Solution limites des fonctions en ligne. Trouver la valeur limite d'une fonction ou d'une séquence fonctionnelle en un point, calculer ultime la valeur de la fonction à l'infini. déterminer la convergence d'une série de nombres et bien plus encore peut être fait grâce à notre service en ligne -. Nous vous permettons de trouver en ligne les limites de fonction de manière rapide et précise. Vous saisissez vous-même la variable de fonction et la limite vers laquelle elle tend, et notre service effectue pour vous tous les calculs, en donnant une réponse précise et simple. Et pour trouver la limite en ligne vous pouvez saisir à la fois des séries numériques et des fonctions analytiques contenant des constantes en expression littérale. Dans ce cas, la limite trouvée de la fonction contiendra ces constantes comme arguments constants dans l'expression. Notre service résout tous les problèmes complexes de recherche limites en ligne, il suffit d'indiquer la fonction et le point où il faut calculer valeur limite de la fonction. Calculateur limites en ligne, vous pouvez utiliser diverses méthodes et règles pour les résoudre, tout en vérifiant le résultat obtenu avec résoudre les limites en ligne sur le site www.site, ce qui mènera à la réussite de la tâche - vous éviterez vos propres erreurs et erreurs d'écriture. Ou vous pouvez nous faire entièrement confiance et utiliser notre résultat dans votre travail, sans consacrer d'efforts ni de temps supplémentaires au calcul indépendant de la limite de la fonction. Nous autorisons la saisie de valeurs limites telles que l'infini. Il est nécessaire de saisir un membre commun d'une séquence de numéros et www.site calculera la valeur limite en ligneà plus ou moins l'infini.

L'un des concepts de base de l'analyse mathématique est limite de fonction Et limite de séquence en un point et à l'infini, il est important de pouvoir résoudre correctement limites. Avec notre service, cela ne sera pas difficile. Une décision est prise limites en ligne en quelques secondes, la réponse est précise et complète. L'étude de l'analyse mathématique commence par passage à la limite, limites sont utilisés dans presque tous les domaines des mathématiques supérieures, il est donc utile d'avoir un serveur à portée de main pour solutions de limites en ligne, qui est le site.

Théorie des limites- une des sections de l'analyse mathématique que certains peuvent maîtriser, tandis que d'autres ont du mal à calculer les limites. La question de trouver des limites est assez générale, puisqu'il existe des dizaines de techniques limites de la solution divers types. Les mêmes limites peuvent être trouvées avec ou sans la règle de L'Hôpital. Il arrive que programmer une série de fonctions infinitésimales permet d’obtenir rapidement le résultat souhaité. Il existe un ensemble de techniques et d'astuces qui permettent de trouver la limite d'une fonction de toute complexité. Dans cet article, nous tenterons de comprendre les principaux types de limites les plus souvent rencontrées en pratique. Nous ne donnerons pas ici la théorie et la définition de la limite ; il existe de nombreuses ressources sur Internet où cela est discuté. Passons donc aux calculs pratiques, c’est là que votre « Je ne sais pas ! Je ne peux pas ! On ne nous a pas appris !

Calcul des limites à l'aide de la méthode de substitution

Exemple 1. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solution : Des exemples de ce type peuvent être théoriquement calculés en utilisant la substitution habituelle

La limite est le 18/11.
Il n'y a rien de compliqué ou de sage dans de telles limites - nous avons substitué la valeur, l'avons calculée et noté la limite comme réponse. Cependant, sur la base de ces limites, chacun apprend qu’il faut d’abord substituer la valeur à la fonction. De plus, les limites deviennent plus compliquées, introduisant le concept d’infini, d’incertitude, etc.

Une limite avec une incertitude comme l'infini divisé par l'infini. Techniques de divulgation des incertitudes

Exemple 2. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infini).
Solution : Une limite de la forme polynôme divisée par un polynôme est donnée, et la variable tend vers l'infini

Remplacer simplement la valeur à laquelle la variable doit être trouvée pour trouver les limites n'aidera pas, nous obtenons une incertitude de la forme infini divisé par l'infini.
Selon la théorie des limites, l’algorithme de calcul de la limite consiste à trouver la plus grande puissance de « x » au numérateur ou au dénominateur. Ensuite, le numérateur et le dénominateur y sont simplifiés et la limite de la fonction est trouvée

Puisque la valeur tend vers zéro lorsque la variable tend vers l'infini, elles sont négligées, ou écrites dans l'expression finale sous forme de zéros.

