Trouvez le paramètre pour lequel l'équation a une solution unique. Équations exponentielles avec paramètre

Introduction

§1. Développement de cours au choix sur le sujet.

Conclusion.

INTRODUCTION

L’objectif principal des cours au choix de mathématiques est d’élargir et d’approfondir les connaissances, de développer l’intérêt des élèves pour la matière et de développer leurs capacités mathématiques. Le processus d'apprentissage est structuré comme une activité de recherche commune des étudiants.

L’étude du thème « Équations avec paramètres » joue un rôle majeur dans le développement de la pensée mathématique des étudiants dans les cours au choix. Cependant, l’étude de ce sujet dans les programmes scolaires ne reçoit pas suffisamment d’attention. L'intérêt pour le sujet s'explique par le fait que des équations avec paramètres sont proposées aussi bien lors des examens finaux d'école que lors des examens d'entrée à l'université.

L'objectif du cours est de familiariser les étudiants avec les fondements théoriques de la résolution d'équations avec paramètres, leurs principaux types et les recommandations de solution.

§1. Fondements théoriques pour la résolution d'équations avec paramètres.

Considérons l'équation

F (x, y, ..., z ; α,β, ..., γ) = 0 (F)

avec des inconnus x, y, ..., z et avec des paramètres α,β, ..., γ ;pour tout système admissible de valeurs de paramètres α 0 ,β 0 , ..., γ 0 l'équation (F) devient l'équation

F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0) = 0(F 0)

avec des inconnus x, y,..., z, ne contenant aucun paramètre. L'équation ( Fo) a un ensemble de solutions bien défini (peut-être vide).

Les systèmes d'équations contenant des paramètres sont considérés de la même manière. Les systèmes acceptables de valeurs de paramètres sont considérés comme des systèmes admissibles pour chaque équation séparément.

Définition. Résoudre une équation (ou un système) contenant des paramètres signifie, pour chaque système admissible de valeurs de paramètres, trouver l'ensemble de toutes les solutions à une équation (un système) donné.

La notion d'équivalence par rapport à une équation contenant des paramètres est établie comme suit.

Définition. Deux équations (systèmes)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F),

Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

avec inconnu x, y,..., z et avec paramètres α, β, ..., γ sont appelés équivalents si pour les deux équations (systèmes) l'ensemble des systèmes admissibles de valeurs de paramètres est le même et pour chaque admissible système de valeurs, paramètres les deux équations (systèmes d'équations) sont équivalentes.

Donc, les équations équivalentes pour tout système admissible de valeurs de paramètres ont le même ensemble de solutions.

Une transformation d'une équation qui modifie l'ensemble des systèmes admissibles de valeurs de paramètres conduit à une équation qui n'est pas équivalente à l'équation donnée.

Supposons que chacune des inconnues contenues dans l'équation.

F(x, y,z; α,β, ..., γ) =0 (F)

précisé en fonction des paramètres : x = x(α,β, ..., γ);

y = y(α,β, ..., γ);….

z= z (α,β, ..., γ). (X)

On dit que le système de fonctions ( X), donnée conjointement, satisfait l'équation ( F), si en remplaçant ces fonctions au lieu d'inconnues x, y,..., z dans l'équation (F), son côté gauche disparaît de manière identique pour toutes les valeurs de paramètres admissibles :

F ( X (α,β, ..., γ), oui ( α,β, ..., γ),…, z (α,β, ..., γ ) ≡0.

Pour tout système admissible de valeurs numériques de paramètres α = α 0 ,β=β 0 , ..., γ= γ 0 valeurs de fonction correspondantes ( X) former une solution à l'équation

F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0) = 0

§2. Types de base d'équations avec paramètres.

Équations linéaires et quadratiques.

Une équation linéaire écrite sous forme générale peut être considérée comme une équation à paramètres : Oh = b, Où X- inconnu, UN, b- options. Pour cette équation, la valeur spéciale ou de contrôle du paramètre est celle à laquelle le coefficient de l'inconnue devient nul.

Lors de la résolution d'une équation linéaire avec un paramètre, les cas sont pris en compte lorsque le paramètre est égal à sa valeur spéciale et différent de celle-ci.

Une valeur spéciale du paramètre a est la valeur UN = 0.

1. Si UN≠ 0, alors pour toute paire de paramètres a et b il a une solution unique X =

2. Si UN= 0, alors l'équation prend la forme : 0 X = b. Dans ce cas la valeur b= 0 est une valeur de paramètre spécial b .

2.1. À b≠ 0 l'équation n'a pas de solution.

2.2. À b= 0 l'équation prendra la forme : 0 X= 0. La solution de cette équation est n’importe quel nombre réel.

EXEMPLE Résolvons l'équation

2a(une - 2) x = une - 2. (2)

Solution. Ici, les valeurs de contrôle seront les valeurs des paramètres auxquelles le coefficient est appliqué. X devient 0. Ces valeurs sont une=0 Et une=2. A ces valeurs UN Il est impossible de diviser les deux côtés de l'équation par le coefficient en X. En même temps, avec les valeurs des paramètres une≠0, une≠2 cette division est possible. Ainsi, il est conseillé de diviser l'ensemble de toutes les valeurs réelles des paramètres en sous-ensembles

A 1 = (0), A 2 = (2) et Az = ( UN ≠0, UN ≠2}

et résoudre l'équation (2) sur chacun de ces sous-ensembles, c'est-à-dire résoudre l'équation (2) comme une famille d'équations qui en résultent pour les valeurs de paramètres suivantes :

1) une = 0 ; 2) une = 2 ; 3) une≠0, une≠2

Considérons ces cas.

1) Quand une = 0l'équation (2) prend la forme 0 X= - 2. Cette équation n'a pas de racines.

2) Quand une = 2L'équation (2) prend la forme 0 X=0. La racine de cette équation est n’importe quel nombre réel.

3) Pour a≠0, a≠2 de l'équation (2) nous obtenons, x=

où x=

0 t v e t : 1) si une = 0, alors il n’y a pas de racines ; 2) si une = 2, Que X- n'importe quel nombre réel ; 3) si UN ≠0, UN≠2, alors X =

Exemple Résolvons l'équation

(UN - 1) X 2 +2 (2UN +1) X +(4UN +3) =0; (3)

Solution : Dans ce cas, la valeur de contrôle est un=1. Le fait est que lorsque un=1 l’équation (3) est linéaire, et quand une≠ 1 il est carré (c'est le changement qualitatif de l'équation). Cela signifie qu'il convient de considérer l'équation (3) comme une famille d'équations obtenues à partir de celle-ci pour les valeurs de paramètres suivantes : 1) UN=l; 2) UN ≠1.

Considérons ces cas.

