N auberge aux participes. Orthographe nn et n des participes et des adjectifs verbaux

Relations entre les principaux fonctions trigonométriques– sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont donnés formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listerons dans l'ordre tous les principaux formules trigonométriques, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.

Navigation dans les pages.

Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.

Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de réduction

Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage par angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiées dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.

Formules de réduction de diplôme

Formules trigonométriques pour réduire les degrés visent à faciliter la transition entre diplômes naturels fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

Objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées pour résoudre équations trigonométriques, puisqu'ils vous permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus

Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.

Copyright par CleverStudents

Tous droits réservés.
Protégé par la loi sur le droit d'auteur. Aucune partie du site www.site, y compris les éléments internes et l'apparence, ne peut être reproduite sous quelque forme que ce soit ou utilisée sans l'autorisation écrite préalable du détenteur des droits d'auteur.

Exemples :

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument et signification

Cosinus d'un angle aigu

Cosinus d'un angle aigu peut être déterminé à l'aide d'un triangle rectangle - il est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Exemple :

1) Soit un angle donné et nous devons déterminer le cosinus de cet angle.

2) Complétons n’importe quel triangle rectangle sur cet angle.

3) Après avoir mesuré, fêtes nécessaires, on peut calculer le cosinus.

Cosinus d'un nombre

Le cercle numérique vous permet de déterminer le cosinus de n'importe quel nombre, mais vous trouvez généralement le cosinus des nombres lié d'une manière ou d'une autre à : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Par exemple, pour le nombre \(\frac(π)(6)\) - le cosinus sera égal à \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Et pour le nombre \(-\)\(\frac(3π)(4)\) il sera égal à \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (environ \ (-0,71\)).

Pour le cosinus d'autres nombres souvent rencontrés dans la pratique, voir.

La valeur du cosinus est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\). Dans ce cas, le cosinus peut être calculé pour absolument n'importe quel angle et n'importe quel nombre.

Cosinus de n'importe quel angle

Grâce à cercle de nombres vous pouvez définir le cosinus non seulement angle aigu, mais aussi brutal, négatif et même supérieur à \(360°\) ( tour complet). Comment faire cela est plus facile à voir une fois qu'à entendre \(100\) fois, alors regardez l'image.

Maintenant une explication : supposons que nous devions déterminer le cosinus de l'angle KOA Avec mesure de degré en \(150°\). Combiner le point À PROPOS avec le centre du cercle et le côté D'ACCORD– avec l’axe \(x\). Après cela, réservez \(150°\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Puis l'ordonnée du point UN va nous montrer le cosinus de cet angle.

Si l'on s'intéresse à un angle avec une mesure en degré, par exemple en \(-60°\) (angle KOV), on fait la même chose, mais on règle \(60°\) dans le sens des aiguilles d'une montre.

Et enfin, l'angle est supérieur à \(360°\) (angle CBS) - tout est semblable au stupide, seulement après avoir fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, nous passons au deuxième cercle et "obtenons le manque de degrés". Plus précisément, dans notre cas, l'angle \(405°\) est tracé comme \(360° + 45°\).

Il est facile de deviner que pour tracer un angle, par exemple en \(960°\), il faut faire deux tours (\(360°+360°+240°\)), et pour un angle en \(2640 °\) - sept entiers.

Comment pourriez-vous remplacer à la fois le cosinus d'un nombre et le cosinus angle arbitraire est défini de manière presque identique. Seule la façon dont le point est trouvé sur le cercle change.

Signes cosinus par quarts

À l'aide de l'axe des cosinus (c'est-à-dire l'axe des abscisses, surligné en rouge sur la figure), il est facile de déterminer les signes des cosinus le long du cercle numérique (trigonométrique) :

Là où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(1\), le cosinus aura un signe plus (quarts I et IV - zone verte),
- où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(-1\), le cosinus aura un signe moins (quarts II et III - zone violette).

