La méthode gaussienne n'a pas de solutions. Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues ou la matrice principale du système est singulière, en utilisant la méthode de Gauss

Aujourd'hui, nous examinons la méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires. Vous pouvez découvrir ce que sont ces systèmes dans l'article précédent consacré à la résolution des mêmes SLAE à l'aide de la méthode Cramer. La méthode Gauss ne nécessite aucune connaissance particulière, il suffit d'être attentif et cohérent. Malgré le fait que, d'un point de vue mathématique, la formation scolaire est suffisante pour l'appliquer, les étudiants ont souvent du mal à maîtriser cette méthode. Dans cet article nous allons essayer de les réduire à néant !

Méthode Gauss

M. Méthode gaussienne– la méthode la plus universelle pour résoudre les SLAE (à l’exception des très grands systèmes). Contrairement à ce qui a été discuté précédemment, il convient non seulement aux systèmes dotés d’une solution unique, mais également aux systèmes dotés d’un nombre infini de solutions. Il y a trois options possibles ici.

1. Le système a une solution unique (le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro) ;
2. Le système a un nombre infini de solutions ;
3. Il n'y a pas de solutions, le système est incompatible.

Nous avons donc un système (qu’il ait une solution) et nous allons le résoudre en utilisant la méthode gaussienne. Comment cela marche-t-il?

La méthode Gauss se compose de deux étapes : directe et inverse.

Coup direct de la méthode gaussienne

Commençons par écrire la matrice étendue du système. Pour ce faire, ajoutez une colonne de membres libres à la matrice principale.

Toute l'essence de la méthode de Gauss est d'amener cette matrice à une forme échelonnée (ou, comme on dit aussi, triangulaire) par des transformations élémentaires. Sous cette forme, il ne devrait y avoir que des zéros sous (ou au-dessus) la diagonale principale de la matrice.

Ce que vous pouvez faire :

1. Vous pouvez réorganiser les lignes de la matrice ;
2. S'il y a des lignes égales (ou proportionnelles) dans une matrice, vous pouvez toutes les supprimer sauf une ;
3. Vous pouvez multiplier ou diviser une chaîne par n'importe quel nombre (sauf zéro) ;
4. Les lignes nulles sont supprimées ;
5. Vous pouvez ajouter une chaîne multipliée par un nombre autre que zéro à une chaîne.

Méthode gaussienne inverse

Après avoir transformé le système de cette manière, une inconnue Xn devient connu, et vous pouvez trouver toutes les inconnues restantes dans l'ordre inverse, en substituant les x déjà connus dans les équations du système, jusqu'au premier.

Lorsque Internet est toujours à portée de main, vous pouvez résoudre un système d'équations en utilisant la méthode gaussienne en ligne. Il vous suffit de saisir les coefficients dans le calculateur en ligne. Mais il faut l'admettre, c'est bien plus agréable de se rendre compte que l'exemple n'a pas été résolu par un programme informatique, mais par son propre cerveau.

Un exemple de résolution d'un système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss

Et maintenant - un exemple pour que tout devienne clair et compréhensible. Supposons qu'un système d'équations linéaires soit donné et vous devez le résoudre en utilisant la méthode de Gauss :

Commençons par écrire la matrice étendue :

Passons maintenant aux transformations. Nous rappelons que nous devons obtenir une apparence triangulaire de la matrice. Multiplions la 1ère ligne par (3). Multipliez la 2ème ligne par (-1). Ajoutez la 2ème ligne à la 1ère et obtenez :

Multipliez ensuite la 3ème ligne par (-1). Ajoutons la 3ème ligne à la 2ème :

Multiplions la 1ère ligne par (6). Multiplions la 2ème ligne par (13). Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :

Voila - le système est mis sous la forme appropriée. Reste à trouver les inconnues :

Le système dans cet exemple a une solution unique. Nous envisagerons de résoudre des systèmes avec un nombre infini de solutions dans un article séparé. Peut-être qu'au début vous ne saurez pas par où commencer pour transformer la matrice, mais après une pratique appropriée, vous comprendrez et craquerez les SLAE en utilisant la méthode gaussienne comme un fou. Et si vous tombez soudainement sur un SLAE qui s’avère trop difficile à résoudre, contactez nos auteurs ! vous pouvez en laissant une demande au bureau de correspondance. Ensemble, nous résoudrons n'importe quel problème !

L'une des méthodes universelles et efficaces pour résoudre des systèmes algébriques linéaires est Méthode gaussienne , consistant en l'élimination séquentielle des inconnues.

Rappelons que les deux systèmes sont appelés équivalent (équivalent) si les ensembles de leurs solutions coïncident. En d’autres termes, les systèmes sont équivalents si toute solution de l’un d’eux est une solution de l’autre et vice versa. Des systèmes équivalents sont obtenus lorsque transformations élémentaires équations du système :

multiplier les deux côtés de l'équation par un nombre autre que zéro ;

ajouter à une équation les parties correspondantes d'une autre équation, multipliées par un nombre autre que zéro ;

réorganiser deux équations.

Soit un système d'équations

Le processus de résolution de ce système à l'aide de la méthode gaussienne comprend deux étapes. Dans un premier temps (mouvement direct), le système, à l'aide de transformations élémentaires, se réduit à par étapes , ou triangulaire forme, et à la deuxième étape (inverse), il y a une détermination séquentielle, à partir du dernier nombre variable, des inconnues du système pas à pas résultant.

Supposons que le coefficient de ce système
, sinon dans le système, la première ligne peut être échangée avec n'importe quelle autre ligne afin que le coefficient à était différent de zéro.

Transformons le système en éliminant l'inconnu dans toutes les équations sauf la première. Pour ce faire, multipliez les deux côtés de la première équation par et additionner terme par terme avec la deuxième équation du système. Multipliez ensuite les deux côtés de la première équation par et ajoutez-le à la troisième équation du système. En poursuivant ce processus, nous obtenons le système équivalent

Ici
– les nouvelles valeurs des coefficients et des termes libres obtenues après la première étape.

