Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons apprendre à trouver conditionnel ou, comme on les appelle aussi, extrêmes relatifs fonctions de plusieurs variables, et, tout d'abord, nous parlerons, bien sûr, des extrema conditionnels fonctions de deux Et trois variables, que l’on retrouve dans la grande majorité des problèmes thématiques.
Que devez-vous savoir et pouvoir faire en ce moment ? Malgré le fait que cet article soit « à la périphérie » du sujet, il ne faut pas grand-chose pour réussir à maîtriser la matière. À ce stade, vous devez connaître les principes de base surfaces de l'espace, pouvoir trouver dérivées partielles (au moins à un niveau moyen) et, comme le veut une logique impitoyable, comprendre extrêmes inconditionnels. Mais même si vous avez un faible niveau de préparation, ne vous précipitez pas pour partir - toutes les connaissances/compétences manquantes peuvent vraiment être « acquises en cours de route », et sans aucune heure de tourment.
Tout d’abord, analysons le concept lui-même et répétons en même temps les concepts les plus courants. surface. Alors, qu’est-ce qu’un extremum conditionnel ? ...La logique ici n'est pas moins impitoyable =) L'extremum conditionnel d'une fonction est un extremum au sens habituel du terme, qui est atteint lorsqu'une ou plusieurs conditions sont remplies.
Imaginez un "oblique" arbitraire avion V Système cartésien. Aucun extrême il n'y en a aucune trace ici. Mais c'est pour le moment. Considérons cylindre elliptique, pour plus de simplicité - un "tuyau" rond sans fin parallèle à l'axe. Évidemment, ce « tuyau » sera « coupé » de notre avion ellipse, de sorte qu'il y aura un maximum à son point supérieur et un minimum à son point inférieur. En d’autres termes, la fonction définissant le plan atteint les extrema étant donné que qu'il était traversé par un cylindre circulaire donné. Exactement « à condition » ! Un autre cylindre elliptique coupant ce plan produira presque certainement des valeurs minimales et maximales différentes.
Si ce n’est pas très clair, la situation peut être simulée de manière réaliste (mais dans l'ordre inverse): prends une hache, va dehors et coupe... non, Greenpeace ne te pardonnera pas plus tard - il vaut mieux couper le tuyau d'évacuation avec un broyeur =). Le minimum conditionnel et le maximum conditionnel dépendront de la hauteur et sous quelle hauteur. (non horizontal) la coupe est faite en biais.
Le moment est venu d’habiller les calculs d’une tenue mathématique. Considérons paraboloïde elliptique, qui a minimum absolu au point . Maintenant, trouvons l'extremum étant donné que. Ce avion parallèle à l’axe, ce qui signifie qu’il « coupe » le paraboloïde parabole. Le sommet de cette parabole sera le minimum conditionnel. De plus, le plan ne passe pas par l’origine des coordonnées, le point restera donc sans importance. Vous n'avez pas fourni de photo ? Suivons les liens immédiatement ! Cela prendra encore et encore beaucoup de fois.
Question : comment trouver cet extremum conditionnel ? La façon la plus simple de résoudre est d'utiliser l'équation (appelée - condition ou équation de connexion) exprimer par exemple : – et le substituer dans la fonction : 
Le résultat est fonction d’une variable qui définit une parabole dont le sommet est « calculé » les yeux fermés. Allons trouver points critiques:
- point critique.
La prochaine chose la plus simple à utiliser est deuxième condition suffisante pour l'extremum:
En particulier : cela signifie que la fonction atteint un minimum au point . Il peut être calculé directement : , mais nous emprunterons une voie plus académique. Trouvons la coordonnée « jeu » :
,
notez le point minimum conditionnel, assurez-vous qu'il se trouve bien dans l'avion (satisfait l'équation de couplage):
et calculons le minimum conditionnel de la fonction :
étant donné que (« additif » est obligatoire !!!).
La méthode considérée peut être utilisée dans la pratique sans l'ombre d'un doute, mais elle présente un certain nombre d'inconvénients. Premièrement, la géométrie du problème n'est pas toujours claire, et deuxièmement, il n'est souvent pas rentable d'exprimer « x » ou « y » à partir de l'équation de connexion (s'il est possible d'exprimer quelque chose). Et maintenant, nous allons considérer une méthode universelle pour trouver des extrema conditionnels, appelée Méthode du multiplicateur de Lagrange:
Exemple 1
Trouvez les extrema conditionnels de la fonction avec l'équation de connexion spécifiée aux arguments.
