SUJET : Intégration de fractions rationnelles.
Attention! Lorsqu'on étudie l'une des méthodes fondamentales d'intégration : l'intégration de fractions rationnelles, il est nécessaire de considérer des polynômes dans le domaine complexe pour réaliser des preuves rigoureuses. Il faut donc étudier à l'avance certaines propriétés des nombres complexes et opérations sur ceux-ci.
Intégration de fractions rationnelles simples.
Si P.(z) Et Q(z) sont des polynômes dans le domaine complexe, alors ce sont des fractions rationnelles. On l'appelle correct, si diplôme P.(z) moins de diplôme Q(z) , Et faux, si diplôme R. pas moins d'un diplôme Q.
Toute fraction impropre peut être représentée comme suit : 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
un R.(z) – polynôme dont le degré est inférieur au degré Q(z).
Ainsi, l’intégration de fractions rationnelles se résume à l’intégration de polynômes, c’est-à-dire de fonctions puissance, et de fractions propres, puisqu’il s’agit d’une fraction propre.
Définition 5. Les fractions les plus simples (ou élémentaires) sont les types de fractions suivants :
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Découvrons comment ils s'intègrent.
3) 
(étudié plus tôt).
Théorème 5. Toute fraction propre peut être représentée comme une somme de fractions simples (sans preuve).
Corollaire 1. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines réelles simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 1er type :
Exemple 1.
Corollaire 2. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines réelles, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples des 1er et 2e types :
Exemple 2.
Corollaire 3. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que des racines conjuguées complexes simples, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème type :
Exemple 3.
Corollaire 4. Si est une fraction rationnelle propre, et si parmi les racines du polynôme il n'y a que plusieurs racines conjuguées complexes, alors dans la décomposition de la fraction en somme de fractions simples il n'y aura que des fractions simples du 3ème et du 4ème les types:
Pour déterminer les coefficients inconnus dans les expansions données, procédez comme suit. Les côtés gauche et droit du développement contenant des coefficients inconnus sont multipliés par L'égalité de deux polynômes est obtenue. À partir de là, les équations pour les coefficients requis sont obtenues en utilisant :
1. l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de X (méthode des valeurs partielles). Dans ce cas, un nombre quelconque d'équations sont obtenues, dont n'importe quel m permet de trouver les coefficients inconnus.
2. les coefficients coïncident pour les mêmes degrés de X (méthode des coefficients indéfinis). Dans ce cas, on obtient un système de m - équations à m - inconnues, à partir desquelles les coefficients inconnus sont trouvés.
3. méthode combinée.
Exemple 5. Développer une fraction 
au plus simple.
Solution:
Trouvons les coefficients A et B.
Méthode 1 - méthode de la valeur privée :
Méthode 2 – méthode des coefficients indéterminés :
Répondre: 
Intégration de fractions rationnelles.
Théorème 6. L'intégrale indéfinie de toute fraction rationnelle sur tout intervalle sur lequel son dénominateur n'est pas égal à zéro existe et s'exprime à travers des fonctions élémentaires, à savoir les fractions rationnelles, les logarithmes et les arctangentes.
Preuve.
Imaginons une fraction rationnelle sous la forme : 
. Dans ce cas, le dernier terme est une fraction propre et, selon le théorème 5, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de fractions simples. Ainsi, l'intégration d'une fraction rationnelle se réduit à l'intégration d'un polynôme S(X)
et les fractions simples dont les primitives, comme on l'a montré, ont la forme indiquée dans le théorème.
Commentaire. La principale difficulté dans ce cas est la factorisation du dénominateur, c'est-à-dire la recherche de toutes ses racines.
Exemple 1. Trouver l'intégrale
Comme je l'ai déjà noté, dans le calcul intégral, il n'existe pas de formule pratique pour intégrer une fraction. Et donc, il y a une triste tendance : plus la fraction est sophistiquée, plus il est difficile de trouver son intégrale. À cet égard, vous devez recourir à diverses astuces, dont je vais maintenant vous parler. Les lecteurs avertis peuvent immédiatement profiter de table des matières:
- Méthode de subsumation du signe différentiel pour les fractions simples
Méthode de conversion du numérateur artificiel
Exemple 1
À propos, l'intégrale considérée peut également être résolue par la méthode du changement de variable, notant , mais l'écriture de la solution sera beaucoup plus longue.
Exemple 2
Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Il est à noter que la méthode de remplacement de variable ne fonctionnera plus ici.
