Nous rencontrons des fractions dans la vie bien avant de commencer à les étudier à l’école. Si nous coupons une pomme entière en deux, nous obtenons la moitié du fruit. Coupons-le à nouveau - ce sera ¼. Ce sont des fractions. Et tout semblait simple. Pour un adulte. Pour un enfant (et ce sujet commence à être étudié à la fin de l'école primaire), les concepts mathématiques abstraits sont encore terriblement incompréhensibles, et l'enseignant doit expliquer clairement ce qu'est une fraction propre et impropre, commune et décimale, quelles opérations peuvent être effectuées. avec eux et, surtout, pourquoi tout cela est nécessaire.
Que sont les fractions ?
L'introduction d'un nouveau sujet à l'école commence par des fractions ordinaires. Ils sont facilement reconnaissables grâce à la ligne horizontale séparant les deux chiffres – au-dessus et en dessous. Celui du haut s’appelle le numérateur, celui du bas est le dénominateur. Il existe également une option minuscule pour écrire des fractions ordinaires impropres et appropriées - via une barre oblique, par exemple : ½, 4/9, 384/183. Cette option est utilisée lorsque la hauteur de la ligne est limitée et qu'il n'est pas possible d'utiliser un formulaire d'inscription « à deux étages ». Pourquoi? Oui, parce que c'est plus pratique. Nous verrons cela un peu plus tard.
En plus des fractions ordinaires, il existe également des fractions décimales. Il est très simple de les distinguer : si dans un cas une horizontale ou une barre oblique est utilisée, alors dans l'autre une virgule est utilisée pour séparer les séquences de nombres. Regardons un exemple : 2.9 ; 163,34 ; 1.953. Nous avons intentionnellement utilisé un point-virgule comme séparateur pour délimiter les nombres. Le premier d’entre eux se lira ainsi : « deux virgule neuf ».
De nouveaux concepts
Revenons aux fractions ordinaires. Ils sont de deux types.
La définition d'une fraction propre est la suivante : c'est une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur. Pourquoi est-ce important ? Nous verrons maintenant !
Vous avez plusieurs pommes coupées en deux. Total - 5 parties. Comment diriez-vous : avez-vous des pommes « deux et demie » ou « cinq et demie » ? Bien sûr, la première option semble plus naturelle et nous l'utiliserons lorsque nous parlerons avec des amis. Mais si nous devons calculer combien de fruits chaque personne recevra, s'il y a cinq personnes dans l'entreprise, nous écrirons le nombre 5/2 et le diviserons par 5 - d'un point de vue mathématique, ce sera plus clair. .
Ainsi, pour nommer des fractions propres et impropres, la règle est la suivante : si une partie entière peut être distinguée dans une fraction (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), alors elle est irrégulière. Si cela ne peut pas être fait, comme dans le cas de ½, 13/16, 9/10, ce sera correct.
La propriété principale d'une fraction
Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont simultanément multipliés ou divisés par le même nombre, sa valeur ne change pas. Imaginez : ils coupent le gâteau en 4 parts égales et vous en donnent une. Ils ont coupé le même gâteau en huit morceaux et vous en ont donné deux. Est-ce vraiment important ? Après tout, ¼ et 2/8, c’est la même chose !
Réduction
Les auteurs de problèmes et d’exemples dans les manuels de mathématiques cherchent souvent à semer la confusion chez les élèves en proposant des fractions difficiles à écrire mais qui peuvent en réalité être abrégées. Voici un exemple de fraction propre : 167/334, qui, semble-t-il, semble très « effrayante ». Mais nous pouvons en fait l’écrire sous la forme ½. Le nombre 334 est divisible par 167 sans reste - après avoir effectué cette opération, nous obtenons 2.
Numéros mixtes
Une fraction impropre peut être représentée par un nombre fractionnaire. C'est alors que toute la partie est avancée et écrite au niveau de la ligne horizontale. En fait, l'expression prend la forme d'une somme : 11/2 = 5 + ½ ; 13/6 = 2 + 1/6 et ainsi de suite.
Pour retirer la partie entière, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le reste de la division en haut, au-dessus de la ligne, et la partie entière - avant l'expression. Ainsi, nous obtenons deux parties structurelles : unités entières + fraction propre.
Vous pouvez également effectuer l'opération inverse - pour ce faire, vous devez multiplier la partie entière par le dénominateur et ajouter la valeur résultante au numérateur. Rien de compliqué.
