Comment résoudre des exemples avec des signes différents. Comprendre l'addition d'entiers

>> Mathématiques : Addition de nombres avec des signes différents

33. Ajout de nombres avec des signes différents

Si la température de l'air était égale à 9 °C, puis qu'elle passait à - 6 °C (c'est-à-dire qu'elle diminuait de 6 °C), alors elle devenait égale à 9 + (- 6) degrés (Fig. 83).

Pour additionner les nombres 9 et - 6 à l'aide de , il faut déplacer le point A (9) vers la gauche de 6 segments unitaires (Fig. 84). On obtient le point B (3).

Cela signifie 9+(- 6) = 3. Le nombre 3 a le même signe que le terme 9, et son moduleégal à la différence entre les modules des termes 9 et -6.

En effet, |3| =3 et |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Si la même température de l'air de 9 °C changeait de -12 °C (c'est-à-dire diminuait de 12 °C), elle devenait alors égale à 9 + (-12) degrés (Fig. 85). En additionnant les nombres 9 et -12 à l'aide de la ligne de coordonnées (Fig. 86), nous obtenons 9 + (-12) = -3. Le nombre -3 a le même signe que le terme -12, et son module est égal à la différence entre les modules des termes -12 et 9.

En effet, | - 3| = 3 et | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Pour additionner deux nombres de signes différents, il faut :

1) soustraire le plus petit du plus grand module des termes ;

2) mettre devant le nombre obtenu le signe du terme dont le module est le plus grand.

Habituellement, le signe de la somme est d'abord déterminé et écrit, puis la différence de modules est trouvée.

Par exemple:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
ou plus court 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9 ;

Lorsque vous ajoutez des nombres positifs et négatifs, vous pouvez utiliser micro calculatrice. Pour saisir un nombre négatif dans une microcalculatrice, il faut saisir le module de ce nombre, puis appuyer sur la touche « changement de signe » |/-/|. Par exemple, pour saisir le nombre -56.81, vous devez appuyer séquentiellement sur les touches : | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Les opérations sur les nombres de n'importe quel signe sont effectuées sur une microcalculatrice de la même manière que sur les nombres positifs.

Par exemple, la somme -6,1 + 3,8 est calculée en utilisant programme

? Les nombres a et b ont des signes différents. Quel signe aura la somme de ces nombres si le plus grand module est négatif ?

si le plus petit module est négatif ?

si le plus grand module est un nombre positif ?

si le plus petit module est un nombre positif ?

Formulez une règle pour additionner des nombres avec des signes différents. Comment saisir un nombre négatif dans une microcalculatrice ?

À 1045. Le chiffre 6 a été remplacé par -10. De quel côté de l’origine se trouve le nombre obtenu ? A quelle distance de l'origine se trouve-t-il ? A quoi est-il égal somme 6 et -10 ?

1046. Le nombre 10 a été remplacé par -6. De quel côté de l’origine se trouve le nombre obtenu ? A quelle distance de l'origine se trouve-t-il ? Quelle est la somme de 10 et -6 ?

1047. Le nombre -10 a été remplacé par 3. De quel côté de l'origine se trouve le nombre résultant ? A quelle distance de l'origine se trouve-t-il ? Quelle est la somme de -10 et 3 ?

1048. Le nombre -10 a été remplacé par 15. De quel côté de l'origine se trouve le nombre résultant ? A quelle distance de l'origine se trouve-t-il ? Quelle est la somme de -10 et 15 ?

1049. Dans la première moitié de la journée, la température a changé de - 4 °C et dans la seconde moitié de la journée de + 12 °C. De combien de degrés la température a-t-elle changé au cours de la journée ?

1050. Effectuer l'addition :

1051. Ajouter :

a) à la somme de -6 et -12 le nombre 20 ;
b) au nombre 2,6 la somme est de -1,8 et 5,2 ;
c) à la somme -10 et -1,3 la somme de 5 et 8,7 ;
d) à la somme de 11 et -6,5 la somme de -3,2 et -6.

1052. Quel nombre est 8 ; 7.1 ; -7.1 ; -7; -0,5 est la racine équations- 6 + x = -13,1 ?

1053. Devinez la racine de l'équation et vérifiez :

une) x + (-3) = -11 ; c) m + (-12) = 2 ;
b) - 5 + y=15 ; d) 3 + n = -10.

