Comment construire des angles à l'aide d'un compas. Comment construire un angle égal à un angle donné

Dans les tâches de construction, nous envisagerons la construction d'une figure géométrique, qui peut être réalisée à l'aide d'une règle et d'un compas.

A l'aide d'une règle, vous pouvez :

ligne droite arbitraire ;

une ligne droite arbitraire passant par un point donné ;

une droite passant par deux points donnés.

À l'aide d'une boussole, vous pouvez décrire un cercle d'un rayon donné à partir d'un centre donné.

À l'aide d'une boussole, vous pouvez tracer un segment sur une ligne donnée à partir d'un point donné.

Considérons les principales tâches de construction.

Tache 1. Construisez un triangle avec des côtés donnés a, b, c (Fig. 1).

Solution. À l'aide d'une règle, tracez une ligne droite arbitraire et prenez dessus un point arbitraire B. À l'aide d'une ouverture de boussole égale à a, nous décrivons un cercle de centre B et de rayon a. Soit C le point de son intersection avec la droite. Avec une ouverture de compas égale à c, on décrit un cercle de centre B, et avec une ouverture de compas égale à b, on décrit un cercle de centre C. Soit A le point d'intersection de ces cercles. Le triangle ABC a des côtés égaux à a, b, c.

Commentaire. Pour que trois segments droits servent de côtés à un triangle, il faut que le plus grand d'entre eux soit inférieur à la somme des deux autres (et< b + с).

Tâche 2.

Solution. Cet angle avec le sommet A et le rayon OM sont représentés sur la figure 2.

Traçons un cercle arbitraire dont le centre est au sommet A de l'angle donné. Soient B et C les points d'intersection du cercle avec les côtés de l'angle (Fig. 3, a). Avec le rayon AB, nous dessinons un cercle dont le centre est le point O - le point de départ de ce rayon (Fig. 3, b). Notons C 1 le point d'intersection de ce cercle avec ce rayon. Décrivons un cercle de centre C 1 et de rayon BC. Le point B 1 de l'intersection de deux cercles se situe du côté de l'angle souhaité. Cela découle de l'égalité Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (le troisième signe d'égalité des triangles).

Tâche 3. Construisez la bissectrice de cet angle (Fig. 4).

Solution. A partir du sommet A d'un angle donné, comme à partir du centre, on trace un cercle de rayon arbitraire. Soient B et C les points de son intersection avec les côtés de l'angle. A partir des points B et C, nous décrivons des cercles de même rayon. Soit D leur point d'intersection, différent de A. Le rayon AD coupe l'angle A. Cela découle de l'égalité Δ ABD = Δ ACD (le troisième critère d'égalité des triangles).

Tâche 4. Tracez une médiatrice perpendiculaire à ce segment (Fig. 5).

Solution. En utilisant une ouverture de boussole arbitraire mais identique (supérieure à 1/2 AB), nous décrivons deux arcs dont les centres sont aux points A et B, qui se couperont en certains points C et D. La droite CD sera la perpendiculaire souhaitée. En effet, comme le montre la construction, chacun des points C et D est à égale distance de A et B ; par conséquent, ces points doivent se trouver sur la médiatrice perpendiculaire au segment AB.

Tâche 5. Divisez ce segment en deux. Il est résolu de la même manière que le problème 4 (voir Fig. 5).

Tâche 6. Par un point donné, tracez une ligne perpendiculaire à la ligne donnée.

Solution. Il y a deux cas possibles:

1) un point donné O se trouve sur une droite donnée a (Fig. 6).

À partir du point O, nous dessinons un cercle avec un rayon arbitraire coupant la ligne a aux points A et B. À partir des points A et B, nous dessinons des cercles avec le même rayon. Soit O 1 le point de leur intersection, différent de O. On obtient OO 1 ⊥ AB. En fait, les points O et O 1 sont équidistants des extrémités du segment AB et se situent donc sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Lors de la construction ou du développement de projets de conception de maisons, il est souvent nécessaire de construire un angle égal à celui existant. Les modèles et les connaissances scolaires en géométrie viennent à la rescousse.

