Les vecteurs coplanaires sont la règle du parallélépipède.

TRANSCRIPTION TEXTE DE LA LEÇON :

L'addition de plusieurs vecteurs dans l'espace s'effectue de la manière suivante : le premier vecteur est ajouté au deuxième, puis leur somme est ajoutée au troisième vecteur, et ainsi de suite. Nous connaissons cette règle sous le nom de règle des polygones. La figure montre l'addition de trois vecteurs dans l'espace.

A partir du point O le vecteur OA est égal au vecteur a, puis à partir du point A le vecteur AB est égal à être, à partir du point B le vecteur suivant BC est égal à tse, et on relie le premier et le dernier points O avec C on obtient le vecteur OS égal à la somme des vecteurs a, be et tse.

Formulons la règle du polygone.

La figure montre la somme de six vecteurs.

Si le début du vecteur coïncide avec la fin du dernier, alors la somme est égale au vecteur zéro.

Considérons la somme des vecteurs

Après avoir effectué l'addition selon la règle des polygones, on obtient le vecteur AA ou vecteur zéro.

Résolvons le problème n°337 (c)

Simplifier l'expression

Solution : Remplaçons la soustraction dans l'expression par la somme. Pour ce faire, remplacez les vecteurs négatifs par leurs opposés. Le vecteur moins BC est égal au vecteur SV, le vecteur moins RM est égal au vecteur MR. Le vecteur moins AP est égal au vecteur RA. Le vecteur AC ajouté au vecteur CB donne le vecteur AB. Les vecteurs MR et RA donnent le vecteur MA. Ensuite, en additionnant les vecteurs AB et BM, on obtient le vecteur AM. Il en résulte que la somme des vecteurs AM et MA donne un vecteur nul. L'expression est simplifiée.

Résolvons le problème de preuve n°338.

Étant donné le parallélépipède ABCDA1B1C1D1. Montrez-le, où O est un point arbitraire dans l’espace.

Preuve. Transformons le côté gauche de l'égalité. Nous représentons le vecteur OA comme la somme des vecteurs OA1 et A1A selon la règle du triangle. Le vecteur A1A est égal au vecteur C1C comme les arêtes opposées du parallélépipède. En additionnant les vecteurs OC1 et C1C, on obtient OC. Grâce aux transformations, nous avons obtenu le côté droit de l'égalité. La preuve est terminée.

Règle parallélépipédique. Un vecteur situé sur la diagonale d'un parallélépipède est égal à la somme des vecteurs tirés du même point et situés sur les trois dimensions du parallélépipède. B1. C1. A1. D1. B.C.A.D.

Géométrie 11e année

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