Immédiatement de la pratique, vous pouvez tirer deux conclusions qui constituent un indice dans les calculs. Si une variable tend vers l’infini et que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, alors la limite est égale à l’infini. Sinon, si le polynôme au dénominateur est d’ordre supérieur à celui du numérateur, la limite est zéro.
La limite peut être écrite dans des formules comme celle-ci :

Si nous avons une fonction de la forme d'un corps ordinaire sans fractions, alors sa limite est égale à l'infini

Le prochain type de limites concerne le comportement des fonctions proches de zéro.

Exemple 3. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solution : Il n’est pas nécessaire de supprimer ici le facteur principal du polynôme. Exactement le contraire, vous devez trouver la plus petite puissance du numérateur et du dénominateur et calculer la limite

Valeur x^2 ; x tendent vers zéro lorsque la variable tend vers zéro. Par conséquent, ils sont négligés, nous obtenons donc.

que la limite est de 2,5.

Maintenant tu sais comment trouver la limite d'une fonction de la forme, divisez un polynôme par un polynôme si la variable tend vers l'infini ou vers 0. Mais ce n'est qu'une petite et facile partie des exemples. À partir du matériel suivant, vous apprendrez comment découvrir les incertitudes dans les limites d'une fonction.

Limite avec incertitude de type 0/0 et méthodes pour son calcul

Tout le monde se souvient immédiatement de la règle selon laquelle on ne peut pas diviser par zéro. Cependant, la théorie des limites dans ce contexte implique des fonctions infinitésimales.
Regardons quelques exemples pour plus de clarté.

Exemple 4. Trouver la limite d'une fonction
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solution : Lorsque nous substituons la valeur de la variable x = -1 au dénominateur, nous obtenons zéro et nous obtenons la même chose au numérateur. Donc nous avons incertitude de la forme 0/0.
Faire face à une telle incertitude est simple : vous devez factoriser le polynôme, ou plutôt sélectionner le facteur qui transforme la fonction en zéro.

Après développement, la limite de la fonction peut s’écrire

C'est toute la méthode pour calculer la limite d'une fonction. On fait de même s'il existe une limite de la forme polynôme divisée par un polynôme.

Exemple 5. Trouver la limite d'une fonction
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solution : spectacles de substitution directe
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
qu'avons-nous incertitude de type 0/0.
Divisons les polynômes par le facteur qui introduit la singularité


Il y a des enseignants qui enseignent que les polynômes du 2ème ordre, c'est-à-dire du type « équations quadratiques », doivent être résolus par le discriminant. Mais la pratique réelle montre que cela est plus long et plus déroutant, alors débarrassez-vous des fonctionnalités dans les limites de l'algorithme spécifié. Ainsi, on écrit la fonction sous forme de facteurs simples et on la calcule dans la limite

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à calculer de telles limites. Au moment où vous étudiez les limites, vous savez comment diviser des polynômes, au moins selon le programme, vous devriez déjà l'avoir réussi.
Parmi les tâches sur incertitude de type 0/0 Il y en a dans lesquels vous devez utiliser des formules de multiplication abrégées. Mais si vous ne les connaissez pas, en divisant un polynôme par un monôme, vous pouvez obtenir la formule souhaitée.

Exemple 6. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solution : Nous avons une incertitude de type 0/0. Au numérateur, nous utilisons la formule de multiplication abrégée

et calculer la limite requise

Méthode pour révéler l'incertitude en multipliant par son conjugué

La méthode est appliquée aux limites dans lesquelles l'incertitude est générée par des fonctions irrationnelles. Le numérateur ou le dénominateur devient zéro au point de calcul et on ne sait pas comment trouver la frontière.