1054. Trouver le sens de l'expression :

1055. Suivez les étapes à l'aide d'une microcalculatrice :

a) - 3,2579 + (-12,308) ; d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84 ;
b) 7,8547+ (-9,239) ; e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834 ;
c) -0,00154 + 0,0837 ; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

P. 1056. Trouver la valeur de la somme :

1057. Trouver le sens de l'expression :

1058. Combien d'entiers se trouvent entre les nombres :

a) 0 et 24 ; b) -12 et -3 ; c) -20 et 7 ?

1059. Imaginez le nombre -10 comme la somme de deux termes négatifs tel que :

a) les deux termes étaient des nombres entiers ;
b) les deux termes étaient des fractions décimales ;
c) l'un des termes était un ordinaire ordinaire fraction.

1060. Quelle est la distance (en segments unitaires) entre les points de la ligne de coordonnées avec les coordonnées :

a) 0 et a ; b) -a et a; c) -a et 0 ; d) a et -Za ?

M. 1061. Les rayons des parallèles géographiques de la surface terrestre sur lesquels se trouvent les villes d'Athènes et de Moscou sont respectivement égaux à 5 040 km et 3 580 km (Fig. 87). Dans quelle mesure le parallèle de Moscou est-il plus court que celui d’Athènes ?

1062. Écrivez une équation pour résoudre le problème : « Un champ d'une superficie de 2,4 hectares a été divisé en deux sections. Trouver carré chaque site, s'il est connu que l'un des sites :

a) 0,8 hectare de plus qu'un autre ;
b) 0,2 hectare de moins qu'un autre ;
c) 3 fois plus qu'un autre ;
d) 1,5 fois moins qu'un autre ;
e) en constitue un autre ;
e) est 0,2 de l'autre ;
g) constitue 60 % de l'autre ;
h) représente 140 % de l’autre.

1063. Résolvez le problème :

1) Le premier jour, les voyageurs ont parcouru 240 km, le deuxième jour 140 km, le troisième jour ils ont parcouru 3 fois plus que le deuxième et le quatrième jour ils se sont reposés. Combien de kilomètres ont-ils parcourus le cinquième jour, si sur 5 jours ils ont parcouru en moyenne 230 km par jour ?

2) Le revenu mensuel du père est de 280 roubles. La bourse de ma fille est 4 fois inférieure. Combien gagne une mère par mois s'il y a 4 personnes dans la famille, que le plus jeune fils est un écolier et que chaque personne reçoit en moyenne 135 roubles ?

1064. Suivez ces étapes :

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Présentez chacun des nombres comme une somme de deux termes égaux :

1067. Trouvez la valeur de a + b si :

une) une= -1,6, b = 3,2 ; b) une=- 2,6, b = 1,9 ; V)

1068. Il y avait 8 appartements sur un étage d'un immeuble résidentiel. 2 appartements avaient une surface habitable de 22,8 m2, 3 appartements - 16,2 m2, 2 appartements - 34 m2. Quelle surface habitable avait le huitième appartement si à cet étage chaque appartement avait en moyenne 24,7 m2 de surface habitable ?

1069. Le train de marchandises était composé de 42 wagons. Il y avait 1,2 fois plus de wagons couverts que de quais, et le nombre de réservoirs était égal au nombre de quais. Combien de wagons de chaque type y avait-il dans le train ?

1070. Trouver le sens de l'expression

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Mathématiques pour la 6e année, Manuel pour le lycée

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développer la connaissance de la règle d'addition de nombres avec des signes différents, la capacité de l'appliquer dans les cas les plus simples ;

développement de compétences pour comparer, identifier des modèles, généraliser ;

favoriser une attitude responsable envers le travail éducatif.

Équipement: projecteur multimédia, écran.

Type de cours : leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel.

Tiens toi droit

Ils s'assirent tranquillement.

La cloche a sonné,

Commençons notre leçon.

Les gars! Aujourd'hui, des invités sont venus à notre cours. Tournons-nous vers eux et sourions-nous. Alors, nous commençons notre leçon.

Diapositive 2- Épigraphe de la leçon : « Celui qui ne remarque rien n'étudie rien.

Celui qui n’étudie rien pleure et s’ennuie toujours.

Roman Sef (écrivain pour enfants)

Salade 3 - Je propose de jouer au jeu « Au contraire ». Règles du jeu: vous devez diviser les mots en deux groupes : gagner, mentir, chaleur, donner, vérité, bien, perte, pris, mal, froid, positif, négatif.

Il y a beaucoup de contradictions dans la vie. Avec leur aide, nous définissons la réalité environnante. Pour notre leçon, j'ai besoin du dernier : positif - négatif.

De quoi parle-t-on en mathématiques lorsque nous utilisons ces mots ? (À propos des chiffres.)

