Fonction croissante et décroissante

fonction oui = F(X) est appelé croissant sur l'intervalle [ un, b], si pour une paire de points X Et X", a ≤ x l'inégalité est vraie F(X) ≤ F (X"), et strictement croissant - si l'inégalité F (X) F(X"). Les fonctions décroissantes et strictement décroissantes sont définies de la même manière. Par exemple, la fonction à = X 2 (riz. , a) augmente strictement sur le segment , et

(riz. , b) diminue strictement sur ce segment. Des fonctions croissantes sont désignées F (X), et diminue F (X)↓. F (X Pour avoir une fonction différentiable ) était en hausse sur le segment [, b UN F"(X], il faut et il suffit que sa dérivée ) était en hausse sur le segment [, b].

) était non négatif sur [ à = F (X Parallèlement à l'augmentation et à la diminution d'une fonction sur un segment, nous considérons l'augmentation et la diminution d'une fonction en un point. Fonction X) est appelé croissant au point X 0 s'il existe un intervalle (α, β) contenant le point X 0, qui pour n'importe quel point de (α, β), X x> F (X 0) ≤ F (X 0 , l'inégalité est vraie X 0, qui pour n'importe quel point ), et pour tout point F (X) x 0 , l'inégalité est vraie (X≤f X 0). L'augmentation stricte d'une fonction en ce point est définie de la même manière F"(X 0) > 0 . Si F(X 0, alors la fonction X 0). L'augmentation stricte d'une fonction en ce point est définie de la même manière F (X) augmente strictement au point un, b) augmente à chaque point de l'intervalle (

), puis il augmente sur cet intervalle.

S.B. Stechkin.. 1969-1978 .

Grande Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique

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Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique Branche des mathématiques qui étudie les dérivées et les différentielles des fonctions et leurs applications à l'étude des fonctions. Conception de D. et. dans une discipline mathématique indépendante est associé aux noms de I. Newton et G. Leibniz (seconde moitié du 17 ...

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Dérivé. Si la dérivée d'une fonction est positive pour n'importe quel point de l'intervalle, alors la fonction augmente ; si elle est négative, elle diminue ;

Pour trouver les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut trouver son domaine de définition, sa dérivée, résoudre des inégalités de la forme F'(x) > 0 et F'(x)

Solution.

3. Résoudre les inégalités y’ > 0 et y’ 0 ;
(4 - x)/x³

Solution.
1. Trouvons le domaine de définition de la fonction. Évidemment, l’expression au dénominateur doit toujours être différente de zéro. Par conséquent, 0 est exclu du domaine de définition : la fonction est définie pour x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Calculez la dérivée de la fonction :
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 -x)/x³.

3. Résoudre les inégalités y’ > 0 et y’ 0 ;
(4 - x)/x³

4. Le côté gauche de l'inégalité a un réel x = 4 et se transforme en x = 0. Par conséquent, la valeur x = 4 est incluse à la fois dans l'intervalle et dans l'intervalle décroissant, et le point 0 n'est pas inclus.
Ainsi, la fonction recherchée augmente sur l'intervalle x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Le côté gauche de l'inégalité a un réel x = 4 et se transforme en x = 0. Par conséquent, la valeur x = 4 est incluse à la fois dans l'intervalle et dans l'intervalle décroissant, et le point 0 n'est pas inclus.
Ainsi, la fonction recherchée augmente sur l'intervalle x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Sources:

• comment trouver des intervalles décroissants sur une fonction

Une fonction représente une dépendance stricte d'un nombre à un autre, ou la valeur d'une fonction (y) à un argument (x). Chaque processus (pas seulement en mathématiques) peut être décrit par sa propre fonction, qui aura des traits caractéristiques : intervalles de diminution et d'augmentation, points de minimum et de maximum, etc.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - stylo.

Instructions

Exemple 2.
Trouvez les intervalles décroissants f(x)=sinx +x.
La dérivée de cette fonction sera égale à : f’(x)=cosx+1.
Résoudre l'inégalité cosx+1

Intervalle monotonie une fonction peut être appelée un intervalle dans lequel la fonction ne fait qu'augmenter ou seulement diminuer. Un certain nombre d'actions spécifiques aideront à trouver de telles plages pour la fonction, ce qui est souvent nécessaire dans des problèmes algébriques de ce type.

Instructions

La première étape pour résoudre le problème de la détermination des intervalles dans lesquels une fonction augmente ou diminue de manière monotone consiste à calculer cette fonction. Pour ce faire, découvrez toutes les valeurs d'argument (valeurs le long de l'axe des x) pour lesquelles vous pouvez trouver la valeur de la fonction. Marquez les points où des discontinuités sont observées. Trouvez la dérivée de la fonction. Une fois que vous avez déterminé l’expression qui représente la dérivée, définissez-la égale à zéro. Après cela, vous devriez trouver les racines du fichier . Pas sur la zone autorisée.