Exemple 7. Trouver la limite d'une fonction
Lim((carré(x+2)-carré(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solution: Représentons la variable dans la formule limite

Lors de la substitution, on obtient une incertitude de type 0/0.
Selon la théorie des limites, la manière de contourner cette caractéristique est de multiplier l’expression irrationnelle par son conjugué. Pour garantir que l'expression ne change pas, le dénominateur doit être divisé par la même valeur

En utilisant la règle de la différence des carrés, nous simplifions le numérateur et calculons la limite de la fonction

Nous simplifions les termes qui créent la singularité dans la limite et effectuons la substitution

Exemple 8. Trouver la limite d'une fonction
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Solution : La substitution directe montre que la limite a une singularité de la forme 0/0.

Pour développer, on multiplie et on divise par le conjugué du numérateur

Nous notons la différence des carrés

Nous simplifions les termes qui introduisent la singularité et trouvons la limite de la fonction

Exemple 9. Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Solution : Remplacez deux dans la formule

On a incertitude 0/0.
Le dénominateur doit être multiplié par l'expression conjuguée, et au numérateur l'équation quadratique doit être résolue ou factorisée, en tenant compte de la singularité. Puisqu’on sait que 2 est une racine, on trouve la deuxième racine en utilisant le théorème de Vieta

Ainsi, on écrit le numérateur sous la forme

et remplacez-le dans la limite

En réduisant la différence des carrés, on s'affranchit des singularités au numérateur et au dénominateur

En utilisant la méthode ci-dessus, il est possible de se débarrasser des singularités dans de nombreux exemples, et l'application doit être notée partout où une différence donnée de racines devient nulle lors de la substitution. D'autres types de limites concernent les fonctions exponentielles, les fonctions infinitésimales, les logarithmes, les limites spéciales et d'autres techniques. Mais vous pouvez lire à ce sujet dans les articles ci-dessous sur les limites.

