L’une des définitions classiques du concept « fonction » est celle basée sur les correspondances. Présentons un certain nombre de ces définitions.
Définition 1
Une relation dans laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une seule valeur de la variable dépendante est appelée fonction.
Définition 2
Soit deux ensembles non vides $X$ et $Y$. Une correspondance $f$ qui fait correspondre chaque $x\in X$ avec un et un seul $y\in Y$ Est appelée fonction($f:X → Y$).
Définition 3
Soit $M$ et $N$ deux ensembles de nombres arbitraires. Une fonction $f$ est dite définie sur $M$, prenant des valeurs dans $N$, si chaque élément $x\dans X$ est associé à un et un seul élément de $N$.
La définition suivante est donnée à travers la notion de quantité variable. Une grandeur variable est une grandeur qui prend différentes valeurs numériques dans une étude donnée.
Définition 4
Soit $M$ l'ensemble des valeurs de la variable $x$. Alors, si chaque valeur $x\in M$ correspond à une valeur spécifique d'une autre variable $y$ est fonction de la valeur $x$ définie sur l'ensemble $M$.
Définition 5
Soit $X$ et $Y$ des ensembles de nombres. Une fonction est un ensemble $f$ de paires ordonnées de nombres $(x,\ y)$ tel que $x\in X$, $y\in Y$ et chaque $x$ est inclus dans une et une seule paire de cet ensemble, et chaque $y$ est dans au moins une paire.
Définition 6
Tout ensemble $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ de paires ordonnées $\left(x,\ y\right)$ tel que pour toutes les paires $\left(x",\ y" \right)\in f$ et $\left(x"",\ y""\right)\in f$ à partir de la condition $y"≠ y""$ il s'ensuit que $x"≠x""$ est appelé fonction ou affichage.
Définition 7
Une fonction $f:X → Y$ est un ensemble de paires ordonnées $f$ $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ tel que pour tout élément $x\in X$ il existe un élément unique $y\in Y$ tel que $\left(x,\ y\right)\in f$, c'est-à-dire que la fonction est un tuple d'objets $\left(f,\ X,\ Y\right) $.
Dans ces définitions
$x$ est la variable indépendante.
$y$ est la variable dépendante.
Toutes les valeurs possibles de la variable $x$ sont appelées le domaine de la fonction, et toutes les valeurs possibles de la variable $y$ sont appelées le domaine de la fonction.
Méthode analytique de spécification d'une fonction
Pour cette méthode, nous avons besoin du concept d’expression analytique.
Définition 8
Une expression analytique est le produit de toutes les opérations mathématiques possibles sur des nombres et des variables quelconques.
La manière analytique de spécifier une fonction consiste à la spécifier à l’aide d’une expression analytique.
Exemple 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Avantages:
- À l'aide de formules, nous pouvons déterminer la valeur de la fonction pour toute valeur spécifique de la variable $x$ ;
- Les fonctions ainsi définies peuvent être étudiées à l'aide de l'appareil d'analyse mathématique.
Inconvénients :
- Faible visibilité.
- Il faut parfois faire des calculs très fastidieux.
Méthode tabulaire de spécification d'une fonction
Cette méthode d'affectation consiste à noter les valeurs de la variable dépendante pour plusieurs valeurs de la variable indépendante. Tout cela est inscrit dans le tableau.
Exemple 2
Image 1.
Plus: Pour toute valeur de la variable indépendante $x$, entrée dans le tableau, la valeur correspondante de la fonction $y$ est immédiatement connue.
Inconvénients :
- Le plus souvent, il n’existe pas de spécification complète des fonctions ;
- Faible visibilité.
Définir une fonction signifie établir une règle (loi) à l'aide de laquelle, sur la base des valeurs données de la variable indépendante, on trouve les valeurs de fonction correspondantes. Examinons différentes manières de définir une fonction.
Cette entrée définit la température T en fonction du temps t : T = f (t). Les avantages de la méthode tabulaire de spécification d'une fonction sont qu'elle permet de déterminer immédiatement certaines valeurs spécifiques de la fonction, sans modifications ni calculs supplémentaires. Inconvénients : ne définit pas complètement la fonction, mais seulement pour certaines valeurs d'arguments ; ne fournit pas de représentation visuelle de la nature du changement dans la fonction avec un changement dans l'argument.
2. Méthode graphique.Calendrier la fonction y=f(x) est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées satisfont à cette équation. Il peut s'agir d'une courbe, notamment d'une ligne droite, ou d'un ensemble de points sur un plan.
