Les points sont marqués sur le cercle unité. Comment mémoriser les points sur le cercle unité

Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question. ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce sur quoi je souhaite attirer particulièrement l’attention, c’est que deux points dans le temps et deux points dans l’espace sont des choses différentes qu’il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.

Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.

Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.

Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...

Et maintenant j'ai la question la plus intéressante : où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.

Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.

Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.

1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.

La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.

Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.

Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.

Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : signe moins, chiffre quatre, désignation du degré). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

J'espère que vous avez déjà entendu parler du cercle numérique et que vous savez pourquoi on l'appelle cercle numérique, où se trouve l'origine des coordonnées et de quel côté se trouve la direction positive. Sinon, courez ! À moins, bien sûr, que vous ne trouviez des points sur le cercle numérique.

On note les nombres \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2 )\)

Comme vous le savez grâce à l’article précédent, le rayon du cercle numérique est \(1\). Cela signifie que la circonférence est égale à \(2π\) (calculée à l'aide de la formule \(l=2πR\)). En tenant compte de cela, nous marquons \(2π\) sur le cercle numérique. Pour marquer ce nombre, il faut parcourir de \(0\) le long du cercle numérique une distance égale à \(2π\) dans le sens positif, et puisque la longueur du cercle est \(2π\), il s'avère que nous ferons une révolution complète. Autrement dit, les nombres \(2π\) et \(0\) correspondent au même point. Ne vous inquiétez pas, plusieurs valeurs pour un point sont normales pour un cercle numérique.

Notons maintenant le nombre \(π\) sur le cercle numérique. \(π\) est la moitié de \(2π\). Ainsi, pour marquer ce nombre et le point correspondant, il faut parcourir un demi-cercle à partir de \(0\) dans le sens positif.

Marquons le point \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) est la moitié de \(π\), donc pour marquer ce nombre, il faut parcourir de \(0\) dans le sens positif une distance égale à la moitié de \( π\), soit le quart de cercle.

Notons les points du cercle \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Nous parcourons la même distance que la dernière fois, mais dans le sens négatif.

Mettons \(-π\). Pour ce faire, nous allons parcourir une distance égale à un demi-cercle dans le sens négatif.

Regardons maintenant un exemple plus compliqué. Marquons le nombre \(\frac(3π)(2)\) sur le cercle. Pour ce faire, on traduit la fraction \(\frac(3)(2)\) en \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), c'est-à-dire e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Cela signifie que vous devez parcourir à partir de \(0\) dans le sens positif une distance d'un demi-cercle et d'un autre quart.

Exercice 1. Marquez les points \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) sur le cercle numérique.

On note les nombres \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Ci-dessus, nous avons trouvé les valeurs aux points d'intersection du cercle numérique avec les axes \(x\) et \(y\). Déterminons maintenant la position des points intermédiaires. Tout d’abord, traçons les points \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) et \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) est la moitié de \(\frac(π)(2)\) (c'est-à-dire \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , donc la distance \(\frac(π)(4)\) est un demi-quart de cercle.

\(\frac(π)(4)\) est un tiers de \(π\) (en d'autres termes,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), donc le la distance \ (\frac(π)(3)\) est un tiers du demi-cercle.

\(\frac(π)(6)\) est la moitié de \(\frac(π)(3)\) (après tout, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) donc la distance \(\frac(π)(6)\) est la moitié de la distance \(\frac(π)(3)\) .

Voici comment ils sont situés les uns par rapport aux autres :

Commentaire: Localisation des points de valeur \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) il vaut mieux se souvenir. Sans eux, le cercle numérique, comme un ordinateur sans moniteur, semble être une chose utile, mais est extrêmement peu pratique à utiliser.

Notons maintenant le point \(\frac(7π)(6)\) sur le cercle, pour cela on effectue les transformations suivantes : \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . De cela, nous pouvons voir qu'à partir de zéro dans la direction positive, nous devons parcourir une distance \(π\), puis une autre \(\frac(π)(6)\) .