Relation avec d'autres fonctions trigonométriques :

Solution de l'équation \(\cos⁡x=a\)

La solution de l'équation \(\cos⁡x=a\), où \(a\) est un nombre non supérieur à \(1\) et non inférieur à \(-1\), c'est-à-dire \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Si \(a>1\) ou \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ce faire :
1) Construisons les axes.
2) Construisons un cercle.
3) Sur l'axe cosinus (axe \(y\)) marquez le point \(\frac(1)(2)\) .
4) Tracez une perpendiculaire à l’axe du cosinus passant par ce point.
5) Marquez les points d'intersection de la perpendiculaire et du cercle.
6) Signons les valeurs de ces points : \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Notons toutes les valeurs correspondant à ces points à l'aide de la formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) :
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Répondre: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fonction \(y=\cos(x)\)

Si l'on trace les angles en radians le long de l'axe \(x\), et les valeurs de cosinus correspondant à ces angles le long de l'axe \(y\), on obtient le graphique suivant :

Ce graphe est appelé et possède les propriétés suivantes :

Le domaine de définition est n'importe quelle valeur de x : \(D(\cos(⁡x))=R\)
- plage de valeurs – de \(-1\) à \(1\) inclus : \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- même : \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- périodique de période \(2π\) : \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- points d'intersection avec les axes de coordonnées :
axe des abscisses : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), où \(n ϵ Z\)
Axe Y : \((0;1)\)
- intervalles de constance de signe :
la fonction est positive sur les intervalles : \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), où \(n ϵ Z\)
la fonction est négative sur les intervalles : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), où \(n ϵ Z\)
- intervalles d'augmentation et de diminution :
la fonction augmente sur les intervalles : \((π+2πn;2π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
la fonction décroît sur les intervalles : \((2πn;π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
- les maximums et les minimums de la fonction :
la fonction a une valeur maximale \(y=1\) aux points \(x=2πn\), où \(n ϵ Z\)
la fonction a une valeur minimale \(y=-1\) aux points \(x=π+2πn\), où \(n ϵ Z\).

Sinus angle aigu α triangle rectangle est une attitude opposé jambe à l'hypoténuse.
Il est noté ainsi : sin α.

Cosinus L'angle aigu α d'un triangle rectangle est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.
Il est désigné ainsi : cos α.

Tangente L'angle aigu α est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Il est désigné ainsi : tg α.

Cotangente l'angle aigu α est le rapport jambe adjacenteà l'opposé.
Il est désigné ainsi : ctg α.

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle dépendent uniquement de la taille de l'angle.

Règles:

Identités trigonométriques de base dans un triangle rectangle :

(α - angle aigu opposé à la jambe b et adjacent à la jambe un . Côté Avec – l'hypoténuse. β – deuxième angle aigu).

À mesure que l'angle aigu augmentepéché α ettan α augmente, etcos α diminue.

Pour tout angle aigu α :

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Exemple-explication:

Soit un triangle rectangle ABC
AB = 6,
BC = 3,
angle A = 30º.

Découvrons le sinus de l'angle A et le cosinus de l'angle B.

Solution .

1) Tout d'abord, on trouve la valeur de l'angle B. Tout est simple ici : puisque dans un triangle rectangle la somme des angles aigus est de 90º, alors l'angle B = 60º :

B = 90º – 30º = 60º.

2) Calculons le péché A. Nous savons que le sinus égal au rapport côté opposé à l’hypoténuse. Pour l’angle A, le côté opposé est le côté BC. Donc:

avant JC 3 1
péché A = -- = - = -
AB 6 2

3) Calculons maintenant cos B. Nous savons que le cosinus est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Pour l’angle B, la branche adjacente est du même côté BC. Cela signifie que nous devons à nouveau diviser BC par AB, c'est-à-dire effectuer les mêmes actions que lors du calcul du sinus de l'angle A :

avant JC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2

Le résultat est :
péché A = cos B = 1/2.

péché 30º = cos 60º = 1/2.

Il s'ensuit que dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus de l'autre angle aigu - et vice versa. C’est exactement ce que signifient nos deux formules :
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Assurons-nous encore de cela :

1) Soit α = 60º. En substituant la valeur de α dans la formule sinusoïdale, nous obtenons :
péché (90º – 60º) = cos 60º.
péché 30º = cos 60º.

2) Soit α = 30º. En substituant la valeur de α dans la formule du cosinus, nous obtenons :
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = péché 30º.

(Pour plus d'informations sur la trigonométrie, voir la section Algèbre)

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle vous aidera à comprendre un triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté \(AC\)) ; les jambes sont les deux côtés restants \(AB\) et \(BC\) (ceux adjacents à l'angle droit), et si l'on considère les jambes par rapport à l'angle \(BC\), alors la jambe \(AB\) est la jambe adjacente, et la jambe \(BC\) est opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle– c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus de l'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente de l'angle– c’est le rapport entre le côté opposé (distant) et le côté adjacent (proche).

