Trouver toutes les valeurs de a, pour chacune desquelles le système d'équations
a exactement deux solutions.
Solution.
Écrivons la 1ère équation du système sous la forme : x 2 + 5x + y 2 -y -52 = |x-5y +5|. (*)
1) Depuis partie droite l'égalité est non négative, alors le côté gauche de l'égalité doit l'être, à savoir : x 2 + 5x + y 2 -y-52 ≥ 0. Choisissons parmi sommes algébriques(x 2 + 5x) et (y 2 - y) carrés parfaits des binômes.
x2 + 2 ∙ X ∙ 2,5 + 2,5 2 -2,5 2 + y 2 -2∙y∙0,5 + 0,5 2 -0,5 2 -52 ≥ 0 ;
(x2 + 2 ∙ X ∙ 2,5 + 2,5 2) + (oui 2 -2 ∙ oui ∙ 0,5 + 0,5 2) ≥ 52 + 2,5 2 + 0,5 2 ;
(x + 2,5) 2 + (y-0,5) 2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25 ;
(x + 2,5) 2 + (y-0,5) 2 ≥ 58,5. ODZ: les solutions du système sont trouvées parmi l'ensemble des points situés à l'extérieur du cercle de centre au point Q(-2,5, 0,5) et de rayon
2) Développons les parenthèses modulaires dans l'équation (*), en supposant que l'expression sous le signe du module est non négative, c'est-à-dire x-5y +5 ≥ 0 ou 5y ≤ x + 5, donc y ≤ 0,2x+1. Alors l’égalité (*) s’écrira :
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = x-5y +5. Déplaçons tout vers côté gauche et simplifions-le.
x 2 + 5x + y 2 -y-52-x + 5y-5 = 0 ;
x 2 + 4x + y 2 + 4y-57 = 0. Sélectionnons les carrés complets des binômes à partir des sommes algébriques (x 2 + 4x) et (y 2 + 4y).
x 2 + 4x + 4-4 + y 2 + 4y +4-4-57 = 0 ;
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 + 4y +4) = 57 + 4 + 4 ;
(x + 2) 2 + (y + 2) 2 = 65. C'est l'équation d'un cercle de centre au point O 1 (-2 ; -2) et de rayon
Nous ne considérerons que les points de ce cercle qui se situent en dessous de la droite x-5y +5 = 0, puisque nous avons obtenu l'équation de ce cercle à la condition que x-5y +5 ≥ 0, c'est-à-dire à y ≤ 0,2x+1. Notez que tous les points de ce cercle situés en dessous de la droite x-5y +5 = 0 sont situés à l'extérieur du cercle dont le centre est le pointQ(-2,5 ; 0,5), satisfont donc l’ODZ.
3) Ouvrons maintenant les parenthèses modulaires dans l'équation (*), en supposant que l'expression sous le signe du module est négative, c'est-à-dire x-5y +5< 0 или 5у >x + 5, donc y>0,2x+1. Alors l’égalité (*) s’écrira :
x 2 + 5x + y 2 -y-52 = -x + 5y +5. Déplaçons tout vers la gauche et simplifions-le.
x 2 + 5x + y 2 -y-52 + x-5y + 5 = 0 ;
x 2 + 6x + y 2 -6y-47 = 0. Sélectionnons les carrés complets des binômes à partir des sommes algébriques (x 2 + 6x) et (y 2 -6y).
x 2 + 6x + 9-9 + y 2 -6y + 9-9-47 = 0 ;
(x 2 + 6x + 9) + (y 2 -6y +9) = 47 + 9 + 9 ;
(x + 3) 2 + (y-3) 2 = 65. C'est l'équation d'un cercle de centre au point O 2 (-3 ; 3) et de rayon
Nous ne considérerons que les points de ce cercle qui se situent au dessus de la droite x-5y +5 = 0, puisque nous avons obtenu l'équation de ce cercle sous la condition x-5y +5< 0, т.е. при условии у >0,2x+1. Notez que tous les points de ce cercle situés au-dessus de la droite x-5y +5 = 0 sont situés à l'extérieur du cercle de centre au pointQ(-2,5 ; 0,5), ils satisfont donc à l’ODZ.
4) Trouvez les points d'intersection des cercles de centres aux points O 1 et O 2. Ce sont aussi les points d'intersection de l'un de ces cercles avec la droite x-5y +5 = 0. Pour être précis, prenons l'équation du premier des cercles et résolvons le système :
À partir de la 2ème équation, nous exprimons x via y et le substituons dans la 1ère équation.
Simplifions et résolvons la 2ème équation du système résultant.
(5 ans-3) 2 + (oui + 2) 2 = 65 ;
25 ans 2 -30 ans + 9 + oui 2 +4 ans + 4-65 = 0 ;
26 ans 2 -26 ans-52 = 0 ;
y 2 -y-2 = 0. D'après le théorème de Vieta, y 1 + y 2 = 1, y 1 ∙ oui 2 = -2. D'où y 1 = -1, y 2 = 2.
Alors x 1 = 5 ∙ oui 1 -5 = 5 ∙ (-1)-5 = -10 ; x2 = 5 ∙ oui 2 -5 = 5 ∙ 2-5 = 2.
Les points d'intersection des cercles de centres O 1 et O 2 se trouvent sur la droite x-5y +5 = 0, et ce sont les points T (-10 ; -1) et A (5 ; 2).