L'avantage est la clarté, l'inconvénient est qu'il n'est pas possible de déterminer avec précision les valeurs de l'argument. En ingénierie et en physique, c'est souvent le seul moyen disponible pour spécifier une fonction, par exemple lors de l'utilisation d'instruments d'enregistrement qui enregistrent automatiquement les changements d'une quantité par rapport à une autre (barographe, thermographe, etc.).
3. Méthode analytique. Grâce à cette méthode, la fonction est spécifiée analytiquement, à l'aide d'une formule. Cette méthode permet pour chaque valeur numérique de l'argument x de trouver exactement ou avec une certaine précision la valeur numérique correspondante de la fonction y.
Dans la méthode analytique, une fonction peut être spécifiée par plusieurs formules différentes. Par exemple, la fonction
défini dans le domaine [- 
, 15] en utilisant trois formules.
Si la relation entre x et y est donnée par une formule résolue par rapport à y, c'est-à-dire a la forme y = f(x), alors ils disent que la fonction de x est donnée explicitement, par exemple. Si les valeurs de x et y sont liées par une équation de la forme F(x,y) = 0, c'est-à-dire la formule n'est pas résolue par rapport à y, alors la fonction est dite implicitement spécifiée. Par exemple,. Notez que toutes les fonctions implicites ne peuvent pas être représentées sous la forme y = f(x) ; au contraire, toute fonction explicite peut toujours être représentée sous la forme implicite : 
. Un autre type de spécification analytique d'une fonction est paramétrique, lorsque l'argument x et la fonction y sont des fonctions d'une troisième quantité - paramètre t : 
, Où 
, T – un certain intervalle. Cette méthode est largement utilisée en mécanique et en géométrie.
La méthode analytique est la manière la plus courante de définir une fonction. La compacité, la possibilité d'appliquer une analyse mathématique à une fonction donnée et la possibilité de calculer les valeurs de fonction pour n'importe quelle valeur d'argument sont ses principaux avantages.
4. Méthode verbale. Cette méthode consiste à exprimer la dépendance fonctionnelle par des mots. Par exemple, la fonction E(x) est la partie entière du nombre x, la fonction de Dirichlet, la fonction de Riemann, n!, r(n) est le nombre de diviseurs de l'entier naturel n.
5. Méthode semi-graphique. Ici, les valeurs de fonction sont représentées sous forme de segments et les valeurs d'argument sont représentées sous forme de nombres placés aux extrémités des segments indiquant les valeurs de fonction. Ainsi, par exemple, un thermomètre a une échelle avec des divisions égales sur lesquelles figurent des chiffres. Ces nombres sont les valeurs de l'argument (température). Ils se trouvent à l'endroit qui détermine l'allongement graphique de la colonne de mercure (valeur de fonction) en raison de son expansion volumétrique résultant des changements de température.
>>Mathématiques : Méthodes de spécification d'une fonction
Méthodes de spécification d'une fonction
En donnant divers exemples de fonctions dans le paragraphe précédent, nous avons quelque peu appauvri la notion même de fonction.
Après tout, définir une fonction signifie spécifier une règle qui permet de calculer la valeur correspondante y à partir d'une valeur arbitrairement choisie x à partir de B(0. Le plus souvent, cette règle est associée à une ou plusieurs formules - cette méthode de spécification d'une fonction est généralement appelée analytique. Toutes les fonctions discutées au § 7 ont été données de manière analytique, il existe d'autres façons de définir une fonction, qui seront discutées dans cette section.
Si la fonction a été spécifiée analytiquement et que nous avons réussi à construire un graphique de la fonction, alors nous sommes en fait passés de la méthode analytique de spécification de la fonction à la méthode graphique. La transition inverse n’est pas toujours possible. En règle générale, c'est une tâche plutôt difficile mais intéressante.
Toutes les lignes du plan de coordonnées ne peuvent pas être considérées comme un graphique d'une fonction. Par exemple, un cercle défini par l'équation x 2 + y 2 - 9 (Fig. 51) n'est pas le graphique d'une fonction, puisque toute droite x = a, où | un |<3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).
En même temps, si ce cercle est coupé en deux parties - le demi-cercle supérieur (Fig. 52) et le demi-cercle inférieur (Fig. 53), alors chacun des demi-cercles peut être considéré comme un graphique d'une certaine fonction, et dans les deux cas il est facile de passer de la méthode graphique de spécification de la fonction à la méthode analytique.
À partir de l'équation x 2 + y 2 = 9, nous trouvons y 2 = 9 - x 2 et plus loin 
Le graphique de la fonction est le demi-cercle supérieur du cercle x 2 + y 2 = 9 (Fig. 52), et le graphique de la fonction est le demi-cercle inférieur du cercle x 2 + y 2 = 9 (Fig. 53) .