Le grand Pythagore disait : « Les nombres gouvernent le monde ». Je propose de parler des nombres les plus mystérieux de la science - des nombres avec des signes différents. - Les nombres négatifs sont apparus en science comme l'opposé des nombres positifs. Leur chemin vers la science a été difficile car même de nombreux scientifiques ne soutenaient pas l'idée de leur existence.

Quels concepts et quantités les gens mesurent-ils avec des nombres positifs et négatifs ? (charges de particules élémentaires, température, pertes, hauteur et profondeur, etc.)

Diapositive 4- Les mots de sens opposés sont des antonymes (tableau).

2. Définir le sujet de la leçon.

Diapositive 5 (travailler avec une table)– Quels nombres ont été étudiés dans les leçons précédentes ?
– Quelles tâches liées aux nombres positifs et négatifs pouvez-vous effectuer ?
– Attention à l'écran. (Diapositive 5)
– Quels nombres sont présentés dans le tableau ?
– Nommez les modules de nombres écrits horizontalement.
– Indiquer le plus grand nombre, indiquer le nombre ayant le plus grand module.
– Répondez aux mêmes questions pour les nombres écrits verticalement.
– Le plus grand nombre et le nombre ayant la plus grande valeur absolue coïncident-ils toujours ?
– Trouver la somme des nombres positifs, la somme des nombres négatifs.
– Formuler la règle d’addition des nombres positifs et la règle d’addition des nombres négatifs.
– Quels nombres reste-t-il à additionner ?
– Savez-vous comment les plier ?
– Connaissez-vous la règle pour additionner des nombres avec des signes différents ?
– Formuler le sujet de la leçon.
– Quel objectif allez-vous vous fixer ? .Pensez à ce que nous allons faire aujourd'hui ? (Réponses des enfants). Aujourd'hui, nous continuons à nous familiariser avec les nombres positifs et négatifs. Le sujet de notre leçon est « Additionner des nombres avec des signes différents ». Notre objectif est d'apprendre à additionner des nombres avec des signes différents sans erreurs. Notez la date et le sujet du cours dans votre cahier.

3.Travailler sur le sujet de la leçon.

Diapositive 6.– À l’aide de ces concepts, trouvez les résultats de l’addition de nombres avec différents signes à l’écran.
– Quels nombres sont le résultat de l’addition de nombres positifs et de nombres négatifs ?
– Quels nombres sont le résultat de l’addition de nombres avec des signes différents ?
– Qu'est-ce qui détermine le signe de la somme de nombres de signes différents ? (Diapositive 5)
– Du terme ayant le plus grand module.
- C'est comme une lutte acharnée. Le plus fort gagne.

Diapositive 7- Jouons. Imaginez que vous êtes dans une lutte acharnée. . Professeur. Les rivaux se rencontrent généralement lors de compétitions. Et aujourd'hui, nous visiterons plusieurs tournois avec vous. La première chose qui nous attend est la finale du concours de tir à la corde. Rencontrez Ivan Minusov au numéro -7 et Petr Plyusov au numéro +5. Qui va gagner selon toi? Pourquoi? Ainsi, Ivan Minusov a gagné, il s'est vraiment avéré plus fort que son adversaire et a pu l'entraîner vers son côté négatif exactement de deux pas.

Diapositive 8.- . Passons maintenant à d'autres compétitions. La finale du concours de tir est devant vous. Les meilleurs sous cette forme étaient Minus Troikin avec trois ballons et Plus Chetverikov, qui avait quatre ballons en réserve. Et ici les gars, selon vous, qui sera le gagnant ?

Diapositive 9- Les compétitions ont montré que le plus fort gagne. Il en est ainsi lors de l'addition de nombres avec des signes différents : -7 + 5 = -2 et -3 + 4 = +1. Les gars, comment les nombres avec des signes différents s'additionnent-ils ? Les étudiants proposent leurs propres options ?

L'enseignant formule la règle et donne des exemples.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Lors de la démonstration, les élèves peuvent commenter la solution apparaissant sur la diapositive.

Diapositive 10- Professeur, jouons à un autre jeu « Battleship ». Un navire ennemi s'approche de nos côtes, il faut l'assommer et le couler. Pour cela, nous avons une arme à feu. Mais pour atteindre l’objectif, vous devez faire des calculs précis. Lesquels vous verrez maintenant. Prêt? Alors vas-y! Ne vous laissez pas distraire, les exemples changent exactement après 3 secondes. Est-ce que tout le monde est prêt ?

À tour de rôle, les élèves viennent au tableau et calculent les exemples qui apparaissent sur la diapositive. – Nommez les étapes de réalisation de la tâche.