Dans notre triangle :

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente d'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).

Dans notre triangle :

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Vous ne me croyez pas ? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Considérons, par exemple, le cosinus de l'angle \(\beta \) . Par définition, à partir d'un triangle \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mais on peut calculer le cosinus de l'angle \(\beta \) à partir du triangle \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle \(ABC \) représenté dans la figure ci-dessous, on trouve \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l'angle \(\beta \) .

Réponses : \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à \(1\) . Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du rayon vecteur est fixée le long de la direction positive de l'axe \(x\) (dans notre exemple, ce est le rayon \(AB\)).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe \(x\) et la coordonnée le long de l'axe \(y\). Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons le triangle \(ACG\) . Il est rectangulaire car \(CG\) est perpendiculaire à l'axe \(x\).

Qu'est-ce que \(\cos \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? C'est exact \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). De plus, on sait que \(AC\) est le rayon cercle unitaire, ce qui signifie \(AC=1\) . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

À quoi est égal \(\sin \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? Eh bien bien sûr \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Remplacez la valeur du rayon \(AC\) dans cette formule et obtenez :

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point \(C\) appartenant au cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous réalisiez que \(\cos \ \alpha \) et \(\sin \alpha \) ne sont que des nombres ? À quelle coordonnée correspond \(\cos \alpha \) ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée \(x\) ! Et à quelle coordonnée correspond \(\sin \alpha \) ? C'est vrai, coordonnez \(y\) ! Donc le point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

À quoi sont alors égaux \(tg \alpha \) et \(ctg \alpha \) ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angle (comme adjacent à l'angle \(\beta \) ). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée \(y\) ; la valeur du cosinus de l'angle – coordonnée \(x\) ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe \(x\). Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre – négatif.

Ainsi, nous savons que la révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de \(390()^\circ \) ou de \(-1140()^\circ \) ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Dans le premier cas, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ainsi, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dans le deuxième cas, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier), correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre l'angle \(\beta =-60()^\circ \) . La même image correspond au coin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(tableau)\)

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin dans \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) correspond à un point de coordonnées \(\left(0;1 \right) \) , donc :

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- n'existe pas ;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins de \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondent à des points avec des coordonnées \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \droite) \), respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses :

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- n'existe pas

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- n'existe pas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Vous devez vous en souvenir ou pouvoir l'afficher !! \) !}

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indiqué dans le tableau ci-dessous, vous devez vous rappeler :

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple de mémorisation assez simple des valeurs correspondantes :

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs sinusoïdales pour les trois mesures d'angle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en \(30()^\circ \) . Connaissant ces valeurs \(4\), il est assez simple de restituer l'ensemble du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tableau) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Le numérateur "\(1 \)" correspondra à \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) et le dénominateur "\(\sqrt(\text(3)) \)" correspondra à \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser uniquement les valeurs \(4\) du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Dérivons une formule générale pour trouver les coordonnées d'un point. Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous donne ce point \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centre du cercle. Le rayon du cercle est \(1.5\) . Il faut trouver les coordonnées du point \(P\) obtenues en faisant pivoter le point \(O\) de \(\delta \) degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée \(x\) du point \(P\) correspond à la longueur du segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longueur du segment \(UK\) correspond à la coordonnée \(x\) du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à \(3\) . La longueur du segment \(KQ\) peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Alors on a que pour le point \(P\) la coordonnée \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

En utilisant la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y du point \(P\) . Ainsi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Ainsi, en général, les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tableau) \), Où

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonnées du centre du cercle,

\(r\) - rayon du cercle,

\(\delta \) - angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Je pense que tu mérites plus que ça. Voici ma clé de la trigonométrie :

• Dessinez le dôme, le mur et le plafond
• Les fonctions trigonométriques ne sont que des pourcentages de ces trois formes.

Métaphore du sinus et du cosinus : dôme

Au lieu de simplement regarder les triangles eux-mêmes, imaginez-les en action en trouvant un exemple concret et spécifique.

Imaginez que vous êtes au milieu d'un dôme et que vous souhaitez accrocher un écran de projection de cinéma. Vous pointez votre doigt vers le dôme selon un certain angle « x », et l'écran doit être suspendu à partir de ce point.