Les points auxquels la fonction ou sa dérivée est égale à zéro représentent les limites des intervalles monotonie. Ces plages, ainsi que les points qui les séparent, doivent être inscrits séquentiellement dans le tableau. Trouvez le signe de la dérivée de la fonction dans les intervalles résultants. Pour ce faire, remplacez n'importe quel argument de l'intervalle dans l'expression correspondant à la dérivée. Si le résultat est positif, la fonction dans cette plage augmente, sinon elle diminue. Les résultats sont inscrits dans le tableau.

Dans la ligne désignant la dérivée de la fonction f'(x), les valeurs correspondantes des arguments sont écrites : "+" - si la dérivée est positive, "-" - négative ou "0" - égale à zéro. Dans la ligne suivante, notez la monotonie de l’expression originale elle-même. Une flèche vers le haut correspond à une augmentation et une flèche vers le bas correspond à une diminution. Vérifiez les fonctions. Ce sont les points auxquels la dérivée est nulle. Un extremum peut être soit un point maximum, soit un point minimum. Si la section précédente de la fonction a augmenté et que celle actuelle a diminué, c'est le point maximum. Dans le cas où la fonction décroissait avant un point donné, et maintenant elle augmente, il s'agit du point minimum. Entrez les valeurs de la fonction aux points extrêmes dans le tableau.

Sources:

• quelle est la définition de la monotonie

Le comportement d'une fonction ayant une dépendance complexe à l'égard d'un argument est étudié à l'aide de la dérivée. De par la nature du changement de la dérivée, vous pouvez trouver des points critiques et des zones de croissance ou de diminution de la fonction.

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Trouver les intervalles d'augmentation, de diminution et d'extrema d'une fonction est à la fois une tâche indépendante et une partie essentielle d'autres tâches, en particulier, étude de fonction complète. Les premières informations sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont données dans chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande vivement pour une étude préliminaire (ou répétition)– aussi parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd'hui, il y a un esprit d'une rare unanimité dans l'air, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent de désir. apprendre à explorer une fonction à l'aide de sa dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : afin qu'il soit clair ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière!

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Considérons une fonction. Pour faire simple, nous supposons qu'elle continu sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui ont récemment pris connaissance de intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉ, comment se situe le graphique de la fonction par rapport à l'axe (en haut, en bas, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est appelée strictement monotoneà cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir non décroissant fonction (condition détendue dans la première définition) et non croissant fonction (condition adoucie dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotone sur un intervalle donné. (la monotonie stricte est un cas particulier de monotonie « simplement »).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair, et c'est tout à fait suffisant pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Ainsi, dans mes articles la formulation « monotonie d'une fonction » sera presque toujours cachée intervalles monotonie stricte(fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ...Bien qu'après le post Limites de Cauchy Ils ne se cachent probablement plus, mais frémissent seulement légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves des théorèmes de l'analyse mathématique - j'avais besoin de l'environnement pour formuler les définitions plus strictement points extrêmes. Souvenons-nous:

Quartier d'un point un intervalle qui contient un point donné est appelé et, pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Le point s'appelle point maximum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique, il s'agit d'un point.

Le point s'appelle point minimum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, il est important le fait même de l'existence quartier (qu'il soit minuscule ou microscopique) qui satisfait aux conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extrêmes ou simplement points extrêmes les fonctions. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, tout aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Le point s'appelle point maximum, Si existe ses environs sont tels que pour tous
Le point s'appelle point minimum, Si existe ses environs sont tels que pour tous valeurs de ce quartier, l'inégalité tient.

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– le sens s'appelle maximum les fonctions;
– le sens s'appelle le minimum les fonctions.

Nom commun - extrêmes les fonctions.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Points extrêmes– ce sont des valeurs « X ».
Extrêmes– les significations « jeu ».

! Note : parfois les termes listés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « maximum de fonction » pas identique le terme « valeur maximale d’une fonction ». Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et en haut à gauche se trouvent des « camarades plus cool ». De même, « minimum d'une fonction » n'est pas la même chose que « valeur minimale d'une fonction », et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux. Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un plan test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?

De nombreuses règles, en fait, sont déjà connues et comprises depuis leçon sur la signification d'un dérivé.

Dérivée tangente apporte de joyeuses nouvelles selon lesquelles la fonction augmente partout domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas ci-dessus, dont beaucoup sont dérivés tabulaires, je vous le rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction: où il va « de bas en haut », où « de haut en bas », où il atteint les minimums et les maximums (si tant est qu'il les atteigne). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n’avons aucune idée du graphique d’une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer algorithme pour trouver des intervalles de monotonie et des extrema d'une fonction:

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution:

1) La première étape consiste à trouver domaine d'une fonction, et prenez également note des points d'arrêt (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action est dans une certaine mesure formelle. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

une condition nécessaire pour un extremum :

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire, mais pas assez, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Un exemple classique a déjà été souligné ci-dessus : il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à un extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article à propos des graphiques de fonctions Je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole à l'aide d'un exemple : "...nous prenons la dérivée première et l'égalons à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, nous devrions commencer par un exemple similaire ici, mais il est trop simple (même pour les nuls). De plus, il y a un analogue à la toute fin de la leçon sur dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Une solution complète et un échantillon final approximatif du problème à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Veuillez noter à quel point une même tâche peut être reformulée de différentes manières.