Diapositive 11- Travaillez selon le manuel : p. 180 p. 33, lisez la règle d'addition de nombres avec des signes différents. Commentaires sur la règle.
– Quelle est la différence entre la règle proposée dans le manuel et l’algorithme que vous avez compilé ? Considérez les exemples du manuel avec des commentaires.

Diapositive 12- Professeur - Maintenant les gars, menons expérience. Mais pas chimique, mais mathématique ! Prenons les chiffres 6 et 8, les signes plus et moins et mélangeons bien le tout. Prenons quatre exemples expérimentaux. Faites-les dans votre cahier. (deux élèves résolvent sur les ailes du tableau, puis les réponses sont vérifiées). Quelles conclusions peut-on tirer de cette expérience ?(Le rôle des signes). Faisons 2 autres expériences , mais avec vos numéros (1 personne à la fois va au tableau). Trouvons des chiffres les uns pour les autres et vérifions les résultats de l'expérience (vérification mutuelle).

Diapositive 13 .- La règle s'affiche à l'écran sous forme poétique .

4. Renforcer le sujet de la leçon.

Diapositive 14 – Enseignant - « Toutes sortes de signes sont nécessaires, toutes sortes de signes sont importants ! » Maintenant, les gars, nous allons vous diviser en deux équipes. Les garçons feront partie de l'équipe du Père Noël et les filles de l'équipe de Sunny. Votre tâche, sans calculer les exemples, est de déterminer lesquels d'entre eux auront des réponses négatives et lesquels auront des réponses positives et d'écrire les lettres de ces exemples dans un cahier. Les garçons sont respectivement négatifs et les filles sont positives (les cartes de la demande sont délivrées). Un autotest est en cours.

Bien joué! Votre sens des signes est excellent. Cela vous aidera à accomplir la tâche suivante

Diapositive 15 -Éducation physique. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5, etc. (nombres négatifs - squat, nombres positifs - tirez vers le haut, sautez)

Diapositive 16-Résolvez vous-même 9 exemples (tâche sur les cartes dans l'application). 1 personne au conseil d'administration. Faites un auto-test. Les réponses s'affichent à l'écran et les élèves corrigent les erreurs dans leur cahier. Levez la main si vous avez raison. (Les notes sont attribuées uniquement pour les bons et excellents résultats)

Diapositive 17-Les règles nous aident à résoudre correctement les exemples. Répétons-les. Sur l'écran se trouve un algorithme permettant d'ajouter des nombres avec des signes différents.

5.Organisation du travail indépendant.

Diapositive 18 -Ftravail en ligne à travers le jeu « Devinez le mot »(tâche sur les fiches en annexe).

Diapositive 19 - Le score du jeu doit être « A »

Diapositive 20-A maintenant, attention. Devoirs. Les devoirs ne devraient pas vous poser de difficultés.

Diapositive 21 - Lois d'addition dans les phénomènes physiques. Trouvez des exemples d'ajout de nombres avec différents signes et posez-les les uns aux autres. Qu'avez-vous appris de nouveau ? Avons-nous atteint notre objectif ?

Diapositive 22 - C'est la fin de la leçon, résumons-la maintenant. Réflexion. L'enseignant commente et note la leçon.

Diapositive 23 - Merci pour votre attention!

Je vous souhaite d'avoir plus de positif et moins de négatif dans votre vie. Je veux vous dire les gars, merci pour votre travail actif. Je pense que vous pouvez facilement appliquer les connaissances acquises dans les cours suivants. La leçon est terminée. Merci beaucoup à tous. Au revoir!

Presque tout le cours de mathématiques est basé sur des opérations avec des nombres positifs et négatifs. Après tout, dès que nous commençons à étudier la ligne de coordonnées, des nombres avec des signes plus et moins commencent à apparaître partout, dans chaque nouveau sujet. Il n’y a rien de plus simple que d’additionner des nombres positifs ordinaires ; il n’est pas difficile de soustraire l’un de l’autre. Même l’arithmétique avec deux nombres négatifs pose rarement un problème.

Cependant, de nombreuses personnes ne savent pas ajouter et soustraire des nombres avec des signes différents. Rappelons les règles selon lesquelles ces actions se produisent.

Ajouter des nombres avec des signes différents

Si pour résoudre un problème, nous devons ajouter un nombre négatif « -b » à un nombre « a », alors nous devons agir comme suit.

• Prenons les modules des deux nombres - |a| et |b| - et comparer ces valeurs absolues entre elles.
• Notons quel module est le plus grand et lequel est le plus petit, et soustrayons la plus petite valeur de la plus grande valeur.
• Mettons devant le nombre obtenu le signe du nombre dont le module est le plus grand.