Attention, important ! Les exemples n°1, 2 sont typiques et surviennent fréquemment. En particulier, de telles intégrales apparaissent souvent lors de la solution d'autres intégrales, en particulier lors de l'intégration de fonctions irrationnelles (racines).
La technique considérée fonctionne également dans le cas si le plus haut degré du numérateur est supérieur au plus haut degré du dénominateur.
Exemple 3
Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.
Nous commençons à sélectionner le numérateur.
L'algorithme de sélection du numérateur ressemble à ceci :
1) Au numérateur, je dois organiser , mais là . Ce qu'il faut faire? Je le mets entre parenthèses et multiplie par : .
2) Maintenant, j'essaie d'ouvrir ces supports, que se passe-t-il ? . Hmm... c'est mieux, mais il n'y a pas deux au numérateur au départ. Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier par :
3) J'ouvre à nouveau les parenthèses : . Et voici le premier succès ! Cela s'est avéré parfait ! Mais le problème est qu’un terme supplémentaire est apparu. Ce qu'il faut faire? Pour éviter que l'expression ne change, je dois ajouter la même chose à ma construction : 
. La vie est devenue plus facile. Est-il possible de s'organiser à nouveau au numérateur ?
4) C'est possible. Essayons: 
. Ouvrez les parenthèses du deuxième terme : 
. Désolé, mais à l'étape précédente, je n'avais pas . Ce qu'il faut faire? Il faut multiplier le deuxième terme par : 
5) Encore une fois, pour vérifier, j'ouvre les parenthèses au deuxième terme : 
. Maintenant c'est normal : dérivé de la construction finale du point 3 ! Mais encore une fois il y a un petit « mais », un terme supplémentaire est apparu, ce qui fait que je dois ajouter à mon expression : 
Si tout est fait correctement, alors lorsque nous ouvrons toutes les parenthèses, nous devrions obtenir le numérateur d'origine de l'intégrande. Nous vérifions:
Capot.
Ainsi: 
Prêt. Au cours du dernier trimestre, j'ai utilisé la méthode consistant à subsumer une fonction sous un différentiel.
Si nous trouvons la dérivée de la réponse et réduisons l’expression à un dénominateur commun, alors nous obtiendrons exactement la fonction intégrande d’origine. La méthode de décomposition envisagée en une somme n'est rien de plus que l'action inverse consistant à ramener une expression à un dénominateur commun.
L'algorithme de sélection du numérateur dans de tels exemples est mieux réalisé dans un brouillon. Avec quelques compétences, cela fonctionnera mentalement. Je me souviens d'un cas record où j'effectuais une sélection pour la puissance 11, et l'expansion du numérateur occupait près de deux lignes de Verd.
Exemple 4
Trouvez l'intégrale indéfinie. Effectuer une vérification.
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.
Méthode de subsumation du signe différentiel pour les fractions simples
Passons à l'examen du type de fractions suivant.
, , , (les coefficients et ne sont pas égaux à zéro).
En fait, quelques cas avec arc sinus et arc tangente ont déjà été mentionnés dans la leçon Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie. De tels exemples sont résolus en subsumant la fonction sous le signe différentiel et en intégrant davantage à l'aide d'un tableau. Voici des exemples plus typiques avec des logarithmes longs et élevés :
Exemple 5
Exemple 6
Ici, il est conseillé de prendre un tableau des intégrales et de voir quelles formules et Comment la transformation s’opère. Note, comment et pourquoi Les carrés de ces exemples sont mis en évidence. En particulier, dans l'exemple 6, nous devons d'abord représenter le dénominateur sous la forme 
, puis placez-le sous le signe différentiel. Et tout cela doit être fait pour utiliser la formule tabulaire standard 
.
Pourquoi chercher, essayez de résoudre vous-même les exemples n°7, 8, d'autant plus qu'ils sont assez courts :
Exemple 7
Exemple 8
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Si vous parvenez également à vérifier ces exemples, alors grand respect : vos capacités de différenciation sont excellentes.
Méthode de sélection par carré complet
Intégrales de la forme 
(les coefficients et ne sont pas égaux à zéro) sont résolus méthode d'extraction carrée complète, qui est déjà apparu dans la leçon Transformations géométriques des graphiques.