De même, compte tenu de l’élément principal
, exclut l'inconnu de toutes les équations du système, sauf la première et la seconde. Continuons ce processus le plus longtemps possible et nous obtiendrons ainsi un système par étapes

,

Où ,
,…,– les principaux éléments du système
.

Si, dans le processus de réduction du système à une forme pas à pas, des équations apparaissent, c'est-à-dire des égalités de la forme
, ils sont écartés car ils sont satisfaits par n'importe quel ensemble de nombres
.
Si à

Si une équation de la forme apparaît sans solution, cela indique l'incompatibilité du système. Lors du parcours inverse, la première inconnue est exprimée à partir de la dernière équation du système d'étapes transformé
à travers toutes les autres inconnues qui sont appelés . gratuit Alors l'expression variable
de la dernière équation du système est substituée dans l'avant-dernière équation et la variable en est exprimée
. Les variables sont définies séquentiellement de la même manière
. Variables , exprimés par des variables libres, sont appelés basique

(dépendant). Le résultat est une solution générale du système d’équations linéaires. Pour trouver solution privée
systèmes, gratuit inconnu
.

dans la solution générale, des valeurs arbitraires sont attribuées et les valeurs des variables sont calculées

.

Il est techniquement plus pratique de soumettre à des transformations élémentaires non pas les équations du système elles-mêmes, mais la matrice étendue du système
La méthode de Gauss est une méthode universelle qui permet de résoudre non seulement des systèmes carrés, mais également rectangulaires dans lesquels le nombre d'inconnues
.

n'est pas égal au nombre d'équations
L'avantage de cette méthode est également que dans le processus de résolution, nous examinons simultanément la compatibilité du système, car, ayant donné la matrice étendue sous forme pas à pas, il est facile de déterminer les rangs de la matrice
et matrice étendue et appliquer .

Théorème de Kronecker-Capelli Résoudre le système en utilisant la méthode de Gauss

Solution. Nombre d'équations
et le nombre d'inconnues
.

Créons une matrice étendue du système en attribuant des coefficients à droite de la matrice colonne des membres gratuits .

Présentons la matrice à une vue triangulaire; Pour ce faire, nous obtiendrons « 0 » en dessous des éléments situés sur la diagonale principale à l'aide de transformations élémentaires.

Pour obtenir le « 0 » en deuxième position de la première colonne, multipliez la première ligne par (-1) et ajoutez-la à la deuxième ligne.

Nous écrivons cette transformation sous la forme du nombre (-1) contre la première ligne et la désignons par une flèche allant de la première ligne à la deuxième ligne.

Pour obtenir « 0 » en troisième position de la première colonne, multipliez la première ligne par (-3) et ajoutez à la troisième ligne ; Montrons cette action à l'aide d'une flèche allant de la première ligne à la troisième.

.

Dans la matrice résultante, écrite en deuxième dans la chaîne de matrices, on obtient « 0 » dans la deuxième colonne en troisième position. Pour ce faire, nous avons multiplié la deuxième ligne par (-4) et l'avons ajoutée à la troisième. Dans la matrice résultante, multipliez la deuxième ligne par (-1) et divisez la troisième par (-8). Tous les éléments de cette matrice situés en dessous des éléments diagonaux sont des zéros.

Parce que , le système est collaboratif et défini.

Le système d'équations correspondant à la dernière matrice a une forme triangulaire :

De la dernière (troisième) équation
. Remplacez dans la deuxième équation et obtenez
.

Remplaçons
Et
dans la première équation, on trouve


.

1. Système d'équations algébriques linéaires

1.1 Le concept d'un système d'équations algébriques linéaires

Un système d'équations est une condition consistant en l'exécution simultanée de plusieurs équations par rapport à plusieurs variables. Un système d'équations algébriques linéaires (ci-après dénommé SLAE) contenant m équations et n inconnues est appelé un système de la forme :

où les nombres a ij sont appelés coefficients système, les nombres b i sont appelés termes libres, un ij Et b je(i=1,…, m ; b=1,…, n) représentent des nombres connus, et x 1 ,…, xn- inconnu. Dans la désignation des coefficients un ij le premier indice i désigne le numéro de l'équation, et le second j est le numéro de l'inconnue auquel se situe ce coefficient. Les nombres x n doivent être trouvés. Il est pratique d’écrire un tel système sous forme matricielle compacte : AX=B. Ici A est la matrice des coefficients du système, appelée matrice principale ;

Le produit des matrices A*X est défini, puisqu'il y a autant de colonnes dans la matrice A que de lignes dans la matrice X (n morceaux).

La matrice étendue d'un système est la matrice A du système, complétée par une colonne de termes libres

1.2 Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires

La solution d'un système d'équations est un ensemble ordonné de nombres (valeurs de variables), en les remplaçant à la place des variables, chacune des équations du système se transforme en une véritable égalité.

Une solution d'un système est constituée de n valeurs des inconnues x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, après substitution desquelles toutes les équations du système deviennent de vraies égalités. Toute solution du système peut être écrite sous forme de matrice de colonnes

Un système d’équations est dit cohérent s’il a au moins une solution, et incohérent s’il n’a aucune solution.

Un système cohérent est dit déterminé s’il a une seule solution, et indéfini s’il en a plusieurs. Dans ce dernier cas, chacune de ses solutions est appelée solution particulière du système. L’ensemble de toutes les solutions particulières est appelé la solution générale.

Résoudre un système, c’est découvrir s’il est compatible ou incohérent. Si le système est cohérent, trouvez sa solution générale.

Deux systèmes sont dits équivalents (équivalents) s'ils ont la même solution générale. En d’autres termes, les systèmes sont équivalents si toute solution de l’un d’eux est une solution de l’autre, et vice versa.

Une transformation dont l'application transforme un système en un nouveau système équivalent à l'original est appelée transformation équivalente ou équivalente. Des exemples de transformations équivalentes incluent les transformations suivantes : échanger deux équations d'un système, échanger deux inconnues avec les coefficients de toutes les équations, multiplier les deux côtés de toute équation d'un système par un nombre non nul.