Un calculateur de limites en ligne sur le site pour les étudiants et écoliers pour consolider pleinement la matière abordée et développer leurs compétences pratiques. Comment utiliser le calculateur de limite en ligne sur notre ressource ? Cela peut être fait très facilement, il vous suffit de saisir la fonction d'origine dans le champ disponible, de sélectionner la valeur limite requise pour la variable dans le sélecteur et de cliquer sur le bouton « Solution ». Si, à un moment donné, vous devez calculer la valeur limite, vous devez alors saisir la valeur de ce point même - numérique ou symbolique. Le calculateur de limite en ligne vous aidera à trouver en un point donné, la limite dans l'intervalle de définition de la fonction, la valeur de la limite, et cette valeur, où la valeur de la fonction étudiée se précipite lorsque son argument se précipite vers un point donné. point, est la solution de la limite. Sur la base du calculateur de limite en ligne sur notre site Web, nous pouvons dire ce qui suit : il existe un grand nombre d'analogues sur Internet, vous pouvez en trouver de dignes, il vous suffit de les rechercher attentivement. Mais ici, vous serez confronté au fait qu’un site est différent d’un autre site. Beaucoup d’entre eux ne proposent pas du tout de calculateur de limite en ligne, contrairement à nous. Si dans un moteur de recherche bien connu, que ce soit Yandex ou Google, vous recherchez des sites en utilisant l'expression « Calculateur de limite en ligne », le site apparaîtra en haut des résultats de recherche. Cela signifie que ces moteurs de recherche nous font confiance, et sur notre site il n'y a que du contenu de haute qualité, et surtout utile aux étudiants des écoles et universités ! Poursuivons la conversation sur les calculateurs de limites et en général sur la théorie du passage à la limite. Très souvent, dans la définition de la limite d'une fonction, la notion de quartiers est formulée. Ici, les limites des fonctions, ainsi que la solution de ces limites, ne sont étudiées qu'en des points limitants pour le domaine de définition des fonctions, sachant qu'en chaque voisinage d'un tel point il y a des points du domaine de définition de cette fonction. Cela nous permet de parler de la tendance d'une fonction variable vers un point donné. Si à un moment donné dans le domaine de définition d'une fonction, il existe une limite et que le calculateur de limite en ligne produit une solution limite détaillée de la fonction à ce stade, alors la fonction s'avère être continue à ce stade. Laissez notre calculateur de limite en ligne avec la solution donner un résultat positif, et nous le vérifierons sur d'autres sites. Cela peut prouver la qualité de notre ressource et, comme beaucoup le savent déjà, elle est à son meilleur et mérite les plus grands éloges. Parallèlement à cela, il est possible d'étudier les limites d'un calculateur en ligne avec une solution détaillée de manière indépendante, mais sous la supervision étroite d'un enseignant professionnel. Souvent, cette action conduira aux résultats escomptés. Tous les étudiants rêvent simplement qu'un calculateur de limites en ligne avec une solution décrira en détail leur problème complexe assigné par l'enseignant au début du semestre. Mais ce n'est pas si simple. Vous devez d’abord étudier la théorie, puis utiliser une calculatrice gratuite. Tout comme les limites en ligne, le calculateur vous donnera en détail les entrées nécessaires et vous serez satisfait du résultat. Mais le point limite du domaine de définition peut ne pas appartenir à ce domaine même de définition, et cela est prouvé par un calcul détaillé du calculateur de limites en ligne. Exemple : on peut considérer la limite d'une fonction aux extrémités du segment ouvert sur lequel notre fonction est définie. Dans ce cas, les limites du segment elles-mêmes ne sont pas incluses dans le domaine de définition. En ce sens, le système de voisinages de ce point est un cas particulier d’une telle base de sous-ensembles. Un calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée est produit en temps réel et des formules lui sont appliquées sous une forme analytique explicite donnée. La limite d'une fonction à l'aide d'un calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée est une généralisation du concept de limite d'une séquence : initialement, la limite d'une fonction en un point était comprise comme la limite d'une séquence d'éléments du domaine d'une fonction, composée d'images de points d'une séquence d'éléments du domaine de définition d'une fonction convergeant vers un point donné (dont la limite est considérée) ; si une telle limite existe, alors on dit que la fonction converge vers la valeur spécifiée ; si une telle limite n’existe pas, alors on dit que la fonction diverge. D’une manière générale, la théorie du passage à la limite est le concept de base de toute analyse mathématique. Tout est basé précisément sur des passages aux limites, c'est-à-dire qu'une solution détaillée des limites est la base de la science de l'analyse mathématique, et le calculateur de limites en ligne pose les bases de la formation des étudiants. Un calculateur de limite en ligne avec une solution détaillée sur le site Internet est un service unique permettant de recevoir une réponse précise et instantanée en temps réel. Il n’est pas rare, ou plutôt très souvent, que les étudiants aient immédiatement des difficultés à résoudre les limites lorsqu’ils étudient initialement l’analyse mathématique. Nous garantissons que la résolution des limites avec une calculatrice en ligne sur notre service est la clé de la précision et de l'obtention d'une réponse de haute qualité. Vous recevrez une réponse à une solution détaillée