L'angle que vous pointez détermine :

• sine(x) = sin(x) = hauteur de l'écran (du sol au point de montage du dôme)
• cosinus(x) = cos(x) = distance entre vous et l'écran (par étage)
• hypoténuse, la distance entre vous et le haut de l'écran, toujours la même, égale au rayon du dôme

Voulez-vous que l’écran soit le plus grand possible ? Accrochez-le directement au-dessus de vous.

Voulez-vous que l’écran soit suspendu le plus loin possible de vous ? Accrochez-le perpendiculairement. L'écran aura une hauteur nulle dans cette position et sera suspendu le plus loin possible, comme vous l'avez demandé.

La hauteur et la distance par rapport à l'écran sont inversement proportionnelles : plus l'écran est proche, plus sa hauteur est grande.

Le sinus et le cosinus sont des pourcentages

Personne pendant mes années d'études ne m'a hélas expliqué que les fonctions trigonométriques sinus et cosinus ne sont que des pourcentages. Leurs valeurs vont de +100% à 0 à -100%, ou d'un maximum positif à zéro jusqu'à un maximum négatif.

Disons que j'ai payé une taxe de 14 roubles. Vous ne savez pas combien c'est. Mais si vous dites que j’ai payé 95 % d’impôts, vous comprendrez que j’ai simplement été escroqué.

La hauteur absolue ne veut rien dire. Mais si la valeur sinusoïdale est de 0,95, alors je comprends que le téléviseur est suspendu presque au sommet de votre dôme. Très vite, il atteindra sa hauteur maximale au centre du dôme, puis recommencera à décliner.

Comment peut-on calculer ce pourcentage ? C'est très simple : divisez la hauteur actuelle de l'écran par le maximum possible (le rayon du dôme, aussi appelé hypoténuse).

C'est pourquoi on nous dit que « cosinus = côté opposé / hypoténuse ». Le tout est de susciter l'intérêt ! Il est préférable de définir le sinus comme « le pourcentage de la hauteur actuelle par rapport au maximum possible ». (Le sinus devient négatif si votre angle pointe « sous terre ». Le cosinus devient négatif si l’angle pointe vers le point du dôme derrière vous.)

Simplifions les calculs en supposant que nous sommes au centre du cercle unité (rayon = 1). Nous pouvons sauter la division et prendre simplement le sinus égal à la hauteur.

Chaque cercle est essentiellement un cercle unique, agrandi ou réduit à la taille souhaitée. Déterminez donc les connexions du cercle unitaire et appliquez les résultats à la taille spécifique de votre cercle.

Expérience : prenez n'importe quel coin et voyez quel pourcentage de hauteur par rapport à la largeur il affiche :

Le graphique de la croissance de la valeur sinusoïdale n’est pas simplement une ligne droite. Les 45 premiers degrés couvrent 70 % de la hauteur, mais les 10 derniers degrés (de 80° à 90°) n'en couvrent que 2 %.

Cela vous permettra d'y voir plus clair : si vous marchez en cercle, à 0° vous montez presque verticalement, mais à mesure que vous vous approchez du sommet du dôme, la hauteur change de moins en moins.

Tangente et sécante. Mur

Un jour, un voisin a construit un mur juste à côté l'un de l'autreà votre dôme. J'ai pleuré ta vue depuis la fenêtre et un bon prix pour la revente !

Mais est-il possible de gagner d’une manière ou d’une autre dans cette situation ?

Bien sûr que oui. Et si nous accrochions un écran de cinéma directement sur le mur de notre voisin ? Vous ciblez l'angle (x) et obtenez :

• tan(x) = tan(x) = hauteur de l'écran sur le mur
• distance de vous au mur : 1 (c'est le rayon de votre dôme, le mur ne bouge pas de vous, n'est-ce pas ?)
• sécant(x) = sec(x) = « longueur de l'échelle » depuis votre position au centre du dôme jusqu'au sommet de l'écran suspendu

Clarifions quelques points concernant la tangente ou la hauteur de l'écran.

• il commence à 0 et peut aller infiniment haut. Vous pouvez étendre l'écran de plus en plus haut sur le mur pour créer une toile infinie pour regarder votre film préféré ! (Pour un projet aussi énorme, bien sûr, vous devrez dépenser beaucoup d'argent).
• la tangente n'est qu'une version agrandie du sinus ! Et tandis que l’augmentation du sinus ralentit à mesure que vous vous déplacez vers le sommet du dôme, la tangente continue de croître !

