I. Volumes des corps de rotation. Étudiez au préalable le chapitre XII, paragraphes 197, 198 du manuel de G. M. Fikhtengolts * Analysez en détail les exemples donnés au paragraphe 198.

508. Calculez le volume d'un corps formé en faisant tourner une ellipse autour de l'axe Ox.

Ainsi,

530. Trouvez la surface formée par rotation autour de l'axe Ox de l'arc sinusoïdal y = sin x du point X = 0 au point X = It.

531. Calculez la surface d'un cône de hauteur h et de rayon r.

532. Calculer la surface formée

rotation de l'astroïde x3 -)- y* - a3 autour de l'axe Ox.

533. Calculez la surface formée en faisant tourner la boucle de la courbe 18 ug - x (6 - x) z autour de l'axe Ox.

534. Trouver la surface du tore produit par la rotation du cercle X2 - j - (y-3)2 = 4 autour de l'axe Ox.

535. Calculer la surface formée par la rotation du cercle X = a coût, y = asint autour de l'axe Ox.

536. Calculer la surface formée par la rotation de la boucle de la courbe x = 9t2, y = St - 9t3 autour de l'axe Ox.

537. Trouver la surface formée par la rotation de l'arc de courbe x = e*sint, y = el cost autour de l'axe Ox

de t = 0 à t = —.

538. Montrer que la surface produite par la rotation de l'arc cycloïde x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) autour de l'axe Oy est égale à 16 u2 o2.

539. Trouvez la surface obtenue en faisant tourner le cardioïde autour de l'axe polaire.

540. Trouver la surface formée par la rotation du lemniscate Autour de l'axe polaire.

Tâches supplémentaires pour le chapitre IV

Aires des figures planes

541. Trouver toute l'aire de la région délimitée par la courbe Et l'axe Ox.

542. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

543. Trouver la partie de l'aire de la région située dans le premier quadrant et délimitée par la courbe

l axes de coordonnées.

544. Trouver la superficie de la région contenue à l'intérieur

boucles:

545. Trouvez l'aire de la région délimitée par une boucle de la courbe :

546. Trouvez l'aire de la région contenue à l'intérieur de la boucle :

547. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

548. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

549. Trouver l'aire de la région délimitée par l'axe Oxr

droit et courbe

Par conséquent, je passerai immédiatement aux concepts de base et aux exemples pratiques.

Regardons l'image simple

Et rappelez-vous : que peut-on calculer en utilisant Intégrale définie?

Tout d'abord, bien sûr, aire d'un trapèze courbe. Familier depuis l’école.

Si cette figure tourne autour de l'axe des coordonnées, nous parlons alors de trouver volume d'un corps de rotation. Simple aussi.

Quoi d'autre? A été révisé il n'y a pas longtemps problème de longueur d'arc .

Et aujourd'hui, nous allons apprendre à calculer une autre caractéristique - une autre zone. Imaginez cette ligne tourne autour de l'axe. À la suite de cette action, on obtient une figure géométrique, appelée surface de rotation. Dans ce cas, cela ressemble à un pot sans fond. Et sans couvercle. Comme dirait Bourriquet, un spectacle déchirant =)

Pour éliminer toute interprétation ambiguë, je ferai une précision ennuyeuse mais importante :

d'un point de vue géométrique, notre « pot » a infiniment mince mur et deux surfaces avec des surfaces égales - externes et internes. Ainsi, tous les calculs ultérieurs impliquent l'aire seulement la surface externe.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, l'aire de la surface de révolution est calculée par la formule :

ou, de manière plus compacte : .

Les mêmes exigences sont imposées à la fonction et à sa dérivée que lors de la recherche longueur de l'arc de la courbe, mais, en plus, la courbe doit être située plus haut axes C'est significatif ! Il est facile de comprendre que si la ligne est localisée sous axe, alors l'intégrande sera négative : , et vous devrez donc ajouter un signe moins à la formule afin de préserver le sens géométrique du problème.

Regardons un chiffre injustement négligé :

Surface du tore

En un mot, le tore est un beignet. Un exemple de manuel, abordé dans presque tous les manuels sur le matan, est consacré à la recherche volume tore, et donc, par souci de variété, j'analyserai le problème plus rare de sa superficie. D'abord avec des valeurs numériques spécifiques :

Exemple 1

Calculer la surface d'un tore obtenu en faisant tourner un cercle autour de l'axe.