Instructions

• Un angle est formé par deux lignes droites partant d’un même point. Ce point sera appelé le sommet de l’angle et les lignes seront les côtés de l’angle.
• Utilisez trois lettres pour représenter les coins : une en haut, deux sur les côtés. L'angle est nommé en commençant par la lettre qui se trouve d'un côté, puis la lettre qui se trouve au sommet est nommée, puis la lettre de l'autre côté. Utilisez d’autres moyens pour indiquer les angles si vous préférez autrement. Parfois, une seule lettre est nommée, celle qui se trouve en haut. Et vous pouvez désigner les angles avec des lettres grecques, par exemple α, β, γ.
• Il existe des situations où il est nécessaire de tracer un angle pour qu'il soit égal à un angle déjà donné. S'il n'est pas possible d'utiliser un rapporteur lors de la construction d'un dessin, vous ne pouvez vous en sortir qu'avec une règle et un compas. Disons que sur une ligne droite marquée sur le dessin par les lettres MN, vous devez construire un angle au point K de manière à ce qu'il soit égal à l'angle B. C'est-à-dire qu'à partir du point K, vous devez tracer une ligne droite qui forme un angle avec la droite MN qui sera égal à l'angle B.
• Tout d’abord, marquez un point de chaque côté d’un angle donné, par exemple les points A et C, puis reliez les points C et A par une ligne droite. Obtenez le triangle ABC.
• Construisez maintenant le même triangle sur la droite MN de sorte que son sommet B soit sur la droite au point K. Utilisez la règle pour construire un triangle à trois côtés. Abandonnez le segment KL du point K. Il doit être égal au segment BC. Obtenez le point L.
• A partir du point K, tracez un cercle de rayon égal au segment BA. À partir de L, tracez un cercle de rayon CA. Reliez le point résultant (P) d'intersection de deux cercles avec K. Obtenez le triangle KPL, qui sera égal au triangle ABC. De cette façon, vous obtiendrez l'angle K. Il sera égal à l'angle B. Pour rendre cette construction plus pratique et plus rapide, partez des segments égaux du sommet B, en utilisant une ouverture de compas, sans bouger les jambes, décrivez un cercle de même rayon du point K.

Il est souvent nécessaire de dessiner (« construire ») un angle qui serait égal à un angle donné, et la construction doit se faire sans l'aide d'un rapporteur, mais en utilisant uniquement un compas et une règle. En sachant construire un triangle à trois côtés, nous pouvons résoudre ce problème. Que ce soit en ligne droite MN(Fig. 60 et 61) il est nécessaire de construire au point K angle égal à l'angle B. Cela signifie qu'il est nécessaire du point de vue K tracer une ligne droite avec un composant MN angle égal à B.

Pour cela, marquez un point de chaque côté d'un angle donné, par exemple UN Et AVEC, et connectez-vous UN Et AVEC ligne droite. On obtient un triangle abc. Construisons maintenant sur une droite MN ce triangle pour que son sommet DANSétait au point À: alors à ce stade un angle sera construit égal à l'angle DANS. Construire un triangle en utilisant trois côtés VS, VA Et CA on sait comment : on reporte (Fig. 62) du point À segment de ligne KL,égal Soleil; nous marquons un point L; autour K, comme près du centre, on décrit un cercle de rayon Virginie, et autour L- rayon SA. Arrêt complet R. on relie les intersections des cercles avec À et Z, on obtient un triangle KPL,égal à un triangle abc; il y a un angle dedans À= pouah. DANS.

Cette construction est réalisée plus rapidement et plus facilement si elle se fait par le haut DANS tracer des segments égaux (avec une dissolution de la boussole) et, sans bouger ses jambes, décrire un cercle autour du point de même rayon À, comme près du centre.