En fait, de telles intégrales se réduisent à l’une des quatre intégrales tabulaires que nous venons d’examiner. Et cela est réalisé à l'aide de formules de multiplication abrégées familières :
Les formules sont appliquées précisément dans cette direction, c'est-à-dire que l'idée de la méthode est d'organiser artificiellement les expressions soit au dénominateur, puis de les convertir en conséquence dans l'un ou l'autre.
Exemple 9
Trouver l'intégrale indéfinie
C'est l'exemple le plus simple dans lequel avec le terme – coefficient unitaire(et pas un nombre ou un moins).
Regardons le dénominateur, ici toute l'affaire relève clairement du hasard. Commençons par convertir le dénominateur :
Évidemment, il faut en ajouter 4. Et, pour que l'expression ne change pas, soustraire les mêmes quatre :
Vous pouvez maintenant appliquer la formule :
Une fois la conversion terminée TOUJOURS Il est conseillé d'effectuer le mouvement inverse : tout va bien, il n'y a pas d'erreurs.
La conception finale de l'exemple en question devrait ressembler à ceci : 
Prêt. Subsumer une fonction complexe « libre » sous le signe différentiel : , en principe, pourrait être négligé
Exemple 10
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la réponse se trouve à la fin de la leçon
Exemple 11
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Que faire quand il y a un moins devant ? Dans ce cas, nous devons retirer le moins des parenthèses et organiser les termes dans l'ordre souhaité : . Constante(« deux » dans ce cas) ne touchez pas !
Maintenant, nous en ajoutons un entre parenthèses. En analysant l'expression, nous arrivons à la conclusion qu'il faut en ajouter une en dehors des parenthèses :
Ici, nous obtenons la formule, appliquez :
TOUJOURS Nous vérifions le brouillon :
, c'est ce qui devait être vérifié.
L'exemple propre ressemble à ceci : 
Rendre la tâche plus difficile
Exemple 12
Trouvez l'intégrale indéfinie : 
Ici, le terme n'est plus un coefficient unitaire, mais un « cinq ».
(1) S'il y a une constante à, alors nous la retirons immédiatement des parenthèses.
(2) En général, il est toujours préférable de déplacer cette constante en dehors de l'intégrale afin qu'elle ne gêne pas.
(3) Évidemment, tout se résumera à la formule. Il faut comprendre le terme, à savoir obtenir le « deux »
(4) Ouais, . Cela signifie que nous ajoutons à l’expression et soustrayons la même fraction.
(5) Sélectionnez maintenant un carré complet. Dans le cas général, nous devons également calculer , mais nous avons ici une formule pour un logarithme long 
, et cela ne sert à rien d'effectuer l'action ; pourquoi deviendra clair ci-dessous.
(6) En fait, on peut appliquer la formule 
, seulement au lieu de « X » nous avons , ce qui n'annule pas la validité de l'intégrale du tableau. À proprement parler, une étape a été manquée : avant l'intégration, la fonction aurait dû être englobée sous le signe différentiel : 
, mais, comme je l’ai souligné à plusieurs reprises, cela est souvent négligé.
(7) Dans la réponse sous la racine, il est conseillé d'élargir toutes les parenthèses :
Difficile? Ce n’est pas la partie la plus difficile du calcul intégral. Cependant, les exemples considérés ne sont pas tellement complexes car ils nécessitent de bonnes techniques informatiques.
Exemple 13
Trouvez l'intégrale indéfinie :
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La réponse se trouve à la fin de la leçon.
Il existe des intégrales avec des racines au dénominateur, qui, par substitution, sont réduites à des intégrales du type considéré que vous pouvez lire à leur sujet dans l'article ; Intégrales complexes, mais il est conçu pour des étudiants très préparés.
Subsumer le numérateur sous le signe différentiel
C'est la dernière partie de la leçon, cependant, les intégrales de ce type sont assez courantes ! Si vous êtes fatigué, peut-être vaut-il mieux lire demain ? ;)
Les intégrales que nous considérerons sont similaires aux intégrales du paragraphe précédent, elles ont la forme : ou 
(coefficients , et ne sont pas égaux à zéro).
Autrement dit, nous avons maintenant une fonction linéaire au numérateur. Comment résoudre de telles intégrales ?
Comme on le sait, toute fonction rationnelle d'une variable x peut être décomposée en un polynôme et en fractions élémentaires les plus simples. Il existe quatre types de fractions simples :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ici a, A, B, b, c sont des nombres réels. Équation x 2 + bx + c = 0 n'a pas de véritables racines.