Multiplication et division
Curieusement, multiplier des fractions est plus facile que les additionner. Il suffit de prolonger la ligne horizontale : (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Avec la division, tout est aussi simple : il faut multiplier les fractions transversalement : (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Ajouter des fractions
Que faire si vous devez effectuer une addition ou s'ils ont des nombres différents au dénominateur ? Cela ne fonctionnera pas de faire la même chose qu'avec la multiplication - ici, vous devez comprendre la définition d'une fraction propre et son essence. Il est nécessaire de ramener les termes à un dénominateur commun, c'est-à-dire que la partie inférieure des deux fractions doit avoir les mêmes nombres.
Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété de base d’une fraction : multiplier les deux parties par le même nombre. Par exemple, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Comment choisir à quel dénominateur réduire les termes ? Ce doit être le nombre minimum qui est un multiple des deux nombres dans les dénominateurs des fractions : pour 1/3 et 1/9 ce sera 9 ; pour ½ et 1/7 - 14, car il n'y a pas de valeur plus petite divisible par 2 et 7 sans reste.
Usage
A quoi servent les fractions impropres ? Après tout, il est beaucoup plus pratique de sélectionner immédiatement la pièce entière, d'obtenir un numéro mixte - et d'en finir avec ça ! Il s'avère que si vous devez multiplier ou diviser deux fractions, il est plus rentable d'en utiliser des fractions irrégulières.
Prenons l'exemple suivant : (2 + 3/17) / (37 / 68).
Il semblerait qu'il n'y ait rien à couper du tout. Mais que se passe-t-il si nous écrivons le résultat de l’addition entre les premières parenthèses sous la forme d’une fraction impropre ? Regardez : (37/17) / (37/68)
Maintenant, tout se met en place ! Écrivons l'exemple de telle manière que tout devienne évident : (37*68) / (17*37).
Annulons 37 au numérateur et au dénominateur et divisons enfin le haut et le bas par 17. Vous souvenez-vous de la règle de base pour les fractions propres et impropres ? Nous pouvons les multiplier et les diviser par n’importe quel nombre à condition de le faire en même temps pour le numérateur et le dénominateur.
Nous obtenons donc la réponse : 4. L’exemple semblait compliqué, mais la réponse ne contient qu’un seul chiffre. Cela arrive souvent en mathématiques. L'essentiel est de ne pas avoir peur et de suivre des règles simples.
Erreurs courantes
Lors de la mise en œuvre, un étudiant peut facilement commettre l'une des erreurs courantes. Ils surviennent généralement en raison de l'inattention, et parfois du fait que le matériel étudié n'a pas encore été correctement stocké dans la tête.
Souvent, la somme des nombres dans le numérateur donne envie de réduire ses composantes individuelles. Disons dans l'exemple : (13 + 2) / 13, écrit sans parenthèses (avec un trait horizontal), de nombreux élèves, par inexpérience, rayent 13 en haut et en bas. Mais cela ne doit en aucun cas être fait, car c'est une grossière erreur ! Si au lieu de l'addition il y avait un signe de multiplication, nous obtiendrions le chiffre 2 dans la réponse. Mais lors de l'addition, aucune opération avec l'un des termes n'est autorisée, uniquement avec la somme entière.
Les gars font aussi souvent des erreurs lorsqu’ils divisent des fractions. Prenons deux fractions irréductibles propres et divisons l'une par l'autre : (5/6) / (25/33). L'élève peut les mélanger et écrire l'expression résultante sous la forme (5*25) / (6*33). Mais cela se produirait avec la multiplication, mais dans notre cas tout sera quelque peu différent : (5*33) / (6*25). On réduit ce qui est possible, et la réponse sera 11/10. Nous écrivons la fraction impropre résultante sous forme décimale - 1,1.
Parenthèses
N'oubliez pas que dans toute expression mathématique, l'ordre des opérations est déterminé par la préséance des signes d'opération et la présence de parenthèses. Toutes choses égales par ailleurs, l'ordre des actions est compté de gauche à droite. Cela est également vrai pour les fractions - l'expression au numérateur ou au dénominateur est calculée strictement selon cette règle.
Après tout, c’est le résultat de la division d’un nombre par un autre. S'ils ne sont pas divisés également, cela devient une fraction, c'est tout.