Cet exemple nous permet d’attirer l’attention sur une circonstance significative. Regardez le graphique de la fonction (Fig. 52). Il est immédiatement clair que D(f) = [-3, 3]. Et si nous parlions de trouver le domaine de définition d'une fonction analytiquement donnée, alors nous devrions, comme nous l'avons fait au § 7, consacrer du temps et des efforts à résoudre l'inégalité. C'est pourquoi ils essaient généralement de travailler simultanément avec les deux. méthodes analytiques et graphiques de spécification des fonctions. Cependant, après deux années d'études d'algèbre à l'école, vous vous y êtes déjà habitué.
En plus de l'analyse et du graphique, dans la pratique, une méthode tabulaire de spécification d'une fonction est utilisée. Avec cette méthode, un tableau est fourni qui indique les valeurs de la fonction (parfois exactes, parfois approximatives) pour un ensemble fini de valeurs d'arguments. Des exemples de fonctions tabulaires peuvent être des tableaux de carrés de nombres, des cubes de nombres, des racines carrées, etc.
Dans de nombreux cas, la spécification d’une fonction sous forme de tableau est pratique. Il permet de trouver la valeur d'une fonction pour les valeurs d'argument disponibles dans le tableau sans aucun calcul.
Fonctions analytiques, graphiques, tabulaires - naitabulaires, plus simples, et donc les tâches verbales les plus populaires, ces méthodes sont tout à fait suffisantes pour nos besoins. En fait, en mathématiques, il existe de nombreuses façons différentes de définir une fonction, mais nous ne vous présenterons qu'une seule méthode supplémentaire, utilisée dans des situations très particulières. Nous parlons de la méthode verbale, lorsque la règle de spécification d'une fonction est décrite avec des mots. Donnons des exemples.
Exemple 1.
La fonction y = f(x) est définie sur l'ensemble de tous les nombres non négatifs en utilisant la règle suivante : à chaque nombre x > 0 se voit attribuer la première décimale dans la notation décimale du nombre x. Si, disons, x = 2,534, alors f(x) = 5 (la première décimale est le nombre 5) ; si x = 13,002, alors f(x) = 0 ; si alors, en écrivant 0,6666... sous forme de fraction décimale infinie, on trouve f(x) = 6. Quelle est la valeur de f(15) ? Elle est égale à 0, puisque 15 = 15 000..., et on voit que la première décimale après la virgule est 0 (en fait, l'égalité 15 = 14 999... est également vraie, mais les mathématiciens se sont mis d'accord pour ne pas considérons des fractions décimales périodiques infinies avec un point 9).
Tout nombre non négatif x peut être écrit sous forme de fraction décimale (finie ou infinie), et donc pour chaque valeur de x nous pouvons trouver une valeur spécifique pour la première décimale, nous pouvons donc parler d'une fonction, même si une quelque peu inhabituel. Cette fonction 
Exemple 2.
La fonction y = f(x) est définie sur l'ensemble de tous les nombres réels en utilisant la règle suivante : chaque nombre x est associé au plus grand de tous les entiers qui n'excèdent pas x. En d'autres termes, la fonction y = f(x) est déterminée par les conditions suivantes :
a) f(x) - un entier ;
b)f(x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f(x) + 1 > x (puisque f(x) est le plus grand entier ne dépassant pas x, ce qui signifie que f(x) + 1 est déjà supérieur à r). Si, disons, x = 2,534, alors f(x) = 2, puisque, premièrement, 2 est un entier, et deuxièmement, 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
Cette fonction a (ensemble d'entiers).
La fonction discutée dans l'exemple 2 est appelée la partie entière d'un nombre ; pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [x]. Par exemple, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Le graphique de la fonction y = [x] semble très particulier (Fig. 54).
Les fonctions peuvent être spécifiées de différentes manières. Cependant, les plus courantes sont les trois manières suivantes de spécifier les fonctions : analytique, tabulaire et graphique.
Méthode analytique de spécification d'une fonction. Avec la méthode analytique de spécification, une fonction est déterminée à l'aide d'une expression analytique, c'est-à-dire à l'aide d'une formule indiquant quelles actions doivent être effectuées sur la valeur de l'argument afin d'obtenir la valeur correspondante de la fonction.