Sekansu a aussi de quoi se vanter :

• La sécante commence à 1 (l'échelle est au sol, de vous au mur) et commence à monter à partir de là
• La sécante est toujours plus longue que la tangente. L'échelle inclinée que vous utilisez pour accrocher votre paravent doit être plus longue que l'écran lui-même, n'est-ce pas ? (Avec des tailles irréalistes, lorsque l'écran est tellement long et que l'échelle doit être placée presque verticalement, leurs tailles sont presque les mêmes. Mais même dans ce cas, la sécante sera un peu plus longue).

N'oubliez pas que les valeurs sont pour cent. Si vous décidez d'accrocher l'écran à un angle de 50 degrés, tan(50)=1,19. Votre écran est 19 % plus grand que la distance au mur (rayon du dôme).

(Entrez x=0 et vérifiez votre intuition - tan(0) = 0 et sec(0) = 1.)

Cotangente et cosécante. Plafond

Incroyablement, votre voisin a maintenant décidé de construire un toit au-dessus de votre dôme. (Qu'est-ce qui ne va pas chez lui ? Apparemment, il ne veut pas que vous l'espionniez pendant qu'il se promène nu dans la cour...)

Eh bien, il est temps de construire une sortie sur le toit et de parler à votre voisin. Vous choisissez l'angle d'inclinaison et commencez la construction :

• la distance verticale entre la sortie du toit et le sol est toujours de 1 (le rayon du dôme)
• cotangente(x) = cot(x) = distance entre le sommet du dôme et le point de sortie
• cosecant(x) = csc(x) = longueur de votre chemin jusqu'au toit

Tangente et sécante décrivent le mur, et COtangente et COsécante décrivent le plafond.

Nos conclusions intuitives sont cette fois similaires aux précédentes :

• Si vous prenez l'angle égal à 0°, votre sortie vers le toit sera éternelle, puisqu'elle n'atteindra jamais le plafond. Problème.
• L'« échelle » la plus courte jusqu'au toit sera obtenue si vous la construisez à un angle de 90 degrés par rapport au sol. La cotangente sera égale à 0 (on ne bouge pas du tout le long du toit, on sort strictement perpendiculairement), et la cosécante sera égale à 1 (« la longueur de l'échelle » sera minime).

Visualisez les connexions

Si les trois cas sont dessinés dans une combinaison dôme-mur-plafond, le résultat sera le suivant :

Eh bien, c’est toujours le même triangle, agrandi en taille pour atteindre le mur et le plafond. Nous avons des côtés verticaux (sinus, tangent), des côtés horizontaux (cosinus, cotangent) et des « hypoténuses » (sécante, cosécante). (Par les flèches, vous pouvez voir où atteint chaque élément. La cosécante est la distance totale entre vous et le toit).

Un peu de magie. Tous les triangles partagent les mêmes égalités :

À partir du théorème de Pythagore (a 2 + b 2 = c 2), nous voyons comment les côtés de chaque triangle sont connectés. De plus, les rapports « hauteur/largeur » doivent également être les mêmes pour tous les triangles. (Il suffit de passer du plus grand triangle au plus petit. Oui, la taille a changé, mais les proportions des côtés resteront les mêmes).

Sachant quel côté de chaque triangle est égal à 1 (le rayon du dôme), nous pouvons facilement calculer que « sin/cos = tan/1 ».

J'ai toujours essayé de me souvenir de ces faits grâce à une simple visualisation. Sur l'image, vous voyez clairement ces dépendances et comprenez d'où elles viennent. Cette technique est bien meilleure que la mémorisation de formules sèches.

N'oubliez pas les autres angles

Psst... Ne restez pas coincé sur un graphique en pensant que la tangente est toujours inférieure à 1. Si vous augmentez l'angle, vous pouvez atteindre le plafond sans atteindre le mur :

Les connexions pythagoriciennes fonctionnent toujours, mais les tailles relatives peuvent varier.

(Vous avez peut-être remarqué que les rapports sinus et cosinus sont toujours les plus petits car ils sont contenus dans le dôme).

Pour résumer : que faut-il retenir ?

Pour la plupart d’entre nous, je dirais que ceci suffira :

• la trigonométrie explique l'anatomie des objets mathématiques tels que les cercles et les intervalles répétitifs
• L'analogie dôme/mur/toit montre la relation entre différentes fonctions trigonométriques
• Les fonctions trigonométriques donnent des pourcentages que nous appliquons à notre script.

