équation pour former un>2, un J-2,<un<1, то два корня; если 1<un=1, puis une racine ; si –2

Ј 2, alors il n’y a pas de racines.

si 3 un?

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme unЈ 0, un 10. Combien de racines l’équation a-t-elle ?<un<2, то два корня.

je 2, puis une racine ; si 0 un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

11. A quelles valeurs du paramètre un x2 +

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 un Note: Réduisez l’équation à la forme x 2 = –

| x – 2 |. un Réponse : quand

J-8. un Problème 5. A quelles valeurs du paramètre

un 12. A quelles valeurs du paramètre

x2 + | x – 1 | = 0 (3)

x2 + | x + 1 | = 0 un Note: Utilisez le problème 5. Cette équation a trois solutions seulement si l’équation un x 2 + x + 1 = 0 a une solution, et le cas

= 0 ne satisfait pas aux conditions du problème, c'est-à-dire que le cas demeure lorsque

13. Combien de racines l’équation a-t-elle ? un

si 3 un?

X | x – 2 | = 1 – Note: Réduisez l’équation sous la forme –x |x – 2| + 1 =

si 3 un?

un

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un<0, un Note: Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. un>2, alors il y a deux racines ; si 0Ј

Ј 2, puis une racine.

si 3 un?

16. Combien de racines l’équation a-t-elle ? Note: Construisez des graphiques des côtés gauche et droit de cette équation. Pour représenter graphiquement une fonction

Note: Puisque x = 1 n’est pas une racine de l’équation, cette équation peut se réduire à la forme un Trouvons les intervalles de signe constant des expressions x + 2 et x : un>– 1, puis une solution ; Si<un<–1, то четыре решения; если un= – 1, alors il y a deux solutions ; si – 3