Trouvez le gradient d'un exemple de fonction scalaire avec solution. Comment trouver le gradient d'une fonction

Pente les fonctions– une grandeur vectorielle dont la détermination est associée à la détermination des dérivées partielles de la fonction. La direction du gradient indique le chemin de croissance la plus rapide de la fonction d'un point du champ scalaire à un autre.

Instructions

1. Pour résoudre le problème du gradient d'une fonction, des méthodes de calcul différentiel sont utilisées, à savoir la recherche de dérivées partielles du premier ordre par rapport à trois variables. On suppose que la fonction elle-même et toutes ses dérivées partielles ont la propriété de continuité dans le domaine de définition de la fonction.

2. Le gradient est un vecteur dont la direction indique la direction d'augmentation la plus rapide de la fonction F. Pour ce faire, deux points M0 et M1 sont sélectionnés sur le graphique, qui sont les extrémités du vecteur. L'amplitude du gradient est égale au taux d'augmentation de la fonction du point M0 au point M1.

3. La fonction est différentiable en tous points de ce vecteur ; donc les projections du vecteur sur les axes de coordonnées sont toutes ses dérivées partielles. Ensuite, la formule du gradient ressemble à ceci : grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, où i, j, k sont les coordonnées du vecteur unitaire . En d'autres termes, le gradient d'une fonction est un vecteur dont les coordonnées sont ses dérivées partielles grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemple 1. Soit la fonction F = sin(x z?)/y. Il est nécessaire de détecter sa pente au point (?/6, 1/4, 1).

5. Solution. Déterminez les dérivées partielles par rapport à chaque variable : F'_х = 1/y сos(х z?) z?; '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Remplacez les fameuses valeurs de coordonnées du point : F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3 ; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8 ; F'_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Appliquez la formule du gradient de fonction :grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Exemple 2. Trouver les coordonnées du gradient de la fonction F = y arсtg (z/x) au point (1, 2, 1).

9. Solution.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x) ?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/х) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х) ?) 1/х = y/(х (1 + (z/х) ?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Le gradient de champ scalaire est une quantité vectorielle. Ainsi, pour le trouver, il faut déterminer toutes les composantes du vecteur correspondant, à partir de la connaissance de la division du champ scalaire.

Instructions

1. Lisez dans un manuel de mathématiques supérieures ce qu'est le gradient d'un champ scalaire. Comme vous le savez, cette grandeur vectorielle a une direction caractérisée par le taux de décroissance maximum de la fonction scalaire. Cette interprétation de cette grandeur vectorielle est justifiée par l'expression permettant de déterminer ses composantes.

2. N'oubliez pas que tout vecteur est déterminé par les grandeurs de ses composantes. Les composantes d'un vecteur sont en fait des projections de ce vecteur sur l'un ou l'autre axe de coordonnées. Ainsi, si l’on considère un espace tridimensionnel, alors le vecteur doit avoir trois composantes.

3. Notez comment les composantes d'un vecteur qui est le gradient d'un certain champ sont déterminées. Toutes les coordonnées d'un tel vecteur sont égales à la dérivée du potentiel scalaire par rapport à la variable dont on calcule les coordonnées. Autrement dit, si vous devez calculer la composante « x » du vecteur gradient de champ, vous devez alors différencier la fonction scalaire par rapport à la variable « x ». Veuillez noter que la dérivée doit être partielle. Cela signifie que lors de la différenciation, les variables restantes qui n'y participent pas doivent être considérées comme des constantes.

4. Écrivez une expression pour le champ scalaire. Comme on le sait, ce terme implique uniquement une fonction scalaire de plusieurs variables, qui sont également des quantités scalaires. Le nombre de variables d'une fonction scalaire est limité par la dimension de l'espace.

5. Différenciez la fonction scalaire séparément par rapport à chaque variable. En conséquence, vous obtiendrez trois nouvelles fonctions. Écrivez n'importe quelle fonction dans l'expression du vecteur gradient de champ scalaire. Chacune des fonctions obtenues est en fait un indicateur d'un vecteur unitaire d'une coordonnée donnée. Ainsi, le vecteur gradient final devrait ressembler à un polynôme avec des exposants sous forme de dérivées de la fonction.

Lorsque l’on considère les problèmes liés à la représentation par gradient, il est courant de considérer les fonctions comme des champs scalaires. Il est donc nécessaire d’introduire la notation appropriée.

Tu auras besoin de

– boum;
- stylo.