Un système d'équations linéaires est dit homogène si tous les termes libres sont égaux à zéro :

Un système homogène est toujours cohérent, puisque x1=x2=x3=…=xn=0 est une solution du système. Cette solution est dite nulle ou triviale.

2. Méthode d'élimination gaussienne

2.1 L'essence de la méthode d'élimination gaussienne

La méthode classique de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires est la méthode d'élimination séquentielle des inconnues - Méthode gaussienne(on l'appelle aussi la méthode d'élimination gaussienne). Il s'agit d'une méthode d'élimination séquentielle de variables, lorsque, à l'aide de transformations élémentaires, un système d'équations est réduit à un système équivalent de forme échelonnée (ou triangulaire), à ​​partir duquel toutes les autres variables sont trouvées séquentiellement, en commençant par la dernière (par nombre) variables.

Le processus de résolution utilisant la méthode gaussienne comprend deux étapes : des mouvements vers l'avant et vers l'arrière.

1. Course directe.

Dans la première étape, le mouvement dit direct est effectué lorsque, grâce à des transformations élémentaires sur les rangées, le système est amené à une forme en escalier ou triangulaire, ou qu'il est établi que le système est incompatible. À savoir, parmi les éléments de la première colonne de la matrice, un non nul est sélectionné, il est déplacé vers la position la plus haute en réorganisant les lignes, et la première ligne obtenue après le réarrangement est soustraite des lignes restantes, en la multipliant d'un montant égal au rapport du premier élément de chacune de ces lignes au premier élément de la première ligne, remettant ainsi à zéro la colonne située en dessous.

Une fois les transformations indiquées terminées, la première ligne et la première colonne sont mentalement barrées et continuées jusqu'à ce qu'il reste une matrice de taille nulle. Si à une itération il n'y a aucun élément non nul parmi les éléments de la première colonne, passez à la colonne suivante et effectuez une opération similaire.

Dans un premier temps (course directe), le système est réduit à une forme étagée (notamment triangulaire).

Le système ci-dessous a une forme pas à pas :

Les coefficients aii sont appelés les éléments principaux (principaux) du système.

Transformons le système en éliminant l'inconnue x1 dans toutes les équations sauf la première (en utilisant des transformations élémentaires du système). Pour ce faire, multipliez les deux côtés de la première équation par

En poursuivant ce processus, nous obtenons un système équivalent :

Ainsi, dans un premier temps, tous les coefficients situés sous le premier élément principal a 11 sont détruits

Si, lors du processus de réduction du système à une forme pas à pas, des équations nulles apparaissent, c'est-à-dire égalités de la forme 0=0, elles sont écartées. Si une équation de la forme apparaît

C'est ici que se termine la progression directe de la méthode de Gauss.

2. Course inversée.

À la deuxième étape, ce qu'on appelle le mouvement inverse est effectué, dont l'essence est d'exprimer toutes les variables de base résultantes en termes de variables non fondamentales et de construire un système fondamental de solutions, ou, si toutes les variables sont de base , puis exprimer numériquement la seule solution du système d'équations linéaires.

Cette procédure commence par la dernière équation, à partir de laquelle la variable de base correspondante est exprimée (elle n'en contient qu'une seule) et substituée aux équations précédentes, et ainsi de suite, en remontant les « échelons ».

Chaque ligne correspond exactement à une variable de base, donc à chaque étape sauf la dernière (la plus haute), la situation répète exactement le cas de la dernière ligne.

Remarque : en pratique, il est plus pratique de travailler non pas avec le système, mais avec sa matrice étendue, en effectuant toutes les transformations élémentaires sur ses lignes. Il est pratique que le coefficient a11 soit égal à 1 (réorganiser les équations, ou diviser les deux côtés de l'équation par a11).

2.2 Exemples de résolution de SLAE par la méthode gaussienne

Dans cette section, à l’aide de trois exemples différents, nous montrerons comment la méthode gaussienne peut résoudre les SLAE.

Exemple 1. Résoudre un SLAE du 3ème ordre.

Réinitialisons les coefficients à

Nous continuons à considérer des systèmes d'équations linéaires. Cette leçon est la troisième sur le sujet. Si vous avez une vague idée de ce qu'est un système d'équations linéaires en général, si vous vous sentez comme une théière, alors je vous recommande de commencer par les bases de la page Suivant, il est utile d'étudier la leçon.

La méthode gaussienne est simple ! Pourquoi? Le célèbre mathématicien allemand Johann Carl Friedrich Gauss a été reconnu de son vivant comme le plus grand mathématicien de tous les temps, un génie et même le surnom de «roi des mathématiques». Et tout ce qui est ingénieux, on le sait, est simple !À propos, non seulement les idiots gagnent de l'argent, mais aussi les génies - le portrait de Gauss figurait sur le billet de 10 marks allemands (avant l'introduction de l'euro), et Gauss sourit toujours mystérieusement aux Allemands à partir de timbres-poste ordinaires.

La méthode Gauss est simple dans la mesure où les CONNAISSANCES D'UN ÉTUDIANT DE CINQUIÈME ANNÉE SUFFISENT pour la maîtriser. Il faut savoir additionner et multiplier ! Ce n'est pas un hasard si les enseignants envisagent souvent la méthode d'exclusion séquentielle des inconnues dans les cours au choix de mathématiques à l'école. C’est un paradoxe, mais les étudiants trouvent la méthode gaussienne la plus difficile. Rien d'étonnant - tout est question de méthodologie, et je vais essayer de parler de l'algorithme de la méthode sous une forme accessible.

Tout d'abord, systématisons un peu de connaissances sur les systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires peut :

1) Ayez une solution unique. 2) Avoir une infinité de solutions. 3) N'avoir aucune solution (être non conjoint).

La méthode Gauss est l'outil le plus puissant et le plus universel pour trouver une solution n'importe lequel systèmes d'équations linéaires. Comme nous nous en souvenons, Règle de Cramer et méthode matricielle ne conviennent pas dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Et la méthode d'élimination séquentielle des inconnues De toute façon nous mènera à la réponse! Dans cette leçon, nous considérerons à nouveau la méthode de Gauss pour le cas n°1 (seule solution du système), un article est consacré aux situations des points n°2-3. Je remarque que l'algorithme de la méthode elle-même fonctionne de la même manière dans les trois cas.

