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Lors de la résolution de certains problèmes mathématiques, vous devez opérer avec des racines carrées. Il est donc important de connaître les règles d’opérations avec les racines carrées et d’apprendre à transformer les expressions les contenant. Le but est d'étudier les règles d'opérations avec des racines carrées et les manières de transformer des expressions avec des racines carrées.

On sait que certains nombres rationnels s'expriment sous forme de fractions décimales périodiques infinies, comme le nombre 1/1998=0,000500500500... Mais rien n'empêche d'imaginer un nombre dont le développement décimal ne révèle aucune période. De tels nombres sont qualifiés d’irrationnels.

L'histoire des nombres irrationnels remonte à l'étonnante découverte des Pythagoriciens au 6ème siècle. avant JC e. Tout a commencé avec une question apparemment simple : quel nombre exprime la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 ?

La diagonale divise le carré en 2 triangles rectangles identiques, dans chacun desquels elle fait office d'hypoténuse. Par conséquent, comme il ressort du théorème de Pythagore, la longueur de la diagonale d'un carré est égale à

Et bien que Pythagore et ses étudiants n’avaient pas d’ordinateur, ce sont eux qui ont prouvé ce fait. Les Pythagoriciens ont prouvé que la diagonale d'un carré et son côté n'ont pas de mesure commune (c'est-à-dire un segment qui serait tracé un nombre entier de fois à la fois sur la diagonale et sur le côté). Le rapport de leurs longueurs est donc le nombre

Suite à la découverte des Pythagoriciens

Comment prouver qu'un nombre

Il reste à conclure que notre hypothèse est incorrecte et que le nombre rationnel m/n est égal à

1. Racine carrée d'un nombre

Connaître l'heure t , vous pouvez retrouver le chemin en chute libre grâce à la formule :

Tâche . Combien de secondes faudra-t-il pour qu'une pierre tombée d'une hauteur de 122,5 m tombe ?

Pour trouver la réponse, vous devez résoudre l'équation

Vous devez également rechercher un nombre positif par son carré lorsque vous résolvez d'autres problèmes, par exemple lorsque vous trouvez la longueur d'un côté d'un carré par son aire. Introduisons la définition suivante.

Définition . Un nombre non négatif dont le carré est égal à un nombre non négatif a est appelé racine carrée de a. Ce numéro représente

Ainsi

Exemple . Parce que

Vous ne pouvez pas prendre de racines carrées à partir de nombres négatifs, puisque le carré de n’importe quel nombre est positif ou égal à zéro. Par exemple, l'expression

2n zéros n zéros

De même, il est prouvé que

Par exemple,

2. Calcul des racines carrées

Nous savons qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré vaut 2. Cela signifie que

L’existence d’une racine carrée de tout nombre réel positif se prouve de la même manière. Bien entendu, la mise au carré séquentielle est une tâche qui prend beaucoup de temps et il existe donc des moyens de trouver rapidement les décimales de la racine carrée. À l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez trouver la valeur

Si la précision fournie par un microcalculateur est insuffisante, vous pouvez utiliser la méthode d'affinement de la valeur de la racine donnée par le théorème suivant.

Théorème. Si a est un nombre positif et est une valeur approximative de par excès, alors

Formules de racines. Propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu’est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules pour les racines que sont propriétés des racines, et que peut-on faire avec tout cela.

Formules de racines, propriétés des racines et règles de travail avec les racines- c'est essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui me fait certainement plaisir ! Ou plutôt, vous pouvez écrire de nombreuses formules différentes, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, trois seulement suffisent. Tout le reste découle de ces trois-là. Bien que beaucoup de gens soient confus dans les trois formules de racines, oui...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Qu'est-ce qu'une racine carrée ?

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Cette notion est très simple. Naturel, je dirais. Les mathématiciens essaient de trouver une réaction à chaque action. Il y a une addition – il y a aussi une soustraction. Il y a multiplication, il y a aussi division. Il y a la quadrature... Donc il y a aussi en prenant la racine carrée ! C'est tout. Cette action ( racine carrée) en mathématiques est indiqué par cette icône :

L'icône elle-même s'appelle un beau mot " radical".

Comment extraire la racine ? Il vaut mieux regarder exemples.

Quelle est la racine carrée de 9 ? Quel nombre au carré nous donnera 9 ? 3 au carré nous donne 9 ! Ceux:

Mais quelle est la racine carrée de zéro ? Aucun problème! Quel nombre au carré fait zéro ? Oui, ça donne zéro ! Moyens:

J'ai compris, qu'est-ce que la racine carrée ? On considère alors exemples:

Réponses (en désarroi) : 6 ; 1; 4 ; 9 ; 5.

