Diff. linéaire. équations du nième ordre

n-ième commande

Théorème. Si oui 0- solution d'une équation homogène L[o]=0, et 1- solution de l'équation inhomogène correspondante L[y] = f(x), alors la somme oui 0 + oui 1 est la solution de cette équation inhomogène.

La structure de la solution générale de l'équation inhomogène est déterminée par le théorème suivant.

Théorème. Si Oui- solution particulière de l'équation L[y] = f(x)à coefficients continus, - solution générale de l'équation homogène correspondante L[y] = 0, alors la solution générale de cette équation inhomogène est déterminée par la formule

Commentaire. Pour écrire la solution générale d'une équation linéaire inhomogène, il est nécessaire de trouver une solution particulière à cette équation et une solution générale à l'équation homogène correspondante.

Équations inhomogènes linéaires n

Considérons l'équation inhomogène linéaire n-ième ordre à coefficients constants

Où un 1, un 2, …, un- nombres réels. Écrivons l'équation homogène correspondante

La solution générale de l'équation inhomogène est déterminée par la formule

Solution générale d'une équation homogène oui 0 on peut trouver, une solution particulière Oui peut être trouvé par la méthode des coefficients indéfinis dans les cas simples suivants :

Dans le cas général, la méthode de variation de constantes arbitraires est utilisée.

Méthode de variation de constantes arbitraires

Considérons l'équation inhomogène linéaire n-ième ordre à coefficients variables

Si trouver une solution particulière à cette équation s'avère difficile, mais que la solution générale de l'équation homogène correspondante est connue, alors la solution générale de l'équation inhomogène peut être trouvée méthode de variation de constantes arbitraires.

Soit l'équation homogène correspondante

a une solution générale

Nous chercherons une solution générale à l'équation inhomogène sous la forme

Où oui 1 =oui 1 (x), oui 2 =oui 2 (x), …, oui n = oui n (x) sont des solutions linéairement indépendantes d'une équation homogène incluse dans sa solution générale, et C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- fonctions inconnues. Pour trouver ces fonctions, soumettons-les à certaines conditions.

Trouvons la dérivée

Nous exigeons que la somme dans la deuxième tranche soit égale à zéro, c'est-à-dire

Trouvons la dérivée seconde

et nous exigerons que

En poursuivant un processus similaire, nous obtenons

Dans ce cas, on ne peut pas exiger que la somme de la deuxième tranche disparaisse, puisque les fonctions C 1 (x), C2(x), …, Cn(x) déjà subordonné n-1 conditions, mais vous devez toujours satisfaire l’équation inhomogène d’origine.

Systèmes différentiels linéaires équations.

Le système d'équations différentielles s'appelle linéaire, si elle est linéaire par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées. système n-les équations linéaires du 1er ordre s'écrivent sous la forme :

Les coefficients du système sont const.

Il est pratique d’écrire ce système sous forme matricielle : ,

où est un vecteur colonne de fonctions inconnues dépendant d'un argument.

Vecteur colonne des dérivées de ces fonctions.

Vecteur de colonne de termes libres.

Matrice de coefficients.

Théorème 1 : Si tous les coefficients matriciels UN sont continus sur un certain intervalle et , puis dans un certain voisinage de chaque m. Les conditions TS&E sont remplies. Par conséquent, une seule courbe intégrale passe par chacun de ces points.

En effet, dans ce cas, les membres droits du système sont continus par rapport à l'ensemble des arguments et leurs dérivées partielles par rapport à (égales aux coefficients de la matrice A) sont limitées, du fait de la continuité sur un intervalle fermé.

Méthodes de résolution des SLD

1. Un système d'équations différentielles peut être réduit à une seule équation en éliminant les inconnues.

Exemple: Résolvez le système d'équations : (1)

Solution: exclure zà partir de ces équations. De la première équation nous avons . En remplaçant dans la deuxième équation, après simplification on obtient : .

Ce système d'équations (1) réduit à une seule équation du second ordre. Après avoir trouvé à partir de cette équation oui, devrait être trouvé z, en utilisant l'égalité.

2. Lors de la résolution d'un système d'équations en éliminant les inconnues, une équation d'ordre supérieur est généralement obtenue, donc dans de nombreux cas, il est plus pratique de résoudre le système en trouvant combinaisons intégrées.

Suite 27b

Exemple: Résoudre le système

Solution:

Résolvons ce système en utilisant la méthode d'Euler. Écrivons le déterminant pour trouver la caractéristique

équation : , (le système étant homogène, pour qu'il ait une solution non triviale, ce déterminant doit être égal à zéro). On obtient une équation caractéristique et on trouve ses racines :

La solution générale est : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

- vecteur propre.

Nous écrivons la solution pour : ;

On obtient la solution générale : .