Revenons au système le plus simple de la leçon Comment résoudre un système d'équations linéaires ? et résolvez-le en utilisant la méthode gaussienne.

La première étape consiste à écrire matrice du système étendu: . Je pense que tout le monde peut voir selon quel principe les coefficients sont écrits. La ligne verticale à l’intérieur de la matrice n’a aucune signification mathématique – il s’agit simplement d’un trait barré pour faciliter la conception.

Référence : Je te recommande de te souvenir termes algèbre linéaire. Matrice du système est une matrice composée uniquement de coefficients pour inconnues, dans cet exemple la matrice du système : . Matrice système étendue – c’est la même matrice du système plus une colonne de termes libres, dans ce cas : . Par souci de concision, n’importe laquelle des matrices peut être simplement appelée matrice.

Une fois la matrice du système étendu écrite, il est nécessaire d'effectuer certaines actions avec elle, également appelées transformations élémentaires.

Il existe les transformations élémentaires suivantes :

1) Cordes matrices Peut réarrangerà certains endroits. Par exemple, dans la matrice considérée, vous pouvez réorganiser sans douleur les première et deuxième lignes :

2) S'il y a (ou sont apparus) des lignes proportionnelles (dans un cas particulier - identiques) dans la matrice, alors vous devriez supprimer Toutes ces lignes proviennent de la matrice sauf une. Prenons par exemple la matrice . Dans cette matrice, les trois dernières lignes sont proportionnelles, il suffit donc de n'en laisser qu'une : .

3) Si une ligne zéro apparaît dans la matrice lors des transformations, alors elle doit également être supprimer. Je ne dessinerai pas bien sûr, la ligne zéro est la ligne dans laquelle tous les zéros.

4) La ligne de la matrice peut être multiplier (diviser)à n'importe quel numéro non nul. Prenons par exemple la matrice . Ici il est conseillé de diviser la première ligne par –3, et de multiplier la deuxième ligne par 2 : . Cette action est très utile car elle simplifie les transformations ultérieures de la matrice.

5) Cette transformation pose le plus de difficultés, mais en fait il n'y a rien de compliqué non plus. Vers une ligne d'une matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro. Regardons notre matrice à partir d'un exemple pratique : . Je vais d’abord décrire la transformation en détail. Multipliez la première ligne par –2 : , Et à la deuxième ligne on ajoute la première ligne multipliée par –2: . Maintenant, la première ligne peut être divisée « en arrière » par –2 : . Comme vous pouvez le voir, la ligne AJOUTÉE LI – n'a pas changé. Toujours la ligne À LAQUELLE EST AJOUTÉE change Utah.

Dans la pratique, bien sûr, ils ne l’écrivent pas avec autant de détails, mais l’écrivent brièvement : Encore une fois : à la deuxième ligne ajouté la première ligne multipliée par –2. Une ligne est généralement multipliée oralement ou sur un brouillon, le processus de calcul mental ressemblant à ceci :

« Je réécris la matrice et réécris la première ligne : »

« Première colonne. En bas, je dois obtenir zéro. Je multiplie donc celui du haut par –2 : , et j'ajoute le premier à la deuxième ligne : 2 + (–2) = 0. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

«Maintenant, la deuxième colonne. En haut, je multiplie -1 par -2 : . J'ajoute la première à la deuxième ligne : 1 + 2 = 3. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

« Et la troisième colonne. En haut je multiplie -5 par -2 : . J'ajoute la première à la deuxième ligne : –7 + 10 = 3. J'écris le résultat sur la deuxième ligne : »

Veuillez comprendre attentivement cet exemple et comprendre l'algorithme de calcul séquentiel, si vous comprenez cela, alors la méthode gaussienne est pratiquement dans votre poche. Mais nous continuerons bien entendu à travailler sur cette transformation.

Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations

! ATTENTION: manipulations considérées ne peut pas être utilisé, si on vous propose une tâche où les matrices sont données « par elles-mêmes ». Par exemple, avec « classique » opérations avec des matrices Vous ne devez en aucun cas réorganiser quoi que ce soit à l’intérieur des matrices ! Revenons à notre système. Il est pratiquement mis en pièces.

Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, réduisons-la à vue en escalier:

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. Et encore : pourquoi multiplie-t-on la première ligne par –2 ? Pour obtenir zéro en bas, cela signifie supprimer une variable dans la deuxième ligne.

(2) Divisez la deuxième ligne par 3.

Le but des transformations élémentaires – réduire la matrice sous forme pas à pas : . Dans la conception de la tâche, ils marquent simplement les « escaliers » avec un simple crayon et entourent également les chiffres qui se trouvent sur les « marches ». Le terme « vue en escalier » lui-même n'est pas entièrement théorique dans la littérature scientifique et pédagogique ; vue trapézoïdale ou vue triangulaire.

Grâce à des transformations élémentaires, nous avons obtenu équivalent système d'équations original :

Maintenant, le système doit être « déroulé » dans la direction opposée - de bas en haut, ce processus est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Dans l'équation inférieure, nous avons déjà un résultat tout fait : .

Considérons la première équation du système et substituons-y la valeur déjà connue de « y » :

Considérons la situation la plus courante, lorsque la méthode gaussienne nécessite de résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 1

Résolvez le système d'équations en utilisant la méthode de Gauss :

Écrivons la matrice étendue du système :

Maintenant, je vais immédiatement dessiner le résultat auquel nous arriverons lors de la solution : Et je le répète, notre objectif est de donner à la matrice une forme étape par étape en utilisant des transformations élémentaires. Par où commencer ?

Tout d’abord, regardez le numéro en haut à gauche : Devrait presque toujours être là unité. D'une manière générale, -1 (et parfois d'autres nombres) fera l'affaire, mais d'une manière ou d'une autre, il arrive traditionnellement qu'on y place généralement un. Comment organiser une unité ? Nous regardons la première colonne - nous avons une unité finie ! Première transformation : échangez la première et la troisième lignes :

Désormais, la première ligne restera inchangée jusqu'à la fin de la solution. C'est déjà plus facile.