1) Quand un=1 l'équation (3) prendra la forme b X+7=0. De ceci

équations que nous trouvons x= -

2) À partir d'un ensemble de valeurs de paramètres une≠ 1, nous mettons en évidence les valeurs auxquelles le discriminant de l'équation (3) passe à 0.

Le fait est que si le discriminant D=0à une = une o, puis en passant la valeur Dà travers le point Et à propos le discriminant peut changer de signe (par exemple, lorsque UN<а о D< 0, а при une>une o D>0). Dans le même temps, en passant par le point ao, le nombre de racines réelles de l'équation quadratique change également (dans notre exemple, lorsque UN<а о il n'y a pas de racines, puisque D< 0, а при une>une o D>0 l'équation a deux racines). Cela signifie que nous pouvons parler d’un changement qualitatif dans l’équation. Par conséquent, les valeurs des paramètres auxquelles le discriminant de l'équation quadratique devient 0 sont également appelées valeurs de contrôle.

Créons un discriminant pour l'équation (3) :

=(2a+ l) 2 - (a - 1) (4a+3). Après simplifications on obtient = 5a+4.

De l’équation.

=0 on trouve une= - deuxième valeur de contrôle du paramètre UN. De plus, si UN < , puis D<0; если un ≥ , alors D≥0.

MKOU "École secondaire Lodeynopolskaya n° 68"

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Discours lors d'une réunion de la région de Moscou

Méthodes de résolution de problèmes

avec paramètres

Prokooucheva Natalia Gennadievna

Pôle Lodeïnoye

2013-2014

Problèmes avec les paramètres

Les problèmes liés aux paramètres comptent parmi les problèmes les plus difficiles proposés à la fois lors de l'examen d'État unifié et lors des concours supplémentaires dans les universités.

Ils jouent un rôle important dans la formation de la pensée logique et de la culture mathématique. Les difficultés qui surviennent lors de leur résolution sont dues au fait que chaque problème avec paramètres représente toute une classe de problèmes ordinaires, pour chacun desquels une solution doit être obtenue.

Si dans une équation (inégalité) certains coefficients ne sont pas donnés par des valeurs numériques spécifiques, mais sont désignés par des lettres, alors ils sont appelés paramètres et l'équation (inégalité) est paramétrique.

En règle générale, les inconnues sont désignées par les dernières lettres de l'alphabet latin : x, y, z, ..., et les paramètres par les premières : a, b, c, ...

Résoudre une équation (inégalité) avec des paramètres signifie indiquer à quelles valeurs des paramètres des solutions existent et quelles sont elles. Deux équations (inégalités) contenant les mêmes paramètres sont dites équivalentes si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation (inégalité) est une solution de la seconde et vice versa.

Naturellement, une si petite classe de problèmes ne permet pas à beaucoup de saisir l’essentiel : le paramètre, étant un nombre fixe mais inconnu, a une double nature. Premièrement, la prétendue renommée permet de « communiquer » avec le paramètre sous forme de nombre, et deuxièmement, le degré de liberté de communication est limité par son obscurité. Ainsi, diviser par une expression contenant un paramètre et extraire la racine d'un degré pair de ces expressions nécessite des recherches préalables. Généralement, les résultats de ces études influencent à la fois la décision et la réponse.

Comment commencer à résoudre de tels problèmes ? N'ayez pas peur des problèmes avec les paramètres. Tout d'abord, vous devez faire ce qui est fait lors de la résolution d'une équation ou d'une inégalité - réduire l'équation donnée (inégalité) à une forme plus simple, si possible : factoriser une expression rationnelle, factoriser un polynôme trigonométrique, supprimer les modules, les logarithmes, et etc. alors vous devez lire attentivement la tâche encore et encore.

Lors de la résolution de problèmes contenant un paramètre, certains problèmes peuvent être divisés en deux grandes classes. La première classe comprend des problèmes dans lesquels il est nécessaire de résoudre une inégalité ou une équation pour toutes les valeurs possibles d'un paramètre. La deuxième classe comprend les tâches dans lesquelles il est nécessaire de trouver non pas toutes les solutions possibles, mais uniquement celles qui satisfont à certaines conditions supplémentaires.

La manière la plus compréhensible pour les écoliers de résoudre de tels problèmes est d’abord de trouver toutes les solutions, puis de sélectionner celles qui satisfont à des conditions supplémentaires. Mais ce n'est pas toujours possible. Il existe un grand nombre de problèmes pour lesquels il est impossible de trouver toutes les solutions possibles, et on ne nous demande pas de le faire. Par conséquent, nous devons chercher un moyen de résoudre le problème sans avoir à notre disposition l'ensemble des solutions à une équation ou une inégalité donnée, par exemple, rechercher les propriétés des fonctions incluses dans l'équation qui nous permettront de juger de l'existence d'un certain ensemble de solutions.

Principaux types de tâches avec paramètres

Type 1.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles qui doivent être résolus soit pour n'importe quelle valeur du paramètre (paramètres), soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé.

Ce type de problème est fondamental lors de la maîtrise du thème « Problèmes avec paramètres », car le travail investi prédétermine le succès dans la résolution de problèmes de tous les autres types de base.

Type 2.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du (des) paramètre(s).

Nous attirons votre attention sur le fait que lors de la résolution de problèmes de ce type, il n'est nécessaire ni de résoudre des équations données, des inégalités, leurs systèmes et combinaisons, etc., ni de fournir ces solutions ; Dans la plupart des cas, un tel travail inutile est une erreur tactique qui entraîne une perte de temps inutile. Cependant, il ne faut pas rendre cela absolu, car parfois une solution directe selon le type 1 est le seul moyen raisonnable d'obtenir une réponse lors de la résolution d'un problème de type 2.

Tapez 3.Équations, inégalités, leurs systèmes et collections, pour lesquelles il est nécessaire de trouver toutes les valeurs de paramètres pour lesquelles les équations, inégalités, leurs systèmes et collections spécifiés ont un nombre donné de solutions (en particulier, elles n'ont pas ou n'ont pas un nombre infini de solutions).

Il est facile de voir que les problèmes de type 3 sont en quelque sorte l’inverse des problèmes de type 2.

Tapez 4.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels, pour les valeurs requises du paramètre, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles :

1) l'équation est satisfaite pour toute valeur de la variable d'un intervalle donné ;
2) l'ensemble des solutions de la première équation est un sous-ensemble de l'ensemble des solutions de la deuxième équation, etc.

Un commentaire. La variété des problèmes avec un paramètre couvre l'ensemble du cours de mathématiques scolaires (algèbre et géométrie), mais l'écrasante majorité d'entre eux lors des examens finaux et d'entrée appartiennent à l'un des quatre types répertoriés, qui pour cette raison sont appelés fondamentaux.