Allons vérifier:

trouvons : et substituons-le dans la première équation de ce système, c'est-à-dire .

On a:

- une véritable égalité.

Diff. linéaire. équations du nième ordre. Théorème sur la solution générale d'une équation linéaire inhomogène du nième ordre.

Une équation différentielle linéaire du nième ordre est une équation de la forme : (1)

Si cette équation a un coefficient, alors en divisant par celui-ci, on arrive à l'équation : (2) .

Généralement des équations du type (2). Supposons que chez toi (2) toutes les chances, ainsi que f(x) continu sur un certain intervalle (un B). Alors, selon TS&E, l’équation (2) a une solution unique qui satisfait les conditions initiales : , , …, pour . Ici - n'importe quel point de l'intervalle (un B), et tout - n'importe quel nombre donné. L'équation (2) satisfait TC&E , n'a donc pas solutions spéciales.

Déf. : spécial les points sont ceux auxquels =0.

Propriétés d'une équation linéaire :

1. Une équation linéaire le reste pour tout changement de la variable indépendante.
2. Une équation linéaire le reste pour tout changement linéaire de la fonction souhaitée.

Déf : si dans l'équation (2) mettre f(x)=0, alors on obtient une équation de la forme : (3) , qui est appelée équation homogène par rapport à l'équation inhomogène (2).

Introduisons l'opérateur différentiel linéaire : (4). En utilisant cet opérateur, vous pouvez réécrire sous forme courte l'équation (2) Et (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Opérateur (4) a les propriétés simples suivantes :

De ces deux propriétés un corollaire peut être déduit : .

Fonction y=y(x) est une solution de l'équation inhomogène (2), Si L(y(x))=f(x), Alors f(x) appelé la solution de l’équation. Donc la solution de l'équation (3) appelé la fonction y(x), Si L(y(x))=0 sur les intervalles considérés.

Considérer équation linéaire inhomogène : , L(y)=f(x).

Supposons que nous ayons trouvé une solution particulière d’une manière ou d’une autre, alors .

Introduisons une nouvelle fonction inconnue z selon la formule : , où est une solution particulière.

Remplaçons-le dans l'équation : , ouvrons les parenthèses et obtenons : .

L’équation résultante peut être réécrite comme suit :

Puisque est une solution particulière à l’équation originale, alors .

Ainsi, nous avons obtenu une équation homogène par rapport à z. La solution générale de cette équation homogène est une combinaison linéaire : , où les fonctions - constituent le système fondamental de solutions de l'équation homogène. Remplacement z dans la formule de remplacement, on obtient : (*) pour la fonction oui– fonction inconnue de l'équation d'origine. Toutes les solutions de l’équation originale seront contenues entre (*).

Ainsi, la solution générale de la droite inhomogène. L'équation est représentée comme la somme d'une solution générale d'une équation linéaire homogène et d'une solution particulière d'une équation inhomogène.

(suite de l'autre côté)

30. Théorème d'existence et d'unicité de la solution du différentiel. équations

Théorème: Si le côté droit de l'équation est continu dans le rectangle et est limité, et satisfait également la condition de Lipschitz : , N=const, alors il existe une unique solution qui satisfait les conditions initiales et est définie sur le segment , Où .

Preuve:

Considérons l'espace métrique complet AVEC, dont les points sont toutes les fonctions continues possibles y(x) définies sur l'intervalle , dont les graphiques se trouvent à l'intérieur du rectangle, et la distance est déterminée par l'égalité : . Cet espace est souvent utilisé en analyse mathématique et est appelé espace de convergence uniforme, puisque la convergence dans la métrique de cet espace est uniforme.

Remplaçons le différentiel. équation avec des conditions initiales données à une équation intégrale équivalente : et considérons l'opérateur A(o), égal au membre droit de cette équation : . Cet opérateur attribue à chaque fonction continue

En utilisant l'inégalité de Lipschitz, on peut écrire que la distance . Choisissons-en maintenant une pour laquelle l’inégalité suivante serait vraie : .

Vous devriez alors choisir de telle sorte que . Nous avons donc montré cela.

Selon le principe des cartographies de contraction, il existe un seul point ou, ce qui revient au même, une seule fonction - une solution d'une équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données.

Équations résolues par intégration directe

Considérons l'équation différentielle suivante :
.
Nous intégrons n fois.
;
;
et ainsi de suite. Vous pouvez également utiliser la formule :
.
Voir Équations différentielles pouvant être résolues directement intégration > > >

Équations qui ne contiennent pas explicitement la variable dépendante y

La substitution entraîne une diminution de un de l'ordre de l'équation. Voici une fonction de .
Voir Équations différentielles d'ordres supérieurs qui ne contiennent pas explicitement de fonction > > >

Équations qui ne contiennent pas explicitement la variable indépendante x

.
Nous considérons que c'est une fonction de . Alors
.
De même pour les autres produits dérivés. En conséquence, l’ordre de l’équation est réduit de un.
Voir Équations différentielles d'ordres supérieurs qui ne contiennent pas de variable explicite > > >

Equations homogènes par rapport à y, y′, y′′, ...