Solution: comme vous le savez, l'équation ensembles cercle rayon unitaire avec centre au point . Dans ce cas, il est facile d’obtenir deux fonctions :

– définit le demi-cercle supérieur ;
– définit le demi-cercle inférieur :

Le point est on ne peut plus clair : cercle tourne autour de l'axe des x et forme surface beignet. La seule chose à faire ici, afin d'éviter des réserves grossières, est d'être prudent dans la terminologie : si vous faites une rotation cercle, délimité par un cercle , alors il s'avère géométrique corps, c'est-à-dire le bagel lui-même. Et maintenant nous parlons de sa superficie surfaces, qui doit évidemment être calculé comme la somme des aires :

1) Trouvez la surface obtenue en faisant tourner l’arc « bleu » autour de l'axe des abscisses. Nous utilisons la formule . Comme je l'ai conseillé à plusieurs reprises, il est plus pratique de réaliser les actions par étapes :

Prenons la fonction et trouve-la dérivé:

Et enfin, on charge le résultat dans la formule :

Notez que dans ce cas, cela s'est avéré plus rationnel doubler l'intégrale d'une fonction paire lors de la solution, plutôt que de raisonner au préalable sur la symétrie de la figure par rapport à l'axe des ordonnées.

2) Trouvez la surface obtenue en faisant tourner l’arc « rouge » autour de l'axe des abscisses. Toutes les actions ne différeront en fait que par un seul signe. J'écrirai la solution dans un style différent, qui, bien sûr, a aussi droit à la vie :


3) Ainsi, la surface du tore est :

Répondre:

Le problème pourrait être résolu sous forme générale - calculez la surface d'un tore obtenu en faisant tourner un cercle autour de l'axe des abscisses et obtenez la réponse . Cependant, pour plus de clarté et de simplicité, j'ai effectué la solution sur des nombres précis.

Si vous devez calculer le volume du beignet lui-même, veuillez vous référer au manuel comme référence rapide :

D'après la remarque théorique, nous considérons le demi-cercle supérieur. Il est « dessiné » lorsque la valeur du paramètre change dans les limites (il est facile de voir que sur cet intervalle), donc :

Répondre:

Si vous résolvez le problème sous forme générale, vous obtiendrez exactement la formule scolaire pour l'aire d'une sphère, où est son rayon.

C'était une tâche tellement simple que j'en avais même honte... Je vous suggère de corriger ce bug =)

Exemple 4

Calculez la surface obtenue en faisant tourner le premier arc de la cycloïde autour de l'axe.

La tâche est créative. Essayez de dériver ou de deviner intuitivement la formule de calcul de la surface obtenue en faisant tourner une courbe autour de l'axe des ordonnées. Et, bien sûr, il convient de noter à nouveau l'avantage des équations paramétriques : elles n'ont pas besoin d'être modifiées d'aucune façon ; il n'est pas nécessaire de s'embêter à trouver d'autres limites d'intégration.

Le graphique cycloïde peut être consulté sur la page Superficie et volume, si la ligne est spécifiée paramétriquement. La surface de rotation ressemblera à... Je ne sais même pas à quoi la comparer... à quelque chose de surnaturel - de forme ronde avec une dépression pointue au milieu. Pour le cas de rotation d'une cycloïde autour d'un axe, une association m'est immédiatement venue à l'esprit : un ballon de rugby oblong.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Nous concluons notre passionnante revue avec le cas coordonnées polaires. Oui, juste une revue, si vous regardez des manuels d'analyse mathématique (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, autres auteurs), vous pouvez obtenir une bonne douzaine (voire bien plus) d'exemples standards, parmi lesquels vous trouverez peut-être le problème dont vous avez besoin .

Comment calculer la surface de révolution,
si la ligne est donnée dans un système de coordonnées polaires ?

Si la courbe est donnée en coordonnées polaireséquation, et la fonction a une dérivée continue sur un intervalle donné, alors la surface obtenue en faisant tourner cette courbe autour de l'axe polaire est calculée par la formule , où sont les valeurs angulaires correspondant aux extrémités de la courbe.

Conformément à la signification géométrique du problème, la fonction intégrande , et ceci n'est réalisé que sous la condition (et est évidemment non négatif). Par conséquent, il est nécessaire de considérer les valeurs d'angle de la plage , en d'autres termes, la courbe doit être située plus haut axe polaire et sa continuation. Comme vous pouvez le constater, c'est la même histoire que dans les deux paragraphes précédents.

Exemple 5

Calculez la surface formée en faisant tourner le cardioïde autour de l’axe polaire.

Solution: le graphique de cette courbe est visible dans l'exemple 6 de la leçon sur système de coordonnées polaires. La cardioïde est symétrique par rapport à l'axe polaire, on considère donc sa moitié supérieure dans l'intervalle (ce qui, en fait, est dû à la remarque ci-dessus).

La surface de rotation ressemblera à une cible.