Décidé? Vraiment, à quel point est-ce plus facile ?!

Mais... Que fait une personne lorsqu'elle voit une tâche avec des racines ?

Une personne commence à se sentir triste... Elle ne croit pas à la simplicité et à la légèreté de ses racines. Même s'il semble savoir qu'est-ce que la racine carrée...

En effet, la personne a ignoré plusieurs points importants lors de l’étude des racines. Puis ces modes se vengent cruellement des tests et des examens...

Premier point. Il faut reconnaître les racines à vue !

Quelle est la racine carrée de 49 ? Sept? Droite! Comment saviez-vous qu'il était sept heures ? Vous avez mis sept au carré et obtenu 49 ? Droite! Veuillez noter que extraire la racine sur 49 il a fallu faire l'opération inverse - carré 7 ! Et assurez-vous que nous ne manquons pas. Ou alors ils auraient pu rater...

C'est la difficulté extraction des racines. Carré Vous pouvez utiliser n’importe quel numéro sans aucun problème. Multipliez un nombre par lui-même avec une colonne - c'est tout. Mais pour extraction des racines Il n’existe pas de technologie aussi simple et sûre. Nous devons ramasser répondez et vérifiez si elle est correcte en la mettant au carré.

Ce processus créatif complexe – choisir une réponse – est grandement simplifié si vous souviens-toi carrés de nombres populaires. Comme une table de multiplication. Si, disons, vous devez multiplier 4 par 6, vous n’ajoutez pas quatre 6 fois, n’est-ce pas ? La réponse 24 apparaît immédiatement. Même si tout le monde ne comprend pas, oui...

Pour travailler librement et avec succès avec les racines, il suffit de connaître les carrés des nombres de 1 à 20. De plus là Et dos. Ceux. vous devriez être capable de réciter facilement à la fois, disons, 11 au carré et la racine carrée de 121. Pour réaliser cette mémorisation, il existe deux manières. La première consiste à apprendre la table des carrés. Ce sera d’une grande aide pour résoudre des exemples. La seconde consiste à résoudre plus d’exemples. Cela vous aidera grandement à vous souvenir du tableau des carrés.

Et pas de calculatrices ! À des fins de test uniquement. Sinon, vous ralentirez sans pitié pendant l'examen...

Donc, qu'est-ce que la racine carrée Et comment extraire les racines- Je pense que c'est clair. Voyons maintenant de QUOI nous pouvons les extraire.

Deuxième point. Root, je ne te connais pas !

De quels nombres peut-on tirer des racines carrées ? Oui, presque tous. C'est plus facile de comprendre d'où ça vient c'est interdit les extraire.

Essayons de calculer cette racine :

Pour ce faire, nous devons choisir un nombre dont le carré nous donnera -4. Nous sélectionnons.

Quoi, ça ne va pas ? 2 2 donne +4. (-2) 2 donne encore +4 ! Ça y est... Il n'y a pas de nombres qui, une fois mis au carré, nous donneront un nombre négatif ! Même si je connais ces chiffres. Mais je ne vous le dirai pas). Allez à l'université et vous le découvrirez par vous-même.

La même histoire se produira avec n’importe quel nombre négatif. D'où la conclusion :

Une expression dans laquelle il y a un nombre négatif sous le signe racine carrée - ça n'a pas de sens! C'est une opération interdite. C'est aussi interdit que de diviser par zéro. Souvenez-vous fermement de ce fait ! Ou en d'autres termes :

Vous ne pouvez pas extraire les racines carrées des nombres négatifs !

Mais parmi tous les autres, c’est possible. Par exemple, il est tout à fait possible de calculer

À première vue, c’est très difficile. Sélectionner des fractions et les mettre au carré... Ne vous inquiétez pas. Lorsque nous comprendrons les propriétés des racines, de tels exemples seront réduits au même tableau de carrés. La vie deviendra plus facile !

D'accord, les fractions. Mais on rencontre encore des expressions comme :

C'est bon. Tous les mêmes. La racine carrée de deux est le nombre qui, une fois mis au carré, nous donne deux. Seulement ce nombre est complètement inégal... Le voici :

Ce qui est intéressant, c’est que cette fraction ne finit jamais… De tels nombres sont appelés irrationnels. En racines carrées, c’est la chose la plus courante. D'ailleurs, c'est pourquoi les expressions avec des racines sont appelées irrationnel. Il est clair qu’écrire une fraction aussi infinie à tout moment n’est pas pratique. Par conséquent, au lieu d’une fraction infinie, ils la laissent comme ceci :

Si, en résolvant un exemple, vous obtenez quelque chose qui ne peut pas être extrait, comme :

alors on laisse comme ça. Ce sera la réponse.