Ce sera la réponse. On peut le dire plus simplement : si dans l'expression a + (-b) le module du nombre « b » est supérieur au module de « a », alors on soustrait « a » de « b » et on met un « moins » devant le résultat. Si le module « a » est supérieur, alors « b » est soustrait de « a » - et la solution est obtenue avec un signe « plus ».

Il arrive aussi que les modules s'avèrent égaux. Si tel est le cas, nous pouvons nous arrêter à ce stade - nous parlons de nombres opposés et leur somme sera toujours égale à zéro.

Soustraire des nombres avec des signes différents

Nous avons traité de l'addition, regardons maintenant la règle de la soustraction. C'est également assez simple - et en plus, il répète complètement une règle similaire pour soustraire deux nombres négatifs.

Afin de soustraire d'un certain nombre « a » - arbitraire, c'est-à-dire avec n'importe quel signe - un nombre négatif « c », vous devez ajouter à notre nombre arbitraire « a » le nombre opposé à « c ». Par exemple:

• Si « a » est un nombre positif et « c » est négatif et que vous devez soustraire « c » de « a », alors nous l'écrivons comme ceci : a – (-c) = a + c.
• Si « a » est un nombre négatif, que « c » est positif et que « c » doit être soustrait de « a », alors nous l'écrivons comme suit : (- a)– c = - a+ (-c).

Ainsi, lorsqu’on soustrait des nombres de signes différents, on finit par revenir aux règles d’addition, et lorsqu’on additionne des nombres de signes différents, on revient aux règles de soustraction. La mémorisation de ces règles vous permet de résoudre les problèmes rapidement et facilement.

Dans cet article, nous traiterons ajouter des nombres avec des signes différents. Ici, nous donnerons une règle pour ajouter des nombres positifs et négatifs, et examinerons des exemples d'application de cette règle lors de l'ajout de nombres avec des signes différents.

Navigation dans les pages.

Règle pour additionner des nombres avec des signes différents

Exemples d'ajout de nombres avec des signes différents

Considérons exemples d'ajout de nombres avec des signes différents selon la règle discutée dans le paragraphe précédent. Commençons par un exemple simple.

Exemple.

Additionnez les nombres −5 et 2.

Solution.

Nous devons ajouter des nombres avec des signes différents. Suivons toutes les étapes prescrites par la règle pour ajouter un nombre positif et un nombre négatif.

Tout d'abord, on trouve les modules des termes ; ils sont respectivement égaux à 5 et 2.

Le module du nombre −5 est supérieur au module du nombre 2, alors rappelez-vous le signe moins.

Il reste à mettre le signe moins mémorisé devant le nombre obtenu, on obtient −3. Ceci termine l'ajout de nombres avec des signes différents.

Répondre:

(−5)+2=−3 .

Pour additionner des nombres rationnels avec des signes différents qui ne sont pas des nombres entiers, ils doivent être représentés sous forme de fractions ordinaires (vous pouvez également travailler avec des décimales, si cela vous convient). Regardons ce point lors de la résolution de l'exemple suivant.

Exemple.

Ajoutez un nombre positif et un nombre négatif −1,25.

Solution.

Représentons des nombres sous forme de fractions ordinaires ; pour ce faire, nous allons effectuer le passage d'un nombre fractionnaire à une fraction impropre : , et convertir la fraction décimale en fraction ordinaire : .

Vous pouvez maintenant utiliser la règle pour additionner des nombres avec des signes différents.

Les modules des nombres ajoutés sont 17/8 et 5/4. Pour la commodité d'actions ultérieures, nous ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous avons donc 17/8 et 10/8.

Nous devons maintenant comparer les fractions communes 17/8 et 10/8. Depuis 17>10, alors . Ainsi, le terme avec un signe plus a un module plus grand, rappelez-vous donc le signe plus.

Maintenant, nous soustrayons le plus petit du plus grand module, c'est-à-dire que nous soustrayons des fractions avec les mêmes dénominateurs : .

Il ne reste plus qu'à mettre le signe plus mémorisé devant le nombre obtenu, on obtient , mais - c'est le nombre 7/8.

Dans cette leçon, nous apprendrons ajouter et soustraire des nombres entiers, ainsi que les règles pour leur addition et leur soustraction.

Rappelons que les nombres entiers sont tous des nombres positifs et négatifs, ainsi que le nombre 0. Par exemple, les nombres suivants sont des nombres entiers :

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Les nombres positifs sont faciles, et. Malheureusement, on ne peut pas en dire autant des nombres négatifs, qui confondent de nombreux débutants avec leurs moins devant chaque nombre. Comme le montre la pratique, ce sont les erreurs commises en raison de nombres négatifs qui frustrent le plus les étudiants.