Reconnaissez-vous les surfaces ? ;-) ...Je suis heureux de voir vos visages heureux =)
À propos, à partir de la formulation de ce problème, il devient clair pourquoi la condition est appelée équation de connexion– arguments de fonction connecté une condition supplémentaire, c'est-à-dire que les points extremum trouvés doivent nécessairement appartenir à un cylindre circulaire.
Solution: dans un premier temps, vous devez présenter l'équation de connexion sous la forme et composer Fonction de Lagrange:
, où se trouve ce qu'on appelle le multiplicateur de Lagrange.
Dans notre cas et :
L'algorithme pour trouver les extrema conditionnels est très similaire au schéma pour trouver « ordinaire » extrêmes. Allons trouver dérivées partielles Fonctions de Lagrange, tandis que le « lambda » doit être traité comme une constante :
Composons et résolvons le système suivant : 
L'enchevêtrement est démêlé en standard :
à partir de la première équation que nous exprimons 
;
à partir de la deuxième équation, nous exprimons 
.
Remplaçons les connexions dans l'équation et effectuons des simplifications : 
En conséquence, nous obtenons deux points stationnaires. Si donc: 
si donc: 
Il est facile de voir que les coordonnées des deux points satisfont à l’équation 
. Les personnes scrupuleuses peuvent également effectuer un contrôle complet : pour cela, vous devez remplacer 
dans les première et deuxième équations du système, puis faites de même avec l'ensemble 
. Tout doit « s’assembler ».
Vérifions la réalisation de la condition extremum suffisante pour les points stationnaires trouvés. Je discuterai de trois approches pour résoudre ce problème :
1) La première méthode est une justification géométrique.
Calculons les valeurs de la fonction en points stationnaires :
Ensuite, nous écrivons une phrase avec approximativement le contenu suivant : une section d'un plan par un cylindre circulaire est une ellipse, au sommet supérieur de laquelle le maximum est atteint, et au sommet inférieur le minimum. Ainsi, une valeur plus grande est un maximum conditionnel et une valeur plus petite est un minimum conditionnel.
Si possible, il est préférable d'utiliser cette méthode - c'est simple, et cette décision est prise en compte par les enseignants (un gros plus est que vous avez montré une compréhension de la signification géométrique du problème). Cependant, comme nous l'avons déjà noté, il n'est pas toujours clair ce qui recoupe quoi et où, et c'est alors que la vérification analytique vient à la rescousse :
2) La deuxième méthode est basée sur l’utilisation de signes différentiels du second ordre. S'il s'avère qu'en un point stationnaire, alors la fonction y atteint un maximum, mais si c'est le cas, alors elle atteint un minimum.
Allons trouver dérivées partielles du second ordre:
et créez ce différentiel :
Quand , cela signifie que la fonction atteint son maximum au point ;
à , ce qui signifie que la fonction atteint un minimum au point 
.
La méthode considérée est très bonne, mais présente l'inconvénient que dans certains cas il est quasiment impossible de déterminer le signe de la 2ème différentielle. (généralement cela se produit si et/ou sont des signes différents). Et puis « l’artillerie lourde » vient à la rescousse :
3) Différencions l'équation de connexion par « X » et « Y » : 
et composez ce qui suit symétrique matrice:
Si à un point stationnaire, alors la fonction y atteint ( attention!) minimum, si – alors maximum.
Écrivons la matrice de la valeur et du point correspondant : 
Calculons-le déterminant:
, ainsi, la fonction a un maximum au point .
De même pour la valeur et le point : 
Ainsi, la fonction a un minimum au point .
Répondre: étant donné que :
Après une analyse approfondie du matériel, je ne peux tout simplement pas m'empêcher de vous proposer quelques tâches typiques d'auto-test :
Exemple 2
Trouver l'extremum conditionnel de la fonction si ses arguments sont liés par l'équation
Exemple 3
Trouver les extrema de la fonction compte tenu de la condition
Et encore une fois, je recommande fortement de comprendre l'essence géométrique des tâches, surtout dans le dernier exemple, où la vérification analytique d'une condition suffisante n'est pas un cadeau. Rappelez-vous quoi 2ème ligne de commande définit l'équation, et quoi surface cette ligne génère dans l'espace. Analysez selon quelle courbe le cylindre coupera le plan et où sur cette courbe il y aura un minimum et où il y aura un maximum.