La classe de problèmes avec un paramètre la plus répandue est celle des problèmes avec une inconnue et un paramètre. Le paragraphe suivant indique les principaux moyens de résoudre les problèmes de cette classe particulière.

Méthodes de base pour résoudre des problèmes avec un paramètre

Méthode I(analytique). Il s'agit d'une méthode dite de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Parfois, ils disent qu'il s'agit d'une méthode de solution énergique, dans le bon sens, « arrogante ».

Méthode II(graphique). En fonction de la tâche (avec variable X et paramètre un) les graphiques sont considérés ou dans le plan de coordonnées ( X; oui), ou dans le plan de coordonnées ( X; un).

Un commentaire. La clarté et la beauté exceptionnelles de la méthode graphique de résolution de problèmes avec un paramètre captivent tellement les étudiants du sujet « Problèmes avec un paramètre » qu'ils commencent à ignorer les autres méthodes de solution, oubliant le fait bien connu : pour toute classe de problèmes , leurs auteurs peuvent en formuler une qui est brillamment résolue de cette manière et avec des difficultés colossales d'autres manières. Par conséquent, au stade initial de l'étude, il est dangereux de commencer par des techniques graphiques pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

Méthode III(décision concernant le paramètre). En résolvant de cette façon, les variables X Et un sont acceptés comme égaux et la variable par rapport à laquelle la solution analytique est considérée comme la plus simple est sélectionnée. Après des simplifications naturelles, on revient au sens originel des variables X Et un et terminez la solution.

Passons maintenant à la démonstration de ces méthodes pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

1. Équations linéaires et inégalités avec paramètres

Fonction linéaire: – équation d'une droite avec coefficient de pente . Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à la direction positive de l'axe .

Équations linéaires avec paramètres de la forme

Si , l'équation a la seule chose solution.

Si , cette équation n'a pas de solutions, Quand , et l'équation a une infinité de solutions, Quand .

Exemple 1. Résous l'équation | X | = un .

Solution:

un > 0, => X 1,2 = ± un

un = 0, => X = 0

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: X 1,2 = ± unà un > 0; X= 0 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2. Résoudre l’équation |3 – X | = un .

Solution:

un > 0, => 3 – X = ± un , => X= 3 ± un

un = 0, => 3 – X = 0. => X = 3

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: X 1,2 = 3 ± unà un > 0; X= 3 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 3. Résous l'équation m ² X – m = X + 1.

Solution:

m ² X – m = X + 1

m ² X – X = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Répondre:
à m ≠ ± 1; X Є R.à m= –1 ; il n'y a pas de solutions pour m = 1.

Exemple 4. UN résous l'équation: ( un 2 – 4) X = un + 2 .

Solution: Factorisons le coefficient. .

Si , l'équation a la seule chose solution: .

Si , l'équation n'a pas de solutions.

Si , alors l'équation a une infinité de solutions .

Exemple 6. Pour toutes les valeurs de paramètres un résous l'équation:
.

Solution: ODZ : . Dans cette condition, l’équation est équivalente à la suivante : . Vérifions si vous appartenez à l'ODZ : , Si . Si , alors l'équation n'a pas de solutions.

Exemple 7. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre l'équation : | X + 3| – un | X – 1| = 4.

Solution: Divisons la droite numérique en 3 parties par les points auxquels les expressions sous le signe du module disparaissent et résolvons 3 systèmes :

1) , Si . Trouvé sera la solution si .

2) , Si . Celui trouvé satisfait à l’inégalité requise est donc une solution pour . Si , alors la solution est n'importe laquelle .

3) , Si . Trouvé Pas satisfait l’inégalité requise, donc, Pas est une solution quand . Si , alors la solution est n'importe quel x > 1.

Répondre: à ; à ;

P. ri ; est aussi une solution pour tous .

Exemple 8. Trouver tout UN, pour chacun desquels au moins une des solutions de l'équation 15 X – 7un = 2 – 3hache + 6un moins 2 .

Solution: Trouvons des solutions à l'équation pour chacun . , Si . Résolvons l'inégalité : .

Quand l'équation n'a pas de solution.

Répondre : UNÎ (–5 , 4) .

Inégalités linéaires avec paramètres

Par exemple: Résoudre les inégalités : kx < b .

Si k> 0, alors
. Si k < 0, то
. Si k= 0, alors quand b> 0 solution est quelconque X Є R., et quand
il n'y a pas de solutions.

Résolvez les inégalités restantes dans la boîte de la même manière.

Exemple 1. Pour toutes les valeurs du paramètre a, résoudre l'inégalité
.

Solution:

. Si la parenthèse est avant X est positif, c'est-à-dire à
, Que
. Si la parenthèse est avant X négatif, c'est-à-dire à
, Que
. Si un= 0 ou a = , alors il n'y a pas de solutions.

Répondre:
à
;
à
;

il n'y a pas de solutions pour un= 0 ou a = .

Exemple 2. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre les inégalités | X– un| – | X + un| < 2un .

Solution:

À un=0 nous avons une inégalité incorrecte 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, puis à x< –un les deux modules sont développés avec un moins et nous obtenons l'inégalité incorrecte 2 un < 2un, c'est à dire. il n'y a pas de solutions. Si X Є [– un ; un] , alors le premier module s'ouvre par un moins, et le second par un plus, et on obtient l'inégalité –2 X < 2un, c'est à dire. X > –un, c'est-à-dire que la solution est quelconque X Є (– un ; un]. Si X > un les deux modules s'ouvrent avec un plus et on obtient la bonne inégalité –2 un < 2un, c'est à dire. , la solution est n'importe laquelle X Є ( un; +∞). En combinant les deux réponses, nous obtenons cela lorsque un > 0 X Є (– un ; +∞).

Laisser un < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2un. Ainsi, avec un < 0 решений нет.

Répondre: X Є (– un; +∞) à un> 0, il n'y a pas de solution pour
.

Commentaire. La solution à ce problème est plus rapide et plus simple si vous utilisez l'interprétation géométrique du module de la différence de deux nombres comme distance entre les points. Alors l'expression du côté gauche peut être interprétée comme la différence de distances du point X aux points UN Et - UN .

Exemple 3. Trouver tout UN, pour chacun desquels toutes les solutions de l'inégalité
satisfaire l'inégalité 2 X – un² + 5< 0.

Solution:

La solution à l’inégalité |x | ≤ 2 est un ensemble UN=[–2; 2], et la solution aux inégalités 2 X – un² + 5< 0 является множество B = (–∞;
) . Pour satisfaire les conditions du problème, il faut que l'ensemble A soit inclus dans l'ensemble B(). Cette condition sera satisfaite si et seulement si .