Exemples d'ajout et de soustraction d'entiers

La première chose que vous devez apprendre est d’ajouter et de soustraire des nombres entiers à l’aide d’une ligne de coordonnées. Il n'est pas du tout nécessaire de tracer une ligne de coordonnées. Il suffit de l'imaginer dans vos pensées et de voir où se trouvent les nombres négatifs et où se trouvent les nombres positifs.

Considérons l'expression la plus simple : 1 + 3. La valeur de cette expression est 4 :

Cet exemple peut être compris à l'aide d'une ligne de coordonnées. Pour ce faire, à partir du point où se trouve le chiffre 1, vous devez vous déplacer de trois pas vers la droite. En conséquence, nous nous retrouverons au point où se trouve le chiffre 4. Sur la figure, vous pouvez voir comment cela se produit :

Le signe plus dans l’expression 1 + 3 nous indique que nous devons nous déplacer vers la droite dans le sens de nombres croissants.

Exemple 2. Trouvons la valeur de l'expression 1 − 3.

La valeur de cette expression est −2

Cet exemple peut à nouveau être compris à l'aide d'une ligne de coordonnées. Pour ce faire, à partir du point où se trouve le chiffre 1, vous devez vous déplacer de trois pas vers la gauche. En conséquence, nous nous retrouverons au point où se situe le nombre négatif −2. Sur l'image, vous pouvez voir comment cela se produit :

Le signe moins dans l’expression 1 − 3 nous indique que nous devons nous déplacer vers la gauche dans le sens des nombres décroissants.

En général, vous devez vous rappeler que si une addition est effectuée, vous devez alors vous déplacer vers la droite dans le sens de l'augmentation. Si une soustraction est effectuée, vous devez alors vous déplacer vers la gauche dans le sens de la diminution.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression −2 + 4

La valeur de cette expression est 2

Cet exemple peut à nouveau être compris à l'aide d'une ligne de coordonnées. Pour ce faire, à partir du point où se trouve le nombre négatif −2, vous devez vous déplacer de quatre pas vers la droite. Du coup, on se retrouvera au point où se situe le nombre positif 2.

On peut voir que nous sommes passés du point où se trouve le nombre négatif −2 vers le côté droit de quatre pas, et que nous sommes arrivés au point où se trouve le nombre positif 2.

Le signe plus dans l’expression −2 + 4 nous indique que nous devons nous déplacer vers la droite dans le sens de nombres croissants.

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression −1 − 3

La valeur de cette expression est −4

Cet exemple peut à nouveau être résolu en utilisant une ligne de coordonnées. Pour ce faire, à partir du point où se trouve le nombre négatif −1, vous devez vous déplacer de trois pas vers la gauche. Du coup, on se retrouvera au point où se situe le nombre négatif −4

On peut voir que nous nous sommes déplacés du point où se trouve le nombre négatif −1 vers le côté gauche de trois pas, et nous sommes arrivés au point où se trouve le nombre négatif −4.

Le signe moins dans l’expression −1 − 3 nous indique que nous devons nous déplacer vers la gauche dans le sens des nombres décroissants.

Exemple 5. Trouver la valeur de l'expression −2 + 2

La valeur de cette expression est 0

Cet exemple peut être résolu en utilisant une ligne de coordonnées. Pour ce faire, à partir du point où se trouve le nombre négatif −2, il faut se déplacer de deux pas vers la droite. Du coup, on se retrouvera au point où se situe le chiffre 0

On peut voir que nous sommes passés du point où se trouve le nombre négatif −2 vers le côté droit de deux pas et que nous sommes arrivés au point où se trouve le nombre 0.

Le signe plus dans l’expression −2 + 2 nous indique que nous devons nous déplacer vers la droite dans le sens de nombres croissants.

Règles pour ajouter et soustraire des nombres entiers

Pour ajouter ou soustraire des nombres entiers, il n'est pas du tout nécessaire d'imaginer à chaque fois une ligne de coordonnées, encore moins de la dessiner. Il est plus pratique d'utiliser des règles toutes faites.

Lors de l'application des règles, vous devez faire attention au signe de l'opération et aux signes des nombres qui doivent être ajoutés ou soustraits. Cela déterminera quelle règle appliquer.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression −2 + 5

Ici, un nombre positif est ajouté à un nombre négatif. En d’autres termes, des nombres avec des signes différents sont ajoutés. −2 est un nombre négatif et 5 est un nombre positif. Dans de tels cas, la règle suivante s'applique :

Pour additionner des nombres avec des signes différents, vous devez soustraire le plus petit module du plus grand module et, avant la réponse obtenue, mettre le signe du nombre dont le module est le plus grand.