Solutions et réponses à la fin de la leçon.
Le problème considéré est largement utilisé dans divers domaines, notamment - nous n'irons pas loin - en géométrie. Résolvons le problème préféré de tous concernant la bouteille d'un demi-litre (voir exemple 7 de l'articleDéfis extrêmes ) deuxième façon :
Exemple 4
Quelles doivent être les dimensions d'une boîte de conserve cylindrique pour que le moins de matériau soit utilisé pour fabriquer la boîte, si le volume de la boîte est égal à
Solution: considérer un rayon de base variable, une hauteur variable et composer en fonction de l'aire de la surface totale de la canette : 
(surface de deux couvertures + surface latérale)
Méthode du multiplicateur de Lagrange.
La méthode du multiplicateur de Lagrange est l'une des méthodes qui permettent de résoudre des problèmes de programmation non linéaire.
La programmation non linéaire est une branche de la programmation mathématique qui étudie les méthodes de résolution de problèmes extrêmes avec une fonction objectif non linéaire et une région de solutions réalisables définies par des contraintes non linéaires. En économie, cela correspond au fait que les résultats (l'efficacité) augmentent ou diminuent de manière disproportionnée par rapport aux changements dans l'échelle d'utilisation des ressources (ou, ce qui revient au même, dans l'échelle de production) : par exemple, en raison de la répartition des coûts de production en entreprises en variables et semi-fixes; en raison de la saturation de la demande de biens, lorsque chaque unité suivante est plus difficile à vendre que la précédente, etc.
Le problème de programmation non linéaire se pose comme le problème de trouver l'optimum d'une certaine fonction objectif
F(x 1 ,…x n), F (X) → maximum
lorsque les conditions sont remplies
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (X) ≤ b , X ≥ 0
Où X-vecteur des variables requises ;
F (X) -fonction objective ;
g (X) - fonction de contrainte (dérivable en continu) ;
b - vecteur de constantes de contraintes.
La solution d'un problème de programmation non linéaire (maximum ou minimum global) peut appartenir soit à la frontière, soit à l'intérieur de l'ensemble admissible.
Contrairement à un problème de programmation linéaire, dans un problème de programmation non linéaire, l'optimum ne se situe pas nécessairement à la limite de la région définie par les contraintes. En d'autres termes, la tâche consiste à sélectionner de telles valeurs de variables non négatives, soumises à un système de restrictions sous forme d'inégalités, sous lesquelles le maximum (ou le minimum) d'une fonction donnée est atteint. Dans ce cas, ni les formes de la fonction objectif ni les inégalités ne sont précisées. Il peut y avoir différents cas : la fonction objectif est non linéaire, mais les contraintes sont linéaires ; la fonction objectif est linéaire, et les contraintes (au moins l'une d'entre elles) sont non linéaires ; la fonction objectif et les contraintes sont non linéaires.
Le problème de la programmation non linéaire se retrouve dans les sciences naturelles, l'ingénierie, l'économie, les mathématiques, les relations commerciales et le gouvernement.
La programmation non linéaire, par exemple, est liée à un problème économique fondamental. Ainsi, dans le problème de l'allocation de ressources limitées, soit l'efficacité, soit, si l'on étudie le consommateur, la consommation est maximisée en présence de restrictions qui expriment les conditions de rareté des ressources. Dans une telle formulation générale, la formulation mathématique du problème peut être impossible, mais dans des applications spécifiques, la forme quantitative de toutes les fonctions peut être déterminée directement. Par exemple, une entreprise industrielle fabrique des produits en plastique. L’efficacité de la production est ici mesurée par le profit et les contraintes sont interprétées comme la main-d’œuvre disponible, l’espace de production, la productivité des équipements, etc.
La méthode coût-efficacité s’inscrit également dans le schéma de programmation non linéaire. Cette méthode a été développée pour être utilisée dans la prise de décision au sein du gouvernement. Une fonction commune de l’efficacité est le bien-être. Ici, deux problèmes de programmation non linéaire se posent : le premier consiste à maximiser l'effet à des coûts limités, le second à minimiser les coûts à condition que l'effet soit supérieur à un certain niveau minimum. Ce problème est généralement bien modélisé à l'aide de la programmation non linéaire.