Marquez le point \(-\)\(\frac(4π)(3)\) sur le cercle. Transformation : \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Cela signifie qu'à partir de \(0\) vous devez parcourir dans le sens négatif la distance \(π\) et également \(\frac(π)(3)\) .

Traçons le point \(\frac(7π)(4)\) , pour ce faire nous transformons \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Cela signifie que pour placer un point de valeur \(\frac(7π)(4)\), il faut passer du point de valeur \(2π\) dans le sens négatif à une distance \(\ frac(π)(4)\) .

Tâche 2. Marquez les points \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) sur le cercle numérique (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

On note les nombres \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Écrivons \(10π\) sous la forme \(5 \cdot 2π\). On rappelle que \(2π\) est une distance égale à la longueur d'un cercle, donc pour marquer le point \(10π\), il faut passer de zéro à une distance égale à \(5\) cercles. Il n'est pas difficile de deviner que nous nous retrouverons à nouveau au point \(0\), il suffit de faire cinq tours.

De cet exemple nous pouvons conclure :

Les nombres avec une différence de \(2πn\), où \(n∈Z\) (c'est-à-dire que \(n\) est n'importe quel nombre entier) correspondent au même point.

Autrement dit, pour mettre un nombre avec une valeur supérieure à \(2π\) (ou inférieure à \(-2π\)), vous devez en extraire un nombre pair \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)...) et jetez-le. Ainsi, nous supprimerons les « révolutions à vide » des nombres qui n'affectent pas la position du point.

Autre conclusion :

Le point auquel correspond \(0\) correspond également à toutes les quantités paires \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Appliquons maintenant \(-3π\) au cercle. \(-3π=-π-2π\), ce qui signifie que \(-3π\) et \(–π\) sont au même endroit sur le cercle (puisqu'ils diffèrent par un « tour à vide » en \(-2π \)).

À propos, tous les \(π\) impairs seront également là.

Le point auquel correspond \(π\) correspond également à toutes les quantités impaires \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Notons maintenant le nombre \(\frac(7π)(2)\) . Comme d'habitude, on transforme : \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . On écarte deux pi, et il s'avère que pour désigner le nombre \(\frac(7π)(2)\) il faut passer de zéro dans le sens positif à une distance égale à \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (c'est-à-dire un demi-cercle et un autre quart).

Lorsqu'il étudie la trigonométrie à l'école, chaque élève est confronté au concept très intéressant de « cercle numérique ». La façon dont l’élève apprendra la trigonométrie plus tard dépend de la capacité de l’enseignant à expliquer de quoi il s’agit et pourquoi elle est nécessaire. Malheureusement, tous les enseignants ne peuvent pas expliquer clairement ce matériel. En conséquence, de nombreux étudiants ne savent même pas comment noter points sur le cercle numérique. Si vous lisez cet article jusqu'au bout, vous apprendrez comment procéder sans aucun problème.

Alors, commençons. Traçons un cercle dont le rayon est 1. Notons le point « le plus à droite » de ce cercle par la lettre Ô:

Félicitations, vous venez de tracer un cercle unitaire. Puisque le rayon de ce cercle est 1, sa longueur est .

Chaque nombre réel peut être associé à la longueur de la trajectoire le long du cercle numérique à partir du point Ô. La direction positive est considérée comme la direction du mouvement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour le négatif – dans le sens des aiguilles d’une montre :

Emplacement des points sur le cercle numérique

Comme nous l'avons déjà noté, la longueur du cercle numérique (cercle unité) est égale à . Où sera alors situé le numéro sur ce cercle ? Évidemment, du point de vue Ô dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous devons parcourir la moitié de la longueur du cercle et nous nous retrouverons au point souhaité. Notons-le par la lettre B:

Notez que le même point pourrait être atteint en parcourant un demi-cercle dans la direction négative. Ensuite, nous tracerions le nombre sur le cercle unité. Autrement dit, les chiffres correspondent au même point.