L'unité dans le coin supérieur gauche est organisée. Maintenant, vous devez obtenir des zéros à ces endroits :

Nous obtenons des zéros en utilisant une transformation « difficile ». Nous traitons d’abord de la deuxième ligne (2, –1, 3, 13). Que faut-il faire pour obtenir zéro en première position ? Besoin de à la deuxième ligne ajoutez la première ligne multipliée par –2. Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –2 : (–2, –4, 2, –18). Et nous effectuons systématiquement (encore une fois mentalement ou sur un brouillon) une addition, à la deuxième ligne on ajoute la première ligne, déjà multipliée par –2:

Nous écrivons le résultat sur la deuxième ligne :

On traite la troisième ligne de la même manière (3, 2, –5, –1). Pour obtenir un zéro en première position, il faut à la troisième ligne ajoutez la première ligne multipliée par –3. Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –3 : (–3, –6, 3, –27). ET à la troisième ligne on ajoute la première ligne multipliée par –3:

Nous écrivons le résultat sur la troisième ligne :

En pratique, ces actions sont généralement réalisées oralement et écrites en une seule étape :

Pas besoin de tout compter d'un coup et en même temps. L’ordre des calculs et « l’écriture » des résultats cohérent et généralement c'est comme ça : nous réécrivons d'abord la première ligne, et nous soufflons lentement sur nous-mêmes - DE MANIÈRE CONSTANTE et ATTENTIVEMENT:
Et j'ai déjà évoqué ci-dessus le processus mental des calculs eux-mêmes.

Dans cet exemple, c'est facile à faire : nous divisons la deuxième ligne par –5 (puisque tous les nombres y sont divisibles par 5 sans reste). En même temps, on divise la troisième ligne par –2, car plus les nombres sont petits, plus la solution est simple :

Au stade final des transformations élémentaires, vous devez obtenir ici un autre zéro :

Pour ça à la troisième ligne on ajoute la deuxième ligne multipliée par –2:
Essayez de comprendre cette action vous-même - multipliez mentalement la deuxième ligne par –2 et effectuez l'addition.

La dernière action effectuée est la coiffure du résultat, divisez la troisième ligne par 3.

Grâce à des transformations élémentaires, un système équivalent d'équations linéaires a été obtenu : Cool.

C’est maintenant l’inverse de la méthode gaussienne qui entre en jeu. Les équations se « déroulent » de bas en haut.

Dans la troisième équation, nous avons déjà un résultat prêt :

Regardons la deuxième équation : . La signification de « zet » est déjà connue, ainsi :

Et enfin, la première équation : . « Igrek » et « zet » sont connus, ce n'est qu'une question de petites choses :

Répondre:

Comme cela a déjà été noté à plusieurs reprises, pour tout système d'équations, il est possible et nécessaire de vérifier la solution trouvée, heureusement, c'est simple et rapide.

Exemple 2

Ceci est un exemple de solution indépendante, un échantillon de la conception finale et une réponse à la fin de la leçon.

Il convient de noter que votre évolution de la décision peut ne pas coïncider avec mon processus de décision, et c'est une caractéristique de la méthode de Gauss. Mais les réponses doivent être les mêmes !

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss

Nous regardons la « marche » en haut à gauche. Nous devrions en avoir un là-bas. Le problème est qu’il n’y a aucune unité dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : (1) A la première ligne on ajoute la deuxième ligne, multipliée par –1. Autrement dit, nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté la première et la deuxième ligne, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.

Maintenant en haut à gauche il y a « moins un », ce qui nous convient plutôt bien. Quiconque souhaite obtenir +1 peut effectuer un mouvement supplémentaire : multiplier la première ligne par –1 (changer son signe).

(2) La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.

(3) La première ligne a été multipliée par –1, en principe c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, de sorte que sur la deuxième « marche », nous ayons l'unité requise.

(4) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 2.

(5) La troisième ligne a été divisée par 3.

Un mauvais signe qui indique une erreur de calcul (plus rarement une faute de frappe) est un « mauvais » résultat. Autrement dit, si nous obtenons quelque chose comme , ci-dessous et, par conséquent, , alors avec un degré de probabilité élevé on peut dire qu'une erreur a été commise lors des transformations élémentaires.

Nous facturons l'inverse : dans la conception des exemples, ils ne réécrivent souvent pas le système lui-même, mais les équations sont « tirées directement de la matrice donnée ». Le trait inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. Oui, voici un cadeau :

Répondre: .

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, c'est un peu plus compliqué. Ce n'est pas grave si quelqu'un est confus. Solution complète et plan d’échantillonnage à la fin de la leçon. Votre solution peut être différente de la mienne.

Dans la dernière partie, nous examinerons quelques fonctionnalités de l'algorithme gaussien. La première caractéristique est que parfois certaines variables sont absentes des équations du système, par exemple : Comment écrire correctement la matrice du système étendu ? J'ai déjà parlé de ce point en classe. La règle de Cramer. Méthode matricielle. Dans la matrice étendue du système, on met des zéros à la place des variables manquantes : D’ailleurs, c’est un exemple assez simple, puisque la première colonne comporte déjà un zéro, et qu’il y a moins de transformations élémentaires à effectuer.

La deuxième caractéristique est la suivante. Dans tous les exemples considérés, nous avons placé soit –1, soit +1 sur les « marches ». Est-ce qu'il pourrait y avoir d'autres numéros ? Dans certains cas, ils le peuvent. Considérez le système : .

Ici, sur la « marche » en haut à gauche, nous avons un deux. Mais nous remarquons le fait que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2 sans reste - et l'autre est deux et six. Et les deux en haut à gauche nous conviendront ! Dans un premier temps, vous devez effectuer les transformations suivantes : ajoutez la première ligne multipliée par –1 à la deuxième ligne ; à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3. De cette façon, nous obtiendrons les zéros requis dans la première colonne.