Répondre: une Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Exemple 4. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'inégalité
court pour tout le monde X du segment.

Solution:

Une fraction est inférieure à zéro entre les racines, vous devez donc déterminer quelle racine est la plus grande.

–3un + 2 < 2un + 4
et –3 un + 2 > 2un + 4
. Ainsi, avec
XЄ (–3 un + 2; 2un+ 4) et pour que l'inégalité soit vraie pour tout x du segment , il faut que

À
XЄ (2 un + 4; –3un+ 2) et pour que l'inégalité soit valable pour tous X du segment, il faut que

Quand a = – (quand les racines coïncident) il n’y a pas de solutions, car dans ce cas l'inégalité prend la forme : .

Répondre:
.

Exemple 5. UN l'inégalité est valable pour toutes les valeurs négatives X?

Solution:

La fonction augmente de façon monotone si le coefficient à X non négatif, et il diminue de façon monotone si le coefficient à X négatif.

Découvrons le signe du coefficient à

un ≤ –3,

un ≥ 1; (un² + 2 un – 3) < 0 <=> –3 < un < 1.

un ≤ –3,

Laisser un≥ 1. Alors la fonction F (X ) ne diminue pas de façon monotone, et la condition du problème sera satisfaite si F (X ) ≤ 0 <=> 3un ² – un – 14 ≤ 0 <=>
.

un ≤ –3,

Avec les conditions un≥ 1 ; on a:

Soit -3< un < 1. Тогда функция F (X ) diminue de façon monotone et la condition du problème ne peut jamais être satisfaite.

Répondre:
.

2. Équations quadratiques et inégalités avec paramètres

Fonction quadratique:
.

Dans l’ensemble des nombres réels, cette équation est étudiée selon le schéma suivant.

Exemple 1. A quelles valeurs un l'équationX ² – hache + 1 = 0 n'a pas de vraies racines ?

Solution:

X ² – hache + 1 = 0

D = un ² – 4 1 =un ² – 4

un ² – 4< 0 + – +

( un – 2)( un + 2) < 0 –2 2

Répondre: àune Є (–2 ; 2)

Exemple 2.Pour quelles valeurs de a l'équation UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5 a deux vraies racines différentes ?

Solution:

UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5, UN ≠ 0

Oh ² – ah+ un – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( UN + 3) X + UN – 5 = 0

D = ( un +3)² – 4un ( un – 5) = un ² +6un + 9 – 4 un ² + 20un = –3 un ² + 26un + 9

–3 un ² + 26 un + 9 > 0

3 un ² – 26un – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

un 1 =
; un 2 =
+ – +

0 9

Répondre:àunЄ (–1/3 ; 0)U (0; 9)

Exemple 3 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ: X ≠1, X ≠ un

X – 1 + X – un = 2, 2 X = 3 + un ,

1)
; 3 + un ≠ 2; un ≠ –1

2)
; 3 + un ≠ 2 un ; un ≠ 3

Répondre:
àun Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

il n'y a pas de solutions pourune = –1 ; 3.

Exemple4 . Résous l'équation | X ²–2 X –3 | = un .

Solution:

Regardons les fonctions oui = | X ²–2 X –3 | Etoui = un .

À un < 0 aucune solution ;
à un = 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Répondre:

à un < 0 нет решений;
à un= 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Exemple 5.Trouver toutes les valeurs un , pour chacun desquels l'équation | X ²–( un +2) X +2 un | = | 3 X –6 |
a exactement deux racines. Si de telles valeurs un plusieurs, indiquez leur produit dans votre réponse.

Solution:

Développons le trinôme quadratique X ²–( un +2) X +2 un par des multiplicateurs.
;
;
;

On a | ( X –2)( X – un ) | = 3 | X –2 |.
Cette équation est équivalente à l'ensemble

Cette équation a donc exactement deux racines si un+ 3 = 2 et un – 3 = 2.
De là, nous constatons que les valeurs souhaitées un sont un 1 = –1; un 2 = 5; un 1 · un 2 = –5.

Répondre: –5.

Exemple 6.Trouver toutes les valeurs un , pour lequel les racines de l'équation hache ² – 2( un + 1) X – un + 5 = 0 sont positifs.

Solution:

Point de contrôle un= 0, parce que change l’essence de l’équation.

1. un = 0 –2X + = 0;

Répondre: une Є U .

Exemple 7.Àquelles valeurs de paramètres un l'équation | X ² – 4 X + 3 | = hache a 3 racines.

Solution:

Créons des graphiques de fonctions oui = | X ² – 4 X + 3 | Et oui = hache .

La fonction est représentée graphiquement sur le segment
.
Cette équation aura trois racines si le graphique de la fonction oui = hache sera tangent au graphique oui = X ²+ 4 X – 3 sur
segment

L'équation tangente a la forme oui = F (X 0 ) + F ’(X 0 )(X – X 0 ),

Parce que équation tangente oui = un, on obtient un système d'équations

Parce que X 0 Є ,

Répondre:à un = 4 – 2
.

Inégalités quadratiques avec paramètres

Exemple.Rechercher toutes les valeurs des paramètres un , pour chacune d'elles parmi les solutions aux inégalités
il n'y a aucun point sur le segment de droite.

Solution:

Tout d'abord, résolvons l'inégalité pour toutes les valeurs du paramètre, puis trouvons celles pour lesquelles il n'y a pas un seul point du segment parmi les solutions .
Laisser
, hache = t ²

t ≥ 0

Avec un tel remplacement de variables, l'ODZ d'inégalité est effectuée automatiquement. X peut s'exprimer à travers t, Si un≠ 0. Par conséquent, le cas où un = 0, nous considérerons séparément.
1.Laissez un = 0, alors X> 0, et le segment donné est une solution.
2.Laissez un≠ 0, alors
et les inégalités
prendra la forme
,

La solution à l'inégalité dépend des valeurs un, nous devons donc considérer deux cas.
1) Si un>0, alors
à
, ou dans d'anciennes variables,

La solution ne contient pas un seul point du segment donné si et seulement si les conditions sont remplies un ≤ 7,

16un≥ 96. Par conséquent, un Є .
2). Si UN< 0, то
;
; tЄ (4 un ; un). Parce que t≥ 0, alors il n’y a pas de solutions.

Répondre: .

Équations irrationnelles avec paramètres

Lors de la résolution d'équations irrationnelles et d'inégalités avec un paramètre, il convient tout d'abord de prendre en compte la plage de valeurs acceptables. Deuxièmement, si les deux côtés de l’inégalité sont des expressions non négatives, alors une telle inégalité peut être quadragée tout en conservant le signe de l’inégalité.
Dans de nombreux cas, les équations et inégalités irrationnelles sont réduites à des équations quadratiques après avoir changé les variables.