Comment diviser un coin en deux

Supposons que nous devions diviser un angle UN(Fig. 63) en deux parties égales à l'aide d'un compas et d'une règle, sans utiliser de rapporteur. Nous allons vous montrer comment procéder.

Du haut UN mettre des segments égaux sur les côtés de l'angle UN B Et CA(Diagramme 64 ; cela se fait simplement en dissolvant la boussole). Puis on place la pointe de la boussole aux points DANS Et AVEC et décrire des arcs de rayons égaux se coupant au point D. Connexion droite UN et D divise l'angle UNà moitié.

Expliquons pourquoi. Si le point D se connecter avec DANS et C (Fig. 65), alors vous obtenez deux triangles CDA Et BAD, y qui ont un côté commun ANNONCE; côté UN Bégal au côté CA, UN ВDégal à CD. Les triangles sont égaux sur trois côtés, ce qui signifie que les angles sont égaux. MAUVAIS Et CAD, couchés à côtés égaux opposés ВD Et CD. Par conséquent, directement ANNONCE divise l'angle TOIà moitié.

Applications

12. Construisez un angle de 45° sans rapporteur. A 22°30’. A 67°30'.

Solution : En divisant l’angle droit en deux, on obtient un angle de 45°. En divisant l’angle de 45° par deux, on obtient un angle de 22°30’. En construisant la somme des angles 45° + 22°30’, on obtient un angle de 67°30’.

Comment construire un triangle en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare

Supposons que vous ayez besoin de connaître sur le terrain la distance entre deux jalons UN Et DANS(Diable 66), séparés par un marais infranchissable.

Comment faire?

Nous pouvons faire ceci : choisir un point éloigné du marais AVEC, d'où les deux jalons sont visibles et les distances peuvent être mesurées CA Et Soleil. Coin AVEC nous mesurons à l'aide d'un appareil goniométrique spécial (appelé a str o l b i e). D'après ces données, c'est-à-dire d'après les côtés mesurés A.C. Et Soleil et coin AVEC entre eux, construisons un triangle abc quelque part sur un terrain convenable comme suit. Après avoir mesuré un côté connu en ligne droite (Fig. 67), par exemple CA, construisez avec au point AVEC coin AVEC; de l'autre côté de cet angle on mesure le côté connu Soleil. Les extrémités des côtés connus, c'est-à-dire les points UN Et DANS reliés par une ligne droite. Le résultat est un triangle dans lequel deux côtés et l'angle qui les sépare ont les dimensions spécifiées à l'avance.

D’après la méthode de construction, il est clair qu’un seul triangle peut être construit en utilisant deux côtés et l’angle qui les sépare. par conséquent, si deux côtés d'un triangle sont égaux aux deux côtés d'un autre et que les angles entre ces côtés sont les mêmes, alors ces triangles peuvent se superposer par tous les points, c'est-à-dire leurs troisièmes côtés et les autres angles doivent également être égaux. Cela signifie que l'égalité des deux côtés des triangles et l'angle entre eux peuvent servir de signe d'égalité complète de ces triangles. En bref:

Les triangles sont égaux des deux côtés et à l’angle qui les sépare.

Objectifs de la leçon:

• Formation de la capacité d'analyser le matériel étudié et des compétences nécessaires pour l'appliquer pour résoudre des problèmes ;
• Montrer l'importance des concepts étudiés ;
• Développement de l'activité cognitive et de l'autonomie dans l'acquisition de connaissances ;
• Cultiver l’intérêt pour le sujet et le sens de la beauté.

Objectifs de la leçon:

• Développez des compétences dans la construction d'un angle égal à un angle donné à l'aide d'une règle à échelle, d'un compas, d'un rapporteur et d'un triangle de dessin.
• Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours:

1. Répétition.
2. Construire un angle égal à un angle donné.
3. Analyse.
4. Exemple de construction d'abord.
5. Exemple de construction deuxième.

Répétition.