d'une limite à l'aide d'une calculatrice en quelques secondes, pourrait-on même dire. immédiatement. Si vous fournissez des données incorrectes, c'est-à-dire des caractères inacceptables par le système, ce n'est pas grave, le service vous informera automatiquement de l'erreur. Corrigez la fonction (ou le point limite) précédemment saisi et obtenez la solution détaillée correcte à l'aide du calculateur de limite en ligne. Faites-nous confiance et nous ne vous laisserons jamais tomber. Vous pouvez facilement utiliser le site et le calculateur de limite en ligne avec la solution décrira en détail les actions étape par étape pour calculer le problème. Il vous suffit d'attendre quelques secondes et vous recevrez la réponse souhaitée. Pour résoudre les limites avec un calculateur en ligne avec une solution détaillée, toutes les techniques possibles sont utilisées, en particulier la méthode de L'Hôpital est très souvent utilisée, car elle est universelle et conduit à une réponse plus rapide que les autres méthodes de calcul de la limite d'une fonction. Souvent, une solution détaillée en ligne avec un calculateur de limites est nécessaire pour calculer la somme d'une séquence de nombres. Comme vous le savez, pour trouver la somme d'une suite numérique, il suffit d'exprimer correctement la somme partielle de cette suite, et tout est alors simple, grâce à notre site de service gratuit, puisque le calcul de la limite à l'aide de notre calculateur de limite en ligne à partir d'une partie sum sera la somme finale de la séquence numérique. Une solution détaillée du calculateur de limites en ligne à l'aide du service du site Web permet aux étudiants de voir les progrès dans la résolution des problèmes, ce qui rend la compréhension de la théorie des limites facile et accessible à presque tout le monde. Restez concentré et ne laissez pas vos mauvaises actions vous causer des problèmes sous la forme d'échecs. Comme toute solution détaillée avec un service en ligne de calcul de limite, le problème sera présenté sous une forme pratique et compréhensible, avec une solution détaillée, dans le respect de toutes les règles et réglementations pour obtenir une solution. En même temps, vous pourrez gagner du temps. et de l'argent, puisque nous ne demandons absolument rien pour cela. Sur notre site Internet, une solution détaillée de calculateurs de limites en ligne est disponible 24 heures sur 24, toujours. En fait, tous les calculateurs de limites en ligne proposant une solution peuvent ne pas fournir d'informations détaillées sur l'avancement d'une solution étape par étape ; nous ne devons pas l'oublier et le surveiller. Dès que les limites du calculateur en ligne avec une solution détaillée vous invitent à cliquer sur le bouton « Solution », veuillez d'abord tout vérifier. c'est-à-dire, vérifiez la fonction saisie, ainsi que la valeur limite, et ensuite seulement continuez l'action. Cela vous évitera des expériences douloureuses de calculs infructueux. Et puis les limites du calculateur en ligne avec une loi détaillée donneront la représentation factorielle correcte de l'action étape par étape. Si le calculateur de limite en ligne ne fournit soudainement pas de solution détaillée, il peut y avoir plusieurs raisons à cela. Tout d’abord, vérifiez l’expression de fonction écrite. Elle doit contenir la variable "x", sinon la fonction entière sera traitée comme une constante par le système. Ensuite, vérifiez la valeur limite si vous avez spécifié un point ou une valeur symbolique donnée. Il ne doit également contenir que des lettres latines - c'est important ! Ensuite, vous pouvez réessayer de trouver une solution détaillée aux limites en ligne sur notre excellent service et utiliser le résultat. Dès qu'ils disent que les limites de la solution en ligne sont très difficiles en détail - n'y croyez pas, et surtout ne paniquez pas, tout est résolu dans le cadre de la formation. Nous vous recommandons, sans panique, de consacrer quelques minutes à notre service et de vérifier l'exercice proposé. Si néanmoins les limites de la solution en ligne ne peuvent pas être résolues en détail, alors vous avez fait une faute de frappe, car sinon le site résout presque tous les problèmes sans trop de difficultés. Mais vous n’avez pas besoin de penser que vous pouvez obtenir immédiatement le résultat souhaité sans difficulté et sans investir d’efforts. Dans tous les cas, vous devez consacrer suffisamment de temps à l'étude de la matière. Il est possible de montrer en ligne chaque calculateur de limite avec une solution en détail au stade de la construction de la solution exposée et de supposer le contraire. Mais peu importe comment exprimer cela, puisque nous nous préoccupons du processus même de l’approche scientifique. En conséquence, nous montrerons comment le calculateur de limites avec solution en ligne est basé en détail sur l'aspect fondamental des mathématiques en tant que science. Mettez en évidence cinq principes de base et commencez d’autres actions. Il vous sera demandé si une solution de calcul de limite est disponible en ligne avec une solution détaillée pour tout le monde, et vous répondrez : oui, c'est le cas ! Peut-être qu’en ce sens, l’accent n’est pas particulièrement mis sur les résultats, mais la limite en ligne a une signification légèrement différente de ce qu’elle pourrait paraître au premier abord lorsqu’on étudie la discipline. Avec une approche équilibrée, avec le bon équilibre des forces, vous pouvez, dans les plus brefs délais, afficher vous-même la limite en ligne en détail.! En réalité, le calculateur de limite en ligne avec la solution détaillée commencera à représenter rapidement et proportionnellement toutes les étapes du calcul étape par étape.