Exemple 1. Résous l'équation
.

Solution:

ODZ : X + 1 ≥ 0, X ≥ –1, un ≥ 0.

X + 1 = un ².

Si X = un² – 1, alors la condition est satisfaite.

Répondre: X = un² – 1 à UN≥ 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ : X + 3 ≥ 0, X ≥ –3,

hache ≥ 0; X ≤ un;

X + 3 = hache,

2X = un – 3,

<=>
<=>
<=> un ≥ –3.

Répondre:
à un≥ –3 ; il n'y a pas de solutions pour un < –3.

Exemple 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?
en fonction des valeurs des paramètres UN?

Solution:

Plage de valeurs acceptables de l'équation : x Є [–2 ; 2]

Construisons des graphiques de fonctions. Le graphique de la première fonction est la moitié supérieure du cercle X² + oui² = 4. Le graphique de la deuxième fonction est la bissectrice des premier et deuxième angles de coordonnées. Du graphique de la première fonction, soustrayez le graphique de la seconde et obtenez le graphique de la fonction
. Si vous remplacez à sur UN, alors le dernier graphique de la fonction est l'ensemble des points (x; a) satisfaisant l'équation d'origine.

D'après le graphique, nous voyons la réponse.

Répondre:à UNЄ (–∞ ; –2) U (1 ; +∞), pas de racines ;

à UNЄ [–2 ; 2), deux racines ;

à UN= 1, une racine.

Exemple 4.À quelles valeurs de paramètres UN l'équation
a une seule solution ?

Solution:

Méthode 1 (analytique) :

Répondre:

Méthode 2 (graphique) :

Répondre: pour a ≥ –2 l’équation a une solution unique

Exemple 5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation = 2 + x a-t-elle une solution unique.

Solution:

Considérons une version graphique de la solution de cette équation, c'est-à-dire que nous construirons deux fonctions :
à 1 = 2 + X Et à 2 =

La première fonction est linéaire et passe par les points (0 ; 2) et (–2 ; 0).
Le graphique de la deuxième fonction contient un paramètre. Considérons d'abord le graphique de cette fonction à UN= 0 (Fig.1). Lors de la modification de la valeur du paramètre, le graphique se déplacera le long de l'axe OH par la valeur correspondante à gauche (pour positif UN) ou vers la droite (pour les valeurs négatives UN) (Fig.2)

D'après la figure, il est clair que lorsque UN < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Répondre:à un≥ –2 l’équation a une solution unique.

Équations trigonométriques avec paramètres.

Exemple 1.Résous l'équation péché (– X + 2 X – 1) = b + 1.

Solution:

Compte tenu de l'étrangeté de la fonction
, on réduit cette équation à l'équivalent
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Il n'y a pas de solutions.

5. bЄ(–1 ; 0)

6. bЄ(–2 ; –1)

Exemple 2.Trouver toutes les valeurs du paramètre p pour lesquelles l'équation
n'a pas de solutions.

Solution:

Exprimons cos 2 Xà travers péché.

Laisser
alors la tâche était réduite à trouver toutes les valeurs p, pour laquelle l'équation n'a pas de solutions sur [–1; 1]. L'équation ne peut pas être résolue de manière algorithmique, nous allons donc résoudre le problème à l'aide d'un graphique. Écrivons l'équation sous la forme , et maintenant un croquis du graphique du côté gauche
facile à construire.
L'équation n'a pas de solution si la droite oui = p+ 9 ne coupe pas le graphique sur l'intervalle [–1 ; 1], c'est-à-dire

Répondre:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Systèmes d'équations avec paramètres

Systèmes de deux équations linéaires avec paramètres

Système d'équations

Les solutions d'un système de deux équations linéaires sont les points d'intersection de deux droites : et .

Il y a 3 cas possibles :

1. Les lignes ne sont pas parallèles . Alors leurs vecteurs normaux ne sont pas parallèles, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a seule décision.

2. Les lignes sont parallèles et ne coïncident pas. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles, mais les déplacements sont différents, c'est-à-dire .

Dans ce cas le système n'a pas de solutions .

3. Les lignes droites coïncident. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles et les déplacements coïncident, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a une infinité de solutions - tous les points d'une ligne .

1. Systèmes d'équations linéaires avec un paramètre

Les systèmes d'équations linéaires avec un paramètre sont résolus par les mêmes méthodes de base que les systèmes d'équations ordinaires : la méthode de substitution, la méthode d'addition d'équations et la méthode graphique. La connaissance de l'interprétation graphique des systèmes linéaires permet de répondre facilement à la question du nombre de racines et de leur existence.

Exemple 1.

Trouvez toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations n'a pas de solution.

(x + (une 2 – 3)y = une,
(x + y = 2.

Solution.

Examinons plusieurs façons de résoudre ce problème.

1 façon. On utilise la propriété : le système n'a pas de solutions si le rapport des coefficients devant x est égal au rapport des coefficients devant y, mais pas égal au rapport des termes libres (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Ensuite nous avons:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ou système

(et 2 – 3 = 1,
(une ≠ 2.

À partir de la première équation a 2 = 4, donc, en tenant compte de la condition selon laquelle a ≠ 2, nous obtenons la réponse.

Réponse : a = -2.

Méthode 2. Nous résolvons par méthode de substitution.

(2 – y + (une 2 – 3)y = une,
(x = 2 – y,

((une 2 – 3)y – y = une – 2,
(x = 2 – y.

Après avoir retiré le facteur commun y des parenthèses dans la première équation, on obtient :

((une 2 – 4)y = une – 2,
(x = 2 – y.

Le système n'a pas de solution si la première équation n'a pas de solution, c'est-à-dire

(et 2 – 4 = 0,
(une – 2 ≠ 0.

Évidemment, a = ±2, mais en tenant compte de la deuxième condition, la réponse ne vient qu'avec une réponse négative.

Répondre: une = -2.

Exemple 2.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations a un nombre infini de solutions.

(8x + ay = 2,
(hache + 2y = 1.

Solution.

Selon la propriété, si le rapport des coefficients de x et y est le même et est égal au rapport des membres libres du système, alors il a un nombre infini de solutions (c'est-à-dire a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Donc 8/a = a/2 = 2/1. En résolvant chacune des équations résultantes, nous constatons que a = 4 est la réponse dans cet exemple.

Répondre: une = 4.

2. Systèmes d'équations rationnelles avec un paramètre

Exemple 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = une.

Solution.

Multiplions la première équation du système par 2 :

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = une.

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons 5|x| = 4 – une. Cette équation aura une solution unique pour a = 4. Dans d'autres cas, cette équation aura deux solutions (pour a< 4) или ни одного (при а > 4).

Réponse : a = 4.

Exemple 4.