Vous devez clairement comprendre ce que signifient les icônes

Bien sûr, si l’on prend la racine du nombre lisse, tu dois faire ça. La réponse à la tâche est sous la forme, par exemple

Une réponse assez complète.

Et, bien sûr, vous devez connaître les valeurs approximatives de mémoire :

Ces connaissances aident grandement à évaluer la situation dans des tâches complexes.

Troisième point. Le plus rusé.

La principale confusion dans le travail avec les racines vient de ce point. C'est lui qui donne confiance en ses propres capacités... Abordons ce point correctement !

Tout d’abord, prenons à nouveau la racine carrée de quatre d’entre eux. Est-ce que je vous ai déjà dérangé avec cette racine ?) Qu'à cela ne tienne, maintenant ça va être intéressant !

Quel nombre fait 4 au carré ? Eh bien, deux, deux - j'entends des réponses insatisfaites...

Droite. Deux. Mais aussi moins deux donnera 4 au carré... Pendant ce temps, la réponse

correct et la réponse

grossière erreur. Comme ça.

Alors, quel est le problème ?

En effet, (-2) 2 = 4. Et sous la définition de la racine carrée de quatre moins deux tout à fait approprié... C'est aussi la racine carrée de quatre.

Mais! Dans le cours de mathématiques à l'école, il est d'usage de considérer les racines carrées uniquement des nombres non négatifs ! C'est-à-dire zéro et tout positif. Même un terme spécial a été inventé : du numéro UN- Ce non négatif nombre dont le carré est UN. Les résultats négatifs lors de l’extraction d’une racine carrée arithmétique sont simplement ignorés. A l'école, tout est racines carrées - arithmétique. Bien que cela ne soit pas particulièrement mentionné.

D'accord, c'est compréhensible. C'est encore mieux de ne pas s'embêter avec des résultats négatifs... Ce n'est pas encore de la confusion.

La confusion commence lors de la résolution d'équations quadratiques. Par exemple, vous devez résoudre l’équation suivante.

L'équation est simple, on écrit la réponse (telle qu'enseignée) :

Cette réponse (tout à fait correcte, d'ailleurs) n'est qu'une version abrégée deux réponses:

Stop STOP! Juste au dessus j'ai écrit que la racine carrée est un nombre Toujours non négatif ! Et voici l'une des réponses - négatif! Désordre. C'est le premier (mais pas le dernier) problème qui suscite la méfiance envers les racines... Résolvons ce problème. Écrivons les réponses (uniquement pour comprendre !) comme ceci :

Les parenthèses ne changent pas l’essence de la réponse. Je l'ai juste séparé par des parenthèses panneaux depuis racine. Vous pouvez maintenant voir clairement que la racine elle-même (entre parenthèses) est toujours un nombre non négatif ! Et les signes sont résultat de la résolution de l'équation. Après tout, pour résoudre une équation, nous devons écrire Tous Xs qui, une fois remplacés dans l’équation d’origine, donneront le résultat correct. La racine de cinq (positive !) avec à la fois un plus et un moins correspond à notre équation.

Comme ça. Si tu prends juste la racine carrée de n'importe quoi, tu Toujours vous obtenez un non négatif résultat. Par exemple:

Parce qu'il - racine carrée arithmétique.

Mais si vous résolvez une équation quadratique, comme :

Que Toujours il s'avère deux réponse (avec plus et moins) :

Parce que c'est la solution de l'équation.

Espoir, qu'est-ce que la racine carrée Vos arguments sont clairs. Reste maintenant à savoir ce qu'on peut faire avec les racines, quelles sont leurs propriétés. Et quels sont les points et les pièges... désolé, les pierres !)

Tout cela est dans les leçons suivantes.

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Félicitations : aujourd'hui, nous allons examiner les racines - l'un des sujets les plus époustouflants en 8e :)

Beaucoup de gens sont confus au sujet des racines, non pas parce qu'elles sont complexes (ce qui est si compliqué - quelques définitions et quelques propriétés supplémentaires), mais parce que dans la plupart des manuels scolaires, les racines sont définies à travers une telle jungle que seuls les auteurs des manuels eux-mêmes peuvent comprendre cet écrit. Et encore seulement avec une bouteille de bon whisky :)

Par conséquent, je vais maintenant donner la définition la plus correcte et la plus compétente d'une racine - la seule dont vous devez vraiment vous souvenir. Et puis j'expliquerai : pourquoi tout cela est nécessaire et comment l'appliquer dans la pratique.