Instructions

1. Soit la fonction être spécifiée par trois arguments u=f(x, y, z). La dérivée partielle d'une fonction, par exemple par rapport à x, est définie comme la dérivée par rapport à cet argument, obtenue en fixant les arguments restants. Pareil pour d’autres arguments. La notation de la dérivée partielle s'écrit sous la forme : df/dx = u'x ...

2. La différentielle totale sera égale à du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Les dérivées partielles peuvent être comprises comme des dérivées le long des directions des axes de coordonnées. Dès lors se pose la question de trouver la dérivée par rapport à la direction d'un vecteur donné s au point M(x, y, z) (n'oubliez pas que la direction s est déterminée par le vecteur unitaire s^o). Dans ce cas, le vecteur-différentiel des arguments (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Considérant la forme du différentiel total du, on peut conclure que la dérivée dans la direction s au point M est égale à : (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Si s= s(sx,sy,sz), alors cosinus directeurs (cos(alpha), cos(beta ), cos( gamma)) sont calculés (voir Fig. 1a).

4. La définition de la dérivée directionnelle, considérant le point M comme une variable, peut être réécrite sous la forme d'un produit scalaire : (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(bêta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Cette expression sera objective pour un champ scalaire. Si une fonction est considérée facilement, alors gradf est un vecteur dont les coordonnées coïncident avec les dérivées partielles f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ici (i, j, k) sont les vecteurs unitaires des axes de coordonnées dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires.

5. Si nous utilisons l'opérateur vectoriel différentiel hamiltonien, alors gradf peut être écrit comme la multiplication de cet opérateur vectoriel par le scalaire f (voir Fig. 1b). Du point de vue de la connexion entre gradf et la dérivée directionnelle, l'égalité (gradf, s^o)=0 est acceptable si ces vecteurs sont orthogonaux. Par conséquent, gradf est souvent défini comme la direction de métamorphose la plus rapide du champ scalaire. Et du point de vue des opérations différentielles (gradf en fait partie), les propriétés de gradf répètent exactement les propriétés des fonctions différenciantes. En particulier, si f=uv, alors gradf=(vgradu+u gradv).

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Pente Il s'agit d'un outil qui, dans les éditeurs graphiques, remplit une silhouette avec une transition douce d'une couleur à l'autre. Pente peut donner à une silhouette le résultat du volume, imiter l'éclairage, l'éblouissement de la lumière sur la surface d'un objet, ou le résultat d'un coucher de soleil en arrière-plan d'une photographie. Cet outil est largement utilisé, donc pour traiter des photographies ou créer des illustrations, il est très important d'apprendre à l'utiliser.

Tu auras besoin de

Ordinateur, éditeur graphique Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ou autre.

Instructions

1. Ouvrez une image dans le programme ou prenez-en une nouvelle. Créez une silhouette ou sélectionnez la zone souhaitée dans l'image.

2. Activez l'outil de dégradé dans la barre d'outils de l'éditeur graphique. Placez le curseur de la souris sur le point à l'intérieur de la zone ou de la silhouette sélectionnée où commencera la 1ère couleur du dégradé. Cliquez et maintenez le bouton gauche de la souris. Déplacez le curseur jusqu'au point où vous souhaitez que le dégradé prenne la couleur finale. Relâchez le bouton gauche de la souris. La silhouette sélectionnée sera remplie d'un remplissage dégradé.

3. Pente Vous pouvez définir la transparence, les couleurs et leur rapport à un certain point du remplissage. Pour ce faire, ouvrez la fenêtre d'édition du dégradé. Pour ouvrir la fenêtre d'édition dans Photoshop, cliquez sur l'exemple de dégradé dans le panneau Options.

4. La fenêtre qui s'ouvre affiche les options de remplissage dégradé disponibles sous forme d'exemples. Pour modifier l'une des options, sélectionnez-la avec un clic de souris.

5. En bas de la fenêtre, un exemple de dégradé est affiché sous la forme d'une large échelle sur laquelle se trouvent des curseurs. Les curseurs indiquent les points auxquels le dégradé doit avoir des classements spécifiés, et dans l'intervalle entre les curseurs, la couleur passe uniformément de la couleur spécifiée au premier point à la couleur du 2ème point.

6. Les curseurs situés en haut de l'échelle définissent la transparence du dégradé. Pour modifier la transparence, cliquez sur le curseur requis. Un champ apparaîtra sous l'échelle dans lequel vous saisirez le degré de transparence requis en pourcentage.