Les résultats de la résolution d’un problème de programmation non linéaire sont utiles à la prise de décisions gouvernementales. La solution résultante est bien entendu recommandée, il est donc nécessaire d’examiner les hypothèses et l’exactitude du problème de programmation non linéaire avant de prendre une décision finale.
Les problèmes non linéaires sont complexes ; ils sont souvent simplifiés en conduisant à des problèmes linéaires. Pour ce faire, on suppose classiquement que dans un domaine particulier, la fonction objectif augmente ou diminue proportionnellement à l'évolution des variables indépendantes. Cette approche est appelée méthode d'approximations linéaires par morceaux, mais elle n'est applicable qu'à certains types de problèmes non linéaires.
Les problèmes non linéaires sous certaines conditions sont résolus à l'aide de la fonction de Lagrange : en trouvant son point selle, la solution au problème est ainsi trouvée. Parmi les algorithmes informatiques destinés à la recherche scientifique, les méthodes de gradient occupent une grande place. Il n’existe pas de méthode universelle pour résoudre les problèmes non linéaires et, apparemment, il n’y en a peut-être pas, car ils sont extrêmement divers. Les problèmes multiextrémaux sont particulièrement difficiles à résoudre.
L'une des méthodes qui permet de réduire un problème de programmation non linéaire à la résolution d'un système d'équations est la méthode de Lagrange des multiplicateurs indéfinis.
Grâce à la méthode du multiplicateur de Lagrange, les conditions nécessaires sont essentiellement établies pour permettre l'identification de points optimaux dans des problèmes d'optimisation avec contraintes d'égalité. Dans ce cas, le problème contraint est transformé en un problème d’optimisation inconditionnel équivalent, qui fait intervenir des paramètres inconnus appelés multiplicateurs de Lagrange.
La méthode du multiplicateur de Lagrange consiste à réduire les problèmes sur un extremum conditionnel à des problèmes sur l'extremum inconditionnel d'une fonction auxiliaire - ce qu'on appelle. Fonctions de Lagrange.
Pour le problème de l'extremum d'une fonction F(x 1, x 2,..., xn) dans les conditions (équations de contraintes) φ je(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, je= 1, 2,..., m, la fonction de Lagrange a la forme
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ je -1 m λ je φ je (x 1, x 2… x n)
Multiplicateurs λ 1 , λ 2 , ..., λm appelé Multiplicateurs de Lagrange.
Si les valeurs x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm l'essence des solutions aux équations qui déterminent les points stationnaires de la fonction de Lagrange, à savoir, pour les fonctions différentiables, sont les solutions du système d'équations
alors, sous des hypothèses assez générales, x 1 , x 2 , ..., x n fournissent un extremum de la fonction f.
Considérons le problème de la minimisation d'une fonction de n variables soumise à une contrainte sous forme d'égalité :
Minimiser f(x 1, x 2… x n) (1)
sous restrictions h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Selon la méthode du multiplicateur de Lagrange, ce problème se transforme en problème d’optimisation sans contrainte suivant :
minimiser L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
où la Fonction L(x;λ) est appelée fonction de Lagrange,
λ est une constante inconnue, appelée multiplicateur de Lagrange. Il n’y a aucune exigence concernant le signe de λ.
Soit, pour une valeur donnée λ=λ 0, le minimum inconditionnel de la fonction L(x,λ) par rapport à x soit atteint au point x=x 0 et x 0 satisfait l'équation h 1 (x 0)=0 . Alors, comme il est facile de le voir, x 0 minimise (1) en tenant compte de (2), puisque pour toutes les valeurs de x satisfaisant (2), h 1 (x)=0 et L(x,λ)=min f(x).
Bien entendu, il faut choisir la valeur λ=λ 0 pour que la coordonnée du point minimum inconditionnel x 0 satisfasse l'égalité (2). Cela peut être fait si, en considérant λ comme variable, trouvez le minimum inconditionnel de la fonction (3) sous la forme d'une fonction λ, puis choisissez la valeur de λ à laquelle l'égalité (2) est satisfaite. Illustrons cela avec un exemple précis.