Intégration de fractions des deux premiers types
L'intégration des deux premières fractions se fait à l'aide des formules suivantes du tableau des intégrales :
,
, n ≠ - 1
.
1. Intégration de fractions du premier type
Une fraction du premier type est réduite à une intégrale de table par substitution t = x - a :
.
2. Intégration de fractions du deuxième type
La fraction du deuxième type se réduit à une intégrale de table par la même substitution t = x - a :
.
3. Intégration de fractions du troisième type
Considérons l'intégrale d'une fraction du troisième type :
.
Nous allons le calculer en deux étapes.
3.1. Étape 1. Sélectionnez la dérivée du dénominateur au numérateur
Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur de la fraction. Notons : u = x 2 + boîte + c. Dérivons : u′ = 2x + b
;
.
.
.
Alors
Mais
,
Nous avons omis le signe du module car .
.
Alors:
Où
.
3.2. Étape 2. Calculez l'intégrale avec A = 0, B=1
,
Maintenant, nous calculons l'intégrale restante :
On ramène le dénominateur de la fraction à la somme des carrés : 2 + bx + c = 0 Où .
Nous pensons que l'équation x
,
.
.
n'a pas de racines. C'est pourquoi .
.
Faisons une substitution
,
Maintenant, nous calculons l'intégrale restante :
Donc,
Ainsi, nous avons trouvé l'intégrale d'une fraction du troisième type :
.
4. Intégration des fractions du quatrième type
Et enfin, considérons l'intégrale d'une fraction du quatrième type :
.
Nous le calculons en trois étapes.
.
4.1) Sélectionnez la dérivée du dénominateur au numérateur :
,
4.2) Calculer l'intégrale
.
4.3) Calculer les intégrales
en utilisant la formule de réduction : 2 + boîte + c. Dérivons : u′ = 2x + b
.
.
.
.
4.1. Étape 1. Isoler la dérivée du dénominateur au numérateur
.
Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur, comme nous l'avons fait dans . Notons u = x
Finalement nous avons :
.
4.2. Étape 2. Calculez l'intégrale avec n = 1
Calculer l'intégrale
Son calcul est décrit dans .
.
4.3. Étape 3. Dérivation de la formule de réduction
.
Considérons maintenant l'intégrale
On réduit le trinôme quadratique à la somme des carrés :
.
.
Ici .
.
Faisons une substitution. Nous effectuons des transformations et intégrons par parties.:
.
Multiplier par
,
;
;
.
2(n-1)
.
Revenons à x et I n. 1
.
Donc, pour I n nous avons la formule de réduction :
En appliquant systématiquement cette formule, nous réduisons l'intégrale I n à I
Exemple
1.
Calculer l'intégrale
;
;
.
Solution
.
2.
Isolons la dérivée du dénominateur au numérateur.
.
3.
Ici
On calcule l'intégrale de la fraction la plus simple.
Nous appliquons la formule de réduction : 1
pour l'intégrale. 1
,
Dans notre cas b =, c = 2
4 c - b 2 = 3 3
:
;
.
.
.
4.1. Étape 1. Isoler la dérivée du dénominateur au numérateur
.
Nous écrivons cette formule pour n =
.
et n =
D'ici
Le rapport de deux polynômes $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ est appelé fonction rationnelle ou fraction rationnelle. La fraction rationnelle s'appelle correct, si $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется faux.
Les fractions rationnelles élémentaires (les plus simples) sont des fractions rationnelles de quatre types :
- $\frac(A)(x-a)$ ;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Remarque (souhaitable pour une compréhension plus complète du texte) : afficher\masquer
Pourquoi la condition $p^2-4q est-elle nécessaire ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Par exemple, pour l'expression $x^2+5x+10$ on obtient : $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Puisque $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
D'ailleurs, pour cette vérification il n'est pas du tout nécessaire que le coefficient avant $x^2$ soit égal à 1. Par exemple, pour $5x^2+7x-3=0$ on obtient : $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Puisque $D > 0$, l'expression $5x^2+7x-3$ est factorisable.
Des exemples de fractions rationnelles (bonnes et impropres), ainsi que des exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions élémentaires peuvent être trouvés. Nous ne nous intéresserons ici qu'aux questions de leur intégration. Commençons par intégrer des fractions élémentaires. Ainsi, chacun des quatre types de fractions élémentaires ci-dessus est facile à intégrer à l’aide des formules ci-dessous. Permettez-moi de vous rappeler que lors de l'intégration de fractions de types (2) et (4), $n=2,3,4,\ldots$ sont supposés. Les formules (3) et (4) nécessitent la réalisation de la condition $p^2-4q< 0$.