7. Les curseurs en bas de l'échelle définissent les couleurs du dégradé. En cliquant sur l'un d'eux, vous pourrez sélectionner la couleur souhaitée.

8. Pente peut avoir plusieurs couleurs de transition. Pour définir une autre couleur, cliquez sur l'espace libre en bas de l'échelle. Un autre curseur apparaîtra dessus. Donnez-lui la couleur souhaitée. L'échelle affichera un exemple du dégradé avec un point supplémentaire. Vous pouvez déplacer les curseurs en les maintenant enfoncés avec le bouton gauche de la souris pour obtenir la combinaison souhaitée.

9. Pente Il en existe plusieurs types qui peuvent donner forme à des silhouettes plates. Par exemple, pour donner à un cercle la forme d'une boule, un dégradé radial est utilisé, et pour donner la forme d'un cône, un dégradé en forme de cône est utilisé. Pour donner à la surface l'illusion de convexité, vous pouvez utiliser un dégradé miroir et un dégradé en forme de losange peut être utilisé pour créer des reflets.

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Si en chaque point de l'espace ou d'une partie de l'espace la valeur d'une certaine quantité est déterminée, alors on dit que le champ de cette quantité est spécifié. Un champ est dit scalaire si la grandeur considérée est scalaire, c'est-à-dire entièrement caractérisé par sa valeur numérique. Par exemple, le champ de température. Le champ scalaire est donné par la fonction ponctuelle scalaire u = /(M). Si un système de coordonnées cartésiennes est introduit dans l'espace, alors il existe une fonction de trois variables x, yt z - les coordonnées du point M : Définition. La surface plane d'un champ scalaire est l'ensemble des points auxquels la fonction f(M) prend la même valeur. Équation d'une surface plane Exemple 1. Trouver les surfaces planes d'un champ scalaire ANALYSE VECTORIELLE Champ scalaire Surfaces et lignes de niveau Dérivée directionnelle Dérivée Champ scalaire gradient Propriétés de base d'un gradient Définition invariante d'un gradient Règles de calcul d'un gradient -4 Selon la définition , l'équation d'une surface plane sera. C’est l’équation d’une sphère (avec Ф 0) dont le centre est à l’origine. Un champ scalaire est dit plat si le champ est le même dans tous les plans parallèles à un certain plan. Si le plan indiqué est considéré comme le plan xOy, alors la fonction de champ ne dépendra pas de la coordonnée z, c'est-à-dire qu'elle sera fonction uniquement des arguments x et y. Un champ plan peut être caractérisé à l'aide de lignes de niveau - a. ensemble de points sur le plan auxquels la fonction /(x, y) en a un et aussi la signification. Équation d'une ligne de niveau - Exemple 2. Trouver les lignes de niveau d'un champ scalaire Les lignes de niveau sont données par des équations. Lorsque c = 0 nous obtenons une paire de droites, nous obtenons une famille d'hyperboles (Fig. 1). 1.1. Dérivée directionnelle Soit un champ scalaire défini par la fonction scalaire u = /(Af). Prenons le point Afo et choisissons la direction déterminée par le vecteur I. Prenons un autre point M pour que le vecteur M0M soit parallèle au vecteur 1 (Fig. 2). Notons la longueur du vecteur MoM par A/, et l'incrément de la fonction /(Af) - /(Afo), correspondant au déplacement de D1, par Di. Le rapport détermine le taux de variation moyen du champ scalaire par unité de longueur dans la direction donnée. Tendons maintenant vers zéro pour que le vecteur M0M reste toujours parallèle au vecteur I. Définition. Si en D/O il existe une limite finie de la relation (5), alors elle est appelée la dérivée de la fonction en un point donné Afo par rapport à la direction donnée I et est désignée par le symbole 3 !