Dans la section précédente, consacrée à l'analyse de la signification géométrique d'une intégrale définie, nous avons reçu un certain nombre de formules pour calculer l'aire d'un trapèze curviligne :

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur l'intervalle [ a ; b ] .

Ces formules sont applicables à la résolution de problèmes relativement simples. En réalité, nous serons souvent amenés à travailler avec des figures plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à une analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures limitées par des fonctions sous forme explicite, c'est-à-dire comme y = f(x) ou x = g(y).

Soit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur l'intervalle [ a ; b ] , et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur x de [ a ; b ] . Ensuite, la formule de calcul de l'aire de la figure G, délimitée par les lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) ressemblera à S (G) = ∫ un b f 2 (x) - f 1 (x) ré x .

Une formule similaire sera applicable pour l'aire d'une figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) ré y .

Preuve

Regardons trois cas pour lesquels la formule sera valable.

Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité de l'aire, la somme des aires de la figure originale G et du trapèze curviligne G 1 est égale à l'aire de la figure G 2. Cela signifie que

Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.

Dans le second cas, l'égalité est vraie : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ré x

L'illustration graphique ressemblera à :

Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ré x . L'illustration graphique ressemblera à :

Passons maintenant au cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.

Nous désignons les points d'intersection par x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ces points divisent le segment [a; b ] en n parties x i - 1 ; x je, je = 1, 2, . . . , n, où α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ainsi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Nous pouvons effectuer la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.

Illustrons le cas général sur le graphique.

La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.

Passons maintenant à l'analyse d'exemples de calcul de l'aire des figures limitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).

Nous commencerons notre examen de l’un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter des formes complexes comme des unions de formes plus simples. Si la construction de graphiques et de figures dessus vous pose des difficultés, vous pouvez étudier la section sur les fonctions élémentaires de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions, ainsi que la construction de graphiques tout en étudiant une fonction.

Exemple 1

Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est limitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique dans le système de coordonnées cartésiennes.

Sur le segment [ 1 ; 4 ] le graphique de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir la réponse, nous utilisons la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul de l'intégrale définie à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Réponse : S(G) = 13

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 2

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.

Solution

Dans ce cas, nous n’avons qu’une seule droite située parallèlement à l’axe des x. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite de l’intégration.

Construisons un graphique et traçons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.

Ayant le graphique sous les yeux, on peut facilement déterminer que la limite inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphique de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse on utilise les égalités :

y = x + 2 O DZ : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.

Nous attirons votre attention sur le fait que dans l'exemple général du dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler inutiles. Nous avons proposé ici une solution aussi détaillée uniquement parce que, dans des cas plus complexes, la solution peut ne pas être aussi évidente. Cela signifie qu'il est toujours préférable de calculer analytiquement les coordonnées de l'intersection des lignes.

Sur l'intervalle [ 2 ; 7] le graphique de la fonction y = x est situé au dessus du graphique de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule pour calculer la superficie :

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Réponse : S (G) = 59 6

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique.

Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en assimilant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Pour vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations, on peut se référer à la section « Résolution d'équations cubiques ».

La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; X 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Nous avons trouvé l'intervalle x ∈ 1 ; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est contenu au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la figure :

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemple 4

Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.

Solution

Traçons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x si nous le positionnons symétriquement par rapport à l'axe des x et le déplaçons d'une unité vers le haut. L'équation de l'axe des x est y = 0.

Marquons les points d'intersection des lignes.

Comme le montre la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0 ; 0). Cela se produit parce que x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.

x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2 ; 0).

x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1 . À cet égard, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation n'est peut-être pas évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, puisque la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.

L'autre solution implique plusieurs options.

Option 1

On peut imaginer la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des x, dont le premier est situé en dessous de la ligne médiane sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera égale à S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Option n°2

La figure G peut être représentée comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au-dessus de l'axe des x et en dessous de la ligne bleue sur le segment x ∈ 0 ; 2, et la seconde entre les lignes rouge et bleue sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dans ce cas, pour trouver l'aire vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la figure peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.

Résolvons les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 par rapport à x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

On obtient la surface requise :

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemple 5

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solution

Avec une ligne rouge on trace la droite définie par la fonction y = x. On trace la droite y = - 1 2 x + 4 en bleu, et la droite y = 2 3 x - 3 en noir.

Marquons les points d'intersection.

Trouvons les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :

x = - 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 non La solution de l'équation x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 est la solution de l'équation ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4

Trouvons le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :

x = 2 3 x - 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 est la solution de l'équation ⇒ (9 ; 3) point a s y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Il n'y a pas de solution à l'équation

Trouvons le point d'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3

Méthode n°1

Imaginons l'aire de la figure souhaitée comme la somme des aires des figures individuelles.