Mais d’abord, rappelez-vous un point important que de nombreux compilateurs de manuels « oublient » pour une raison quelconque :

Les racines peuvent être de degré pair (notre $\sqrt(a)$ préféré, ainsi que toutes sortes de $\sqrt(a)$ et même $\sqrt(a)$) et impair (toutes sortes de $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Et la définition d’une racine de degré impair est quelque peu différente de celle d’un degré pair.

Probablement 95 % de toutes les erreurs et malentendus associés aux racines sont cachés dans ce putain de « quelque peu différent ». Alors clarifions la terminologie une fois pour toutes :

Définition. Même racine n du nombre $a$ est n'importe lequel non négatif le nombre $b$ est tel que $((b)^(n))=a$. Et la racine impaire d'un même nombre $a$ est généralement n'importe quel nombre $b$ pour lequel la même égalité est vraie : $((b)^(n))=a$.

Dans tous les cas, la racine est notée ainsi :

\(un)\]

Le nombre $n$ dans une telle notation est appelé l'exposant racine, et le nombre $a$ est appelé l'expression radicale. En particulier, pour $n=2$ nous obtenons notre racine carrée « préférée » (d'ailleurs, c'est une racine de degré pair), et pour $n=3$ nous obtenons une racine cubique (degré impair), qui est on le retrouve également souvent dans les problèmes et les équations.

Exemples. Exemples classiques de racines carrées :

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fin(aligner)\]

À propos, $\sqrt(0)=0$ et $\sqrt(1)=1$. C'est assez logique, puisque $((0)^(2))=0$ et $((1)^(2))=1$.

Les racines cubiques sont également courantes - il n'y a pas lieu d'en avoir peur :

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fin(aligner)\]

Eh bien, quelques « exemples exotiques » :

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fin(aligner)\]

Si vous ne comprenez pas quelle est la différence entre un degré pair et un degré impair, relisez la définition. Il est très important!

En attendant, nous examinerons une caractéristique désagréable des racines, à cause de laquelle nous avons dû introduire une définition distincte pour les exposants pairs et impairs.

Pourquoi les racines sont-elles nécessaires ?

Après avoir lu la définition, de nombreux élèves se demanderont : « Que fumaient les mathématiciens lorsqu’ils ont proposé cela ? » Et vraiment : pourquoi toutes ces racines sont-elles nécessaires ?

Pour répondre à cette question, revenons un instant à l’école primaire. Rappelez-vous : à cette époque lointaine, où les arbres étaient plus verts et les raviolis plus savoureux, notre principale préoccupation était de multiplier correctement les nombres. Eh bien, quelque chose comme « cinq sur cinq - vingt-cinq », c'est tout. Mais vous pouvez multiplier les nombres non pas par paires, mais par triplets, quadruples et généralement par ensembles entiers :

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125 ; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cependant, ce n’est pas le sujet. L'astuce est différente : les mathématiciens sont des gens paresseux, ils ont donc eu du mal à écrire la multiplication de dix par cinq comme ceci :

C'est pourquoi ils ont inventé les diplômes. Pourquoi ne pas écrire le nombre de facteurs en exposant au lieu d’une longue chaîne ? Quelque chose comme ça:

C'est très pratique ! Tous les calculs sont considérablement réduits et vous n’avez pas besoin de gaspiller un tas de feuilles de parchemin et de cahiers pour écrire quelque 5 183. Ce disque s'appelait la puissance d'un nombre ; on y trouvait un tas de propriétés, mais le bonheur s'est avéré de courte durée.

Après une grande beuverie organisée juste pour la « découverte » des degrés, un mathématicien particulièrement têtu a soudainement demandé : « Et si nous connaissions le degré d'un nombre, mais que le nombre lui-même est inconnu ? Maintenant, en effet, si nous savons qu'un certain nombre $b$, disons, à la puissance 5 donne 243, alors comment pouvons-nous deviner à quoi le nombre $b$ lui-même est égal ?

Ce problème s’est avéré bien plus global qu’il n’y paraît à première vue. Parce qu'il s'est avéré que pour la plupart des puissances « toutes faites », il n'existe pas de chiffres « initiaux ». Jugez par vous-même :

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \fin(aligner)\]

Et si $((b)^(3))=50$ ? Il s'avère que nous devons trouver un certain nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, nous donnera 50. Mais quel est ce nombre ? Il est nettement supérieur à 3, puisque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. C'est ce nombre se situe entre trois et quatre, mais vous ne comprendrez pas à quoi il est égal.