Minimiser f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
sous la contrainte h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Le problème d’optimisation sans contrainte correspondant s’écrit comme suit :
minimiser L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Solution. En assimilant les deux composantes du gradient L à zéro, on obtient
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Afin de vérifier si le point stationnaire x° correspond au minimum, on calcule les éléments de la matrice hessienne de la fonction L(x;u), considérée en fonction de x,
ce qui s'avère être positif et défini.
Cela signifie que L(x,u) est une fonction convexe de x. Par conséquent, les coordonnées x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 déterminent le point minimum global. La valeur optimale de λ est trouvée en substituant les valeurs x 1 0 et x 2 0 dans l'équation 2x 1 + x 2 =2, à partir de laquelle 2λ+λ/2=2 ou λ 0 =4/5. Ainsi, le minimum conditionnel est atteint à x 1 0 =4/5 et x 2 0 =2/5 et est égal à min f(x) = 4/5.
Lors de la résolution du problème de l'exemple, nous avons considéré L(x;λ) en fonction de deux variables x 1 et x 2 et avons en outre supposé que la valeur du paramètre λ était choisie de manière à ce que la contrainte soit satisfaite. Si la solution du système
J=1,2,3,…,n
λ ne peut pas être obtenu sous forme de fonctions explicites, alors les valeurs de x et λ sont trouvées en résolvant le système suivant constitué de n+1 équations à n+1 inconnues :
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Pour trouver toutes les solutions possibles à un système donné, vous pouvez utiliser des méthodes de recherche numérique (par exemple, la méthode de Newton). Pour chacune des solutions (), il faut calculer les éléments de la matrice hessienne de la fonction L, considérée en fonction de x, et savoir si cette matrice est définie positive (minimum local) ou définie négative (maximum local ).
La méthode du multiplicateur de Lagrange peut être étendue au cas où le problème comporte plusieurs contraintes sous forme d'égalités. Considérons un problème général qui nécessite
Réduire f(x)
sous restrictions h k =0, k=1, 2, ..., K.
La fonction de Lagrange prend la forme suivante :
Ici λ 1 , λ 2 , ..., λk-Multiplicateurs de Lagrange, c'est-à-dire paramètres inconnus dont les valeurs doivent être déterminées. En assimilant les dérivées partielles de L par rapport à x à zéro, nous obtenons le système suivant de n équations à n inconnues :
S'il est difficile de trouver une solution au système ci-dessus sous forme de fonctions du vecteur λ, vous pouvez alors étendre le système en incluant des restrictions sous forme d'égalités
La solution du système étendu, constitué de n + K équations à n + K inconnues, détermine le point stationnaire de la fonction L. Ensuite, une procédure de vérification d'un minimum ou d'un maximum est mise en œuvre, qui est effectuée sur la base du calcul les éléments de la matrice hessienne de la fonction L, considérés en fonction de x, de la même manière que cela a été fait dans le cas d'un problème à une contrainte. Pour certains problèmes, un système étendu d’équations n+K avec n+K inconnues peut n’avoir aucune solution, et la méthode du multiplicateur de Lagrange s’avère inapplicable. Il convient toutefois de noter que de telles tâches sont assez rares dans la pratique.
Considérons un cas particulier du problème général de la programmation non linéaire, en supposant que le système de contraintes ne contient que des équations, qu'il n'y a pas de conditions de non-négativité des variables et et et sont des fonctions continues avec leurs dérivées partielles. Par conséquent, en résolvant le système d’équations (7), nous obtenons tous les points auxquels la fonction (6) peut avoir des valeurs extrêmes.
Algorithme pour la méthode du multiplicateur de Lagrange
1. Composez la fonction de Lagrange.
2. Trouvez les dérivées partielles de la fonction de Lagrange par rapport aux variables x J ,λ i et assimilez-les à zéro.
3. Nous résolvons le système d'équations (7), trouvons les points auxquels la fonction objectif du problème peut avoir un extremum.
4. Parmi les points suspects d'un extremum, on retrouve ceux où l'extremum est atteint, et on calcule les valeurs de la fonction (6) en ces points.
Exemple.
Donnée initiale: Selon le plan de production, l'entreprise doit fabriquer 180 produits. Ces produits peuvent être fabriqués de deux manières technologiques. Lors de la production de x 1 produits en utilisant la 1ère méthode, les coûts sont de 4x 1 +x 1 2 roubles, et lors de la production de x 2 produits en utilisant la 2ème méthode, ils sont de 8x 2 +x 2 2 roubles. Déterminez combien de produits doivent être fabriqués en utilisant chaque méthode afin que le coût de production soit minime.