Comment écrire une fraction sur un ordinateur
Les outils standards ne permettant pas toujours de créer une fraction composée de deux « niveaux », les étudiants ont parfois recours à diverses astuces. Par exemple, ils copient les numérateurs et les dénominateurs dans l'éditeur graphique Paint et les collent ensemble, en traçant une ligne horizontale entre eux. Bien sûr, il existe une option plus simple, qui offre d'ailleurs de nombreuses fonctionnalités supplémentaires qui vous seront utiles à l'avenir.
Ouvrez Microsoft Word. L'un des panneaux en haut de l'écran s'appelle « Insérer » - cliquez dessus. Sur la droite, du côté où se trouvent les icônes de fermeture et de réduction de la fenêtre, se trouve un bouton « Formule ». C'est exactement ce dont nous avons besoin !
Si vous utilisez cette fonction, une zone rectangulaire apparaîtra sur l'écran dans laquelle vous pourrez utiliser tous les signes mathématiques qui ne sont pas sur le clavier, ainsi qu'écrire des fractions sous la forme classique. C'est-à-dire diviser le numérateur et le dénominateur par une ligne horizontale. Vous pourriez même être surpris qu’une fraction aussi appropriée soit si facile à écrire.
Apprendre les mathématiques
Si vous êtes en 5e et 6e années, des connaissances en mathématiques (y compris la capacité de travailler avec des fractions !) seront bientôt requises dans de nombreuses matières scolaires. Dans presque tous les problèmes de physique, lors de la mesure de la masse de substances en chimie, en géométrie et en trigonométrie, on ne peut pas se passer des fractions. Bientôt, vous apprendrez à tout calculer dans votre tête, sans même écrire les expressions sur papier, mais des exemples de plus en plus complexes apparaîtront. Alors apprenez ce qu'est une fraction appropriée et comment l'utiliser, suivez votre programme, faites vos devoirs à temps et vous réussirez.
Le mot « fractions » donne la chair de poule à beaucoup de gens. Parce que je me souviens de l'école et des tâches résolues en mathématiques. C'était un devoir qui devait être rempli. Et si vous traitiez les problèmes impliquant des fractions propres et impropres comme un puzzle ? Après tout, de nombreux adultes résolvent des mots croisés numériques et japonais. Nous avons compris les règles, et c'est tout. C'est la même chose ici. Il suffit de se plonger dans la théorie - et tout se mettra en place. Et les exemples deviendront un moyen d’entraîner votre cerveau.
Quels types de fractions existe-t-il ?
Commençons par ce que c'est. Une fraction est un nombre qui contient une partie de un. Il peut être écrit sous deux formes. Le premier est dit ordinaire. C'est-à-dire celui qui a une ligne horizontale ou inclinée. C'est l'équivalent du signe de division.
Dans cette notation, le nombre au-dessus de la ligne est appelé numérateur et le nombre en dessous est appelé dénominateur.
Parmi les fractions ordinaires, on distingue les fractions propres et impropres. Pour le premier, la valeur absolue du numérateur est toujours inférieure au dénominateur. Les mauvais sont appelés ainsi parce qu’ils ont tout à l’envers. La valeur d'une fraction propre est toujours inférieure à un. Alors que l'incorrect est toujours supérieur à ce nombre.
Il existe également des nombres mixtes, c'est-à-dire ceux qui ont une partie entière et une partie fractionnaire.
Le deuxième type de notation est une fraction décimale. Il y a une conversation séparée à son sujet.
En quoi les fractions impropres sont-elles différentes des nombres fractionnaires ?
En substance, rien. Ce ne sont que des enregistrements différents du même numéro. Les fractions impropres deviennent facilement des nombres fractionnaires après des étapes simples. Et vice versa.
Tout dépend de la situation spécifique. Parfois, il est plus pratique d’utiliser une fraction impropre dans les tâches. Et parfois, il est nécessaire de le convertir en nombre fractionnaire et l'exemple sera alors résolu très facilement. Par conséquent, quoi utiliser : les fractions impropres, les nombres fractionnaires, dépendent des capacités d'observation de la personne qui résout le problème.
Le nombre fractionnaire est également comparé à la somme de la partie entière et de la partie fractionnaire. De plus, le second est toujours inférieur à un.
Comment représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre ?