C'est précisément pourquoi les mathématiciens ont proposé des $n$ièmes racines. C'est précisément pourquoi le symbole radical $\sqrt(*)$ a été introduit. Pour désigner le nombre même $b$, qui au degré indiqué nous donnera une valeur préalablement connue

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Je ne discute pas : ces racines sont souvent faciles à calculer - nous avons vu plusieurs exemples de ce type ci-dessus. Mais néanmoins, dans la plupart des cas, si vous pensez à un nombre arbitraire et que vous essayez ensuite d’en extraire la racine d’un degré arbitraire, vous vous retrouverez dans une terrible déception.

Qu'est-ce qu'il y a ! Même le $\sqrt(2)$ le plus simple et le plus familier ne peut pas être représenté sous notre forme habituelle - sous forme d'entier ou de fraction. Et si vous entrez ce nombre dans une calculatrice, vous verrez ceci :

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Comme vous pouvez le constater, après la virgule décimale se trouve une suite infinie de nombres qui n’obéissent à aucune logique. Vous pouvez bien entendu arrondir ce nombre pour comparer rapidement avec d’autres nombres. Par exemple:

\[\sqrt(2)=1,4142...\environ 1,4 \lt 1,5\]

Ou voici un autre exemple :

\[\sqrt(3)=1.73205...\environ 1.7 \gt 1.5\]

Mais tous ces arrondis, premièrement, sont assez grossiers ; et deuxièmement, vous devez également être capable de travailler avec des valeurs approximatives, sinon vous pouvez détecter un tas d'erreurs non évidentes (en passant, la compétence de comparaison et d'arrondi est requise pour être testée sur le profil Examen d'État unifié).

Par conséquent, en mathématiques sérieuses, vous ne pouvez pas vous passer de racines - ce sont les mêmes représentants égaux de l'ensemble de tous les nombres réels $\mathbb(R)$, tout comme les fractions et les entiers qui nous sont familiers depuis longtemps.

L'incapacité de représenter une racine sous la forme $\frac(p)(q)$ signifie que cette racine n'est pas un nombre rationnel. De tels nombres sont appelés irrationnels et ne peuvent être représentés avec précision qu'à l'aide d'un radical ou d'autres constructions spécialement conçues à cet effet (logarithmes, puissances, limites, etc.). Mais nous en reparlerons une autre fois.

Considérons plusieurs exemples où, après tous les calculs, des nombres irrationnels resteront toujours dans la réponse.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\environ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\environ -1.2599... \\ \end(align)\]

Naturellement, d’après l’apparence de la racine, il est presque impossible de deviner quels nombres viendront après la virgule décimale. Cependant, vous pouvez compter sur une calculatrice, mais même la calculatrice de date la plus avancée ne nous donne que les premiers chiffres d'un nombre irrationnel. Par conséquent, il est beaucoup plus correct d'écrire les réponses sous la forme $\sqrt(5)$ et $\sqrt(-2)$.

C'est exactement pourquoi ils ont été inventés. Pour enregistrer facilement les réponses.

Pourquoi deux définitions sont-elles nécessaires ?

Le lecteur attentif aura probablement déjà remarqué que toutes les racines carrées données dans les exemples sont tirées de nombres positifs. Eh bien, au moins à partir de zéro. Mais les racines cubiques peuvent être facilement extraites d'absolument n'importe quel nombre, qu'il soit positif ou négatif.

Pourquoi cela arrive-t-il? Jetez un œil au graphique de la fonction $y=((x)^(2))$ :

Essayons de calculer $\sqrt(4)$ en utilisant ce graphique. Pour ce faire, une ligne horizontale $y=4$ est tracée sur le graphique (marquée en rouge), qui coupe la parabole en deux points : $((x)_(1))=2$ et $((x )_(2)) =-2$. C'est tout à fait logique, puisque

Tout est clair avec le premier nombre - il est positif, c'est donc la racine :

Mais alors que faire du deuxième point ? Comme si quatre avait deux racines à la fois ? Après tout, si nous mettons au carré le nombre −2, nous obtenons également 4. Pourquoi ne pas écrire $\sqrt(4)=-2$ alors ? Et pourquoi les professeurs regardent-ils de tels messages comme s'ils voulaient vous manger :)

Le problème est que si vous n'imposez aucune condition supplémentaire, le quad aura alors deux racines carrées - positive et négative. Et tout nombre positif en aura également deux. Mais les nombres négatifs n'auront aucune racine - cela peut être vu sur le même graphique, puisque la parabole ne tombe jamais en dessous de l'axe. oui, c'est à dire. n'accepte pas les valeurs négatives.