\begin(équation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(équation)
Pour $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ la substitution $t=x+\frac(p)(2)$ est effectuée, après quoi l'intervalle résultant est Divisé en deux. Le premier sera calculé en entrant sous le signe différentiel, et le second aura la forme $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Cette intégrale est prise en utilisant la relation de récurrence
\begin(équation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Je_n,\; n\in N\fin(équation)
Le calcul d'une telle intégrale est discuté dans l'exemple n°7 (voir la troisième partie).
Schéma de calcul des intégrales de fonctions rationnelles (fractions rationnelles) :
- Si l'intégrande est élémentaire, appliquez les formules (1) à (4).
- Si l'intégrande n'est pas élémentaire, représentez-le comme une somme de fractions élémentaires, puis intégrez à l'aide des formules (1) - (4).
L'algorithme ci-dessus pour intégrer des fractions rationnelles présente un avantage indéniable : il est universel. Ceux. en utilisant cet algorithme, vous pouvez intégrer n'importe lequel fraction rationnelle. C'est pourquoi presque tous les changements de variables dans une intégrale indéfinie (Euler, Chebyshev, substitution trigonométrique universelle) sont effectués de telle manière qu'après ce changement on obtient une fraction rationnelle sous l'intervalle. Et puis appliquez-lui l’algorithme. Nous analyserons l'application directe de cet algorithme à l'aide d'exemples, après avoir pris une petite note.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
En principe, cette intégrale est facile à obtenir sans application mécanique de la formule. Si nous retirons la constante $7$ du signe intégral et prenons en compte que $dx=d(x+9)$, nous obtenons :
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Pour des informations détaillées, je vous recommande de consulter le sujet. Il explique en détail comment ces intégrales sont résolues. À propos, la formule est prouvée par les mêmes transformations qui ont été appliquées dans ce paragraphe lors de sa résolution « manuelle ».
2) Là encore, il existe deux manières : utiliser la formule toute faite ou s'en passer. Si vous appliquez la formule, vous devez alors tenir compte du fait que le coefficient devant $x$ (numéro 4) devra être supprimé. Pour ce faire, retirons simplement ces quatre éléments entre parenthèses :
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Il est maintenant temps d'appliquer la formule :
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Vous pouvez vous passer de la formule. Et même sans retirer les 4$ constants des parenthèses. Si l'on prend en compte que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, on obtient :
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Des explications détaillées pour trouver de telles intégrales sont données dans le thème « Intégration par substitution (substitution sous le signe différentiel) ».
3) Nous devons intégrer la fraction $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Cette fraction a la structure $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, où $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cependant, pour s'assurer qu'il s'agit bien d'une fraction élémentaire du troisième type, il faut vérifier que la condition $p^2-4q est remplie< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Résolvons le même exemple, mais sans utiliser de formule toute faite. Essayons d'isoler la dérivée du dénominateur au numérateur. Qu'est-ce que cela signifie? On sait que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. C'est l'expression $2x+10$ qu'il faut isoler au numérateur. Pour l'instant le numérateur ne contient que $4x+7$, mais cela ne durera pas longtemps. Appliquons la transformation suivante au numérateur :
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Maintenant, l'expression requise $2x+10$ apparaît au numérateur. Et notre intégrale peut être réécrite comme suit :
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Divisons l'intégrande en deux. Eh bien, et, en conséquence, l'intégrale elle-même est également « bifurquée » :
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Parlons d'abord de la première intégrale, c'est-à-dire à propos de $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Puisque $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, alors le numérateur de l'intégrande contient la différentielle du dénominateur. En bref, à la place de l'expression $( 2x+10)dx$ on écrit $d(x^2+10x+34)$.