^. Donc, par définition, cette définition n'est pas liée au choix du système de coordonnées, c'est-à-dire qu'elle est de nature **variante. Trouvons une expression pour la dérivée directionnelle dans le système de coordonnées cartésiennes. Laissez la fonction / être différentiable en un point. Considérons la valeur de /(Af) en un point. Alors l'incrément total de la fonction peut s'écrire sous la forme suivante : où et les symboles signifient que les dérivées partielles sont calculées au point Afo. Donc Ici les quantités jfi, ^ sont les cosinus directeurs du vecteur. Puisque les vecteurs MoM et I sont codirectionnels, leurs cosinus directeurs sont les mêmes : Puisque M Afo, étant toujours sur une droite parallèle au vecteur 1, les angles sont constants donc Finalement, à partir des égalités (7) et (8) on obtient Eamuan est 1. Les dérivées particulières sont des dérivées de la fonction et le long des directions des axes de coordonnées, donc-Exemple 3. Trouver la dérivée de la fonction dans la direction du point Le vecteur a une longueur. Ses cosinus directeurs : D'après la formule (9), nous aurons Le fait que, signifie que le champ scalaire en un point dans une direction d'âge donnée - Pour un champ plat, la dérivée par rapport à la direction I en un point est calculé par la formule où a est l'angle formé par le vecteur I avec l'axe Oh. Зммчмм 2. La formule (9) pour calculer la dérivée dans la direction I en un point donné Afo reste en vigueur lorsque le point M tend vers le point Mo le long d'une courbe pour laquelle le vecteur I est tangent au point PrIShr 4. Calculer la dérivée du scalaire champ au point Afo(l, 1). appartenant à une parabole dans le sens de cette courbe (dans le sens des abscisses croissantes). La direction ] d'une parabole en un point est considérée comme la direction de la tangente à la parabole en ce point (Fig. 3). Laissez la tangente à la parabole au point Afo former un angle o avec l'axe Ox. Alors d'où viennent les cosinus directeurs de la tangente ? Calculons les valeurs de et au point. Nous avons maintenant en utilisant la formule (10) que nous obtenons. Trouvez la dérivée du champ scalaire en un point dans la direction du cercle. L'équation vectorielle d'un cercle a la forme. On trouve le vecteur unitaire m de la tangente au cercle. Le point correspond à la valeur du paramètre. La valeur de r au point Afo sera égale à la direction des cosinus de la tangente au cercle. point. Calculons les valeurs des dérivées partielles du champ scalaire donné au point. Cela signifie la dérivée souhaitée. Dégradé du champ scalaire Soit le champ scalaire défini par une fonction scalaire supposée différentiable. Définition. Le gradient du champ scalaire " en un point M donné est un vecteur désigné par le symbole grad et et défini par l'égalité. Il est clair que ce vecteur dépend à la fois de la fonction / et du point M où sa dérivée est calculée. Soit 1 un vecteur unitaire dans la direction Alors la formule de la dérivée directionnelle peut s'écrire sous la forme suivante : . Ainsi, la dérivée de la fonction u dans la direction 1 est égale au produit scalaire du gradient de la fonction u(M) et du vecteur unitaire 1° de direction I. 2.1. Propriétés de base du gradient Théorème 1. Le gradient du champ scalaire est perpendiculaire à la surface plane (ou à la ligne de niveau si le champ est plat). (2) Traçons une surface plane u = const passant par un point arbitraire M et sélectionnons sur cette surface une courbe lisse L passant par le point M (Fig. 4). Soit I un vecgor tangent à la courbe L au point M. Puisque sur la surface plane u(M) = u(M|) pour tout point Mj e L, alors par contre, = (gradu, 1°). C'est pourquoi. Cela signifie que les vecteurs grad et et 1° sont orthogonaux. Ainsi, le vecteur grad et est orthogonal à toute tangente à la surface plane au point M. Ainsi, il est orthogonal à la surface plane elle-même au point M. Théorème 2. Le le gradient est dirigé vers l’augmentation de la fonction de champ. Précédemment, nous avons prouvé que le gradient du champ scalaire est dirigé le long de la normale à la surface plane, qui peut être orientée soit dans le sens croissant de la fonction u(M), soit dans le sens de sa diminution. Notons n la normale à la surface plane, orientée dans le sens de la fonction croissante ti(M), et trouvons la dérivée de la fonction u dans le sens de cette normale (Fig. 5). On a Puisque selon la condition de la Fig. 5 et donc ANALYSE VECTORIELLE Champ scalaire Surfaces et lignes de niveau Dérivée en direction Dérivée