Si vous devez effectuer une action avec plusieurs nombres écrits sous des formes différentes, vous devez les rendre identiques. Une méthode consiste à représenter les nombres sous forme de fractions impropres.
Pour cela, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier le dénominateur par la partie entière ;
- ajoutez la valeur du numérateur au résultat ;
- écrivez la réponse au-dessus de la ligne ;
- laissez le dénominateur le même.
Voici des exemples sur la façon d’écrire des fractions impropres à partir de nombres fractionnaires :
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Comment écrire une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire ?
La technique suivante est à l’opposé de celle évoquée ci-dessus. C'est-à-dire lorsque tous les nombres fractionnaires sont remplacés par des fractions impropres. L'algorithme des actions sera le suivant :
- divisez le numérateur par le dénominateur pour obtenir le reste ;
- écrivez le quotient à la place de la partie entière du mixte ;
- le reste doit être placé au-dessus de la ligne ;
- le diviseur sera le dénominateur.
Exemples d'une telle transformation :
76/14 ; 76:14 = 5 avec reste 6 ; la réponse sera 5 entiers et 6/14 ; la partie fractionnaire dans cet exemple doit être réduite de 2, ce qui donne 3/7 ; la réponse finale est 5 points 3/7.
108/54 ; après division, le quotient de 2 est obtenu sans reste ; cela signifie que toutes les fractions impropres ne peuvent pas être représentées comme un nombre fractionnaire ; la réponse sera un entier - 2.
Comment transformer un nombre entier en fraction impropre ?
Il existe des situations où une telle action est nécessaire. Pour obtenir des fractions impropres avec un dénominateur connu, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier un entier par le dénominateur souhaité ;
- écrivez cette valeur au-dessus de la ligne ;
- placez le dénominateur en dessous.
L'option la plus simple est lorsque le dénominateur est égal à un. Vous n’avez alors pas besoin de multiplier quoi que ce soit. Il suffit d'écrire simplement l'entier donné dans l'exemple et d'en placer un sous la ligne.
Exemple: Faites de 5 une fraction impropre avec un dénominateur de 3. Multiplier 5 par 3 donne 15. Ce nombre sera le dénominateur. La réponse à la tâche est une fraction : 15/3.
Deux approches pour résoudre des problèmes avec des nombres différents
L'exemple nécessite de calculer la somme et la différence, ainsi que le produit et le quotient de deux nombres : 2 entiers 3/5 et 14/11.
Dans la première approche le nombre fractionnaire sera représenté comme une fraction impropre.
Après avoir effectué les étapes décrites ci-dessus, vous obtiendrez la valeur suivante : 13/5.
Pour connaître la somme, vous devez réduire les fractions au même dénominateur. 13/5 après multiplication par 11 devient 143/55. Et 14/11 après multiplication par 5 ressemblera à : 70/55. Pour calculer la somme, il suffit d'additionner les numérateurs : 143 et 70, puis d'écrire la réponse avec un dénominateur. 213/55 - cette fraction impropre est la réponse au problème.
Pour trouver la différence, les mêmes nombres sont soustraits : 143 - 70 = 73. La réponse sera une fraction : 73/55.
Lorsque vous multipliez 13/5 et 14/11, vous n'avez pas besoin de les réduire à un dénominateur commun. Il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs par paires. La réponse sera : 182/55.
Il en va de même pour la division. Pour résoudre correctement, vous devez remplacer la division par la multiplication et inverser le diviseur : 13/5 : 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Dans la deuxième approche une fraction impropre devient un nombre fractionnaire.
Après avoir effectué les actions de l'algorithme, 14/11 se transformera en un nombre fractionnaire avec une partie entière de 1 et une partie fractionnaire de 3/11.
Lors du calcul de la somme, vous devez additionner séparément les parties entières et fractionnaires. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. La réponse finale est 3 points 48/55. Dans la première approche, la fraction était de 213/55. Vous pouvez vérifier son exactitude en le convertissant en nombre mixte. Après avoir divisé 213 par 55, le quotient est 3 et le reste est 48. Il est facile de voir que la réponse est correcte.
Lors de la soustraction, le signe « + » est remplacé par « - ». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pour vérifier, la réponse de l'approche précédente doit être convertie en un nombre fractionnaire : 73 est divisé par 55 et le quotient est 1 et le reste est 18.
Pour trouver le produit et le quotient, il n'est pas pratique d'utiliser des nombres fractionnaires. Il est toujours recommandé de passer ici aux fractions impropres.