De plus, ce même point correspond également aux nombres , , , et, en général, à un ensemble infini de nombres qui peuvent s'écrire sous la forme , où , c'est-à-dire appartient à l'ensemble des nombres entiers. Tout cela parce que du point de vue B vous pouvez faire un « tour du monde » dans n’importe quelle direction (ajouter ou soustraire la circonférence) et arriver au même point. Nous obtenons une conclusion importante qui doit être comprise et mémorisée.

Chaque nombre correspond à un seul point sur le cercle numérique. Mais chaque point du cercle numérique correspond à un nombre infini de nombres.

Divisons maintenant le demi-cercle supérieur du cercle numérique en arcs d'égale longueur par un point C. Il est facile de voir que la longueur de l'arc O.C.égal à . Remettons maintenant à plus tard le point C un arc de même longueur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. En conséquence, nous arriverons au point B. Le résultat est tout à fait attendu, puisque . Posons à nouveau cet arc dans la même direction, mais maintenant à partir du point B. En conséquence, nous arriverons au point D, qui correspondra déjà au numéro :

Notons encore que ce point correspond non seulement au nombre, mais aussi, par exemple, au nombre, car ce point peut être atteint en s'éloignant du point Ô quart de cercle dans le sens des aiguilles d’une montre (sens négatif).

Et, d'une manière générale, on constate encore que ce point correspond à une infinité de nombres pouvant s'écrire sous la forme . Mais ils peuvent aussi être écrits sous la forme . Ou, si vous préférez, sous forme de . Tous ces enregistrements sont absolument équivalents et peuvent être obtenus les uns des autres.

Divisons maintenant l'arc en O.C. demi-point M. Maintenant, déterminez quelle est la longueur de l'arc OM? C'est vrai, la moitié de l'arc O.C.. C'est . À quels nombres correspond le point ? M sur le cercle numérique ? Je suis sûr que vous réaliserez maintenant que ces nombres peuvent s’écrire .

Mais cela peut être fait différemment. Prenons . Ensuite, nous obtenons cela . Autrement dit, ces nombres peuvent être écrits sous la forme . Le même résultat pourrait être obtenu en utilisant le cercle numérique. Comme je l'ai déjà dit, les deux enregistrements sont équivalents et peuvent être obtenus l'un de l'autre.

Vous pouvez maintenant facilement donner un exemple des nombres auxquels correspondent les points N, P. Et K sur le cercle numérique. Par exemple, les chiffres , et :

Ce sont souvent les nombres positifs minimaux qui sont utilisés pour désigner les points correspondants sur le cercle numérique. Bien que ce ne soit pas du tout nécessaire, point final N, comme vous le savez déjà, correspond à une infinité d’autres nombres. Y compris, par exemple, le numéro.

Si tu brises l'arc O.C. en trois arcs égaux avec des points S Et L, c'est donc là le point S se situera entre les points Ô Et L, alors la longueur de l'arc Système d'exploitation sera égal à , et la longueur de l'arc OL sera égal à . En utilisant les connaissances que vous avez acquises dans la partie précédente de la leçon, vous pouvez facilement comprendre comment se sont déroulés les points restants sur le cercle numérique :

Nombres non multiples de π sur le cercle numérique

Posons-nous maintenant la question : où sur la droite numérique doit-on marquer le point correspondant au chiffre 1 ? Pour ce faire, vous devez partir du point le plus « droit » du cercle unité. Ô tracer un arc dont la longueur serait égale à 1. On ne peut indiquer qu'approximativement l'emplacement du point souhaité. Procédons comme suit.

Coordonnées X les points situés sur le cercle sont égaux à cos(θ), et les coordonnées oui correspondent à sin(θ), où θ est la grandeur de l’angle.

• Si vous avez du mal à vous souvenir de cette règle, rappelez-vous simplement que dans la paire (cos; sin) « le sinus vient en dernier ».
• Cette règle peut être dérivée en considérant les triangles rectangles et la définition de ces fonctions trigonométriques (le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé et du cosinus du côté adjacent à l'hypoténuse).