Ou un autre exemple conventionnel : . Ici, le trois sur la deuxième « marche » nous convient également, puisque 12 (l'endroit où nous devons obtenir zéro) est divisible par 3 sans reste. Il est nécessaire d'effectuer la transformation suivante : ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par –4, ce qui permettra d'obtenir le zéro dont nous avons besoin.

La méthode de Gauss est universelle, mais elle présente une particularité. Vous pouvez apprendre en toute confiance à résoudre des systèmes en utilisant d'autres méthodes (méthode de Cramer, méthode matricielle) littéralement dès la première fois - ils ont un algorithme très strict. Mais pour avoir confiance dans la méthode gaussienne, vous devez « vous familiariser » et résoudre au moins 5 à 10 dix systèmes. Par conséquent, au début, il peut y avoir de la confusion et des erreurs dans les calculs, et cela n’a rien d’inhabituel ou de tragique.

Temps d'automne pluvieux devant la fenêtre.... Par conséquent, pour tous ceux qui souhaitent résoudre eux-mêmes un exemple plus complexe :

Exemple 5

Résolvez un système de 4 équations linéaires à quatre inconnues en utilisant la méthode de Gauss.

Une telle tâche n’est pas si rare dans la pratique. Je pense que même une théière qui a étudié en profondeur cette page comprendra intuitivement l'algorithme permettant de résoudre un tel système. Fondamentalement, tout est pareil - il y a juste plus d'actions.

Les cas où le système n'a pas de solutions (incohérent) ou a une infinité de solutions sont abordés dans la leçon Systèmes incompatibles et systèmes avec une solution commune. Là, vous pouvez corriger l'algorithme considéré de la méthode gaussienne.

Je vous souhaite du succès !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution : Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas.
Transformations élémentaires effectuées : (1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1. Attention! Ici, vous pourriez être tenté de soustraire la première de la troisième ligne ; je vous recommande fortement de ne pas la soustraire - le risque d'erreur augmente considérablement. Pliez-le ! (2) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). Les deuxième et troisième lignes ont été inversées. Veuillez noter , que sur les « marches » on se contente non seulement d'un, mais aussi de –1, ce qui est encore plus pratique. (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 5. (4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). La troisième ligne était divisée par 14.

Inverse:

Répondre : .

Exemple 4 : Solution : Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées : (1) Une deuxième ligne a été ajoutée à la première ligne. Ainsi, l’unité souhaitée est organisée sur la « marche » supérieure gauche. (2) La première ligne multipliée par 7 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 6 a été ajoutée à la troisième ligne.

Avec la deuxième « étape », tout empire , les « candidats » sont les nombres 17 et 23, et nous avons besoin soit d'un, soit de –1. Les transformations (3) et (4) viseront à obtenir l'unité souhaitée (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1. (4) La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3. L'élément requis à la deuxième étape a été reçu. . (5) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 6. (6) La deuxième ligne a été multipliée par –1, la troisième ligne a été divisée par –83.

Inverse:

Répondre :

Exemple 5 : Solution : Écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

Conversions effectuées : (1) Les première et deuxième lignes ont été inversées. (2) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –3. (3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 4. La deuxième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –1. (4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié. La quatrième ligne a été divisée par 3 et placée à la place de la troisième ligne. (5) La troisième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –5.

Inverse:

Répondre :

Méthode Gauss parfait pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires (SLAE). Elle présente de nombreux avantages par rapport aux autres méthodes :

• premièrement, il n'est pas nécessaire d'examiner d'abord la cohérence du système d'équations ;
• deuxièmement, la méthode de Gauss peut résoudre non seulement les SLAE dans lesquels le nombre d'équations coïncide avec le nombre de variables inconnues et la matrice principale du système est non singulière, mais également des systèmes d'équations dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou le déterminant de la matrice principale est égal à zéro ;
• troisièmement, la méthode gaussienne conduit à des résultats avec un nombre relativement faible d'opérations de calcul.

Bref aperçu de l'article.

Tout d’abord, nous donnons les définitions nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous décrirons l'algorithme de la méthode de Gauss pour le cas le plus simple, c'est-à-dire pour les systèmes d'équations algébriques linéaires, le nombre d'équations dans lesquelles coïncide avec le nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est pas égal à zéro. Lors de la résolution de tels systèmes d'équations, l'essence de la méthode de Gauss est la plus clairement visible, à savoir l'élimination séquentielle des variables inconnues. Par conséquent, la méthode gaussienne est également appelée méthode d'élimination séquentielle des inconnues. Nous montrerons des solutions détaillées de plusieurs exemples.

En conclusion, nous considérerons la solution par la méthode de Gauss de systèmes d'équations algébriques linéaires dont la matrice principale est soit rectangulaire, soit singulière. La solution à de tels systèmes présente certaines caractéristiques que nous examinerons en détail à l'aide d'exemples.

Navigation dans les pages.

Définitions et notations de base.

Considérons un système de p équations linéaires à n inconnues (p peut être égal à n) :

Où sont les variables inconnues, sont les nombres (réels ou complexes) et sont les termes libres.

Si , alors le système d'équations algébriques linéaires est appelé homogène, sinon - hétérogène.

L'ensemble des valeurs de variables inconnues pour lesquelles toutes les équations du système deviennent des identités est appelé décision du SLAU.

S’il existe au moins une solution à un système d’équations algébriques linéaires, alors on l’appelle articulation, sinon - non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain. S’il existe plusieurs solutions, le système s’appelle incertain.

On dit que le système est écrit en formulaire de coordonnées, s'il a la forme
.

Ce système en forme matricielle les enregistrements ont la forme , où - la matrice principale du SLAE, - la matrice de la colonne des inconnues, - la matrice des termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

La matrice carrée A est appelée dégénérer, si son déterminant est nul. Si , alors la matrice A est appelée non dégénéré.

Le point suivant doit être noté.

Si vous effectuez les actions suivantes avec un système d'équations algébriques linéaires

• échanger deux équations,
• multiplier les deux côtés de n'importe quelle équation par un nombre réel (ou complexe) arbitraire et non nul k,
• aux deux côtés de n'importe quelle équation, ajoutez les parties correspondantes d'une autre équation, multipliées par un nombre arbitraire k,

alors vous obtenez un système équivalent qui a les mêmes solutions (ou, tout comme l'original, n'a pas de solutions).