Dans les paragraphes 2 et 3, nous avons déjà rencontré des fonctions définies à l'aide de formules, c'est-à-dire analytiquement. De plus, à l'étape 2 pour la fonction, le domaine de définition ) a été établi sur la base de considérations géométriques, et pour la fonction, le domaine de définition a été indiqué dans la condition. À l'étape 3 de la fonction, le domaine de définition a également été spécifié par condition. Cependant, très souvent, une fonction est spécifiée uniquement à l'aide d'une expression analytique (formule), sans aucune condition supplémentaire. Dans de tels cas, par domaine de définition d'une fonction, nous comprendrons la totalité de toutes les valeurs de l'argument pour lesquelles cette expression a un sens et conduit aux valeurs réelles de la fonction.
Exemple 1. Trouver le domaine d'une fonction
Solution. La fonction est spécifiée uniquement par une formule, son domaine de définition n'est pas spécifié et il n'y a pas de conditions supplémentaires. Par conséquent, par le domaine de définition de cette fonction, nous devons comprendre la totalité de toutes les valeurs d'argument pour lesquelles l'expression a des valeurs réelles. Pour cela, il doit y en avoir. En résolvant cette inégalité, nous arrivons à la conclusion que le domaine de définition de cette fonction est le segment [-1.1].
Exemple 2. Trouver le domaine de définition de la fonction.
Solution. Le domaine de définition est évidemment constitué de deux intervalles infinis, puisque l'expression n'a pas de sens lorsqu'elle est définie pour toutes les autres valeurs.
Le lecteur peut désormais facilement voir que pour une fonction le domaine de définition sera l'ensemble de l'axe numérique, et pour une fonction ce sera un intervalle infini.
Il est à noter qu'il est impossible d'identifier une fonction et la formule avec laquelle cette fonction est spécifiée. En utilisant la même formule, vous pouvez définir différentes fonctions. En fait, au paragraphe 2 nous avons considéré une fonction avec un domaine de définition ; au paragraphe 3, un graphe a été construit pour une fonction avec un domaine de définition. Et enfin, nous venons de regarder une fonction définie uniquement par une formule sans aucune condition supplémentaire. Le domaine de cette fonction est la droite numérique entière. Ces trois fonctions sont différentes les unes des autres car elles ont des périmètres de définition différents. Mais ils sont spécifiés selon la même formule.
Le cas inverse est également possible, lorsqu'une fonction dans différentes parties de son domaine de définition est donnée par différentes formules. Par exemple, considérons une fonction y définie pour toutes les valeurs non négatives comme suit : pour pour c'est-à-dire
Cette fonction est définie par deux expressions analytiques qui opèrent dans différentes parties de son domaine de définition. Le graphique de cette fonction est présenté sur la Fig. 18.
Méthode tabulaire pour spécifier une fonction. Lors de la spécification d'une fonction dans un tableau, un tableau est compilé dans lequel un certain nombre de valeurs d'argument et les valeurs de fonction correspondantes sont indiquées. Les tableaux logarithmiques, les tableaux de valeurs des fonctions trigonométriques et bien d'autres sont largement connus. Assez souvent, il est nécessaire d'utiliser des tableaux de valeurs de fonctions obtenues directement par expérience. Le tableau suivant montre les résistivités du cuivre obtenues expérimentalement (en cm - centimètres) à différentes températures t (en degrés) :
Manière graphique de spécifier une fonction. Dans une tâche graphique, un graphe d'une fonction est donné, et ses valeurs correspondant à certaines valeurs de l'argument se retrouvent directement à partir de ce graphe. Dans de nombreux cas, ces graphiques sont dessinés à l’aide d’appareils d’enregistrement.
Différentes manières de spécifier une fonction Analytique, graphique, tabulaire sont les manières les plus simples, et donc les plus populaires, de spécifier une fonction pour nos besoins, ces méthodes sont tout à fait suffisantes ; Analyticalgraphictabular En fait, en mathématiques, il existe de nombreuses manières différentes de spécifier une fonction, et l'une d'entre elles est verbale, qui est utilisée dans des situations très particulières.
Manière verbale de spécifier une fonction Une fonction peut également être spécifiée verbalement, c'est-à-dire de manière descriptive. Par exemple, la fonction dite de Dirichlet est définie comme suit : la fonction y est égale à 0 pour toutes les valeurs rationnelles et à 1 pour toutes les valeurs irrationnelles de l'argument x. Une telle fonction ne peut pas être spécifiée par un tableau, car elle est définie sur tout l'axe numérique et l'ensemble des valeurs de son argument est infini. Cette fonction ne peut pas non plus être spécifiée graphiquement. Une expression analytique de cette fonction a néanmoins été trouvée, mais elle est si complexe qu'elle n'a aucune signification pratique. La méthode verbale en donne une définition brève et claire.