Les fractions courantes sont divisées en fractions \textit (appropriées) et \textit (impropres). Cette division est basée sur une comparaison du numérateur et du dénominateur.
Fractions appropriées
Fraction appropriée Une fraction ordinaire $\frac(m)(n)$ est appelée, dans laquelle le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est-à-dire millions de dollars
Exemple 1
Par exemple, les fractions $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sont correctes. , alors comment dans chacun d’eux le numérateur est inférieur au dénominateur, ce qui répond à la définition d’une fraction propre.
Il existe une définition d'une fraction propre, basée sur la comparaison de la fraction avec une.
correct, s'il est inférieur à un :
Exemple 2
Par exemple, la fraction commune $\frac(6)(13)$ est correcte car la condition $\frac(6)(13) est satisfaite
Fractions impropres
Fraction impropre Une fraction ordinaire $\frac(m)(n)$ est appelée, dans laquelle le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, c'est-à-dire $m\ge n$.
Exemple 3
Par exemple, les fractions $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sont irrégulières. , alors comment dans chacun d'eux le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, ce qui répond à la définition d'une fraction impropre.
Donnons une définition d'une fraction impropre, basée sur sa comparaison avec une.
La fraction commune $\frac(m)(n)$ est faux, s'il est égal ou supérieur à un :
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Exemple 4
Par exemple, la fraction commune $\frac(21)(4)$ est impropre car la condition $\frac(21)(4) >1$ est satisfaite ;
la fraction commune $\frac(8)(8)$ est impropre car la condition $\frac(8)(8)=1$ est satisfaite.
Examinons de plus près le concept de fraction impropre.
Prenons comme exemple la fraction impropre $\frac(7)(7)$. Le sens de cette fraction est de prendre sept parts d’un objet, qui est divisé en sept parts égales. Ainsi, à partir des sept parts disponibles, l'objet entier peut être composé. Ceux. la fraction impropre $\frac(7)(7)$ décrit l'objet entier et $\frac(7)(7)=1$. Ainsi, les fractions impropres, dans lesquelles le numérateur est égal au dénominateur, décrivent un objet entier et une telle fraction peut être remplacée par l'entier naturel $1$.
$\frac(5)(2)$ - il est bien évident qu'à partir de ces cinq secondes parties vous pouvez constituer des objets entiers de 2$ (un objet entier sera composé de parties de 2$$, et pour composer deux objets entiers dont vous avez besoin $2+2=4$ parts) et il reste une seconde part. C'est-à-dire que la fraction impropre $\frac(5)(2)$ décrit $2$ d'un objet et $\frac(1)(2)$ la part de cet objet.
$\frac(21)(7)$ - à partir de vingt et un septièmes de parties, vous pouvez créer des objets entiers à 3$ (objets à 3$ avec des parts de 7$ dans chacun). Ceux. la fraction $\frac(21)(7)$ décrit des objets entiers à 3$.
Des exemples considérés, on peut tirer la conclusion suivante : une fraction impropre peut être remplacée par un nombre naturel si le numérateur est complètement divisible par le dénominateur (par exemple, $\frac(7)(7)=1$ et $\ frac(21)(7)=3$) , ou la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre, si le numérateur n'est pas complètement divisible par le dénominateur (par exemple, $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). C'est pourquoi ces fractions sont appelées faux.
Définition 1
Le processus de représentation d'une fraction impropre comme la somme d'un nombre naturel et d'une fraction propre (par exemple, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) est appelé séparer la partie entière d'une fraction impropre.
Lorsque vous travaillez avec des fractions impropres, il existe un lien étroit entre elles et les nombres fractionnaires.
Une fraction impropre est souvent écrite sous la forme d'un nombre fractionnaire - un nombre composé d'une partie entière et d'une partie fractionnaire.
Pour écrire une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur avec un reste. Le quotient sera la partie entière du nombre fractionnaire, le reste sera le numérateur de la partie fractionnaire et le diviseur sera le dénominateur de la partie fractionnaire.
Exemple 5
Écrivez la fraction impropre $\frac(37)(12)$ sous forme de nombre fractionnaire.
Solution.