Un problème similaire se produit pour toutes les racines avec un exposant pair :

1. À proprement parler, chaque nombre positif aura deux racines d'exposant pair $n$ ;
2. À partir de nombres négatifs, la racine avec même $n$ n'est pas du tout extraite.

C'est pourquoi dans la définition d'une racine de degré pair $n$ il est spécifiquement stipulé que la réponse doit être un nombre non négatif. C’est ainsi que nous nous débarrassons de l’ambiguïté.

Mais pour des $n$ impairs, ce problème n’existe pas. Pour voir cela, regardons le graphique de la fonction $y=((x)^(3))$ :

Deux conclusions peuvent être tirées de ce graphique :

1. Les branches d'une parabole cubique, contrairement à une parabole ordinaire, vont vers l'infini dans les deux sens - vers le haut et vers le bas. Par conséquent, quelle que soit la hauteur à laquelle nous traçons une ligne horizontale, cette ligne croisera certainement notre graphique. Par conséquent, la racine cubique peut toujours être extraite d’absolument n’importe quel nombre ;
2. De plus, une telle intersection sera toujours unique, vous n'avez donc pas besoin de réfléchir à quel nombre est considéré comme la racine « correcte » et lequel ignorer. C’est pourquoi il est plus simple de déterminer les racines d’un degré impair que d’un degré pair (il n’y a aucune exigence de non-négativité).

C'est dommage que ces choses simples ne soient pas expliquées dans la plupart des manuels. Au lieu de cela, notre cerveau commence à s’envoler avec toutes sortes de racines arithmétiques et leurs propriétés.

Oui, je ne discute pas : il faut aussi savoir ce qu'est une racine arithmétique. Et j'en parlerai en détail dans une leçon séparée. Aujourd'hui, nous en parlerons également, car sans cela, toutes les réflexions sur les racines de la $n$-ème multiplicité seraient incomplètes.

Mais vous devez d’abord bien comprendre la définition que j’ai donnée ci-dessus. Sinon, en raison de l'abondance des termes, un tel désordre commencera dans votre tête qu'à la fin vous ne comprendrez rien du tout.

Tout ce que vous avez à faire est de comprendre la différence entre les indicateurs pairs et impairs. Par conséquent, rassemblons une fois de plus tout ce que vous devez vraiment savoir sur les racines :

1. Une racine de degré pair n’existe qu’à partir d’un nombre non négatif et est elle-même toujours un nombre non négatif. Pour les nombres négatifs, une telle racine n’est pas définie.
2. Mais la racine d'un degré impair existe à partir de n'importe quel nombre et peut elle-même être n'importe quel nombre : pour les nombres positifs, elle est positive, et pour les nombres négatifs, comme le laisse entendre le plafond, elle est négative.

C'est difficile? Non, ce n'est pas difficile. Il est clair? Oui, c'est complètement évident ! Alors maintenant, nous allons nous entraîner un peu avec les calculs.

Propriétés de base et limitations

Les racines ont de nombreuses propriétés et limitations étranges - cela sera abordé dans une leçon séparée. Par conséquent, nous ne considérerons maintenant que le « truc » le plus important, qui s’applique uniquement aux racines avec un indice pair. Écrivons cette propriété sous forme de formule :

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\gauche| x\droite|\]

En d’autres termes, si nous élevons un nombre à une puissance paire puis extrayons la racine de cette même puissance, nous n’obtiendrons pas le nombre d’origine, mais son module. Il s'agit d'un théorème simple qui peut être facilement prouvé (il suffit de considérer les $x$ non négatifs séparément, puis les négatifs séparément). Les professeurs en parlent constamment, cela est donné dans tous les manuels scolaires. Mais dès qu’il s’agit de résoudre des équations irrationnelles (c’est-à-dire des équations contenant un signe radical), les étudiants oublient unanimement cette formule.

Pour comprendre le problème en détail, oublions toutes les formules pendant une minute et essayons de calculer directement deux nombres :

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ce sont des exemples très simples. La plupart des gens résoudront le premier exemple, mais beaucoup resteront bloqués sur le second. Pour résoudre ce genre de conneries sans problème, considérez toujours la procédure :

1. Premièrement, le nombre est élevé à la puissance quatrième. Eh bien, c'est plutôt facile. Vous obtiendrez un nouveau nombre que l'on peut trouver même dans la table de multiplication ;
2. Et maintenant de ce nouveau nombre il faut extraire la quatrième racine. Ceux. aucune « réduction » des racines et des puissances ne se produit – ce sont des actions séquentielles.