Pour une matrice étendue d'un système d'équations algébriques linéaires, ces actions nécessiteront d'effectuer des transformations élémentaires avec les lignes :

• en échangeant deux lignes,
• multiplier tous les éléments de n'importe quelle ligne de la matrice T par un nombre k non nul,
• ajouter aux éléments de n'importe quelle ligne d'une matrice les éléments correspondants d'une autre ligne, multipliés par un nombre arbitraire k.

Nous pouvons maintenant passer à la description de la méthode de Gauss.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et la matrice principale du système est non singulière, en utilisant la méthode gaussienne.

Que ferions-nous à l’école si on nous confiait la tâche de trouver une solution à un système d’équations ? .

Certains feraient ça.

Notez qu'en ajoutant le côté gauche de la première au côté gauche de la deuxième équation, et le côté droit au côté droit, vous pouvez vous débarrasser des variables inconnues x 2 et x 3 et trouver immédiatement x 1 :

Nous substituons la valeur trouvée x 1 =1 dans les première et troisième équations du système :

Si nous multiplions les deux côtés de la troisième équation du système par -1 et les ajoutons aux parties correspondantes de la première équation, nous nous débarrassons de la variable inconnue x 3 et pouvons trouver x 2 :

Nous substituons la valeur résultante x 2 = 2 dans la troisième équation et trouvons la variable inconnue restante x 3 :

D'autres auraient fait différemment.

Résolvons la première équation du système par rapport à la variable inconnue x 1 et substituons l'expression résultante dans les deuxième et troisième équations du système afin d'en exclure cette variable :

Résolvons maintenant la deuxième équation du système pour x 2 et substituons le résultat résultant dans la troisième équation pour en éliminer la variable inconnue x 2 :

D'après la troisième équation du système, il ressort clairement que x 3 =3. De la deuxième équation on trouve , et à partir de la première équation, nous obtenons .

Des solutions familières, n'est-ce pas ?

La chose la plus intéressante ici est que la deuxième méthode de résolution est essentiellement la méthode d'élimination séquentielle des inconnues, c'est-à-dire la méthode gaussienne. Lorsque nous avons exprimé les variables inconnues (d'abord x 1, à l'étape suivante x 2) et les avons substituées dans les équations restantes du système, nous les avons ainsi exclues. Nous avons procédé à l'élimination jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule variable inconnue dans la dernière équation. Le processus d’élimination séquentielle des inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé l’avancée, nous avons la possibilité de calculer la variable inconnue trouvée dans la dernière équation. Avec son aide, nous trouvons la prochaine variable inconnue de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite. Le processus de recherche séquentielle de variables inconnues tout en passant de la dernière équation à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Il convient de noter que lorsque nous exprimons x 1 en termes de x 2 et x 3 dans la première équation, puis substituons l'expression résultante dans les deuxième et troisième équations, les actions suivantes conduisent au même résultat :

En effet, une telle procédure permet également d'éliminer la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système :

Des nuances avec l'élimination des variables inconnues à l'aide de la méthode gaussienne surviennent lorsque les équations du système ne contiennent pas certaines variables.

Par exemple, dans SLAU dans la première équation, il n'y a pas de variable inconnue x 1 (en d'autres termes, le coefficient devant elle est nul). Par conséquent, nous ne pouvons pas résoudre la première équation du système pour x 1 afin d'éliminer cette variable inconnue des équations restantes. La sortie de cette situation est d'échanger les équations du système. Puisque nous considérons des systèmes d'équations linéaires dont les déterminants des matrices principales sont différents de zéro, il existe toujours une équation dans laquelle la variable dont nous avons besoin est présente, et nous pouvons réorganiser cette équation dans la position dont nous avons besoin. Pour notre exemple, il suffit d'intervertir la première et la deuxième équation du système , vous pouvez alors résoudre la première équation pour x 1 et l'exclure des équations restantes du système (bien que x 1 ne soit plus présent dans la deuxième équation).

Nous espérons que vous comprenez l’essentiel.

Décrivons Algorithme de méthode gaussienne.

Supposons que nous devions résoudre un système de n équations algébriques linéaires avec n variables inconnues de la forme , et que le déterminant de sa matrice principale soit différent de zéro.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où, et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où, et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnue x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Regardons l'algorithme à l'aide d'un exemple.

Exemple.

Méthode Gauss.

Solution.

Le coefficient a 11 est différent de zéro, passons donc à la progression directe de la méthode gaussienne, c'est-à-dire à l'exclusion de la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système sauf la première. Pour ce faire, aux côtés gauche et droit des deuxième, troisième et quatrième équations, ajoutez les côtés gauche et droit de la première équation, multipliés respectivement par . Et :

La variable inconnue x 1 a été éliminée, passons à l'élimination de x 2 . Aux côtés gauche et droit des troisième et quatrième équations du système, nous ajoutons les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés respectivement par Et :

Pour terminer la progression vers l'avant de la méthode gaussienne, nous devons éliminer la variable inconnue x 3 de la dernière équation du système. Ajoutons respectivement aux côtés gauche et droit de la quatrième équation les côtés gauche et droit de la troisième équation, multipliés par :

Vous pouvez commencer l'inverse de la méthode gaussienne.

De la dernière équation que nous avons ,
de la troisième équation nous obtenons,
dès la seconde,
du premier.

Pour vérifier, vous pouvez remplacer les valeurs obtenues des variables inconnues dans le système d'équations d'origine. Toutes les équations se transforment en identités, ce qui indique que la solution utilisant la méthode de Gauss a été trouvée correctement.

Répondre:

Donnons maintenant une solution au même exemple en utilisant la méthode gaussienne en notation matricielle.

Exemple.

Trouver la solution du système d'équations Méthode Gauss.

Solution.

La matrice étendue du système a la forme . En haut de chaque colonne se trouvent les variables inconnues qui correspondent aux éléments de la matrice.