Voyons donc quel module est le plus gros :

Le module du nombre 5 est supérieur au module du nombre −2. La règle nécessite de soustraire le plus petit du plus grand module. Par conséquent, il faut soustraire 2 de 5, et avant la réponse résultante mettre le signe du nombre dont le module est le plus grand.

Le nombre 5 a un module plus grand, donc le signe de ce nombre sera dans la réponse. Autrement dit, la réponse sera positive :

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Généralement écrit plus court : −2 + 5 = 3

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 3 + (−2)

Ici, comme dans l'exemple précédent, des nombres avec des signes différents sont ajoutés. 3 est un nombre positif et −2 est un nombre négatif. Notez que −2 est mis entre parenthèses pour rendre l’expression plus claire. Cette expression est beaucoup plus facile à comprendre que l’expression 3+−2.

Appliquons donc la règle d'addition de nombres avec des signes différents. Comme dans l'exemple précédent, on soustrait le plus petit module du plus grand module et avant la réponse on met le signe du nombre dont le module est le plus grand :

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Le module du nombre 3 est supérieur au module du nombre −2, on a donc soustrait 2 de 3, et avant la réponse résultante on met le signe du nombre dont le module est le plus grand. Le nombre 3 a un module plus grand, c'est pourquoi le signe de ce nombre est inclus dans la réponse. Autrement dit, la réponse est positive.

Généralement écrit plus court 3 + (−2) = 1

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 3 − 7

Dans cette expression, un plus grand nombre est soustrait d’un plus petit nombre. Dans un tel cas, la règle suivante s'applique :

Pour soustraire un nombre plus grand d'un nombre plus petit, vous devez soustraire le plus petit nombre du plus grand nombre et mettre un moins devant la réponse obtenue.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Il y a un léger piège dans cette expression. Rappelons que le signe égal (=) est placé entre les quantités et les expressions lorsqu'elles sont égales entre elles.

La valeur de l’expression 3 − 7, comme nous l’avons appris, est −4. Cela signifie que toutes les transformations que nous effectuerons dans cette expression doivent être égales à −4

Mais on voit qu'à la deuxième étape il existe une expression 7 − 3, qui n'est pas égale à −4.

Pour corriger cette situation, il faut mettre l'expression 7 − 3 entre parenthèses et mettre un moins devant cette parenthèse :

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

Dans ce cas, l'égalité sera observée à chaque étape :

Une fois l’expression calculée, les parenthèses peuvent être supprimées, ce que nous avons fait.

Donc pour être plus précis, la solution devrait ressembler à ceci :

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Cette règle peut être écrite à l'aide de variables. Il ressemblera à ceci:

une − b = − (b − une)

Un grand nombre de parenthèses et de signes d'opération peuvent compliquer la solution d'un problème apparemment simple, il est donc plus conseillé d'apprendre à écrire brièvement de tels exemples, par exemple 3 − 7 = − 4.

En fait, ajouter et soustraire des nombres entiers ne revient qu’à une addition. Cela signifie que si vous devez soustraire des nombres, cette opération peut être remplacée par une addition.

Alors, faisons connaissance avec la nouvelle règle :

Soustraire un nombre d’un autre signifie ajouter au menu un nombre opposé à celui à soustraire.

Par exemple, considérons l'expression la plus simple 5 − 3. Aux premières étapes de l'étude des mathématiques, nous mettons un signe égal et notons la réponse :

Mais maintenant, nous progressons dans notre étude, nous devons donc nous adapter aux nouvelles règles. La nouvelle règle dit que soustraire un nombre à un autre signifie ajouter au menu le même nombre que le soustraire.

Essayons de comprendre cette règle en utilisant l'exemple de l'expression 5 − 3. La fin de cette expression est 5 et la fin de la soustraction est 3. La règle dit que pour soustraire 3 de 5, vous devez ajouter à 5 un nombre qui est l'opposé de 3. L'opposé du nombre 3 est -3 . Écrivons une nouvelle expression :

Et nous savons déjà comment trouver un sens à de telles expressions. Il s'agit de l'addition de nombres avec des signes différents, que nous avons examinés plus tôt. Pour additionner des nombres de signes différents, on soustrait le plus petit module du plus grand module, et avant la réponse obtenue on met le signe du nombre dont le module est le plus grand :

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Le module du nombre 5 est supérieur au module du nombre −3. Par conséquent, nous avons soustrait 3 de 5 et avons obtenu 2. Le nombre 5 a un module plus grand, nous mettons donc le signe de ce nombre dans la réponse. Autrement dit, la réponse est positive.