Regardons la première expression : $\sqrt(((3)^(4)))$. Évidemment, vous devez d'abord calculer l'expression sous la racine :

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Puis on extrait la quatrième racine du nombre 81 :

Faisons maintenant de même avec la deuxième expression. Tout d’abord, on élève le nombre −3 à la puissance quatrième, ce qui nécessite de le multiplier par lui-même 4 fois :

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ gauche(-3 \droite)=81\]

Nous avons obtenu un nombre positif, puisque le nombre total de moins dans le produit est de 4, et ils s'annuleront tous (après tout, un moins pour un moins donne un plus). Ensuite, nous extrayons à nouveau la racine :

En principe, cette ligne n’aurait pas pu être écrite, car il va de soi que la réponse serait la même. Ceux. une racine paire de même puissance paire « brûle » les moins, et en ce sens le résultat ne se distingue pas d'un module ordinaire :

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \droite|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \fin(aligner)\]

Ces calculs sont en bon accord avec la définition d'une racine de degré pair : le résultat est toujours non négatif, et le signe radical contient également toujours un nombre non négatif. Sinon, la racine n'est pas définie.

Remarque sur la procédure

1. La notation $\sqrt(((a)^(2)))$ signifie que nous mettons d'abord au carré le nombre $a$, puis prenons la racine carrée de la valeur résultante. Par conséquent, nous pouvons être sûrs qu'il y a toujours un nombre non négatif sous le signe racine, puisque $((a)^(2))\ge 0$ dans tous les cas ;
2. Mais la notation $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, au contraire, signifie que nous prenons d'abord la racine d'un certain nombre $a$ et ensuite seulement mettons le résultat au carré. Par conséquent, le nombre $a$ ne peut en aucun cas être négatif - il s'agit d'une exigence obligatoire incluse dans la définition.

Ainsi, il ne faut en aucun cas réduire inconsidérément les racines et les degrés, prétendument « simplifiant » l’expression originale. Parce que si la racine a un nombre négatif et que son exposant est pair, nous avons beaucoup de problèmes.

Cependant, tous ces problèmes ne concernent que les indicateurs.

Supprimer le signe moins sous le signe racine

Naturellement, les racines avec des exposants impairs ont aussi leur propre caractéristique, qui en principe n'existe pas avec les exposants pairs. À savoir:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Bref, vous pouvez supprimer le moins sous le signe des racines de degré impair. C'est une propriété très utile qui permet de « jeter » tous les inconvénients :

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fin(aligner)\]

Cette propriété simple simplifie grandement de nombreux calculs. Maintenant, vous n'avez plus à vous inquiéter : et si une expression négative était cachée sous la racine, mais que le degré à la racine s'avérait pair ? Il suffit simplement de « jeter » tous les inconvénients en dehors des racines, après quoi ils peuvent se multiplier les uns par les autres, se diviser et, en général, faire beaucoup de choses suspectes qui, dans le cas des racines « classiques », sont garanties de nous conduire à une erreur.

Et ici entre en scène une autre définition - la même avec laquelle dans la plupart des écoles on commence l'étude des expressions irrationnelles. Et sans quoi nos discussions seraient incomplètes. Rencontrer!

Racine arithmétique

Supposons un instant que sous le signe racine il ne puisse y avoir que des nombres positifs ou, dans les cas extrêmes, zéro. Oublions les indicateurs pairs/impairs, oublions toutes les définitions données ci-dessus - nous travaillerons uniquement avec des nombres non négatifs. Et alors ?

Et puis nous obtiendrons une racine arithmétique - elle chevauche partiellement nos définitions « standard », mais en diffère toujours.

Définition. Une racine arithmétique du $n$ième degré d'un nombre non négatif $a$ est un nombre non négatif $b$ tel que $((b)^(n))=a$.

Comme on le voit, la parité ne nous intéresse plus. Au lieu de cela, une nouvelle restriction est apparue : l'expression radicale est désormais toujours non négative, et la racine elle-même est également non négative.

Pour mieux comprendre en quoi la racine arithmétique diffère de la racine habituelle, jetez un œil aux graphiques de la parabole carrée et cubique que nous connaissons déjà :

Comme vous pouvez le voir, nous ne nous intéressons désormais qu'aux morceaux de graphiques situés dans le premier quartier de coordonnées - où les coordonnées $x$ et $y$ sont positives (ou au moins nulles). Il n'est plus nécessaire de regarder l'indicateur pour comprendre si on a le droit de mettre ou non un nombre négatif sous la racine. Car les nombres négatifs ne sont en principe plus pris en compte.