La technique de résolution est standard. Trouvons la dérivée par rapport à "phi" :

Composons et simplifions la racine :

J'espère avec régularité

Surface de révolution- une surface formée par rotation autour d'une droite (axe de la surface) d'une ligne arbitraire (droite, plate ou courbe spatiale). Par exemple, si une ligne droite coupe l'axe de rotation, alors lorsqu'elle tourne, on obtiendra une surface conique si elle est parallèle à l'axe, elle sera cylindrique si elle coupe l'axe, un hyperboloïde à feuille unique ; la révolution sera obtenue. La même surface peut être obtenue en faisant tourner une grande variété de courbes. L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe plane de longueur finie autour d'un axe situé dans le plan de la courbe mais ne coupant pas la courbe est égale au produit de la longueur de la courbe et de la longueur de un cercle de rayon égal à la distance de l'axe au centre de masse de la courbe. Cette affirmation est appelée deuxième théorème de Gylden, ou théorème du centroïde de Pappus.

L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe autour d'un axe peut être calculée à l'aide de la formule

Pour le cas où la courbe est spécifiée dans le système de coordonnées polaires, la formule est valable

Applications mécaniques de l'intégrale définie (travail des forces, moments statiques, centre de gravité).

Calcul du travail des forces

Un point matériel se déplace le long d’une courbe continuellement différentiable, tandis qu’il est soumis à une force dirigée tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement. Travail total effectué par la force F(s) :

Si la position d'un point sur la trajectoire du mouvement est décrite par un autre paramètre, alors la formule prend la forme :

Calcul des moments statiques et du centre de gravité
Supposons que sur le plan de coordonnées Oxy une masse M soit distribuée avec une densité p = p(y) sur un certain ensemble de points S (cela peut être un arc de courbe ou une figure plate délimitée). Notons s(y) - la mesure de l'ensemble spécifié (longueur ou surface de l'arc).

Définition 2. Nombre est appelé le kième moment de masse M par rapport à l'axe Ox.
À k = 0 M 0 = M - masse,
k = 1 M 1 - moment statique,
k = 2 M 2 - moment d'inertie.

Les moments autour de l’axe Oy sont introduits de la même manière. Dans l'espace, les notions de moments de masse par rapport aux plans de coordonnées sont introduites de la même manière.
Si p = 1, alors les moments correspondants sont dits géométriques. Les coordonnées du centre de gravité d'une figure plate homogène (p - const) sont déterminées par les formules :

où M 1 y, M 1 x sont les moments géométriques statiques de la figure par rapport aux axes Oy et Ox ; S est l'aire de la figure.

Cette formule est appelée formule du volume d'un corps par l'aire des sections parallèles.

Exemple. Trouver le volume de l'ellipsoïde x 2 + y 2 + z 2 = 1. une 2b 2c 2

En coupant l'ellipsoïde avec un plan parallèle au plan Oyz et à des distances de celui-ci (-а ≤х ≤а), on obtient une ellipse (voir Fig. 15) :

L'aire de cette ellipse est

Par conséquent, d’après la formule (16), nous avons

Calculer la surface de révolution

Soit la courbe AB un graphique de la fonction y = f (x) ≥ 0, où x [a,b], une fonction y = f (x) et sa dérivée y" = f" (x) sont continues sur cette segment.

Alors l'aire S de la surface formée par la rotation de la courbe AB autour de l'axe Ox est calculée par la formule

Si la courbe AB est donnée par les équations paramétriques х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, alors la formule de la surface de rotation prend la forme

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Exemple Trouver la surface d'une boule de rayon R. Solution :

On peut supposer que la surface de la balle est formée par la rotation du demi-cercle y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, autour de l'axe Ox. En utilisant la formule (19) on trouve

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Exemple. Étant donné une cycloïde x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− coût) ,

Trouvez la surface formée en la faisant pivoter autour de l’axe Ox. Solution:

Lorsque la moitié de l'arc cycloïde tourne autour de l'axe Ox, la surface de rotation est égale à

Calcul de la longueur de l'arc d'une courbe plane

Coordonnées rectangulaires

Soit un arc, lorsque le nombre de maillons de la ligne brisée augmente indéfiniment et que la longueur des plus grandes coordonnées rectangulaires reçoit une courbe plate AB, dont l'équation est y = f(x), où a ≤ x≤ b .

La longueur de l'arc AB s'entend comme la limite vers laquelle tend vers zéro la longueur de la ligne brisée inscrite dans ce lien. Montrons que si la fonction y = f(x) et sa dérivée y′ = f′ (x) sont continues sur le segment [a ,b ], alors la courbe AB a une longueur égale à

Si l'équation de la courbe AB est donnée sous forme paramétrique

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

où x (t) et y (t) sont des fonctions continues à dérivées continues et x (α) = a, x (β) = b, alors la longueur l de la courbe AB est trouvée par la formule

Cela signifie l = 2π R. Si l'équation d'un cercle s'écrit sous la forme paramétrique = R coût, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), alors

Coordonnées polaires

Soit la courbe AB donnée par l'équation en coordonnées polaires r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Supposons que r (ϕ ) et r" (ϕ ) soient continus sur l'intervalle [α , β ].