Si vous placez le cercle du numéro d'unité sur le plan de coordonnées, vous pouvez alors trouver les coordonnées de ses points. Le cercle numérique est positionné de manière à ce que son centre coïncide avec l'origine du plan, c'est-à-dire le point O (0 ; 0).

Habituellement sur le cercle du numéro d'unité sont marqués les points correspondant à l'origine du cercle

• quarts - 0 ou 2π, π/2, π, (2π)/3,
• quartiers du milieu - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• tiers des quarts - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sur le plan de coordonnées, avec l'emplacement ci-dessus du cercle unité, vous pouvez trouver les coordonnées correspondant à ces points du cercle.

Les coordonnées des extrémités des quartiers sont très faciles à retrouver. Au point 0 du cercle, la coordonnée x est 1 et la coordonnée y est 0. Nous pouvons la noter comme A (0) = A (1; 0).

La fin du premier trimestre sera située sur l’axe des y positif. Par conséquent, B (π/2) = B (0 ; 1).

La fin du deuxième quart se situe sur le demi-axe négatif : C (π) = C (-1 ; 0).

Fin du troisième trimestre : D ((2π)/3) = D (0 ; -1).

Mais comment trouver les coordonnées des milieux des quartiers ? Pour ce faire, construisez un triangle rectangle. Son hypoténuse est un segment allant du centre du cercle (ou origine) au milieu du quart de cercle. C'est le rayon du cercle. Puisque le cercle est une unité, l'hypoténuse est égale à 1. Ensuite, tracez une perpendiculaire d'un point du cercle à n'importe quel axe. Que ce soit vers l'axe des x. Le résultat est un triangle rectangle dont les longueurs des branches sont les coordonnées x et y du point sur le cercle.

Un quart de cercle fait 90º. Et un demi-quart fait 45º. Puisque l’hypoténuse est tirée jusqu’au milieu du quadrant, l’angle entre l’hypoténuse et la jambe partant de l’origine est de 45º. Mais la somme des angles de n’importe quel triangle est de 180º. Par conséquent, l’angle entre l’hypoténuse et l’autre jambe reste également de 45º. Cela donne un triangle rectangle isocèle.

Du théorème de Pythagore, nous obtenons l'équation x 2 + y 2 = 1 2. Puisque x = y et 1 2 = 1, l'équation se simplifie en x 2 + x 2 = 1. En la résolvant, nous obtenons x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Ainsi, les coordonnées du point M 1 (π/4) = M 1 (√2/2 ; √2/2).

Dans les coordonnées des points des milieux des autres quartiers, seuls les signes changeront, et les modules des valeurs resteront les mêmes, puisque le triangle rectangle ne sera que retourné. On a:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2 ; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2 ; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2 ; -√2/2)

Lors de la détermination des coordonnées des tiers des quarts d'un cercle, un triangle rectangle est également construit. Si nous prenons le point π/6 et traçons une perpendiculaire à l'axe des x, alors l'angle entre l'hypoténuse et la jambe située sur l'axe des x sera de 30º. On sait qu'une jambe opposée à un angle de 30º est égale à la moitié de l'hypoténuse. Cela signifie que nous avons trouvé la coordonnée y, elle est égale à ½.

Connaissant les longueurs de l'hypoténuse et d'une des jambes, en utilisant le théorème de Pythagore on trouve l'autre jambe :
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Ainsi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2 ; ½).

Pour le point du deuxième tiers du premier quart (π/3), il vaut mieux tracer une perpendiculaire à l'axe des y. Alors l'angle à l'origine sera également de 30º. Ici, la coordonnée x sera égale à ½ et y, respectivement, √3/2 : T 2 (π/3) = T 2 (½ ; √3/2).

Pour les autres points des troisièmes quarts, les signes et l'ordre des valeurs de coordonnées changeront. Tous les points les plus proches de l'axe x auront une valeur de coordonnée de module x égale à √3/2. Les points les plus proches de l'axe y auront une valeur de module y égale à √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½ ; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2 ; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2 ; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2 ; -½)