La fonction objectif pour le problème énoncé a la forme
® min dans les conditions x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Composez la fonction de Lagrange
.
2.
Nous calculons les dérivées partielles par rapport à x 1, x 2, λ et les assimilons à zéro : 
3.
En résolvant le système d'équations résultant, nous trouvons x 1 =91,x 2 =89
4. Après avoir effectué un remplacement dans la fonction objectif x 2 =180-x 1, on obtient une fonction d'une variable, à savoir f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
On calcule ou 4x 1 -364=0 ,
d'où nous avons x 1 * =91, x 2 * =89.
Réponse : Le nombre de produits fabriqués par la première méthode est x 1 =91, par la deuxième méthode x 2 =89, tandis que la valeur de la fonction objectif est égale à 17 278 roubles.
Description de la méthode
Où . Raisonnement
La justification suivante de la méthode du multiplicateur de Lagrange n’en est pas une preuve rigoureuse. Il contient des considérations heuristiques qui aident à comprendre la signification géométrique de la méthode.
Cas bidimensionnel
Lignes de niveau et courbe.
Supposons qu'il soit nécessaire de trouver l'extremum d'une fonction de deux variables dans la condition spécifiée par l'équation 
. Nous supposerons que toutes les fonctions sont continûment différentiables, et cette équation définit une courbe lisse S en surface. Le problème se réduit alors à trouver l’extremum de la fonction F sur la courbe S. Nous supposerons également que S ne passe pas par les points où le gradient F passe à 0.
Traçons des lignes de niveau de fonction sur l'avion F(c'est-à-dire des courbes). D'après des considérations géométriques, il est clair que l'extremum de la fonction F sur la courbe S il ne peut y avoir que des points où les tangentes à S et la ligne de niveau correspondante coïncident. En effet, si la courbe S franchit la ligne de niveau F en un point transversalement (c'est-à-dire à un angle non nul), puis en se déplaçant le long de la courbe Sà partir d'un point on peut arriver aux lignes de niveau correspondant à une valeur plus grande F, et moins. Un tel point ne peut donc pas constituer un point extrême.
Ainsi, une condition nécessaire pour un extremum dans notre cas sera la coïncidence des tangentes. Pour l'écrire sous forme analytique, notons qu'il équivaut au parallélisme des gradients des fonctions F et ψ en un point donné, puisque le vecteur gradient est perpendiculaire à la tangente à la ligne de niveau. Cette condition s'exprime sous la forme suivante :
où λ est un nombre non nul qui est un multiplicateur de Lagrange.
Considérons maintenant Fonction de Lagrange, en fonction de et λ :
Une condition nécessaire pour son extremum est que la pente soit égale à zéro. Conformément aux règles de différenciation, il s'écrit sous la forme
Nous avons obtenu un système dont les deux premières équations sont équivalentes à la condition nécessaire d'un extremum local (1), et la troisième est équivalente à l'équation . Vous pouvez le trouver à partir de là. De plus, puisque sinon le gradient de la fonction F disparaît au point 
, ce qui contredit nos hypothèses. Il convient de noter que les points ainsi trouvés peuvent ne pas être les points souhaités de l'extremum conditionnel - la condition considérée est nécessaire, mais pas suffisante. Trouver un extremum conditionnel à l'aide d'une fonction auxiliaire L et constitue la base de la méthode du multiplicateur de Lagrange, appliquée ici au cas le plus simple de deux variables. Il s’avère que le raisonnement ci-dessus peut être généralisé au cas d’un nombre arbitraire de variables et d’équations qui précisent les conditions.
Sur la base de la méthode du multiplicateur de Lagrange, il est possible de prouver certaines conditions suffisantes pour un extremum conditionnel, qui nécessitent l'analyse des dérivées secondes de la fonction de Lagrange.
Application
- La méthode du multiplicateur de Lagrange est utilisée pour résoudre des problèmes de programmation non linéaire qui se posent dans de nombreux domaines (par exemple en économie).
- La principale méthode pour résoudre le problème de l'optimisation de la qualité de l'encodage des données audio et vidéo à un débit binaire moyen donné (optimisation de la distorsion - anglais. Optimisation taux-distorsion).
voir également
Liens
- Zorich V.A. Analyse mathematique. Partie 1. - éd. 2e, rév. et supplémentaire - M. : FAZIS, 1997.