Dérivée Dégradé du champ scalaire Propriétés de base du dégradé Définition invariante du dégradé Règles de calcul du gradient Il s'ensuit que grad est orienté dans la même direction que celle que nous avons choisie normale n, c'est-à-dire dans le sens de la fonction croissante u(M). Théorème 3. La longueur du gradient est égale à la plus grande dérivée par rapport à la direction en un point donné du champ (ici la vérification est effectuée dans toutes les directions possibles en un point donné M). Nous avons où est l'angle entre les vecteurs 1 et grad n. Puisque la plus grande valeur est l'exemple 1. Trouvez la direction du plus grand changement du champ scalaire en un point ainsi que l'ampleur de ce plus grand changement au point spécifié. La direction du plus grand changement dans le champ scalaire est indiquée par un vecteur. Nous avons pour que ce vecteur détermine la direction de la plus grande augmentation du champ en un point. L'ampleur du plus grand changement de champ à ce stade est de 2,2. Définition invariante du gradient Les grandeurs qui caractérisent les propriétés de l'objet étudié et ne dépendent pas du choix du système de coordonnées sont appelées invariants de l'objet donné. Par exemple, la longueur d'une courbe est un invariant de cette courbe, mais l'angle tangent à la courbe avec l'axe Ox n'est pas un invariant. Sur la base des trois propriétés du gradient de champ scalaire prouvées ci-dessus, nous pouvons donner la définition invariante suivante du gradient. Définition. Le gradient de champ scalaire est un vecteur dirigé normalement à la surface plane dans le sens de l'augmentation de la fonction de champ et ayant une longueur égale à la plus grande dérivée en direction (en un point donné). Soit un vecteur normal unitaire dirigé dans la direction d'un champ croissant. Puis exemple 2. Trouvez le gradient de la distance - un point fixe, et M(x,y,z) - le point actuel. 4 Nous avons où est le vecteur direction unitaire. Règles de calcul du gradient où c est un nombre constant. Les formules données sont obtenues directement à partir de la définition du gradient et des propriétés des dérivées. D'après la règle de différenciation des produits, la preuve est similaire à la preuve de la propriété Soit F(u) une fonction scalaire différentiable. Alors 4 Par définition du fadient nous avons Appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe à tous les termes du côté droit. Nous obtenons En particulier, la formule (6) découle de la formule Exemple 3. Trouver la dérivée par rapport à la direction du rayon vecteur r à partir de la fonction En utilisant la formule (3) et en utilisant la formule En conséquence, nous obtenons que Exemple 4 . Soit un champ scalaire plan - les distances d'un plan ponctuel à deux points fixes de ce plan. Considérons une ellipse arbitraire de foyers Fj et F] et prouvons que tout rayon de lumière émergeant d'un foyer de l'ellipse, après réflexion sur l'ellipse, aboutit dans son autre foyer. Les lignes de niveau de la fonction (7) sont ANALYSE VECTORIELLE Champ scalaire Surfaces et lignes de niveau Dérivée directionnelle Dérivée Champ scalaire gradient Propriétés de base du gradient Définition invariante du gradient Règles de calcul du gradient Les équations (8) décrivent une famille d'ellipses avec des foyers à points F) et Fj. D'après le résultat de l'exemple 2, on a Ainsi, le gradient d'un champ donné est égal au vecteur PQ de la diagonale du losange construit sur les vecteurs unitaires r ? et les vecteurs de rayon. dessiné au point P(x, y) à partir des foyers F| et Fj, et se situe donc sur la bissectrice de l'angle entre ces rayons vecteurs (Fig. 6). D'après Tooromo 1, le gradient PQ est perpendiculaire à l'ellipse (8) en ce point. Par conséquent, la figure 6. la normale à l'ellipse (8) coupe en tout point l'angle entre les rayons vecteurs tracés jusqu'à ce point. De là et du fait que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion, on obtient : un rayon lumineux sortant d'un foyer de l'ellipse, réfléchi par celui-ci, tombera certainement dans un autre foyer de cette ellipse.