Trouver toutes les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système d'équations a une solution unique.

(x + y = une,
(y – x 2 = 1.

Solution.

Nous allons résoudre ce système en utilisant la méthode graphique. Ainsi, le graphique de la deuxième équation du système est une parabole élevée le long de l'axe Oy vers le haut d'un segment unitaire. La première équation spécifie un ensemble de droites parallèles à la droite y = -x (Image 1). Il ressort clairement de la figure que le système a une solution si la droite y = -x + a est tangente à la parabole en un point de coordonnées (-0,5, 1,25). En substituant ces coordonnées dans l'équation de la droite au lieu de x et y, nous trouvons la valeur du paramètre a :

1,25 = 0,5 + une ;

Réponse : a = 0,75.

Exemple 5.

A l'aide de la méthode de substitution, découvrez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(hache – y = une + 1,
(hache + (a + 2)y = 2.

Solution.

À partir de la première équation, nous exprimons y et le substituons dans la seconde :

(y = hache – a – 1,
(hache + (une + 2)(hache – une – 1) = 2.

Réduisons la deuxième équation à la forme kx = b, qui aura une solution unique pour k ≠ 0. On a :

hache + une 2 x – une 2 – une + 2ax – 2a – 2 = 2 ;

un 2 x + 3ax = 2 + un 2 + 3a + 2.

Nous représentons le trinôme carré a 2 + 3a + 2 comme produit de parenthèses

(a + 2)(a + 1), et à gauche on sort x entre parenthèses :

(une 2 + 3une)x = 2 + (une + 2)(une + 1).

Évidemment, a 2 + 3a ne doit pas être égal à zéro, donc

une 2 + 3une ≠ 0, une(une + 3) ≠ 0, ce qui signifie une ≠ 0 et ≠ -3.

Répondre: une ≠ 0 ; ≠ -3.

Exemple 6.

À l'aide de la méthode de solution graphique, déterminez à quelle valeur du paramètre a le système a une solution unique.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = une.

Solution.

A partir de la condition, on construit un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 3 segments unitaires, c'est ce qui est précisé par la première équation du système

x 2 + y 2 = 9. La deuxième équation du système (y = |x| + a) est une ligne brisée. En utilisant Figure 2 Nous considérons tous les cas possibles de sa localisation par rapport au cercle. Il est facile de voir que a = 3.

Réponse : a = 3.

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Problèmes avec les paramètres. Les problèmes les plus simples sur le trinôme quadratique.

Aujourd'hui, nous allons examiner des problèmes impliquant un trinôme quadratique, sur lesquels, en fonction du paramètre, nous devrons découvrir quelque chose. Ce « quelque chose » peut être aussi varié que l’imagination des créateurs de la tâche est suffisante. Il s’agit du type de problème le plus simple avec les paramètres. Et si vous en croisez un lors de l'examen d'État unifié, considérez-vous chanceux !

Mais avant de commencer à analyser les tâches elles-mêmes, répondez-vous à ces questions simples :

- Qu'est-ce qu'une équation quadratique, à quoi ressemble-t-elle et comment est-elle résolue ?

- Qu'est-ce qu'un discriminant et où le placer ?

- Qu'est-ce que le théorème de Vieta et où peut-il être appliqué ?

Si vous répondez correctement à ces questions simples, vous avez la garantie de réussir à 50 % dans la résolution de problèmes paramétriques impliquant un trinôme quadratique ! Et les 50 % restants sont de l'algèbre et de l'arithmétique ordinaires : ouvrir des parenthèses, amener des parenthèses similaires, résoudre des équations, des inégalités et des systèmes, etc.

Alors, commençons!

Examinons d’abord un problème totalement inoffensif. Pour s'échauffer. :)

Exemple 1

Commençons par la solution. Premièrement, afin de ne pas gâcher les coefficients à l'avenir, il est toujours utile de les écrire séparément. Directement dans la colonne. Comme ça:

un = 1

b = -(a-1)

c = a-2

Oui oui! Certains des coefficients de l'équation (à savoir b et c) dépendent du paramètre. C’est précisément tout l’intérêt de telles tâches. Et maintenant, relisons attentivement la condition. L'indice clé dans la formulation de la tâche réside dans les mots « racine unique ». Et quand une équation quadratique a-t-elle racine unique? Utilisons nos connaissances théoriques sur les équations quadratiques. Seulement dans un seul cas - lorsqu'il le discriminant est nul.

Nous écrivons donc :

D=0

Il ne reste plus qu'à créer une expression pour le discriminant et à l'assimiler à zéro. Aller!

Nous devons maintenant assimiler notre discriminant à zéro :

Vous pouvez bien sûr résoudre ce problème grâce à un discriminant, ou vous pouvez tricher un peu. À quoi ressemble le côté gauche si vous regardez attentivement ? Cela ressemble au carré de la différence (un-3) 2 !

Respect aux attentifs ! Droite! Si on remplace notre expression de gauche par (un-3) 2 , alors l'équation sera résolue dans votre tête !

(un - 3) 2 = 0

un - 3 = 0

un = 3

C'est tout. Cela signifie que notre équation quadratique avec un paramètre n'aura une racine unique que dans un seul cas - lorsque la valeur du paramètre « a » est égale à trois.)

Réponse : 3

C'était un exemple d'échauffement. Pour saisir l'idée générale.) Il y aura maintenant un problème plus grave.

Exemple 2

Voici un problème. Nous commençons à nous démêler. Tout d’abord, écrivons notre équation quadratique :

0,5x 2 - 2x + 3a + 1,5 = 0

L'étape la plus logique serait de multiplier les deux côtés par 2. Ensuite, les coefficients fractionnaires disparaîtront et l'équation elle-même deviendra plus jolie. Multiplier:

Nous notons nos coefficients a, b, c dans une colonne :

un = 1

b = -4

c = 6 un+3

On voit que les coefficients un Et b nous en avons des permanents, mais voici un membre gratuit Avec dépend du paramètre "a"! Ce qui peut être n'importe quoi - positif, négatif, entier, fractionnaire, irrationnel - n'importe quoi !

« Pour que la somme des cubes des racines soit inférieure à 28, ces mêmes racines, d'une part, doit exister. Par eux-même. Essentiellement. Et les racines d’une équation quadratique existent si et seulement si son discriminant est non négatif. De plus, la tâche parle de deux divers racines Cette phrase signifie que notre discriminant doit être non seulement non négatif, mais strictement positif!»