Vous vous demanderez peut-être : « Eh bien, pourquoi avons-nous besoin d’une définition aussi stérilisée ? » Ou : « Pourquoi ne pouvons-nous pas nous contenter de la définition standard donnée ci-dessus ? »

Eh bien, je ne donnerai qu'une seule propriété en raison de laquelle la nouvelle définition devient appropriée. Par exemple, la règle d'exponentiation :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Attention : nous pouvons élever l'expression radicale à n'importe quelle puissance et en même temps multiplier l'exposant racine par la même puissance - et le résultat sera le même nombre ! Voici des exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Alors, quel est le problème ? Pourquoi ne pouvions-nous pas faire ça avant ? Voici pourquoi. Considérons une expression simple : $\sqrt(-2)$ - ce nombre est tout à fait normal dans notre compréhension classique, mais absolument inacceptable du point de vue de la racine arithmétique. Essayons de le convertir :

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, nous avons supprimé le moins sous le radical (nous avons tout à fait raison, puisque l'exposant est impair), et dans le second cas, nous avons utilisé la formule ci-dessus. Ceux. D'un point de vue mathématique, tout se fait selon les règles.

WTF ?! Comment un même nombre peut-il être à la fois positif et négatif ? Certainement pas. C’est juste que la formule d’exponentiation, qui fonctionne très bien pour les nombres positifs et zéro, commence à produire une hérésie complète dans le cas des nombres négatifs.

C’est pour lever cette ambiguïté que les racines arithmétiques ont été inventées. Une grande leçon distincte leur est consacrée, où nous examinons toutes leurs propriétés en détail. Nous ne nous y attarderons donc pas maintenant - la leçon s'est déjà avérée trop longue.

Racine algébrique : pour ceux qui veulent en savoir plus

J'ai longtemps réfléchi à l'opportunité de mettre ce sujet dans un paragraphe séparé ou non. Finalement, j'ai décidé de le laisser ici. Ce matériel est destiné à ceux qui veulent encore mieux comprendre les racines - non plus au niveau « scolaire » moyen, mais à un niveau proche du niveau Olympiade.

Ainsi : en plus de la définition « classique » de la $n$ième racine d'un nombre et de la division associée en exposants pairs et impairs, il existe une définition plus « adulte » qui ne dépend pas du tout de la parité et d'autres subtilités. C'est ce qu'on appelle une racine algébrique.

Définition. La $n$ième racine algébrique de tout $a$ est l'ensemble de tous les nombres $b$ tels que $((b)^(n))=a$. Il n’existe pas de désignation établie pour de telles racines, nous allons donc simplement mettre un tiret en haut :

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La différence fondamentale par rapport à la définition standard donnée au début de la leçon est qu'une racine algébrique n'est pas un nombre spécifique, mais un ensemble. Et comme nous travaillons avec des nombres réels, cet ensemble se décline en seulement trois types :

1. Ensemble vide. Se produit lorsque vous devez trouver une racine algébrique d'un degré pair à partir d'un nombre négatif ;
2. Un ensemble composé d'un seul élément. Toutes les racines de puissances impaires, ainsi que les racines de puissances paires de zéro, entrent dans cette catégorie ;
3. Enfin, l'ensemble peut inclure deux nombres - les mêmes $((x)_(1))$ et $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que nous avons vus sur le fonction quadratique graphique. En conséquence, un tel arrangement n'est possible que lors de l'extraction de la racine d'un degré pair à partir d'un nombre positif.

Ce dernier cas mérite un examen plus détaillé. Comptons quelques exemples pour comprendre la différence.

Exemple. Évaluez les expressions :

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solution. Avec la première expression, tout est simple :

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ce sont deux numéros qui font partie de l'ensemble. Parce que chacun d’eux au carré donne un quatre.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Ici, nous voyons un ensemble composé d’un seul nombre. C’est tout à fait logique puisque l’exposant racine est impair.

Enfin, la dernière expression :

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Nous avons reçu un ensemble vide. Parce qu’il n’existe pas un seul nombre réel qui, élevé à la puissance quatrième (c’est-à-dire paire !), nous donnera le nombre négatif −16.

Remarque finale. Attention : ce n’est pas un hasard si j’ai constaté partout que nous travaillons avec des chiffres réels. Parce qu'il existe aussi des nombres complexes - il est tout à fait possible d'y calculer $\sqrt(-16)$, et bien d'autres choses étranges.

Cependant, les nombres complexes n’apparaissent presque jamais dans les cours de mathématiques des écoles modernes. Ils ont été supprimés de la plupart des manuels scolaires parce que nos responsables considèrent le sujet comme « trop difficile à comprendre ».