Coin.

Angle plat- une figure géométrique illimitée formée de deux rayons (côtés d'un angle) émergeant d'un point (sommet de l'angle).

Un angle est aussi appelé figure formée par tous les points du plan compris entre ces rayons (D'une manière générale, deux de ces rayons correspondent à deux angles, puisqu'ils divisent le plan en deux parties. L'un de ces angles est classiquement appelé interne, et le autre - externe.
Parfois, par souci de concision, l’angle est appelé mesure angulaire.

Il existe un symbole généralement accepté pour désigner un angle : , proposé en 1634 par le mathématicien français Pierre Erigon.

Coin est une figure géométrique (Fig. 1), formée de deux rayons OA et OB (côtés de l'angle), émanant d'un point O (sommet de l'angle).

Un angle est désigné par un symbole et trois lettres indiquant les extrémités des rayons et le sommet de l'angle : AOB (et la lettre du sommet est celle du milieu). Les angles sont mesurés par la quantité de rotation du rayon OA autour du sommet O jusqu'à ce que le rayon OA se déplace vers la position OB. Il existe deux unités largement utilisées pour mesurer les angles : les radians et les degrés. Pour la mesure des angles en radians, voir ci-dessous dans le paragraphe « Longueur de l'arc », ainsi que dans le chapitre « Trigonométrie ».

Système de degrés pour mesurer les angles.

Ici, l'unité de mesure est le degré (sa désignation est °) - il s'agit d'une rotation du faisceau de 1/360 de tour complet. Ainsi, la rotation complète du faisceau est de 360°. Un degré est divisé en 60 minutes (symbole ') ; une minute – respectivement pendant 60 secondes (désignation “). Un angle de 90° (Fig. 2) est dit droit ; un angle inférieur à 90° (Fig. 3) est dit aigu ; un angle supérieur à 90° (Fig. 4) est dit obtus.

Les lignes droites formant un angle droit sont dites perpendiculaires entre elles. Si les droites AB et MK sont perpendiculaires, alors cela est noté : AB MK.

Construire un angle égal à un angle donné.

Avant de commencer la construction ou de résoudre un problème, quel que soit le sujet, vous devez effectuer analyse. Comprenez ce que dit le devoir, lisez-le attentivement et lentement. Si après la première fois vous avez des doutes ou si quelque chose n'était pas clair ou clair mais pas complètement, il est recommandé de le relire. Si vous faites un devoir en classe, vous pouvez le demander au professeur. Sinon, votre tâche, que vous avez mal comprise, pourrait ne pas être résolue correctement, ou vous pourriez trouver quelque chose qui n'est pas ce qui était attendu de vous, et elle sera considérée comme incorrecte et vous devrez la refaire. Comme pour moi - Il est préférable de passer un peu plus de temps à étudier la tâche plutôt que de la refaire à nouveau..

Analyse.

Soit a le rayon donné de sommet A et l'angle (ab) celui souhaité. Choisissons respectivement les points B et C sur les rayons a et b. En reliant les points B et C, on obtient le triangle ABC. Dans les triangles congrus, les angles correspondants sont égaux, et c'est là que suit la méthode de construction. Si sur les côtés d'un angle donné nous sélectionnons les points C et B d'une manière commode, et d'un rayon donné dans un demi-plan donné nous construisons un triangle AB 1 C 1 égal à ABC (et cela peut être fait si nous savons tous les côtés du triangle), alors le problème sera résolu.

Lors de l'exécution d'un constructions Soyez extrêmement prudent et essayez de réaliser toutes les constructions avec soin. Étant donné que toute incohérence peut entraîner des erreurs, des écarts qui peuvent conduire à une réponse incorrecte. Et si une tâche de ce type est effectuée pour la première fois, l'erreur sera très difficile à trouver et à corriger.

Exemple de construction d'abord.