Si vous raisonnez de cette façon, alors vous avancez dans la bonne direction ! Correct.) Nous créons une condition de positivité pour le discriminant :

D= (-4) 2 - 4·1·(6un+3) = 16-24 un-12 = 4-24 un

4-24 un > 0

-24 un > -4

un < 1/6

La condition résultante nous dit que notre équation aura deux racines différentes non pas pour toutes les valeurs du paramètre « a », mais uniquement pour celles qui moins d'un sixième ! Il s’agit d’une exigence mondiale qui doit être strictement respectée. Peu importe que notre somme de cubes racines soit inférieure à 28 ou plus. Valeurs du paramètre « a » supérieures ou égales à 1/6, us ne conviendra évidemment pas. Hood.) Des pailles ont été disposées. Allons-nous en.

Passons maintenant à la mystérieuse somme des cubes racines. Selon la condition, il doit être inférieur à 28. On écrit donc :

Cela signifie que pour répondre à la question du problème, nous devons considérer conjointement deux conditions :

La méthode la plus laborieuse consiste à trouver directement les racines de l’équation via un paramètre. Directement selon la formule générale des racines. Comme ça:

Nous composons maintenant la somme des cubes des racines trouvées dont nous avons besoin et exigeons qu'elle soit inférieure à 28 :

Et puis - l'algèbre ordinaire : on révèle la somme des cubes à l'aide de la formule de multiplication abrégée, on en donne des similaires, on les réduit, etc. Si les racines de notre équation s'avéraient plus belles, sans radicaux, alors une telle méthode « frontale » ne serait pas mauvaise. Mais le problème est que nos racines font un peu peur. Et je suis quelque peu réticent à les substituer à la somme des cubes, oui. Par conséquent, afin d'éviter cette lourde procédure, je propose une deuxième méthode - pour ceux qui sont attentifs.

Pour ce faire, on révèle la somme des cubes des racines à l'aide de la formule de multiplication abrégée correspondante. De façon générale:

Total:

Il semblerait, et alors ? Maintenant, ce sera intéressant ! Jetons un autre regard à notre équation. Le plus soigneusement possible :

Quel est le coefficient ici ? X 2 ? C'est vrai, un ! Comment s’appelle cette équation ? C'est vrai, étant donné ! Et puisque cela est donné, alors c'est vrai pour lui Théorème de Vieta :

Voici un autre théorème qui nous a été utile ! Maintenant, directement par le théorème de Vieta, nous substituons la somme et le produit des racines dans notre exigence pour la somme des cubes :

Il ne reste plus qu'à ouvrir les parenthèses et résoudre une inégalité linéaire simple :

4·(16-18a-9) < 28

64-72a+36< 28

-72a< 28-64+36

-72a< 0

un > 0

Nous rappelons que nous avons aussi une exigence mondiale un < 1/6 . Cela signifie que notre ensemble résultant a > 0 est nécessaire croix avec la conditionun < 1/6 . Nous dessinons une image, nous nous croisons et écrivons la réponse finale.

Répondre:

Oui. Voici un si petit intervalle. De zéro à un sixième... Vous voyez comme la connaissance du théorème de Vieta rend parfois la vie plus facile !

Voici quelques conseils pratiques pour vous : Si la tâche parle de constructions telles que somme, produit, somme de carrés, somme de cubes de racines, alors nous essayons d'appliquer le théorème de Vieta. Dans 99% des cas, la solution est grandement simplifiée.

C’étaient des exemples assez simples. Pour obtenir l'essence. Il y aura maintenant des exemples plus impressionnants.

Par exemple, ce problème de la version réelle de l'examen d'État unifié :

Exemple 3

Qu’est-ce que ça inspire ? Nous n’avons peur de rien et agissons selon notre principe favori : « Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !»

Encore une fois, écrivez soigneusement tous les coefficients de notre équation quadratique :

une = 1

b = -6

c = un 2 -4 un

Lisons maintenant l'énoncé du problème et trouvons les mots "module de la différence entre les racines de l'équation." Le module de différence ne nous concerne pas encore, mais les mots "les racines de l'équation" Prenons-en en compte. Puisque nous parlons de racines (peu importe qu’elles soient deux identiques ou deux différentes), alors notre discriminant doit être non négatif ! Nous écrivons donc :

D ≥ 0

Eh bien, décrivons soigneusement notre discriminant à travers le paramètre UN:

D= (-6) 2 – 4 1 (12 +un 2 -4 un) = 36 - 48 - 4a 2 + 16a = -4a 2 +16a-12.

Résolvons maintenant l'inégalité quadratique. Selon le schéma standard, à travers l'équation quadratique correspondante et un dessin schématique d'une parabole :

Cela signifie que pour que notre équation essentiellement il y avait au moins quelques racines, un paramètre UN doit être dans l'intervalle [-1; 3]. Il s’agit d’une exigence à toute épreuve. Bien. Souvenons-nous.)

Et maintenant passons à ce module même de la différence entre les racines de l'équation. Ils veulent que nous fassions quelque chose comme ça

Prendrait la plus grande valeur. Pour cela, rien ne peut être fait, mais il reste maintenant à trouver les racines elles-mêmes et à combler leur différence : x 1 – x 2. Le théorème de Vieta est ici impuissant cette fois.

Eh bien, nous calculons les racines en utilisant la formule générale :

Rappelons maintenant que la racine carrée est une valeur connue pour être non négatif. Par conséquent, sans nuire à la santé, le module peut être abaissé en toute sécurité. Au total, notre module de différence racine ressemble à ceci :

Et cette fonction FA) doit accepter valeur la plus élevée. Et pour trouver la plus grande valeur, nous disposons d'un outil aussi puissant que dérivé! Allez-y et chantez !)

Nous différencions notre fonction et assimilons la dérivée à zéro :

Nous avons le seul point critique un = 2 . Mais ce n’est pas encore la réponse, puisqu’il reste encore à vérifier que le point trouvé est bien le point maximum ! Pour ce faire, nous examinons les signes de notre dérivée à gauche et à droite de deux. Cela se fait facilement par simple substitution (par exemple, a = 1,5 et a = 2,5).

À gauche des deux, la dérivée est positive et à droite des deux, la dérivée est négative. Cela signifie que notre point un = 2 est en effet le point maximum. La zone ombrée sur l'image signifie que nous considérons notre fonction uniquement sur le segment. En dehors de ce segment de notre fonction F(un) simplement n'existe pas. Parce que dans la zone ombrée, notre discriminant est négatif, et parler de racines (et de fonctions aussi) n'a aucun sens. C'est compréhensible, je pense.

Tous. Notre problème est désormais complètement résolu.

Réponse : 2.

Il y avait ici une application du dérivé. Et il y a aussi des problèmes où il faut résoudre des équations ou des inégalités avec des modules tant détestés par de nombreux étudiants et comparer de vilains nombres irrationnels avec des racines. L'essentiel est de ne pas avoir peur ! Examinons un problème similaire (également issu de l'examen d'État unifié, d'ailleurs).