Au début, tout le monde n’est pas capable de remplacer rapidement la soustraction par l’addition. En effet, les nombres positifs sont écrits sans le signe plus.

Par exemple, dans l’expression 3 − 1, le signe moins indiquant la soustraction est un signe d’opération et n’y fait pas référence. Un dans ce cas est un nombre positif, et il a son propre signe plus, mais nous ne le voyons pas, car un plus n’est pas écrit devant les nombres positifs.

Par conséquent, pour plus de clarté, cette expression peut s’écrire comme suit :

(+3) − (+1)

Pour plus de commodité, les chiffres avec leurs propres signes sont placés entre parenthèses. Dans ce cas, remplacer la soustraction par l’addition est beaucoup plus simple.

Dans l'expression (+3) − (+1), le nombre soustrait est (+1) et le nombre opposé est (−1).

Remplaçons la soustraction par l'addition et au lieu du soustrahend (+1) nous écrivons le nombre opposé (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

D'autres calculs ne seront pas difficiles.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

À première vue, ces mouvements supplémentaires peuvent sembler inutiles si vous pouvez utiliser la bonne vieille méthode pour mettre un signe égal et écrire immédiatement la réponse 2. En fait, cette règle nous aidera plus d'une fois.

Résolvons l'exemple précédent 3 − 7 en utilisant la règle de soustraction. Tout d'abord, donnons à l'expression une forme claire, en attribuant à chaque nombre ses propres signes.

Trois a un signe plus car c'est un nombre positif. Le signe moins indiquant la soustraction ne s’applique pas à sept. Sept a un signe plus car c'est un nombre positif :

Remplaçons la soustraction par l'addition :

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Un calcul ultérieur n'est pas difficile :

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Exemple 7. Trouver la valeur de l'expression −4 − 5

Nous avons à nouveau une opération de soustraction. Cette opération doit être remplacée par une addition. Au minuend (−4), nous ajoutons le nombre opposé au sous-trahend (+5). Le nombre opposé au sous-trahend (+5) est le nombre (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Nous sommes arrivés à une situation où nous devons ajouter des nombres négatifs. Dans de tels cas, la règle suivante s'applique :

Pour ajouter des nombres négatifs, vous devez ajouter leurs modules et mettre un moins devant la réponse obtenue.

Alors, additionnons les modules de nombres, comme la règle nous l'exige, et mettons un moins devant la réponse obtenue :

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

L'entrée avec les modules doit être placée entre parenthèses et un signe moins doit être placé avant ces parenthèses. De cette façon, nous fournirons un moins qui devrait apparaître avant la réponse :

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

La solution pour cet exemple peut être écrite brièvement :

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

ou encore plus court :

−4 − 5 = −9

Exemple 8. Trouver la valeur de l'expression −3 − 5 − 7 − 9

Mettons l'expression sous une forme claire. Ici, tous les nombres sauf −3 sont positifs, ils auront donc des signes plus :

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Remplaçons les soustractions par des additions. Tous les moins, à l'exception du moins devant les trois, se transformeront en plus, et tous les nombres positifs se changeront en l'opposé :

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Appliquons maintenant la règle d'addition des nombres négatifs. Pour ajouter des nombres négatifs, vous devez ajouter leurs modules et mettre un moins devant la réponse obtenue :

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

La solution à cet exemple peut être écrite brièvement :

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

ou encore plus court :

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Exemple 9. Trouver la valeur de l'expression −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Mettons l'expression sous une forme claire :

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Il y a ici deux opérations : l’addition et la soustraction. Nous laissons l'addition inchangée et remplaçons la soustraction par l'addition :

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

En observant, nous effectuerons chaque action tour à tour, sur la base des règles apprises précédemment. Les entrées avec des modules peuvent être ignorées :

Première action :

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Deuxième action :

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Troisième action :

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Quatrième action :

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Ainsi, la valeur de l’expression −10 + 6 − 15 + 11 − 7 est −15

Note. Il n'est pas du tout nécessaire de donner à l'expression une forme compréhensible en mettant des nombres entre parenthèses. Lorsque l’accoutumance aux nombres négatifs se produit, cette étape peut être ignorée car elle prend du temps et peut prêter à confusion.

Ainsi, pour ajouter et soustraire des nombres entiers, vous devez vous rappeler les règles suivantes :

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