1 0 Le gradient est dirigé perpendiculairement à la surface plane (ou à la ligne de niveau si le terrain est plat).

2 0 Le gradient vise à augmenter la fonction de champ.

3 0 Le module de gradient est égal à la plus grande dérivée en direction en un point donné du champ :

Ces propriétés fournissent une caractéristique invariante du gradient. Ils disent que le vecteur gradU indique la direction et l'ampleur du plus grand changement dans le champ scalaire en un point donné.

Remarque 2.1. Si la fonction U(x,y) est fonction de deux variables, alors le vecteur

(2.3)

se situe dans le plan oxy.

Soient U=U(x,y,z) et V=V(x,y,z) dérivables au point M 0 (x,y,z) fonctions. Alors les égalités suivantes sont vérifiées :

a) diplômé()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(UV)=gradU gradV ; d) d) diplôme = , V ;

e) gradU( = gradU, où , U=U() a une dérivée par rapport à .

Exemple 2.1. La fonction U=x 2 +y 2 +z 2 est donnée. Déterminez le gradient de la fonction au point M(-2;3;4).

Solution. D'après la formule (2.2) on a

Les surfaces planes de ce champ scalaire sont la famille des sphères x 2 +y 2 +z 2 , le vecteur gradU=(-4;6;8) est le vecteur normal des plans.

Exemple 2.2. Trouvez le gradient du champ scalaire U=x-2y+3z.

Solution. D'après la formule (2.2) on a

Les surfaces planes d'un champ scalaire donné sont des plans

x-2y+3z=C; le vecteur gradU=(1;-2;3) est le vecteur normal des plans de cette famille.

Exemple 2.3. Trouvez la plus grande pente de la montée en surface U=x y au point M(2;2;4).

Solution. Nous avons:

Exemple 2.4. Trouvez le vecteur normal unitaire à la surface plane du champ scalaire U=x 2 +y 2 +z 2 .

Solution. Les surfaces planes d'une sphère de champ scalaire donnée x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Le gradient est dirigé perpendiculairement à la surface plane, donc

Définit le vecteur normal à la surface plane au point M(x,y,z). Pour un vecteur normal unitaire, nous obtenons l'expression

, Où

Exemple 2.5. Trouver le gradient de champ U= , où et sont des vecteurs constants, r est le rayon vecteur du point.

Solution. Laisser

Alors:
. Par la règle de différenciation du déterminant on obtient

Ainsi,

Exemple 2.6. Trouvez le gradient de la distance, où P(x,y,z) est le point du champ étudié, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) est un point fixe.

Solution. Nous avons - vecteur de direction unitaire.

Exemple 2.7. Trouvez l'angle entre les gradients des fonctions au point M 0 (1,1).

Solution. On retrouve les gradients de ces fonctions au point M 0 (1,1), on a

; L'angle entre gradU et gradV au point M 0 est déterminé à partir de l'égalité

Donc =0.

Exemple 2.8. Trouvez la dérivée directionnelle, le rayon vecteur est égal à

(2.4)

Solution. Trouvez le gradient de cette fonction :

En substituant (2.5) dans (2.4), on obtient

Exemple 2.9. Trouvez au point M 0 (1;1;1) la direction du plus grand changement dans le champ scalaire U=xy+yz+xz et l'ampleur de ce plus grand changement en ce point.

Solution. La direction du plus grand changement dans le champ est indiquée par le vecteur grad U(M). On le trouve :

Et cela veut dire... Ce vecteur détermine la direction de la plus grande augmentation de ce champ au point M 0 (1;1;1). L’ampleur du plus grand changement de champ à ce stade est égale à

Exemple 3.1. Trouver les lignes vectorielles d'un champ vectoriel où est un vecteur constant.

Solution. Nous avons pour que

(3.3)

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction par x, la deuxième par y, la troisième par z et additionnez terme par terme. En utilisant la propriété des proportions, on obtient

Donc xdx+ydy+zdz=0, ce qui signifie

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. En multipliant maintenant le numérateur et le dénominateur de la première fraction (3.3) par c 1, la seconde par c 2, la troisième par c 3 et en ajoutant terme par terme, nous obtenons

D'où 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Et donc avec 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Un 2 -const.

Les équations requises des lignes vectorielles

Ces équations montrent que les lignes vectorielles sont obtenues par l'intersection de sphères ayant un centre commun à l'origine avec des plans perpendiculaires au vecteur . Il s'ensuit que les lignes vectorielles sont des cercles dont les centres sont sur une droite passant par l'origine dans la direction du vecteur c. Les plans des cercles sont perpendiculaires à la ligne spécifiée.

Exemple 3.2. Trouver une ligne de champ vectoriel passant par le point (1,0,0).

Solution.Équations différentielles de lignes vectorielles

nous avons donc . Résoudre la première équation. Ou si on introduit le paramètre t, alors on aura Dans ce cas, l'équation prend la forme ou dz=bdt, d'où z=bt+c 2.

Laisser Z= F(M.) – une fonction définie dans un certain voisinage d'un point M(y;x);L={ Cos; Cos} – vecteur unitaire (sur la Fig. 33 1=  , 2= ); L– une droite dirigée passant par un point M.; M1(x1; y1), où x1=x+x et y1=y+y– point sur une ligne L;  L– longueur du segment MM1;  Z= F(x+х, y+у)-F(X, Oui) – incrément de fonction F(M.) à ce point M(x;y).

Définition. La limite du rapport, si elle existe, s'appelle Dérivée d'une fonction Z = F ( M. ) au point M. ( X ; Oui ) dans la direction du vecteur L .

Désignation.