Divisez le numérateur par le dénominateur avec un reste :
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (reste\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Répondre.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Pour écrire un nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre, vous devez multiplier le dénominateur par la partie entière du nombre, ajouter le numérateur de la partie fractionnaire au produit résultant et écrire le montant obtenu dans le numérateur de la fraction. Le dénominateur de la fraction impropre sera égal au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire.
Exemple 6
Écrivez le nombre fractionnaire $5\frac(3)(7)$ comme fraction impropre.
Solution.
Répondre.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Addition de nombres fractionnaires et de fractions propres
Addition de nombres mixtes$a\frac(b)(c)$ et fraction propre$\frac(d)(e)$ s'effectue en ajoutant à une fraction donnée la partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire donné :
Exemple 7
Ajoutez la fraction appropriée $\frac(4)(15)$ et le nombre mixte $3\frac(2)(5)$.
Solution.
Utilisons la formule pour additionner un nombre fractionnaire et une fraction propre :
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ gauche(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
En divisant par le nombre \textit(5) on peut déterminer que la fraction $\frac(10)(15)$ est réductible. Effectuons la réduction et trouvons le résultat de l'addition :
Ainsi, le résultat de l'addition de la fraction appropriée $\frac(4)(15)$ et du nombre mixte $3\frac(2)(5)$ est $3\frac(2)(3)$.
Répondre:$3\frac(2)(3)$
Addition de nombres fractionnaires et de fractions impropres
Ajout de fractions impropres et de nombres fractionnaires se réduit à l'addition de deux nombres fractionnaires, pour laquelle il suffit d'isoler la partie entière de la fraction impropre.
Exemple 8
Calculez la somme du nombre fractionnaire $6\frac(2)(15)$ et de la fraction impropre $\frac(13)(5)$.
Solution.
Tout d'abord, extrayons la partie entière de la fraction impropre $\frac(13)(5)$ :
Répondre:$8\frac(11)(15)$.
Le mot « fractions » donne la chair de poule à beaucoup de gens. Parce que je me souviens de l'école et des tâches résolues en mathématiques. C'était un devoir qui devait être rempli. Et si vous traitiez les problèmes impliquant des fractions propres et impropres comme un puzzle ? Après tout, de nombreux adultes résolvent des mots croisés numériques et japonais. Nous avons compris les règles, et c'est tout. C'est la même chose ici. Il suffit de se plonger dans la théorie - et tout se mettra en place. Et les exemples deviendront un moyen d’entraîner votre cerveau.
Quels types de fractions existe-t-il ?
Commençons par ce que c'est. Une fraction est un nombre qui contient une partie de un. Il peut être écrit sous deux formes. Le premier est dit ordinaire. C'est-à-dire celui qui a une ligne horizontale ou inclinée. C'est l'équivalent du signe de division.
Dans cette notation, le nombre au-dessus de la ligne est appelé numérateur et le nombre en dessous est appelé dénominateur.
Parmi les fractions ordinaires, on distingue les fractions propres et impropres. Pour le premier, la valeur absolue du numérateur est toujours inférieure au dénominateur. Les mauvais sont appelés ainsi parce qu’ils ont tout à l’envers. La valeur d'une fraction propre est toujours inférieure à un. Alors que l'incorrect est toujours supérieur à ce nombre.
Il existe également des nombres mixtes, c'est-à-dire ceux qui ont une partie entière et une partie fractionnaire.
Le deuxième type de notation est une fraction décimale. Il y a une conversation séparée à son sujet.
En quoi les fractions impropres sont-elles différentes des nombres fractionnaires ?
En substance, rien. Ce ne sont que des enregistrements différents du même numéro. Les fractions impropres deviennent facilement des nombres fractionnaires après des étapes simples. Et vice versa.
Tout dépend de la situation spécifique. Parfois, il est plus pratique d’utiliser une fraction impropre dans les tâches. Et parfois, il est nécessaire de le convertir en nombre fractionnaire et l'exemple sera alors résolu très facilement. Par conséquent, quoi utiliser : les fractions impropres, les nombres fractionnaires, dépendent des capacités d'observation de la personne qui résout le problème.
Le nombre fractionnaire est également comparé à la somme de la partie entière et de la partie fractionnaire. De plus, le second est toujours inférieur à un.
Comment représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre ?
Si vous devez effectuer une action avec plusieurs nombres écrits sous des formes différentes, vous devez les rendre identiques. Une méthode consiste à représenter les nombres sous forme de fractions impropres.