À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre ; vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des problèmes pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.

Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.

Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.

Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais en pratique, dans 95 % des cas, les étudiants à temps partiel ont deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.

La première limite merveilleuse

Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).

D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que :

Ce fait mathématique est appelé La première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.

Souvent, dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être organisées différemment, cela ne change rien :

- la même première merveilleuse limite.

Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.

En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. Il est seulement important qu'il tende vers zéro.

Exemples:
, , ,

Ici , , , , et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.

Mais l’entrée suivante est une hérésie :

Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.

Au fait, une petite question : quelle est la limite ? ? La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « libres », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être décidé entre un « deux » et un « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de résoudre un exemple simple (« peut-être qu'il(s) sait encore quoi ?! »).

Passons à des exemples pratiques :

Exemple 1

Trouver la limite

Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.

Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :

On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.

Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :

Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :

Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre :

Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages :

Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .

Prêt. Réponse finale:

Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :

“

Utilisons la première limite merveilleuse

“

Exemple 2

Trouver la limite

Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. À la leçon Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :

Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :

En fait, la réponse est prête :

Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.

Exemple 3

Trouver la limite

On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :

Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes Sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).

Dans ce cas:

Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :

Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.

Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :

En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.

Exemple 4

Trouver la limite

Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)

Nous utilisons la formule trigonométrique. Prendre note! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.

Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :

Organisons la première merveilleuse limite :

Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :

Débarrassons-nous de la structure à trois étages :

La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :

Exemple 5

Trouver la limite

Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :

Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.

Deuxième merveilleuse limite

Dans la théorie de l'analyse mathématique, il a été prouvé que :

Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.

Référence: est un nombre irrationnel.

Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.

Exemple 6

Trouver la limite

Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.

Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, le principe par lequel cela est fait est discuté dans la leçon Limites. Exemples de solutions.

Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :

Cette incertitude est précisément révélée à l’aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple le paramètre est , ce qui signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :

Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :

Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :

Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:

Exemple 7

Trouver la limite

Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.

Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :

Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : au dénominateur on a , ce qui veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .

Notions de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il faut trouver la limite d'une suite, elle s'écrit : lim xn=a. Dans une telle séquence de séquences, xn tend vers a et n tend vers l’infini. Une séquence est généralement représentée sous forme de série, par exemple :
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Les séquences sont divisées en séquences croissantes et décroissantes. Par exemple:
xn=n^2 - séquence croissante
yn=1/n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de la séquence xn=1/n^ :
limite 1/n^2=0

x→∞
Cette limite est égale à zéro, puisque n→∞, et la séquence 1/n^2 tend vers zéro.

Typiquement, une quantité variable x tend vers une limite finie a, et x se rapproche constamment de a, et la quantité a est constante. Cela s'écrit comme suit : limx =a, tandis que n peut aussi tendre vers zéro ou vers l'infini. Il existe une infinité de fonctions dont la limite tend vers l’infini. Dans d'autres cas, lorsque par exemple la fonction ralentit un train, il est possible que la limite tende vers zéro.
Les limites ont un certain nombre de propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D’autres sont répertoriés ci-dessous :
* Le montant plafond est égal à la somme des plafonds :
lim(x+y)=lim x+lim y
* La limite du produit est égale au produit des limites :
lim(xy)=lim x*lim y
* La limite du quotient est égale au quotient des limites :
lim(x/y)=lim x/lim y
* Le facteur constant est pris en dehors du signe limite :
lim(Cx)=C lim x
Étant donné une fonction 1 /x dans laquelle x →∞, sa limite est nulle. Si x→0, la limite d'une telle fonction est ∞.
Pour les fonctions trigonométriques, il existe certaines de ces règles. Puisque la fonction sin x tend toujours vers l’unité lorsqu’elle tend vers zéro, l’identité lui vaut :
lim péché x/x=1

Dans un certain nombre de fonctions, il existe des fonctions pour lesquelles une incertitude apparaît lors du calcul des limites - une situation dans laquelle la limite ne peut pas être calculée. La seule issue à cette situation est L'Hôpital. Il existe deux types d'incertitudes :
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme ∞/∞
Par exemple, une limite de la forme suivante est donnée : lim f(x)/l(x), et f(x0)=l(x0)=0. Dans ce cas, une incertitude de la forme 0/0 apparaît. Pour résoudre un tel problème, les deux fonctions sont différenciées, après quoi la limite du résultat est trouvée. Pour les incertitudes de type 0/0, la limite est :
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (à x→0)
La même règle est également vraie pour les incertitudes de type ∞/∞. Mais dans ce cas l’égalité suivante est vraie : f(x)=l(x)=∞
Grâce à la règle de L'Hôpital, vous pouvez trouver les valeurs de toutes limites dans lesquelles apparaissent des incertitudes. Un préalable à

volume - aucune erreur lors de la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x^2)" est égale à 2x. De là, nous pouvons conclure que :
f"(x)=nx^(n-1)