L'approche directe de la méthode gaussienne consiste ici à réduire la matrice étendue du système à une forme trapézoïdale à l'aide de transformations élémentaires. Ce processus est similaire à l’élimination des variables inconnues que nous avons effectuée avec le système sous forme de coordonnées. Maintenant, vous verrez cela.

Transformons la matrice pour que tous les éléments de la première colonne, à partir de la seconde, deviennent nuls. Pour ce faire, aux éléments des deuxième, troisième et quatrième lignes on ajoute les éléments correspondants de la première ligne multipliés par , et en conséquence :

Ensuite, nous transformons la matrice résultante de sorte que dans la deuxième colonne, tous les éléments, à partir de la troisième, deviennent nuls. Cela correspondrait à éliminer la variable inconnue x 2 . Pour ce faire, aux éléments des troisième et quatrième lignes on ajoute les éléments correspondants de la première ligne de la matrice, multipliés respectivement par Et :

Il reste à exclure la variable inconnue x 3 de la dernière équation du système. Pour ce faire, aux éléments de la dernière ligne de la matrice résultante on ajoute les éléments correspondants de l'avant-dernière ligne, multipliés par :

Il est à noter que cette matrice correspond à un système d'équations linéaires

qui a été obtenu plus tôt après un mouvement vers l'avant.

Il est temps de faire demi-tour. En notation matricielle, l'inverse de la méthode gaussienne consiste à transformer la matrice résultante telle que la matrice marquée sur la figure

est devenu diagonal, c'est-à-dire a pris la forme

où sont quelques chiffres.

Ces transformations sont similaires aux transformations directes de la méthode gaussienne, mais sont effectuées non pas de la première ligne à la dernière, mais de la dernière à la première.

Ajouter aux éléments des troisième, deuxième et première lignes les éléments correspondants de la dernière ligne, multipliés par , encore et encore respectivement:

Ajoutez maintenant aux éléments des deuxième et première lignes les éléments correspondants de la troisième ligne, multipliés respectivement par et par :

A la dernière étape de la méthode gaussienne inverse, aux éléments de la première ligne on ajoute les éléments correspondants de la deuxième ligne, multipliés par :

La matrice résultante correspond au système d'équations , d'où l'on trouve les variables inconnues.

Répondre:

VEUILLEZ NOTER.

Lors de l'utilisation de la méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires, les calculs approximatifs doivent être évités, car cela peut conduire à des résultats complètement incorrects. Nous vous recommandons de ne pas arrondir les décimales. Il vaut mieux passer des fractions décimales aux fractions ordinaires.

Exemple.

Résoudre un système de trois équations en utilisant la méthode de Gauss .

Solution.

Notez que dans cet exemple les variables inconnues ont une désignation différente (non pas x 1, x 2, x 3, mais x, y, z). Passons aux fractions ordinaires :

Excluons l'inconnue x des deuxième et troisième équations du système :

Dans le système résultant, la variable inconnue y est absente dans la deuxième équation, mais y est présente dans la troisième équation, échangeons donc les deuxième et troisième équations :

Ceci complète la progression directe de la méthode de Gauss (il n'est pas nécessaire d'exclure y de la troisième équation, puisque cette inconnue n'existe plus).

Commençons le mouvement inverse.

De la dernière équation on trouve ,
de l'avant-dernier


de la première équation que nous avons

Répondre:

X = 10, y = 5, z = -20.

Résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues ou la matrice principale du système est singulière, en utilisant la méthode de Gauss.

Les systèmes d'équations dont la matrice principale est rectangulaire ou carrée singulière peuvent n'avoir aucune solution, peuvent avoir une seule solution ou peuvent avoir un nombre infini de solutions.

Nous allons maintenant comprendre comment la méthode de Gauss permet d'établir la compatibilité ou l'incohérence d'un système d'équations linéaires, et dans le cas de sa compatibilité, de déterminer toutes les solutions (ou une seule solution).

En principe, le processus d’élimination des variables inconnues dans le cas de tels SLAE reste le même. Il convient toutefois de détailler certaines situations qui peuvent survenir.

Passons à l'étape la plus importante.

Supposons donc que le système d'équations algébriques linéaires, après avoir terminé la progression vers l'avant de la méthode de Gauss, prenne la forme et pas une seule équation n'a été réduite à (dans ce cas on conclurait que le système est incompatible). Une question logique se pose : « Que faire ensuite » ?

Écrivons les variables inconnues qui viennent en premier dans toutes les équations du système résultant :

Dans notre exemple, ce sont x 1, x 4 et x 5. Sur les côtés gauches des équations du système, nous ne laissons que les termes qui contiennent les variables inconnues écrites x 1, x 4 et x 5, les termes restants sont transférés du côté droit des équations avec le signe opposé :

Donnons aux variables inconnues qui se trouvent à droite des équations des valeurs arbitraires, où - nombres arbitraires :

Après cela, les membres droits de toutes les équations de notre SLAE contiennent des nombres et nous pouvons procéder à l'inverse de la méthode gaussienne.

De la dernière équation du système nous obtenons, de l'avant-dernière équation nous trouvons, de la première équation nous obtenons

La solution d'un système d'équations est un ensemble de valeurs de variables inconnues

Donner des chiffres valeurs différentes, nous obtiendrons différentes solutions au système d’équations. Autrement dit, notre système d’équations a une infinité de solutions.

Répondre:

Où - des nombres arbitraires.

Pour consolider le matériel, nous analyserons en détail les solutions de plusieurs autres exemples.

Exemple.

Résoudre un système homogène d'équations algébriques linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux côtés gauche et droit de la deuxième équation, on ajoute respectivement les côtés gauche et droit de la première équation, multipliés par , et aux côtés gauche et droit de la troisième équation, on ajoute les côtés gauche et droit de la première équation. côtés droits de la première équation, multiplié par :

Excluons maintenant y de la troisième équation du système d’équations résultant :

Le SLAE résultant est équivalent au système .

Nous laissons du côté gauche des équations du système uniquement les termes contenant les variables inconnues x et y, et déplaçons les termes avec la variable inconnue z vers la droite :