Si la fonction F(M.) différenciable au point M(x;y), puis au point M(x;y) il y a une dérivée dans n'importe quelle direction LÉmanant de M.; il est calculé selon la formule suivante :

(8)

Où Cos ET Cos- cosinus directeurs du vecteur L.

Exemple 46. Calculer la dérivée d'une fonction Z= X2 + Oui2 Xà ce point M(1 ; 2) dans la direction du vecteur MM1, Où M1– point avec coordonnées (3; 0).

. Trouvons le vecteur unitaire L, ayant cette direction :

Où Cos= ; Cos=- .

Calculons les dérivées partielles de la fonction au point M(1 ; 2):

En utilisant la formule (8) on obtient

Exemple 47. Trouver la dérivée d'une fonction U = Xy2 Z3 à ce point M(3 ; 2 ; 1) Dans la direction du vecteur MN, Où N(5; 4; 2) .

. Trouvons le vecteur et ses cosinus directeurs :

Calculons les valeurs des dérivées partielles au point M.:

Ainsi,

Définition. Pente Les fonctionsZ= F(M.) au point M(x; y) est un vecteur dont les coordonnées sont égales aux dérivées partielles correspondantes et prises au point M(x; y).

Désignation.

Exemple 48. Trouver le gradient d'une fonction Z= X2 +2 Oui2 -5 à ce point M(2; -1).

Solution. Trouver des dérivées partielles : et leurs valeurs au point M(2;-1) :

Exemple 49. Trouver l'amplitude et la direction du gradient de la fonction en un point

Solution. Trouvons les dérivées partielles et calculons leurs valeurs au point M :

Ainsi,

La dérivée directionnelle pour une fonction de trois variables est déterminée de la même manière U= F(X, Oui, Z) , les formules sont affichées

La notion de dégradé est introduite

Soulignons que Propriétés de base de la fonction gradient plus important pour l’analyse de l’optimisation économique : dans le sens du gradient la fonction augmente. Les propriétés de gradient suivantes sont utilisées dans les problèmes économiques :

1) Soit la fonction donnée Z= F(X, Oui) , ayant des dérivées partielles dans le domaine de définition. Considérons un point M0(x0, y0) du domaine de la définition. Soit la valeur de la fonction à ce stade égale à F(X0 , Oui0 ) . Regardons le graphique de la fonction. À travers le point (X0 , Oui0 , F(X0 , Oui0 )) Dans l'espace tridimensionnel, nous dessinons un plan tangent à la surface du graphique de la fonction. Alors le gradient de la fonction calculé au point (x0, y0), considéré géométriquement comme un vecteur appliqué en un point (X0 , Oui0 , F(X0 , Oui0 )) , sera perpendiculaire au plan tangent. Une illustration géométrique est présentée sur la Fig. 34.

2) Fonction dégradé F(X, Oui) à ce point M0(x0, y0) indique la direction de l'augmentation la plus rapide de la fonction au point M0. De plus, toute direction qui fait un angle aigu avec le gradient est la direction de croissance de la fonction au point M0. En d'autres termes, un petit mouvement d'un point (x0, y0) dans le sens du gradient de la fonction à ce stade conduit à une augmentation de la fonction, et dans la plus grande mesure.

Considérons le vecteur opposé au gradient. On l'appelle Anti-dégradé . Les coordonnées de ce vecteur sont :

Fonction anti-dégradé F(X, Oui) à ce point M0(x0, y0) indique la direction de la diminution la plus rapide de la fonction au point M0. Toute direction qui forme un angle aigu avec l’antigradient est la direction dans laquelle la fonction diminue en ce point.

3) Lors de l'étude d'une fonction, il est souvent nécessaire de trouver de telles paires (x, y) du domaine de définition de la fonction, dans lequel la fonction prend les mêmes valeurs. Considérons un ensemble de points (X, Oui) du domaine de la fonction F(X, Oui) , tel que F(X, Oui)= Const, où est l'entrée “ Const” signifie que la valeur de la fonction est fixe et égale à un nombre de la plage de fonctions.

Définition. Ligne de niveau de fonction U = F ( X , Oui ) ligne appeléeF(X, Oui)=C dans l'avionXOy, aux points auxquels la fonction maintient une valeur constanteU= C.