Pour cela, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier le dénominateur par la partie entière ;
- ajoutez la valeur du numérateur au résultat ;
- écrivez la réponse au-dessus de la ligne ;
- laissez le dénominateur le même.
Voici des exemples sur la façon d’écrire des fractions impropres à partir de nombres fractionnaires :
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Comment écrire une fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire ?
La technique suivante est à l’opposé de celle évoquée ci-dessus. C'est-à-dire lorsque tous les nombres fractionnaires sont remplacés par des fractions impropres. L'algorithme des actions sera le suivant :
- divisez le numérateur par le dénominateur pour obtenir le reste ;
- écrivez le quotient à la place de la partie entière du mixte ;
- le reste doit être placé au-dessus de la ligne ;
- le diviseur sera le dénominateur.
Exemples d'une telle transformation :
76/14 ; 76:14 = 5 avec reste 6 ; la réponse sera 5 entiers et 6/14 ; la partie fractionnaire dans cet exemple doit être réduite de 2, ce qui donne 3/7 ; la réponse finale est 5 points 3/7.
108/54 ; après division, le quotient de 2 est obtenu sans reste ; cela signifie que toutes les fractions impropres ne peuvent pas être représentées comme un nombre fractionnaire ; la réponse sera un entier - 2.
Comment transformer un nombre entier en fraction impropre ?
Il existe des situations où une telle action est nécessaire. Pour obtenir des fractions impropres avec un dénominateur connu, vous devrez exécuter l'algorithme suivant :
- multiplier un entier par le dénominateur souhaité ;
- écrivez cette valeur au-dessus de la ligne ;
- placez le dénominateur en dessous.
L'option la plus simple est lorsque le dénominateur est égal à un. Vous n’avez alors pas besoin de multiplier quoi que ce soit. Il suffit d'écrire simplement l'entier donné dans l'exemple et d'en placer un sous la ligne.
Exemple: Faites de 5 une fraction impropre avec un dénominateur de 3. Multiplier 5 par 3 donne 15. Ce nombre sera le dénominateur. La réponse à la tâche est une fraction : 15/3.
Deux approches pour résoudre des problèmes avec des nombres différents
L'exemple nécessite de calculer la somme et la différence, ainsi que le produit et le quotient de deux nombres : 2 entiers 3/5 et 14/11.
Dans la première approche le nombre fractionnaire sera représenté comme une fraction impropre.
Après avoir effectué les étapes décrites ci-dessus, vous obtiendrez la valeur suivante : 13/5.
Pour connaître la somme, vous devez réduire les fractions au même dénominateur. 13/5 après multiplication par 11 devient 143/55. Et 14/11 après multiplication par 5 ressemblera à : 70/55. Pour calculer la somme, il suffit d'additionner les numérateurs : 143 et 70, puis d'écrire la réponse avec un dénominateur. 213/55 - cette fraction impropre est la réponse au problème.
Pour trouver la différence, les mêmes nombres sont soustraits : 143 - 70 = 73. La réponse sera une fraction : 73/55.
Lorsque vous multipliez 13/5 et 14/11, vous n'avez pas besoin de les réduire à un dénominateur commun. Il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs par paires. La réponse sera : 182/55.
Il en va de même pour la division. Pour résoudre correctement, vous devez remplacer la division par la multiplication et inverser le diviseur : 13/5 : 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Dans la deuxième approche une fraction impropre devient un nombre fractionnaire.
Après avoir effectué les actions de l'algorithme, 14/11 se transformera en un nombre fractionnaire avec une partie entière de 1 et une partie fractionnaire de 3/11.
Lors du calcul de la somme, vous devez additionner séparément les parties entières et fractionnaires. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. La réponse finale est 3 points 48/55. Dans la première approche, la fraction était de 213/55. Vous pouvez vérifier son exactitude en le convertissant en nombre mixte. Après avoir divisé 213 par 55, le quotient est 3 et le reste est 48. Il est facile de voir que la réponse est correcte.
Lors de la soustraction, le signe « + » est remplacé par « - ». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pour vérifier, la réponse de l'approche précédente doit être convertie en un nombre fractionnaire : 73 est divisé par 55 et le quotient est 1 et le reste est 18.
Pour trouver le produit et le quotient, il n'est pas pratique d'utiliser des nombres fractionnaires. Il est toujours recommandé de passer ici aux fractions impropres.