Vous n'avez pas besoin de mémoriser des formules comme 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ils ne conviennent que pour des tests stupides dans lesquels la connaissance d'un fait est présentée comme une compréhension de celui-ci. Prenez une minute pour dessiner un demi-cercle en forme de dôme, de mur et de toit, étiquetez les éléments et toutes les formules vous parviendront sur papier.

Application : Fonctions inverses

Toute fonction trigonométrique prend un angle comme paramètre d'entrée et renvoie le résultat sous forme de pourcentage. péché(30) = 0,5. Cela signifie qu'un angle de 30 degrés occupe 50 % de la hauteur maximale.

La fonction trigonométrique inverse s'écrit sin -1 ou arcsin. Asin est également souvent écrit dans divers langages de programmation.

Si notre hauteur représente 25 % de la hauteur du dôme, quel est notre angle ?

Dans notre tableau des proportions vous pouvez trouver un rapport où la sécante est divisée par 1. Par exemple, la sécante par 1 (hypoténuse à l'horizontale) sera égale à 1 divisé par le cosinus :

Disons que notre sécante vaut 3,5, c'est-à-dire 350 % du rayon d'un cercle unité. A quel angle d'inclinaison par rapport au mur correspond cette valeur ?

Annexe : Quelques exemples

Une tâche ennuyeuse. Compliquons le banal « trouver le sinus » en « Quelle est la hauteur en pourcentage du maximum (hypoténuse) ?

Tout d’abord, remarquez que le triangle pivote. Il n'y a rien de mal à cela. Le triangle a aussi une hauteur, elle est indiquée en vert sur la figure.

A quoi est égale l'hypoténuse ? D'après le théorème de Pythagore, on sait que :

3 2 + 4 2 = hypoténuse 2 25 = hypoténuse 2 5 = hypoténuse

Bien! Le sinus est le pourcentage de la hauteur du côté le plus long du triangle, ou hypoténuse. Dans notre exemple, le sinus est de 3/5 ou 0,60.

Bien sûr, nous pouvons procéder de plusieurs manières. Maintenant que nous savons que le sinus est de 0,60, nous pouvons simplement trouver l'arc sinus :

Asin(0,6)=36,9

Voici une autre approche. Notez que le triangle est « face au mur », nous pouvons donc utiliser la tangente au lieu du sinus. La hauteur est de 3, la distance au mur est de 4, donc la tangente est de ¾ ou 75 %. Nous pouvons utiliser l'arctangente pour passer d'une valeur en pourcentage à un angle :

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemple : Allez-vous nager jusqu'au rivage ?

Vous êtes dans un bateau et vous avez suffisamment de carburant pour parcourir 2 km. Vous êtes désormais à 0,25 km de la côte. À quel angle maximum par rapport au rivage pouvez-vous nager jusqu'à celui-ci pour avoir suffisamment de carburant ? Ajout à l'énoncé du problème : nous n'avons qu'un tableau de valeurs d'arc cosinus.

Qu'avons-nous ? Le littoral peut être représenté comme un « mur » dans notre fameux triangle, et la « longueur de l'échelle » fixée au mur est la distance maximale possible à parcourir en bateau jusqu'au rivage (2 km). Une sécante apparaît.

Tout d’abord, vous devez passer aux pourcentages. Nous avons 2 / 0,25 = 8, c'est-à-dire que nous pouvons nager une distance équivalant à 8 fois la distance en ligne droite jusqu'au rivage (ou jusqu'au mur).

La question se pose : « Qu’est-ce que la sécante de 8 ? Mais nous ne pouvons pas y répondre, puisque nous n’avons que des arcs cosinus.

Nous utilisons nos dépendances dérivées précédemment pour relier la sécante au cosinus : « sec/1 = 1/cos »

La sécante de 8 est égale au cosinus de ⅛. Un angle dont le cosinus est ⅛ est égal à acos(1/8) = 82,8. Et c'est l'angle le plus grand que nous puissions nous permettre sur un bateau avec la quantité de carburant spécifiée.

Pas mal, non ? Sans l’analogie dôme-mur-plafond, je me serais perdu dans un tas de formules et de calculs. Visualiser le problème simplifie grandement la recherche d'une solution, et il est également intéressant de voir quelle fonction trigonométrique sera finalement utile.

Pour chaque problème, pensez comme ceci : suis-je intéressé par le dôme (sin/cos), le mur (tan/sec) ou le plafond (cot/csc) ?

Et la trigonométrie deviendra bien plus agréable. Des calculs faciles pour vous !