Pour résoudre cette équation, on fait la substitution
,
où est une fonction de . Alors
.
Nous transformons de la même manière les dérivés, etc. En conséquence, l’ordre de l’équation est réduit de un.
Voir Équations différentielles d'ordre supérieur homogènes par rapport à une fonction et à ses dérivées > > >

Équations différentielles linéaires d'ordres supérieurs

Considérons équation différentielle homogène linéaire d'ordre n:
(1) ,
où sont les fonctions de la variable indépendante. Soit n solutions linéairement indépendantes à cette équation. Alors la solution générale de l’équation (1) a la forme :
(2) ,
où sont des constantes arbitraires. Les fonctions elles-mêmes forment un système fondamental de solutions.
Système de solution fondamentale d'une équation linéaire homogène du nième ordre sont n solutions linéairement indépendantes de cette équation.

Considérons équation différentielle inhomogène linéaire d'ordre n:
.
Supposons qu'il y ait une (n'importe quelle) solution particulière à cette équation. Alors la solution générale a la forme :
,
où est la solution générale de l'équation homogène (1).

Equations différentielles linéaires à coefficients constants et réductibles à ceux-ci

Équations linéaires homogènes à coefficients constants

Ce sont des équations de la forme :
(3) .
Voici des chiffres réels. Pour trouver une solution générale à cette équation, nous devons trouver n solutions linéairement indépendantes qui forment un système fondamental de solutions. Alors la solution générale est déterminée par la formule (2) :
(2) .

Nous recherchons une solution sous la forme . On a équation caractéristique:
(4) .

Si cette équation a diverses racines, alors le système fondamental de solutions a la forme :
.

Si disponible racine complexe
,
alors il existe aussi une racine conjuguée complexe. Ces deux racines correspondent à des solutions et , que l'on inclut dans le système fondamental à la place des solutions complexes et .

Multiples de racines les multiplicités correspondent à des solutions linéairement indépendantes : .

Multiples de racines complexes les multiplicités et leurs valeurs conjuguées complexes correspondent à des solutions linéairement indépendantes :
.

Équations inhomogènes linéaires avec une partie inhomogène spéciale

Considérons une équation de la forme
,
où sont les polynômes de degrés s 1 et s 2 ; - permanent.

Nous cherchons d’abord une solution générale à l’équation homogène (3). Si l'équation caractéristique (4) ne contient pas de racine, alors on cherche une solution particulière sous la forme :
,
Où
;
;
s - le plus grand des s 1 et s 2 .

Si l'équation caractéristique (4) a une racine multiplicité, alors on cherche une solution particulière sous la forme :
.

Après cela, nous obtenons la solution générale :
.

Équations inhomogènes linéaires à coefficients constants

Il y a ici trois solutions possibles.

1) Méthode Bernoulli.
Premièrement, nous trouvons toute solution non nulle à l’équation homogène
.
Ensuite, nous effectuons la substitution
,
où est une fonction de la variable x. Nous obtenons une équation différentielle pour u, qui ne contient que des dérivées de u par rapport à x. En effectuant la substitution, on obtient l'équation n - 1 - ème commande.

2) Méthode de substitution linéaire.
Faisons une substitution
,
où est l'une des racines de l'équation caractéristique (4). En conséquence, nous obtenons une équation linéaire inhomogène avec des coefficients d'ordre constants . En appliquant systématiquement cette substitution, nous réduisons l’équation originale à une équation du premier ordre.

3) Méthode de variation des constantes de Lagrange.
Dans cette méthode, nous résolvons d’abord l’équation homogène (3). Sa solution ressemble à ceci :
(2) .
Nous supposons en outre que les constantes sont des fonctions de la variable x. Alors la solution de l’équation originale a la forme :
,
où sont les fonctions inconnues. En substituant à l'équation originale et en imposant quelques restrictions, nous obtenons des équations à partir desquelles nous pouvons trouver le type de fonctions.

L'équation d'Euler

Elle se réduit à une équation linéaire à coefficients constants par substitution :
.
Cependant, pour résoudre l’équation d’Euler, il n’est pas nécessaire de procéder à une telle substitution. Vous pouvez immédiatement rechercher une solution à l'équation homogène sous la forme
.
En conséquence, nous obtenons les mêmes règles que pour une équation à coefficients constants, dans laquelle au lieu d'une variable il faut substituer .

Les références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015.
N. M. Gunter, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.