Exemple 4

Alors, commençons. Tout d’abord, on remarque que le paramètre UN en aucun cas il ne peut être égal à zéro. Pourquoi? Et vous remplacez l'équation originale à la place UN zéro Que va-t-il se passer ?

A obtenu linéaireéquation ayant le seul racine x=2. Et ce n’est pas du tout notre cas. Ils veulent que nous ayons une équation deux différents racine, et pour cela, nous avons besoin qu'elle soit au moins carrée.)

Donc, une ≠ 0.

Pour toutes les autres valeurs du paramètre, notre équation sera assez quadratique. Et donc, pour qu'il ait deux racines différentes, il faut (et il suffit) que son discriminant soit positif. Autrement dit, notre première exigence sera D > 0 .

D = 4(a-1) 2 – 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a

Comme ça. Cela signifie que notre équation a deux racines différentes si et seulement si le paramètre a > -1/2. Avec d’autres « a », l’équation aura soit une racine, soit aucune racine du tout. Prenons note de cette condition et passons à autre chose.

Pourquoi le module est-il nécessaire ici ? Et puis, que toute distance (dans la nature, en mathématiques) - valeur non négative. De plus, ici, peu importe quelle racine apparaîtra en premier dans cette différence, et laquelle en second : le module est une fonction paire et brûle un moins. Exactement la même chose qu'un carré.

Cela signifie que la réponse à la question problématique est la solution du système suivant :

Maintenant que le poivre est clair, il faut trouver les racines elles-mêmes. Ici aussi, tout est évident et transparent. Nous substituons soigneusement tous les coefficients dans notre formule générale pour les racines et calculons :

Super. Les racines ont été obtenues. Maintenant, nous commençons à prendre nos distances :

Notre distance entre les racines doit être supérieure à trois, nous devons donc maintenant résoudre cette inégalité :

L'inégalité n'est pas un cadeau : un module, une racine... Mais nous sommes déjà en train de résoudre le sérieux problème n°18 de l'examen d'État unifié ! Nous faisons tout notre possible pour simplifier au maximum l’apparence des inégalités. Ce que je n'aime pas le plus ici, c'est la fraction. La première chose que je vais faire est donc de me débarrasser du dénominateur en multipliant les deux côtés de l’inégalité par |a|. Ce Peut faire, puisque nous, premièrement, au tout début de la résolution de l'exemple, avons convenu que une ≠ 0, et deuxièmement, le module lui-même est une quantité non négative.

Alors n’hésitez pas à multiplier les deux côtés de l’inégalité par positif numéro | un|. Signe d'inégalité enregistré:

Comme ça. Nous avons désormais à notre disposition inégalité irrationnelle avec module. Il est clair que pour résoudre ce problème, nous devons nous débarrasser du module. Par conséquent, vous devrez diviser la solution en deux cas : lorsque le paramètre UN, debout sous le module, est positif et négatif quand. Malheureusement, nous n'avons aucun autre moyen de nous débarrasser du module.

Donc!

Cas 1 (une>0, |une|=une)

Dans ce cas, notre module est complété d'un plus, et l'inégalité (sans le module !) prend la forme suivante :

L'inégalité a la structure : « racine plus les fonctions". De telles inégalités irrationnelles sont résolues selon le schéma standard suivant :

Nous considérons séparément le cas a), lorsque les deux côtés de l'inégalité sont au carré et que le membre de droite est non négatif, et séparément - le cas b), lorsque le membre de droite est toujours négatif, mais que la racine elle-même est extraite. ) Et des solutions à ces deux systèmes unir.

Alors, conformément à ce schéma, notre inégalité s’écrira ainsi :

Et maintenant, vous pouvez simplifier considérablement votre travail ultérieur. Pour ce faire, rappelons que dans cas 1 nous envisageons seulementun>0 . Compte tenu de cette exigence, le deuxième système peut être complètement éliminé de la considération, puisque la deuxième inégalité qu'il contient (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 et un<0 – это два взаимно исключающих требования.

Nous simplifions notre ensemble en prenant en compte la condition principale a>0 :

Comme ça. Résolvons maintenant l’inégalité quadratique la plus courante :

Nous sommes intéressés par espace entre les racines. C'est,

Super. Nous croisons maintenant cet intervalle avec la deuxième condition du système a>0 :

Manger. Ainsi, le premier élément de réponse à notre inégalité (et pas encore tout le problème !) sera cet intervalle :

Tous. Le cas 1 est en panne. Passons au cas 2.

Cas 2 ( un< 0, | un |=- un )

Dans ce cas, notre module est complété par un moins, et l'inégalité prend la forme suivante :

Nous avons à nouveau la structure : « racine plus les fonctions". Nous utilisons notre schéma standard avec deux systèmes (voir ci-dessus) :

Compte tenu de l'exigence générale un<0 , nous procédons encore, comme dans le cas précédent, à des simplifications maximales : nous biffons le deuxième système en raison de l'incohérence des deux exigences -3a< 0 и нашего общего условия un<0 pour tout cas 2 .

Et encore une fois, nous avons réduit notre travail. Parce que nous l'avons déjà décidé en cours d'analyse cas 1 ! La solution à cette inégalité ressemblait à ceci :

Il ne reste plus qu'à croiser cet intervalle avec notre nouvelle condition a<0.

On traverse :

Voici le deuxième élément de réponse :

Au fait, comment ai-je su que zéro se trouve exactement entre nos racines irrationnelles ? Facilement! Évidemment, la bonne racine est évidemment positive. Quant à la racine gauche, j'ai juste dans mon esprit comparé un nombre irrationnel

Avec zéro. Comme ça:

Et maintenant unir les deux ont trouvé des intervalles. Car nous décidons totalité (pas système):

Le travail est terminé. Ces deux intervalles ne sont encore que solution aux inégalités

Qui a oublié, cette inégalité est responsable de la distance entre les racines de notre équation. Ce qui devrait être supérieur à 3. Mais ! Ce n'est pas encore la réponse !

Nous avons aussi une condition discriminant positif! Inégalité a>-1/2, tu te souviens ? Cela signifie que nous devons encore croiser cet ensemble avec la condition a>-1/2. En d'autres termes, maintenant nous il faut traverser deux jeux:

Mais il y a un problème. Nous nous ne savons pas, exactement comment le nombre -1/2 se trouve sur la ligne par rapport à la racine gauche (négative). Pour cela, nous devrons comparer deux nombres entre eux:

Alors maintenant, nous prenons une ébauche et commençons à comparer nos chiffres. Comme ça:

Cela signifie que la fraction -1/2 sur la droite numérique est À gauche notre racine gauche. Et l'image de la réponse finale au problème ressemblera à ceci :