Disons maintenant quelques mots sur la deuxième intégrale. Sélectionnons un carré complet au dénominateur : $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. De plus, on prend en compte $dx=d(x+5)$. Maintenant, la somme des intégrales que nous avons obtenue plus tôt peut être réécrite sous une forme légèrement différente :
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Si l'on fait la substitution $u=x^2+10x+34$ dans la première intégrale, alors elle prendra la forme $\int\frac(du)(u)$ et pourra être obtenue en appliquant simplement la deuxième formule de . Quant à la deuxième intégrale, le changement $u=x+5$ lui est réalisable, après quoi il prendra la forme $\int\frac(du)(u^2+9)$. Il s'agit de la onzième formule la plus pure du tableau des intégrales indéfinies. Donc, en revenant à la somme des intégrales, on a :
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Nous avons obtenu la même réponse que lors de l’application de la formule, ce qui, à proprement parler, n’est pas surprenant. En général, la formule est prouvée par les mêmes méthodes que celles utilisées pour trouver cette intégrale. Je pense que le lecteur attentif peut avoir une question ici, je vais donc la formuler :
Question n°1
Si nous appliquons la deuxième formule du tableau des intégrales indéfinies à l'intégrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, alors nous obtenons ce qui suit :
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Pourquoi n’y avait-il aucun module dans la solution ?
Réponse à la question n°1
La question est tout à fait naturelle. Le module manquait uniquement parce que l'expression $x^2+10x+34$ pour tout $x\in R$ est supérieure à zéro. Ceci est assez facile à démontrer de plusieurs manières. Par exemple, puisque $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ et $(x+5)^2 ≥ 0$, alors $(x+5)^2+9 > 0$ . Vous pouvez penser différemment, sans recourir à la sélection d’un carré complet. Depuis 10$^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pour tout $x\in R$ (si cette chaîne logique est surprenante, je vous conseille de regarder la méthode graphique de résolution des inégalités quadratiques). Dans tous les cas, puisque $x^2+10x+34 > 0$, alors $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, c'est-à-dire Au lieu d'un module, vous pouvez utiliser des parenthèses régulières.
Tous les points de l'exemple n°1 ont été résolus, il ne reste plus qu'à noter la réponse.
Répondre:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+$CAN.
Exemple n°2
Trouvez l'intégrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
À première vue, la fraction intégrande $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ est très similaire à une fraction élémentaire du troisième type, c'est-à-dire par $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Il semble que la seule différence soit le coefficient de $3$ devant $x^2$, mais il ne faut pas longtemps pour supprimer le coefficient (le mettre hors parenthèses). Pourtant, cette similitude est évidente. Pour la fraction $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ la condition $p^2-4q est obligatoire< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Notre coefficient avant $x^2$ n'est pas égal à un, vérifiez donc la condition $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, donc l'expression $3x^2-5x-2$ peut être factorisée. Cela signifie que la fraction $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ n'est pas une fraction élémentaire du troisième type, et applique $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) à la formule intégrale 5x-2)dx$ n'est pas possible.
Eh bien, si la fraction rationnelle donnée n’est pas une fraction élémentaire, alors elle doit être représentée comme une somme de fractions élémentaires puis intégrée. Bref, profitez du sentier. Comment décomposer une fraction rationnelle en fractions élémentaires est écrit en détail. Commençons par factoriser le dénominateur :
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligné) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aligné)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Nous présentons la fraction subintercale sous cette forme :
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Décomposons maintenant la fraction $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fractions élémentaires :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\droite). $$
Pour trouver les coefficients $A$ et $B$ il existe deux méthodes classiques : la méthode des coefficients indéterminés et la méthode de substitution de valeurs partielles. Appliquons la méthode de substitution de valeur partielle, en remplaçant $x=2$ puis $x=-\frac(1)(3)$ :
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Une fois les coefficients trouvés, il ne reste plus qu'à noter le développement terminé :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
En principe, vous pouvez laisser cette entrée, mais j'aime une option plus précise :
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Revenant à l'intégrale d'origine, nous y substituons le développement résultant. Ensuite, nous divisons l’intégrale en deux et appliquons la formule à chacune. Je préfère placer immédiatement les constantes en dehors du signe intégral :
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Répondre: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Exemple n°3
Trouvez l'intégrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Nous devons intégrer la fraction $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Le numérateur contient un polynôme du deuxième degré et le dénominateur contient un polynôme du troisième degré. Puisque le degré du polynôme au numérateur est inférieur au degré du polynôme au dénominateur, c'est-à-dire 2 $< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Tout ce que nous avons à faire est de diviser l’intégrale donnée en trois et d’appliquer la formule à chacune. Je préfère placer immédiatement les constantes en dehors du signe intégral :
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Répondre: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
La suite de l'analyse d'exemples de ce sujet se situe dans la deuxième partie.
Nous fournissons ici des solutions détaillées à trois exemples d’intégration des fractions rationnelles suivantes :
,
,
.