Fondation Wikimédia.
2010.
Voyez ce que sont les « multiplicateurs de Lagrange » dans d'autres dictionnaires : Multiplicateurs de Lagrange - des facteurs supplémentaires qui transforment la fonction objectif d'un problème extrême de programmation convexe (notamment programmation linéaire) lors de sa résolution par l'une des méthodes classiques, la méthode de résolution des multiplicateurs... ...
Dictionnaire économique et mathématique Multiplicateurs de Lagrange - Facteurs supplémentaires qui transforment la fonction objectif d'un problème de programmation extrêmement convexe (notamment programmation linéaire) lors de sa résolution par l'une des méthodes classiques, la méthode de résolution des multiplicateurs (méthode de Lagrange).... ...
Guide du traducteur technique Mécanique. 1) Equations de Lagrange du 1er type, équations différentielles du mouvement mécanique. systèmes, qui sont donnés en projections sur des axes de coordonnées rectangulaires et contiennent ce qu'on appelle. Multiplicateurs de Lagrange. Obtenu par J. Lagrange en 1788. Pour un système holonomique, ... ...
Encyclopédie physique Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...
1) en hydromécanique, l'équation du mouvement du fluide (gaz) en variables de Lagrange, qui sont les coordonnées du milieu. Reçu en français scientifique J. Lagrange (environ 1780). De L.u. la loi du mouvement du milieu est déterminée sous forme de dépendances... ... Mécanique. 1) Equations de Lagrange du 1er type, équations différentielles du mouvement mécanique. systèmes, qui sont donnés en projections sur des axes de coordonnées rectangulaires et contiennent ce qu'on appelle. Multiplicateurs de Lagrange. Obtenu par J. Lagrange en 1788. Pour un système holonomique, ... ...
Méthode du multiplicateur de Lagrange, méthode pour trouver l'extremum conditionnel de la fonction f(x), où, par rapport à m contraintes, je varie de un à m. Table des matières 1 Description de la méthode... Wikipédia
Une fonction utilisée pour résoudre des problèmes sur l'extremum conditionnel de fonctions de nombreuses variables et fonctionnelles. Avec l'aide de L. f. les conditions nécessaires à l'optimalité des problèmes sur un extremum conditionnel sont écrites. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’exprimer uniquement des variables… Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...
Méthode de résolution de problèmes sur l'extremum conditionnel ; L.M.M. consiste à réduire ces problèmes à des problèmes sur l'extremum inconditionnel d'une fonction auxiliaire, ce qu'on appelle. Fonctions de Lagrange. Pour le problème de l'extremum de la fonction f (x1, x2,..., xn) pour... ...
Variables à l'aide desquelles la fonction de Lagrange est construite lors de l'étude de problèmes sur un extremum conditionnel. L'utilisation de méthodes linéaires et de la fonction de Lagrange permet d'obtenir de manière uniforme les conditions d'optimalité nécessaires dans des problèmes impliquant un extremum conditionnel... Mécanique équations différentielles ordinaires du 2ème ordre, décrivant les mouvements de la mécanique. systèmes sous l’influence des forces qui leur sont appliquées. L.u. gamme établie par J. Lag sous deux formes : L. u. 1ère sorte, ou équations en coordonnées cartésiennes avec... ...
1) en hydromécanique, les équations du mouvement d'un milieu fluide, écrites en variables de Lagrange, qui sont les coordonnées des particules du milieu. De L.u. la loi du mouvement des particules du milieu est déterminée sous la forme de dépendances des coordonnées par rapport au temps, et à partir d'elles... ... Grande Encyclopédie Soviétique
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méthode Lagrange─ est une méthode de résolution d'un problème d'optimisation sous contrainte dans laquelle des contraintes, écrites sous forme de fonctions implicites, sont combinées avec une fonction objectif sous la forme d'une nouvelle équation appelée Lagrangien.
Considérons un cas particulier du problème général de programmation non linéaire :
Étant donné un système d'équations non linéaires (1) :
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Trouver la plus petite (ou la plus grande) valeur de la fonction (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
s'il n'y a aucune condition pour que les variables soient non négatives et que f(x1,x2,…,xn) et gi(x1,x2,…,xn) sont des fonctions continues avec leurs dérivées partielles.