Solution:

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul :

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et méthode d'intervalle on définit les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de joindre des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons un point important: les points ne sont pas considérés comme critiques - ils contiennent une fonction non déterminé. En conséquence, ici En principe, il ne peut y avoir d'extrêmes(même si la dérivée change de signe).

Répondre: la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

Connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, associée à des connaissances établies asymptote donne déjà une très bonne idée de l'apparence du graphe de fonction. Une personne de formation moyenne est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction comporte deux asymptotes verticales et une asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n’y a pas d’extremum au point critique, mais il y a inflexion du graphique(ce qui arrive généralement dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.

Extréma de la fonction

Définition 2

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\le f(x_0) $ tient.

Définition 3

Un point $x_0$ est appelé point maximum d'une fonction $f(x)$ s'il existe un voisinage de ce point tel que pour tout $x$ dans ce voisinage l'inégalité $f(x)\ge f(x_0) $ tient.

La notion d'extremum d'une fonction est étroitement liée à la notion de point critique d'une fonction. Présentons sa définition.

Définition 4

$x_0$ est appelé point critique de la fonction $f(x)$ si :

1) $x_0$ - point interne du domaine de définition ;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ou n'existe pas.

Pour la notion d'extremum, on peut formuler des théorèmes sur les conditions suffisantes et nécessaires à son existence.

Théorème 2

Condition suffisante pour un extremum

Soit le point $x_0$ être critique pour la fonction $y=f(x)$ et se situer dans l'intervalle $(a,b)$. Soit sur chaque intervalle $\left(a,x_0\right)\ et\ (x_0,b)$ la dérivée $f"(x)$ existe et maintient un signe constant. Alors :

1) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée est $f"\left(x\right)>0$, et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée est $f"\left( x\droite)

2) Si sur l'intervalle $(a,x_0)$ la dérivée $f"\left(x\right)0$, alors le point $x_0$ est le point minimum pour cette fonction.

3) Si à la fois sur l'intervalle $(a,x_0)$ et sur l'intervalle $(x_0,b)$ la dérivée $f"\left(x\right) >0$ ou la dérivée $f"\left(x \droite)

Ce théorème est illustré sur la figure 1.

Figure 1. Condition suffisante pour l’existence d’extrema

Exemples d'extrêmes (Fig. 2).

Figure 2. Exemples de points extrêmes

Règle d'étude d'une fonction pour extremum

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

7) Tirer des conclusions sur la présence de maxima et de minima sur chaque intervalle, en utilisant le théorème 2.

Fonction croissante et décroissante

Introduisons d’abord les définitions des fonctions croissantes et décroissantes.

Définition 5

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite croissante si pour tout point $x_1,x_2\in X$ à $x_1

Définition 6

Une fonction $y=f(x)$ définie sur l'intervalle $X$ est dite décroissante si pour n'importe quel point $x_1,x_2\in X$ pour $x_1f(x_2)$.

Étudier une fonction croissante et décroissante

Vous pouvez étudier les fonctions croissantes et décroissantes en utilisant la dérivée.

Afin d'examiner une fonction pour des intervalles d'augmentation et de diminution, vous devez procéder comme suit :

1) Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x)$ ;

2) Trouvez la dérivée $f"(x)$ ;

3) Trouvez les points auxquels l'égalité $f"\left(x\right)=0$ est vraie ;

4) Trouvez les points auxquels $f"(x)$ n'existe pas ;

5) Marquer sur la droite de coordonnées tous les points trouvés et le domaine de définition de cette fonction ;

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle résultant ;

7) Tirez une conclusion : sur les intervalles où $f"\left(x\right)0$ la fonction augmente.

Exemples de problèmes pour l'étude des fonctions d'augmentation, de diminution et de présence de points extrema

Exemple 1

Examinez la fonction d'augmentation et de diminution, ainsi que la présence de points maximum et minimum : $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Puisque les 6 premiers points sont les mêmes, réalisons-les d’abord.

1) Domaine de définition - tous les nombres réels ;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$ ;

3) $f"\left(x\right)=0$ ;

\ \ \

4) $f"(x)$ existe en tous points du domaine de définition ;

5) Ligne de coordonnées :

Figure 3.

6) Déterminer le signe de la dérivée $f"(x)$ sur chaque intervalle :

\ \}