Exemple 1
Calculez l'intégrale :
.
Exemple
Ici, le signe intégral est une fonction rationnelle, puisque l'intégrande est une fraction de polynômes. Degré polynomial dénominateur ( 3 ) est inférieur au degré du polynôme numérateur ( 4 ). Par conséquent, vous devez d’abord sélectionner toute la partie de la fraction.
1.
Sélectionnons toute la partie de la fraction. Diviser x 4
par x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
.
.
2.
Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation cubique :
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Remplaçons x = 1
:
.
1
. 1
:
.
.
Diviser par x -
.
Résoudre une équation quadratique.
Les racines de l'équation sont : , .
.
3.
Alors
.
Décomposons la fraction sous sa forme la plus simple.
.
Nous avons donc trouvé :
Intégrons.
Répondre
Calculez l'intégrale :
.
Exemple
Ici le numérateur de la fraction est un polynôme de degré zéro ( 1 = x0). Le dénominateur est un polynôme du troisième degré. Parce que le 0 < 3 , alors la fraction est correcte. Décomposons-le en fractions simples.
1.
Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l’équation du troisième degré :
.
Supposons qu'il possède au moins une racine entière. Alors c'est un diviseur du nombre 3
(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres :
1, 3, -1, -3
.
Remplaçons x = 1
:
.
Nous avons donc trouvé une racine x = 1
. Diviser x 3 + 2x-3 1
:
sur x -
.
Donc,
Résoudre l'équation quadratique : X.
2 + x + 3 = 0 Trouver le discriminant : D = 1 2 - 4 3 = -11< 0
.
.
2.
.
Depuis D:
(2.1)
.
Remplaçons x = 1
, alors l'équation n'a pas de vraies racines. Ainsi, nous avons obtenu la factorisation du dénominateur : 1 = 0
,
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (2.1)
. 0
:
Alors x -;
.
Remplaçons (2.1)
X = 2
:
;
1 = 3A-C;
.
.
3.
Nous avons donc trouvé :
(2.2)
.
Égalons à
;
;
.
coefficients pour x 2
.
.
0 = A + B X Pour calculer la deuxième intégrale, on sélectionne la dérivée du dénominateur au numérateur et on réduit le dénominateur à la somme des carrés. Calculer je Puisque l'équation x
n'a pas de vraies racines, alors x (2.2)
:
.
Intégrons.
2 + x + 3 > 0
Calculez l'intégrale :
.
Exemple
. 3 Le signe du module peut donc être omis. 4 Nous livrons à 3 < 4 Exemple 3
1.
Ici, sous le signe intégral se trouve une fraction de polynômes. L’intégrande est donc une fonction rationnelle. Le degré du polynôme au numérateur est égal à
.
Supposons qu'il possède au moins une racine entière. Alors c'est un diviseur du nombre 2
(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres :
1, 2, -1, -2
.
Remplaçons x = -1
:
.
Nous avons donc trouvé une racine x = -1
. .:
sur x -
.
Le degré du polynôme du dénominateur de la fraction est égal à
.
. 2
(membre sans x). C'est-à-dire que la racine entière peut être l'un des nombres :
1, 2, -1, -2
.
Remplaçons x = -1
:
.
Parce que le -1
, alors la fraction est correcte. On peut donc le décomposer en fractions simples. Mais pour ce faire, vous devez factoriser le dénominateur.
.
Factorisons le dénominateur de la fraction. Pour ce faire, vous devez résoudre l'équation du quatrième degré : 2 + 2 = 0
(-1) = x + 1
.
2.
Il nous faut maintenant résoudre l’équation du troisième degré :
.
Si nous supposons que cette équation a une racine entière, alors c'est un diviseur du nombre Nous avons donc trouvé une autre racine x =:
(3.1)
.
Remplaçons x = -1
. 1 = 0
,
.
Il serait possible, comme dans le cas précédent, de diviser le polynôme par , mais on regroupera les termes : (3.1)
:
;
.
Remplaçons x = -1
Puisque l'équation x 1 = 0
:
;
;
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) (3.1)
. 0
:
n'a pas de vraies racines, alors on obtient la factorisation du dénominateur :;
.
Remplaçons (3.1)
X = 3
:
;
Décomposons la fraction sous sa forme la plus simple. Nous recherchons une extension sous la forme :;
.
On se débarrasse du dénominateur de la fraction, on multiplie par
.
3.
Nous avons donc trouvé :
.