5) Voyons ce qu’est la droite y-2 = a(x-5). Écrivons cette équation sous la forme y = a(x-5) + 2 et rappelons-nous comment cela se passe graphique d'une fonctionoui = F(X-m) + nà partir du graphique d'une fonctionoui = F(X). Il est obtenu en transférant le graphique de la fonctionoui = F(X) surmsegments uniques le long de l'axe Ox et surnsegments uniques le long de l’axe Oy. Par conséquent, le graphique de la fonction y = a(x-5) + 2 peut être obtenu à partir du graphique de la fonction y = ax en déplaçant 5 unités vers la droite et 2 unités vers le haut. Autrement dit, la droite passera par le point A(5; 2) et devra avoir la pente suivante UN, pour couper nos cercles de centres aux points O 1 et O 2 en exactement deux points. Cela n'arrivera que dans les cas où la droite, passant par le point A, commun aux deux cercles, ne coupera alors qu'un seul d'entre eux. Les positions limites de notre droite (avec le paramètre UN) seront tangentes aux cercles au point A. Nous n'aurons pas besoin des équations des tangentes elles-mêmes, mais de leurs pistes. Comment allons-nous les obtenir ?
6) Le rayon O 1 A tracé jusqu'au point de contact sera perpendiculaire à la tangente. Coefficients d'anglek 1 Etk 2 deux lignes perpendiculaires entre ellesoui = k 1 X+ b 1 Etoui = k 2 X+ b 2 obéi à la loi:k 1 ∙ k 2 = -1. Composons les équations de la droite O 1 A et de la droite O 2 A, déterminons le coefficient angulaire de chaque droite, puis trouvons les coefficients angulaires des tangentes, qui sont les positions limites de la droite y = a(x -5) + 2. L'écart entre les valeurs trouvées du paramètre UN et sera la réponse au problème.
Nous utilisons la formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés (x 1 ; y 1) et (x 2 ; y 2). Cette formule ressemble à :
Créons une équation pour une droite passant par les points O 1 (-2; -2) et A (5; 2). Nous avons x 1 = -2, y 1 = -2, x 2 = 5, y 2 = 2. Remplacez ces valeurs dans la formule :
Ainsi, l'équation de la tangente au point A à un cercle de centre au point O 1 a la forme.
1. Tâche.
À quelles valeurs de paramètre un l'équation ( un - 1)X 2 + 2X + un- Est-ce que 1 = 0 a exactement une racine ?
1. Solutions.
À un= 1 l'équation est 2 X= 0 et a évidemment une seule racine X= 0. Si un N°1 alors équation donnée est carré et a une racine unique pour les valeurs de paramètres pour lesquelles le discriminant trinôme quadratique égal à zéro. En assimilant le discriminant à zéro, on obtient une équation pour le paramètre un
4un 2 - 8un= 0, d'où un= 0 ou un = 2.
1. Réponse : l'équation a une seule racine en un O (0 ; 1 ; 2).
2. Tâche.
Rechercher toutes les valeurs des paramètres un, pour laquelle l'équation a deux racines différentes X 2 +4hache+8un+3 = 0.
2. Solutions.
L'équation X 2 +4hache+8un+3 = 0 a deux racines distinctes si et seulement si D =
16un 2 -4(8un+3) > 0. On obtient (après réduction par un facteur commun à 4) 4 un 2 -8un-3 > 0, d'où
2. Réponse :
| un O (-Ґ ; 1 – | Ts 7 2 |
) ET (1 + | Ts 7 2 |
; Ґ ). |
3. Tâche.
Il est connu que
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Représenter graphiquement la fonction F 1 (X) à un = 1.
b) A quelle valeur un graphiques de fonctions F 1 (X) Et F 2 (X) ont un seul point commun ?
3. Solutions.
3.a. Transformons-nous F 1 (X) de la manière suivante
Le graphique de cette fonction à un= 1 est indiqué dans la figure de droite.
3.b. Notons immédiatement que les graphiques de fonctions oui =
kx+b Et oui = hache 2 +bx+c
(un n° 0) se coupent en un seul point si et seulement si l'équation quadratique kx+b =
hache 2 +bx+c a une seule racine. Utiliser la vue F 1 de 3.a, égalisons le discriminant de l'équation un = 6X-X 2 -6 à zéro. De l'équation 36-24-4 un= 0 on obtient un= 3. Faites de même avec l'équation 2 X-un = 6X-X 2 -6 nous trouverons un= 2. Il est facile de vérifier que ces valeurs de paramètres satisfont aux conditions du problème. Répondre: un= 2 ou un = 3.
4. Tâche.
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel l'ensemble des solutions à l'inégalité X 2 -2hache-3un i 0 contient le segment .
4. Solutions.
Première coordonnée du sommet de la parabole F(X) =
X 2 -2hache-3unégal à X 0 =
un. À partir des propriétés fonction quadratique condition F(X) і 0 sur le segment équivaut à un ensemble de trois systèmes
a exactement deux solutions ?
5. Solutions.
Réécrivons cette équation sous la forme X 2 + (2un-2)X - 3un+7 = 0. C'est une équation quadratique, elle a exactement deux solutions si son discriminant est strictement Au dessus de zéro. En calculant le discriminant, nous constatons que la condition pour la présence d'exactement deux racines est la réalisation de l'inégalité un 2 +un-6 > 0. En résolvant l'inégalité, on trouve un < -3 или un> 2. La première des inégalités est évidemment celle des solutions en nombres naturels n'a pas, et la plus petite solution naturelle à la seconde est le chiffre 3.
5. Réponse : 3.
6. Problème (10 clés)
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel le graphe de la fonction ou, après transformations évidentes, un-2 = |
2-un| . La dernière équation est équivalente à l'inégalité un je 2.
6. Réponse : unÀ PROPOS )