Pour trouver une solution à ce problème, vous pouvez appliquer la méthode suivante : 1. Entrez un ensemble de variables λ1, λ2,…, λm, appelées multiplicateurs de Lagrange, composez la fonction de Lagrange (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Trouvez les dérivées partielles de la fonction de Lagrange par rapport aux variables xi et λi et assimilez-les à zéro.
3. En résolvant le système d'équations, trouvez les points auxquels la fonction objective du problème peut avoir un extremum.
4. Parmi les points suspects pas un extremum, trouvez ceux où l'extremum est atteint, et calculez les valeurs de la fonction en ces points .
4. Comparez les valeurs obtenues de la fonction f et choisissez la meilleure.
Selon le plan de production, l'entreprise doit fabriquer 180 produits. Ces produits peuvent être fabriqués de deux manières technologiques. Lors de la production de produits x1 en utilisant la méthode I, les coûts sont de 4*x1+x1^2 roubles, et lors de la production de produits x2 en utilisant la méthode II, ils sont de 8*x2+x2^2 roubles. Déterminez combien de produits doivent être fabriqués en utilisant chaque méthode, afin que le coût total de production soit minime.
Solution : La formulation mathématique du problème consiste à déterminer la plus petite valeur d'une fonction de deux variables :
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, à condition que x1 +x2 = 180.
Composons la fonction de Lagrange :
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Calculons ses dérivées partielles par rapport à x1, x2, λ et assimilons-les à 0 :
Déplaçons λ vers les côtés droits des deux premières équations et égalisons leurs côtés gauches, nous obtenons 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ou x1 − x2 = 2.
En résolvant la dernière équation avec l'équation x1 + x2 = 180, nous trouvons x1 = 91, x2 = 89, c'est-à-dire que nous avons obtenu une solution qui satisfait aux conditions :
Trouvons la valeur de la fonction objectif f pour ces valeurs des variables :
F(x1, x2) = 17278
Ce point est suspect pour un point extrême. En utilisant les dérivées partielles secondes, nous pouvons montrer qu'au point (91.89) la fonction f a un minimum.
MÉTHODE LAGRANGE
Méthode pour réduire une forme quadratique à une somme de carrés, indiquée en 1759 par J. Lagrange. Qu'il soit donné
à partir de variables x 0 , X 1 ,..., xp.
avec des coefficients du terrain k caractéristiques Il est nécessaire d'amener cette forme à la forme canonique. esprit
en utilisant une transformation linéaire non dégénérée de variables. L. m. se compose des éléments suivants. On peut supposer que tous les coefficients de la forme (1) ne sont pas égaux à zéro.
Deux cas sont donc possibles. 1) Pour certains g,
diagonale Alors où la forme f 1 (x) ne contient pas de variable xg. 
2) Si tout
Mais
Que où la forme f 2 (x) ne contient pas deux variables xg Et xh.
Les formes sous les signes carrés en (4) sont linéairement indépendantes. En appliquant des transformations des formes (3) et (4), la forme (1) après un nombre fini d'étapes est réduite à la somme des carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. En utilisant les dérivées partielles, les formules (3) et (4) peuvent être écrites sous la forme Allumé. : G a n t m a k h e r F. R., Théorie des matrices, 2e éd., M., 1966 ; K u r osh A. G., Cours d'algèbre supérieure, 11e éd., M., 1975 ; Alexandrov P. S., Conférences sur la géométrie analytique..., M., 1968.
I. V. Proskuryakov. Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique
.
I.M. Vinogradov.- La méthode de Lagrange est une méthode permettant de résoudre un certain nombre de classes de problèmes de programmation mathématique en trouvant le point selle (x*, λ*) de la fonction de Lagrange, obtenu en égalisant à zéro les dérivées partielles de cette fonction par rapport à ... ... - des facteurs supplémentaires qui transforment la fonction objectif d'un problème extrême de programmation convexe (notamment programmation linéaire) lors de sa résolution par l'une des méthodes classiques, la méthode de résolution des multiplicateurs... ...
I.M. Vinogradov.- Une méthode pour résoudre un certain nombre de classes de problèmes de programmation mathématique en trouvant le point selle (x*, ?*) de la fonction de Lagrange, ce qui est obtenu en assimilant les dérivées partielles de cette fonction par rapport à xi et ?i à zéro. . Voir Lagrangien. )