Traçons un cercle dont le centre est au sommet de cet angle. Soient B et C les points d'intersection du cercle avec les côtés de l'angle. De rayon AB, nous dessinons un cercle dont le centre est le point A 1 – le point de départ de ce rayon. Notons le point d'intersection de ce cercle avec ce rayon B 1 . Décrivons un cercle de centre en B 1 et de rayon BC. Le point d'intersection C 1 des cercles construits dans le demi-plan indiqué se situe du côté de l'angle souhaité.

Les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont égaux sur trois côtés. Les angles A et A 1 sont les angles correspondants de ces triangles. Par conséquent, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Pour plus de clarté, vous pouvez considérer les mêmes constructions plus en détail.

Exemple de construction deuxième.

Il reste également à réserver un angle égal à un angle donné depuis une demi-droite donnée dans un demi-plan donné.

Construction.

Étape 1. Traçons un cercle de rayon arbitraire et centré au sommet A d'un angle donné. Soient B et C les points d'intersection du cercle avec les côtés de l'angle. Et dessinons le segment BC.

Étape 2. Traçons un cercle de rayon AB dont le centre est le point O - le point de départ de cette demi-ligne. Notons le point d'intersection du cercle avec le rayon B 1 .

Étape 3. Nous décrivons maintenant un cercle de centre B 1 et de rayon BC. Soit le point C 1 l'intersection des cercles construits dans le demi-plan indiqué.

Étape 4. Traçons un rayon du point O au point C 1. L'angle C 1 OB 1 sera celui souhaité.

Preuve.

Les triangles ABC et OB 1 C 1 sont des triangles congrus avec des côtés correspondants. Et donc les angles CAB et C 1 OB 1 sont égaux.

Fait intéressant:

En chiffres.

Dans les objets du monde environnant, vous remarquez tout d'abord leurs propriétés individuelles qui distinguent un objet d'un autre.

L'abondance de propriétés particulières et individuelles obscurcit les propriétés générales inhérentes à absolument tous les objets, et il est donc toujours plus difficile de détecter de telles propriétés.

L’une des propriétés générales les plus importantes des objets est que tous les objets peuvent être comptés et mesurés. Nous reflétons cette propriété générale des objets dans la notion de nombre.

Les gens ont maîtrisé le processus de comptage, c'est-à-dire le concept de nombre, très lentement, au fil des siècles, dans une lutte persistante pour leur existence.

Pour compter, il faut non seulement avoir des objets qui peuvent être comptés, mais aussi déjà avoir la capacité de faire abstraction, lorsqu'on considère ces objets, de toutes leurs autres propriétés à l'exception du nombre, et cette capacité est le résultat d'un long développement historique basé sur l'expérience. .

Aujourd'hui, chacun apprend à compter à l'aide de chiffres de manière imperceptible dans l'enfance, presque simultanément au moment où il commence à parler, mais ce comptage, qui nous est familier, a parcouru un long chemin de développement et a pris différentes formes.

Il fut un temps où seuls deux chiffres étaient utilisés pour compter les objets : un et deux. Dans le processus d'expansion du système numérique, des parties du corps humain ont été impliquées, principalement les doigts, et si ce type de « chiffres » ne suffisait pas, des bâtons, des cailloux et d'autres choses ont également été impliqués.

N. N. Miklouho-Maclay dans son livre "Voyages" parle d'une drôle de méthode de comptage utilisée par les indigènes de Nouvelle-Guinée :

Des questions:

1. Définir l'angle ?
2. Quels types d’angles existe-t-il ?
3. Quelle est la différence entre le diamètre et le rayon ?

Liste des sources utilisées :

1. Mazur K. I. «Résoudre les principaux problèmes de compétition en mathématiques de la collection éditée par M. I. Skanavi»
2. Sens des mathématiques. B.A. Kordemski. Moscou.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina « Géométrie, 7 – 9 : manuel pour les établissements d'enseignement »

Travaillé sur la leçon :

Levtchenko contre.

Potturnak S.A.

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