Exemple 1 La fonction y = f (x) est définie sur l'ensemble de tous les nombres non négatifs en utilisant la règle suivante : à chaque nombre x 0 se voit attribuer la première décimale dans la notation décimale du nombre x. Si, disons, x = 2,534, alors f(x) = 5 (la première décimale est le nombre 5) ; si x = 13,002, alors f(x) = 0 ; si x = 2/3, alors, en écrivant 2/3 sous la forme d'une fraction décimale infinie 0,6666..., nous trouvons f(x) = 6. Quelle est la valeur de f(15) ? Elle est égale à 0, puisque 15 = 15 000..., et on voit que la première décimale après la virgule est 0 (en général, l'égalité 15 = 14 999... est vraie, mais les mathématiciens se sont mis d'accord pour ne pas considérer fractions décimales périodiques infinies avec une période de 9).
Tout nombre non négatif x peut s'écrire sous forme de fraction décimale (finie ou infinie), et donc pour chaque valeur de x on peut trouver un certain nombre de valeursde la première décimale, on peut donc parler à propos d'une fonction, quoique quelque peu inhabituelle. D (f) = . = 2 [" title="(!LANG : une fonction définie par les conditions : f (x) est un nombre entier ; f (x) x;x; f + 1 > x,x, la partie entière d'un nombre est appelé la partie entière d'un nombre D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [ x = 2 [ ]." class="link_thumb"> 7 !} Une fonction qui est déterminée par les conditions suivantes : f (x) – entier ; f(x)x;x; f + 1 > x,x, la partie entière d'un nombre est appelée la partie entière du nombre. D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [x]. = 2 = 47 [- 0,23] = - 1 x,x, la partie entière d'un nombre est appelée la partie entière d'un nombre. D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [x]. = 2 ["> x,x, la partie entière d'un nombre est appelée la partie entière du nombre. D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble des entiers) Pour la partie entière du nombre x, la notation [ x ] est utilisée = 2 = 47 [ - 0.23] = - 1"> x,x, la partie entière d'un nombre est appelée partie entière du nombre. D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [x]. = 2 [" title="(!LANG : une fonction définie par les conditions : f (x) est un nombre entier ; f (x) x;x; f + 1 > x,x, la partie entière d'un nombre est appelé la partie entière d'un nombre D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [ x = 2 [ ]."> title="Une fonction qui est déterminée par les conditions suivantes : f (x) – entier ; f(x)x;x; f + 1 > x,x, la partie entière d'un nombre est appelée la partie entière du nombre. D (f) = (-;+), E (f) = Z (ensemble d'entiers) Pour la partie entière du nombre x, utilisez la notation [x]. = 2 ["> !}
De toutes les méthodes indiquées pour spécifier une fonction, les plus grandes possibilités d'utilisation de l'appareil d'analyse mathématique sont fournies par la méthode analytique, et la méthode graphique a la plus grande clarté. C'est pourquoi l'analyse mathématique repose sur une synthèse approfondie des méthodes analytiques et géométriques. L'étude des fonctions définies analytiquement est beaucoup plus facile et devient plus claire si les graphiques de ces fonctions sont également examinés en parallèle.
Xy=x
Le grand mathématicien - Dirichlet B, professeur à Berlin et à partir de 1855 à l'Université de Göttingen. Principaux travaux sur la théorie des nombres et l'analyse mathématique. Dans le domaine de l'analyse mathématique, Dirichlet fut le premier à formuler et étudier avec précision le concept de convergence conditionnelle d'une série, à établir un test de convergence d'une série (le soi-disant test de Dirichlet, 1862) et à donner (1829) une preuve rigoureuse de la possibilité de développer une fonction ayant un nombre fini de maxima et de minima en une série de Fourier. Les travaux importants de Dirichlet sont consacrés à la mécanique et à la physique mathématique (principe de Dirichlet dans la théorie des fonctions harmoniques). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () mathématicien allemand, membre correspondant étranger. Académie des sciences de Saint-Pétersbourg (c), membre de la Royal Society de Londres (1855), Académie des sciences de Paris (1854), Académie des sciences de Berlin. Dirichlet a prouvé le théorème sur l'existence d'un nombre infiniment grand de nombres premiers dans toute progression arithmétique d'entiers, dont le premier terme et la différence sont mutuellement premiers, et a étudié (1837) la loi de distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques , et a donc introduit des séries fonctionnelles d'une forme particulière (dites séries de Dirichlet).