Si dans les égalités x = r cosϕ, y = r sinϕ, reliant les coordonnées polaires et cartésiennes,

l'angle ϕ est considéré comme un paramètre, alors la courbe AB peut être paramétrée x = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

En appliquant la formule (15), nous obtenons l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Exemple Trouvez la longueur de la cardioïde r =a (1 + cosϕ ). Solution:

La cardioïde r = a (1 + cosϕ) a la forme représentée sur la figure 14. Elle est symétrique par rapport à l'axe polaire. Trouvons la moitié de la longueur du cardioïde :

Ainsi, 1 2 l = 4 a. Cela signifie l = 8a.

Salutations, chers étudiants de l'Université d'Argemona !

Aujourd'hui, nous allons continuer à apprendre à matérialiser des objets. La dernière fois, nous avons fait pivoter des figures plates et obtenu des corps volumétriques. Certains d’entre eux sont très tentants et utiles. Je pense qu’une grande partie de ce qu’invente un magicien pourra être utilisée à l’avenir.

Aujourd'hui, nous allons faire pivoter les courbes. Il est clair que de cette façon nous pouvons obtenir un objet avec des bords très fins (un cône ou une bouteille pour les potions, un vase à fleurs, un verre pour les boissons, etc.), car une courbe tournante peut créer exactement ce genre d'objets. En d’autres termes, en faisant tourner la courbe, nous pouvons obtenir une sorte de surface – fermée de tous les côtés ou non. Pourquoi en ce moment je me souvenais de la tasse qui fuyait dans laquelle Sir Shurf Lonley-Lokley buvait toujours.

Nous allons donc créer un bol avec des trous et un bol sans trous, et calculer l'aire de​​la surface créée. Je pense que (la surface en général) sera nécessaire pour quelque chose - enfin, au moins pour appliquer une peinture magique spéciale. D'un autre côté, les zones d'artefacts magiques peuvent être nécessaires pour calculer les forces magiques qui leur sont appliquées ou autre chose. Nous apprendrons à le trouver et nous trouverons où l’appliquer.

Ainsi, un morceau de parabole peut nous donner la forme d’un bol. Prenons le y=x 2 le plus simple sur l'intervalle. On peut voir que lorsque vous le faites pivoter autour de l’axe OY, vous obtenez juste un bol. Pas de fond.

Le sort pour calculer la surface de rotation est le suivant :

Ici |y| est la distance entre l'axe de rotation et n'importe quel point de la courbe qui tourne. Comme vous le savez, la distance est une perpendiculaire.
Un peu plus difficile avec le deuxième élément du sort : ds est l'arc différentiel. Ces mots ne nous donnent rien, alors ne nous embêtons pas, mais passons au langage des formules, où cette différentielle se présente clairement pour tous les cas que nous connaissons :
- Système de coordonnées cartésiennes;
- enregistrer la courbe sous forme paramétrique ;
- système de coordonnées polaires.

Pour notre cas, la distance entre l’axe de rotation et n’importe quel point de la courbe est x. Nous calculons la surface du bol troué obtenu :

Pour réaliser un bol avec un fond, il faut prendre un autre morceau, mais avec une courbe différente : sur l'intervalle c'est la droite y=1.

Il est clair que lorsqu'il tourne autour de l'axe OY, le fond du bol aura la forme d'un cercle de rayon unité. Et nous savons comment l'aire d'un cercle est calculée (en utilisant la formule pi*r^2. Pour notre cas, l'aire du cercle sera égale à pi), mais calculons-la en utilisant une nouvelle formule - vérifier.
La distance de l'axe de rotation à n'importe quel point de cette partie de la courbe est également égale à x.

Eh bien, nos calculs sont corrects, ce qui est une bonne nouvelle.

Et maintenant devoirs.

1. Trouvez la surface obtenue en faisant tourner la ligne brisée ABC, où A=(1 ; 5), B=(1 ; 2), C=(6; 2), autour de l’axe OX.
Conseil. Notez tous les segments sous forme paramétrique.
AB : x=1, y=t, 2≤t≤5
BC : x=t, y=2, 1≤t≤6
Au fait, à quoi ressemble l’élément obtenu ?

2. Eh bien, trouvez maintenant quelque chose vous-même. Je pense que trois éléments suffiront.