Les lignes de niveau sont représentées géométriquement sur le plan de changement des variables indépendantes sous la forme de lignes courbes. L'obtention de lignes de niveau peut être imaginée comme suit. Considérez l'ensemble AVEC, qui se compose de points de l'espace tridimensionnel avec des coordonnées (X, Oui, F(X, Oui)= Const), qui, d'une part, appartiennent au graphe de la fonction Z= F(X, Oui), par contre, ils se trouvent dans un plan parallèle au plan de coordonnées OU, et espacé de celui-ci d'une quantité égale à une constante donnée. Ensuite, pour construire une ligne de niveau, il suffit de couper la surface du graphe de fonctions avec un plan Z= Const et projetez la ligne d'intersection sur le plan OU. Le raisonnement ci-dessus justifie la possibilité de construire directement des lignes de niveau sur un plan OU.

Définition. De nombreuses lignes de niveau sont appelées Carte des lignes de niveau.

Des exemples bien connus de lignes de niveau sont les niveaux de hauteurs égales sur une carte topographique et les lignes de pression barométrique égale sur une carte météorologique.

Définition. La direction dans laquelle le taux d’augmentation d’une fonction est maximum est appelée direction "préférée", ou Direction de la croissance la plus rapide.

La direction « préférée » est donnée par le vecteur gradient de la fonction. En figue. 35 montre le maximum, le minimum et le point selle dans le problème de l'optimisation d'une fonction de deux variables en l'absence de restrictions. La partie inférieure de la figure montre les lignes du niveau et de la direction de la croissance la plus rapide.

Exemple 50. Rechercher des lignes de niveau de fonction U= X2 + Oui2 .

Solution. L'équation d'une famille de droites de niveau a la forme X2 + Oui2 = C (C>0) . Donnant AVEC valeurs réelles différentes, on obtient des cercles concentriques dont le centre est à l'origine.

Construction de lignes de niveau. Leur analyse est largement utilisée dans les problèmes économiques aux niveaux micro et macro, la théorie de l'équilibre et les solutions efficaces. Isocoûts, isoquants, courbes d'indifférence : ce sont toutes des lignes de niveau construites pour différentes fonctions économiques.

Exemple 51. Considérez la situation économique suivante. Que la production de produits soit décrite Fonction Cobb-Douglas F(X, Oui)=10x1/3y2/3, Où X- la quantité de travail, U– le montant du capital. 30 USD ont été alloués pour l'achat de ressources. unités, le prix de la main-d'œuvre est de 5 USD. parts, capital – 10 USD. unités Demandons-nous : quel est le rendement le plus important que l’on puisse obtenir dans ces conditions ? Ici, « conditions données » désigne des technologies, des prix des ressources et un type de fonction de production donnés. Comme déjà noté, la fonction Cobb-Douglas augmente de manière monotone pour chaque variable, c'est-à-dire qu'une augmentation de chaque type de ressource entraîne une augmentation de la production. Dans ces conditions, il est clair qu’il est possible d’augmenter l’acquisition de ressources à condition qu’il y ait suffisamment d’argent. Ensembles de ressources dont le coût est de 30 USD. unités, satisfont à la condition :

5x + 10 ans = 30,

Autrement dit, ils déterminent la ligne de niveau de fonction :

g(X, Oui) = 5x + 10 ans.

D'un autre côté, en utilisant des lignes de niveau Fonctions Cobb-Douglas (Fig. 36) vous pouvez montrer l'augmentation de la fonction : en tout point de la ligne de niveau, la direction du gradient est la direction de la plus grande augmentation, et pour construire un gradient en un point il suffit de tracer une tangente à la ligne de niveau à cet endroit, construisez une perpendiculaire à la tangente et indiquez la direction du gradient. De la fig. 36, on peut voir que la ligne de niveau de la fonction Cobb-Douglas doit être déplacée le long du gradient jusqu'à ce qu'elle devienne tangente à la ligne de niveau 5x + 10 ans = 30. Ainsi, en utilisant les concepts de ligne de niveau, de gradient et de propriétés du gradient, il est possible de développer des approches pour la meilleure utilisation des ressources en termes d'augmentation du volume de production.

Définition. Fonction niveau de surface U = F ( X , Oui , Z ) appelée surfaceF(X, Oui, Z)=С, aux points desquels la fonction maintient une valeur constanteU= C.

Exemple 52. Rechercher des surfaces au niveau de la fonction U= X2 + Z2 - Oui2 .

Solution. L'équation d'une famille de surfaces planes a la forme X2 + Z2 - Oui2 =C. Si C=0, alors on obtient X2 + Z2 - Oui2 =0 – cône ; Si C<0 , Que X2 + Z2 - Oui2 =C- Famille d'hyperboloïdes à deux feuillets.