Alors l’aire de la figure est :

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Méthode n°2

L'aire de la figure originale peut être représentée comme la somme de deux autres figures.

Ensuite, nous résolvons l'équation de la droite par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquons la formule pour calculer l'aire de la figure.

y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

La zone est donc :

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ans + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 ans 2 - 7 4 ans 1 2 + - y 3 3 + 3 ans 2 4 + 9 2 ans 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Comme vous pouvez le constater, les valeurs sont les mêmes.

Réponse : S (G) = 11 3

Résultats

Pour trouver l'aire d'une figure limitée par des lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection et appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les variantes de tâches les plus courantes.

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En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, d'être capable de construire une droite et une hyperbole.

Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par un axe, des droites et le graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si un trapèze courbe est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .

Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il importe quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies.

Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

UN)

Solution.

Le premier et le plus important point de la décision est la construction du dessin.

Faisons le dessin :

L'équation y=0 définit l'axe « x » ;

- x=-2 Et x=1 - droit, parallèle à l'axe UO ;

- y=x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec le sommet au point (0;2).

Commentaire. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées, c'est-à-dire en mettant x=0 trouver l'intersection avec l'axe UO et en résolvant l'équation quadratique correspondante, trouver l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet d'une parabole peut être trouvé à l'aide des formules :

Vous pouvez également construire des lignes point par point.

Sur l'intervalle [-2;1] le graphique de la fonction y=x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf , C'est pourquoi:

Répondre: S =9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu Oh?

b) Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y=-ex , x=1 et coordonner les axes.

Solution.

Faisons un dessin.

Si un trapèze courbé entièrement situé sous l'axe Oh , alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Répondre: S=(e-1) unités carrées" 1,72 unités carrées

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

En pratique, la figure est le plus souvent située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur.

Avec) Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par des lignes y=2x-x 2, y=-x.

Solution.

Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique.

On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration une=0 , limite supérieure d'intégration b=3 .

On peut construire des lignes point par point, et les limites de l’intégration deviennent claires « d’elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre: S =4,5 unités carrées

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante – comment utiliser une intégrale définie pour calculer l'aire d'une figure plane. Enfin, ceux qui recherchent un sens aux mathématiques supérieures puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales et chaleureuses avec certaines intégrales de la page Intégrale définie. Exemples de solutions.

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, de pouvoir construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (pour beaucoup, c'est nécessaire) à l'aide de matériel méthodologique et d'un article sur les transformations géométriques des graphiques.

En fait, tout le monde est familier avec la tâche de trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas beaucoup plus loin que le programme scolaire. Cet article n'existait peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre d'une école détestée et maîtrise avec enthousiasme un cours de mathématiques supérieures.

Les supports de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze courbe.

Trapèze curviligne est une figure plate délimitée par un axe, des droites, et le graphique d'une fonction continue sur un intervalle qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction d'un dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans le document de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons le dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Je n’ombragerai pas le trapèze incurvé ; il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si un trapèze courbe est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point des différents graphiques est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il importe quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, alors

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone du mauvais chiffre a été trouvée, c'est exactement comme ça que votre humble serviteur a fait des erreurs à plusieurs reprises. Voici un cas réel :

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

...Eh, le dessin est nul, mais tout semble lisible.

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Passons à une autre tâche significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :

D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :


,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes ; les calculs ici ne sont pas les plus simples ;

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Eh bien, pour conclure la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,

Solution: Représentons cette figure dans le dessin.

Bon sang, j'ai oublié de signer le planning et, désolé, je ne voulais pas refaire la photo. Pas un jour de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point, il est nécessaire de connaître l'aspect d'une sinusoïde (et en général il est utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les trouve dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration ; elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Problème 1(à propos du calcul de l'aire d'un trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, on donne une figure (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (a par un trapèze curviligne. Il faut calculer l'aire d'un curviligne trapèze.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.

Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérons la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de même hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), où \(\Delta x_k \) est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \(\Delta x_0 \) - longueur du segment, \(\Delta x_1 \) - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Donc, \(S \approx S_n \), et cette égalité approximative est d’autant plus précise que plus n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problème 2(à propos de déplacer un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps, nous noterons cette valeur approximative par sk ;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\(s \approx S_n \) où
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Au cours d'une analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une certaine intégrale de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté dans la figure ci-dessus. C'est signification géométrique d’une intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton-Leibniz

Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?

La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; Cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
où F(x) est la primitive de f(x).

La formule donnée est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (on l'appelle parfois double remplacement) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement de trapèzes courbes, mais également de figures planes d'un type plus complexe, par exemple celle illustrée sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité \(g(x) \leq f(x) \) est satisfaite, calculée par la formule
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions