Équations différentielles linéaires inhomogènes. Équations différentielles inhomogènes du second ordre

Principes fondamentaux de la résolution d'équations différentielles inhomogènes linéaires du second ordre (LNDE-2) à coefficients constants (PC)

Un LDDE de 2ème ordre avec des coefficients constants $p$ et $q$ a la forme $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, où $f\left(x \right)$ est une fonction continue.

Concernant LNDU 2 avec PC, les deux affirmations suivantes sont vraies.

Supposons qu'une fonction $U$ soit une solution partielle arbitraire d'une équation différentielle inhomogène. Supposons également qu'une fonction $Y$ est la solution générale (GS) de l'équation différentielle homogène linéaire (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Alors le GR de LHDE-2 est égal à la somme des solutions privées et générales indiquées, c'est-à-dire $y=U+Y$.

Si le membre droit d'un LMDE de 2ème ordre est une somme de fonctions, c'est-à-dire $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, alors nous pouvons d'abord trouver les PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ qui correspondent. à chacune des fonctions $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, et après cela écrivez le CR LNDU-2 sous la forme $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solution de LPDE 2ème ordre avec PC

Il est évident que le type de l'un ou l'autre PD $U$ d'un LNDU-2 donné dépend de la forme spécifique de son côté droit $f\left(x\right)$. Les cas les plus simples de recherche de PD LNDU-2 sont formulés sous la forme des quatre règles suivantes.

Règle 1.

Le côté droit de LNDU-2 a la forme $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, où $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, c'est-à-dire qu'on l'appelle un polynôme de degré $n$. Ensuite son PD $U$ est recherché sous la forme $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, où $Q_(n) \left(x\right)$ est un autre polynôme de même degré que $P_(n) \left(x\right)$, et $r$ est le nombre de racines de l'équation caractéristique du LODE-2 correspondant qui sont égales à zéro. Les coefficients du polynôme $Q_(n) \left(x\right)$ sont trouvés par la méthode des coefficients indéfinis (UK).

Règle n°2.

Le côté droit de LNDU-2 a la forme $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, où $P_(n) \left( x\right)$ est un polynôme de degré $n$. Ensuite son PD $U$ est recherché sous la forme $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, où $Q_(n ) \ left(x\right)$ est un autre polynôme du même degré que $P_(n) \left(x\right)$, et $r$ est le nombre de racines de l'équation caractéristique du LODE-2 correspondant égal à $\alpha $. Les coefficients du polynôme $Q_(n) \left(x\right)$ sont trouvés par la méthode NC.

Règle n°3.

Le côté droit de LNDU-2 a la forme $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, où $a$, $b$ et $\beta$ sont des nombres connus. Puis son PD $U$ est recherché sous la forme $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, où $A$ et $B$ sont des coefficients inconnus, et $r$ est le nombre de racines de l'équation caractéristique du LODE-2 correspondant, égal à $i\cdot \bêta $. Les coefficients $A$ et $B$ sont trouvés par la méthode non destructive.

Règle n°4.

Le côté droit de LNDU-2 a la forme $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, où $P_(n) \left(x\right)$ est un polynôme de degré $ n$, et $P_(m) \left(x\right)$ est un polynôme de degré $m$. Ensuite son PD $U$ est recherché sous la forme $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, où $Q_(s) \left(x\right)$ et $ R_(s) \left(x\right)$ sont des polynômes de degré $s$, le nombre $s$ est le maximum de deux nombres $n$ et $m$, et $r$ est le nombre de racines de l'équation caractéristique du LODE-2 correspondant, égale à $\alpha +i\cdot \beta $. Les coefficients des polynômes $Q_(s) \left(x\right)$ et $R_(s) \left(x\right)$ sont trouvés par la méthode NC.

La méthode NK consiste à appliquer la règle suivante. Afin de trouver les coefficients inconnus du polynôme qui font partie de la solution partielle de l'équation différentielle inhomogène LNDU-2, il faut :

• remplacez le PD $U$, écrit sous forme générale, dans le côté gauche du LNDU-2 ;
• sur le côté gauche du LNDU-2, effectuez des simplifications et regroupez les termes avec les mêmes puissances $x$ ;
• dans l'identité résultante, assimiler les coefficients des termes avec les mêmes puissances $x$ des côtés gauche et droit ;
• résoudre le système résultant d’équations linéaires pour des coefficients inconnus.

Exemple 1

Tâche : rechercher OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Rechercher également PD , satisfaisant les conditions initiales $y=6$ pour $x=0$ et $y"=1$ pour $x=0$.

Nous notons le LOD-2 correspondant : $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Équation caractéristique : $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Les racines de l'équation caractéristique sont : $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ces racines sont valides et distinctes. Ainsi, le OU du LODE-2 correspondant a la forme : $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Le côté droit de ce LNDU-2 a la forme $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Il faut considérer le coefficient de l'exposant $\alpha =3$. Ce coefficient ne coïncide avec aucune des racines de l'équation caractéristique. Par conséquent, le PD de ce LNDU-2 a la forme $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Nous rechercherons les coefficients $A$, $B$ en utilisant la méthode NC.

On retrouve la dérivée première de la République Tchèque :

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

On retrouve la dérivée seconde de la République tchèque :

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Nous substituons les fonctions $U""$, $U"$ et $U$ au lieu de $y""$, $y"$ et $y$ dans le NLDE-2 $y""-3\cdot y" donné -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ De plus, puisque l'exposant $e^(3\cdot x) $ est inclus comme facteur. dans tous les composants, alors il peut être omis.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right) -18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Nous effectuons les actions du côté gauche de l'égalité résultante :

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Nous utilisons la méthode CND. On obtient un système d'équations linéaires à deux inconnues :

$-18\cdot A=36;$

3 $\cdot A-18\cdot B=12.$

La solution de ce système est : $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pour notre problème ressemble à ceci : $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Le OU $y=Y+U$ de notre problème ressemble à ceci : $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \gauche(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Afin de rechercher un PD qui satisfait aux conditions initiales données, on trouve la dérivée $y"$ de l'OP :

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

On substitue dans $y$ et $y"$ les conditions initiales $y=6$ pour $x=0$ et $y"=1$ pour $x=0$ :

$6=C_(1) +C_(2) -1 ; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Nous avons reçu un système d'équations :

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Résolvons-le. Nous trouvons $C_(1) $ en utilisant la formule de Cramer, et $C_(2) $ nous déterminons à partir de la première équation :

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ commencer(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Ainsi, le PD de cette équation différentielle a la forme : $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département de mathématiques supérieures

Des lignes directrices

étudier le thème «Équations différentielles linéaires du second ordre» par les étudiants de la faculté de comptabilité d'enseignement par correspondance (NISPO)

Gorki, 2013

Équations différentielles linéaires

deuxième ordre avec constantescoefficients

Équations différentielles homogènes linéaires

Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme

ceux. une équation qui contient la fonction souhaitée et ses dérivées uniquement au premier degré et ne contient pas leurs produits. Dans cette équation Et
- quelques chiffres et une fonction
donné à un certain intervalle
.

Si
sur l'intervalle
, alors l'équation (1) prendra la forme

, (2)

et s'appelle linéaire homogène . Sinon, l'équation (1) est appelée linéaire inhomogène .

Considérons la fonction complexe

, (3)

Où
Et
- de vraies fonctions. Si la fonction (3) est une solution complexe de l'équation (2), alors la partie réelle
, et la partie imaginaire
solutions
sont séparément des solutions de la même équation homogène. Ainsi, toute solution complexe à l’équation (2) génère deux solutions réelles à cette équation.

Les solutions d'une équation linéaire homogène ont les propriétés suivantes :

Si est une solution à l'équation (2), alors la fonction
, Où AVEC– une constante arbitraire sera également une solution à l'équation (2) ;

Si Et il y a des solutions à l'équation (2), alors la fonction
sera également une solution à l'équation (2);

Si Et il existe des solutions à l'équation (2), puis leur combinaison linéaire
sera également une solution à l'équation (2), où Et
– des constantes arbitraires.

Les fonctions
Et
sont appelés linéairement dépendant sur l'intervalle
, si de tels chiffres existent Et
, non égal à zéro en même temps, que sur cet intervalle l'égalité

Si l'égalité (4) se produit uniquement lorsque
Et
, alors les fonctions
Et
sont appelés linéairement indépendant sur l'intervalle
.

Exemple 1 . Les fonctions
Et
sont linéairement dépendants, puisque
sur toute la droite numérique. Dans cet exemple
.

Exemple 2 . Les fonctions
Et
sont linéairement indépendants sur tout intervalle, puisque l'égalité
n'est possible que dans le cas où
, Et
.

Construction d'une solution générale à un homogène linéaire

équations

Afin de trouver une solution générale à l’équation (2), vous devez trouver deux de ses solutions linéairement indépendantes Et . Combinaison linéaire de ces solutions
, Où Et
sont des constantes arbitraires et donneront une solution générale à une équation linéaire homogène.

Nous chercherons des solutions linéairement indépendantes à l’équation (2) sous la forme

, (5)

Où – un certain nombre. Alors
,
. Remplaçons ces expressions dans l'équation (2) :

ou
.

Parce que
, Que
. Donc la fonction
sera une solution à l’équation (2) si satisfera l'équation

. (6)

L'équation (6) est appelée équation caractéristique pour l’équation (2). Cette équation est une équation quadratique algébrique.

Laisser Et il y a des racines de cette équation. Ils peuvent être soit réels et différents, soit complexes, soit réels et égaux. Considérons ces cas.

Laisse les racines Et les équations caractéristiques sont réelles et distinctes. Alors les solutions de l'équation (2) seront les fonctions
Et
. Ces solutions sont linéairement indépendantes, puisque l'égalité
ne peut être effectué que lorsque
, Et
. Par conséquent, la solution générale de l’équation (2) a la forme

,

Où Et
- des constantes arbitraires.

Exemple 3
.

Solution . L'équation caractéristique de ce différentiel sera
. Après avoir résolu cette équation quadratique, on trouve ses racines
Et
. Les fonctions
Et
sont des solutions à l’équation différentielle. La solution générale de cette équation est
.

Nombre complexe appelé une expression de la forme
, Où Et sont des nombres réels, et
appelée unité imaginaire. Si
, puis le numéro
est appelé purement imaginaire. Si
, puis le numéro
est identifié par un numéro réel .

Nombre s'appelle la partie réelle d'un nombre complexe, et - partie imaginaire. Si deux nombres complexes ne diffèrent l'un de l'autre que par le signe de la partie imaginaire, alors ils sont appelés conjugués :
,
.

Exemple 4 . Résoudre l'équation quadratique
.

Solution . Équation discriminante
. Alors. De même,
. Ainsi, cette équation quadratique a des racines complexes conjuguées.

Soit les racines de l'équation caractéristique complexes, c'est-à-dire
,
, Où
. Les solutions de l'équation (2) peuvent s'écrire sous la forme
,
ou
,
. D'après les formules d'Euler

,
.

Alors ,. Comme on le sait, si une fonction complexe est une solution d'une équation linéaire homogène, alors les solutions de cette équation sont à la fois les parties réelles et imaginaires de cette fonction. Ainsi, les solutions de l'équation (2) seront les fonctions
Et
. Depuis l'égalité

ne peut être exécuté que si
Et
, alors ces solutions sont linéairement indépendantes. Par conséquent, la solution générale de l’équation (2) a la forme

Où Et
- des constantes arbitraires.

Exemple 5 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . L'équation
est caractéristique d’un différentiel donné. Résolvons-le et obtenons des racines complexes
,
. Les fonctions
Et
sont des solutions linéairement indépendantes de l’équation différentielle. La solution générale de cette équation est :

Laissez les racines de l'équation caractéristique être réelles et égales, c'est-à-dire
. Alors les solutions de l'équation (2) sont les fonctions
Et
. Ces solutions sont linéairement indépendantes, puisque l'expression ne peut être identiquement égale à zéro que lorsque
Et
. Par conséquent, la solution générale de l’équation (2) a la forme
.

Exemple 6 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . Équation caractéristique
a des racines égales
. Dans ce cas, les solutions linéairement indépendantes de l’équation différentielle sont les fonctions
Et
. La solution générale a la forme
.

Équations différentielles linéaires inhomogènes du second ordre à coefficients constants

et le côté droit spécial

La solution générale de l'équation inhomogène linéaire (1) est égale à la somme de la solution générale
l'équation homogène correspondante et toute solution particulière
équation inhomogène :
.

Dans certains cas, une solution particulière à une équation inhomogène peut être trouvée tout simplement par la forme du membre de droite
équation (1). Regardons les cas où cela est possible.

ceux. le côté droit de l'équation inhomogène est un polynôme de degré m. Si
n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors une solution particulière à l'équation inhomogène doit être recherchée sous la forme d'un polynôme de degré m, c'est à dire.

Chances
sont déterminés dans le processus de recherche d’une solution particulière.

Si
est la racine de l'équation caractéristique, alors une solution particulière à l'équation inhomogène doit être recherchée sous la forme

Exemple 7 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . L'équation homogène correspondante pour cette équation est
. Son équation caractéristique
a des racines
Et
. La solution générale de l’équation homogène a la forme
.

Parce que
n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors on cherchera une solution particulière de l'équation inhomogène sous la forme d'une fonction
. Trouvons les dérivées de cette fonction
,
et remplacez-les dans cette équation :

ou . Égalisons les coefficients pour et membres gratuits :
Après avoir résolu ce système, on obtient
,
. Alors une solution particulière de l’équation inhomogène a la forme
, et la solution générale d'une équation inhomogène donnée sera la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et de la solution particulière de l'équation inhomogène :
.

Soit l'équation inhomogène de la forme

Si
n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors une solution particulière à l'équation inhomogène doit être recherchée dans la forme. Si
est la racine de l'équation de multiplicité caractéristique k (k=1 ou k=2), alors dans ce cas une solution particulière de l’équation inhomogène aura la forme .

Exemple 8 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . L'équation caractéristique de l'équation homogène correspondante a la forme
. Ses racines
,
. Dans ce cas, la solution générale de l'équation homogène correspondante s'écrit sous la forme
.

Puisque le nombre 3 n’est pas une racine de l’équation caractéristique, une solution particulière à l’équation inhomogène doit être recherchée sous la forme
. Trouvons les dérivées du premier et du deuxième ordre :

Remplaçons dans l'équation différentielle :
+ +,
+,.

Égalisons les coefficients pour et membres gratuits :

D'ici
,
. Alors une solution particulière à cette équation a la forme
, et la solution générale

.

Méthode de Lagrange de variation de constantes arbitraires

La méthode de variation de constantes arbitraires peut être appliquée à toute équation linéaire inhomogène à coefficients constants, quel que soit le type de membre droit. Cette méthode permet de toujours trouver une solution générale à une équation inhomogène si la solution générale de l'équation homogène correspondante est connue.

Laisser
Et
sont des solutions linéairement indépendantes de l’équation (2). Alors la solution générale de cette équation est
, Où Et
- des constantes arbitraires. L'essence de la méthode de variation des constantes arbitraires est que la solution générale de l'équation (1) est recherchée sous la forme

Où
Et
- de nouvelles fonctions inconnues à trouver. Puisqu’il existe deux fonctions inconnues, pour les trouver, il faut deux équations contenant ces fonctions. Ces deux équations constituent le système

qui est un système algébrique linéaire d’équations par rapport à
Et
. En résolvant ce système, on trouve
Et
. En intégrant les deux côtés des égalités obtenues, on trouve

Et
.

En substituant ces expressions dans (9), nous obtenons une solution générale de l'équation linéaire inhomogène (1).

Exemple 9 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution. L'équation caractéristique de l'équation homogène correspondant à une équation différentielle donnée est
. Ses racines sont complexes
,
. Parce que
Et
, Que
,
, et la solution générale de l'équation homogène a la forme. Nous chercherons ensuite une solution générale à cette équation inhomogène sous la forme où
Et
- fonctions inconnues.

Le système d'équations pour trouver ces fonctions inconnues a la forme

Après avoir résolu ce système, nous trouvons
,
. Alors

,
. Remplaçons les expressions résultantes dans la formule de la solution générale :

C'est la solution générale de cette équation différentielle, obtenue par la méthode de Lagrange.

Questions pour la maîtrise de soi des connaissances

Quelle équation différentielle est appelée équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Quelle équation différentielle linéaire est dite homogène et laquelle est dite inhomogène ?

Quelles propriétés possède une équation linéaire homogène ?

Quelle équation est appelée caractéristique d'une équation différentielle linéaire et comment est-elle obtenue ?

Sous quelle forme s'écrit la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants dans le cas de racines différentes de l'équation caractéristique ?

Sous quelle forme s'écrit la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants dans le cas de racines égales de l'équation caractéristique ?

Sous quelle forme s'écrit la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants dans le cas de racines complexes de l'équation caractéristique ?

Comment s'écrit la solution générale d'une équation linéaire inhomogène ?

Sous quelle forme cherche-t-on une solution particulière à une équation linéaire inhomogène si les racines de l'équation caractéristique sont différentes et non égales à zéro, et que le côté droit de l'équation est un polynôme de degré m?

Sous quelle forme cherche-t-on une solution particulière à une équation linéaire inhomogène s'il y a un zéro parmi les racines de l'équation caractéristique et que le côté droit de l'équation est un polynôme de degré m?

Quelle est l’essence de la méthode de Lagrange ?

Nous avons vu que, dans le cas où la solution générale d'une équation linéaire homogène est connue, il est possible de trouver la solution générale d'une équation inhomogène en utilisant la méthode de variation de constantes arbitraires. Cependant, la question de savoir comment trouver une solution générale à une équation homogène reste ouverte. Dans le cas particulier où dans l'équation différentielle linéaire (3) tous les coefficients p je(X)= un je - constantes, il peut être résolu assez simplement, même sans intégration.

Considérons une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants, c'est-à-dire des équations de la forme

oui (n) + un 1 oui (n – 1) +...un n – 1 oui " + un n y = 0, (14)

Où et moi- constantes (je= 1, 2, ...,n).

Comme on le sait, pour une équation linéaire homogène du 1er ordre la solution est fonction de la forme e kx. Nous chercherons une solution à l'équation (14) sous la forme j (X) = e kx.

Remplaçons la fonction dans l'équation (14) j (X) et ses dérivées d'ordre m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. On a

(k n + a 1 k n – 1 +...un n – 1 k + un n)e kx = 0,

Mais e k x ¹ 0 pour tout X, C'est pourquoi

k n + une 1 k n – 1 +...un n – 1 k + une n = 0. (15)

L'équation (15) est appelée équation caractéristique, le polynôme du côté gauche- polynôme caractéristique , ses racines- racines caractéristiques équation différentielle (14).

Conclusion:

fonctionj (X) = e kx - solution à l’équation linéaire homogène (14) si et seulement si le nombre k - racine de l'équation caractéristique (15).

Ainsi, le processus de résolution de l'équation linéaire homogène (14) est réduit à la résolution de l'équation algébrique (15).

Différents cas de racines caractéristiques sont possibles.

1.Toutes les racines de l’équation caractéristique sont réelles et distinctes.

Dans ce cas n différentes racines caractéristiques k 1 ,k 2 ,..., k n correspond n différentes solutions de l'équation homogène (14)

On peut montrer que ces solutions sont linéairement indépendantes et forment donc un système fondamental de solutions. Ainsi, la solution générale de l’équation est la fonction

Où AVEC 1 , C 2 , ..., C n - constantes arbitraires.

Exemple 7. Trouver la solution générale de l'équation linéaire homogène :

UN) ࢠ¢ (X) - 6ࢠ(X) + 8à(X) = 0,b) ࢠ¢ ¢ (X) + 2ࢠ¢ (X) - 3ࢠ(X) = 0.

Solution. Créons une équation caractéristique. Pour ce faire, on remplace la dérivée d'ordre m les fonctions oui(X) au degré approprié

k(à (m) (X) « k m),

tandis que la fonction elle-même à(X) car la dérivée d'ordre zéro est remplacée par k 0 = 1.

Dans le cas (a), l'équation caractéristique a la forme k 2 - 6k+ 8 = 0. Les racines de cette équation quadratique k 1 = 2,k 2 = 4. Puisqu’ils sont réels et différents, la solution générale a la forme j (X)=C 1 e 2X + C2 e 4x.

Pour le cas (b), l'équation caractéristique est l'équation du 3ème degré k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Trouvons les racines de cette équation :

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Ces racines caractéristiques correspondent au système fondamental de solutions de l'équation différentielle :

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = ex, j 3 (X)= e - 3X .

La solution générale, d'après la formule (9), est la fonction

j (X)=C 1 +C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Toutes les racines de l’équation caractéristique sont différentes, mais certaines d’entre elles sont complexes.

Tous les coefficients de l'équation différentielle (14), et donc de son équation caractéristique (15)- nombres réels, ce qui signifie que si c parmi les racines caractéristiques il existe une racine complexe k 1 = une + ib, c'est-à-dire sa racine conjuguée k 2 = ` k 1 = un- ib.À la première racine k 1 correspond à la solution de l'équation différentielle (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(nous avons utilisé la formule d'Euler e je x = cosx + isinx). De même, la racine k 2 = un- ib correspond à la solution

j 2 (X)= e (une - -ib)X = e a x e - ibx= e hache(cosbx - isinbx).

Ces solutions sont complexes. Pour en obtenir des solutions réelles, nous utilisons les propriétés des solutions d'une équation linéaire homogène (voir 13.2). Les fonctions

sont des solutions réelles de l’équation (14). De plus, ces solutions sont linéairement indépendantes. Ainsi, nous pouvons tirer la conclusion suivante.

Règle 1.Une paire de racines complexes conjuguées a± ib de l'équation caractéristique dans le FSR de l'équation linéaire homogène (14) correspond à deux solutions partielles réellesEt .

Exemple 8. Trouvez la solution générale de l'équation :

UN) ࢠ¢ (X) - 2à ¢ (X) + 5à(X) = 0 ;b) ࢠ¢ ¢ (X) - ࢠ¢ (X) + 4à ¢ (X) - 4à(X) = 0.

Solution. Dans le cas de l'équation (a), les racines de l'équation caractéristique k 2 - 2k+ 5 = 0 sont deux nombres complexes conjugués

k 1, 2 = .

Par conséquent, d'après la règle 1, elles correspondent à deux solutions réelles linéairement indépendantes : et , et la solution générale de l'équation est la fonction

j (X)=C 1 e x cos 2x + C 2 e x péché 2X.

Dans le cas (b), pour trouver les racines de l'équation caractéristique k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, on factorise son côté gauche :

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Nous avons donc trois racines caractéristiques : k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2je. Cornu k 1 correspond à la solution , et une paire de racines complexes conjuguées k 2, 3 = ± 2je = 0 ± 2je- deux solutions valables : et . Nous composons une solution générale à l'équation :

j (X)=C 1 e x + C 2 parce que 2x + C 3 péché 2X.

III . Parmi les racines de l'équation caractéristique, il existe des multiples.

Laisser k 1 - véritable racine de la multiplicité méquation caractéristique (15), c'est-à-dire parmi les racines il y a m racines égales. Chacun d’eux correspond à la même solution de l’équation différentielle (14) Cependant, incluons m Il n’existe pas de solutions égales dans le FSR, puisqu’elles constituent un système de fonctions linéairement dépendant.

On peut montrer que dans le cas d’une racine multiple k1 les solutions de l'équation (14), en plus de la fonction, sont les fonctions

Les fonctions sont linéairement indépendantes sur tout l'axe numérique, car elles peuvent être incluses dans le FSR.

Règle 2. Véritable racine caractéristique k 1 multiplicité m dans la FSR correspond m solutions:

Si k 1 - multiplicité de racines complexe méquation caractéristique (15), alors il existe une racine conjuguée k 1 multiplicité m. Par analogie, nous obtenons la règle suivante.

Règle 3. Une paire de racines complexes conjuguées a± ib dans le FSR correspond à 2mréelles solutions linéairement indépendantes :

, , ..., ,

, , ..., .

Exemple 9. Trouvez la solution générale de l'équation :

UN) ࢠ¢ ¢ (X) + 3ࢠ¢ (X) + 3ࢠ(X)+ oui ( X)= 0;b) à IV(X) + 6ࢠ¢ (X) + 9à(X) = 0.

Solution. Dans le cas (a), l'équation caractéristique a la forme

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k+ 1) 3 = 0,

c'est à dire. k =- 1 - racine de multiplicité 3. Sur la base de la règle 2, nous écrivons la solution générale :

j (X)=C 1 +C 2 x + C 3 X 2 .

L'équation caractéristique dans le cas (b) est l'équation

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

ou autrement,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± je.

Nous avons une paire de racines complexes conjuguées, dont chacune a une multiplicité 2. D'après la règle 3, la solution générale s'écrit

j (X)=C 1 +C 2 x + C 3 +C 4 X.

De ce qui précède, il s'ensuit que pour toute équation linéaire homogène à coefficients constants, il est possible de trouver un système fondamental de solutions et de composer une solution générale. Par conséquent, la solution de l'équation inhomogène correspondante pour toute fonction continue F(X) sur le côté droit peut être trouvé en utilisant la méthode de variation de constantes arbitraires (voir section 5.3).

Exemple 10. À l'aide de la méthode de variation, trouver la solution générale de l'équation inhomogène ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = xe 2X .

Solution. Nous trouvons d’abord la solution générale de l’équation homogène correspondante ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = 0. Racines de l'équation caractéristique k 2 - k- 6 = 0 sont k 1 = 3,k 2 = - 2, un solution générale de l'équation homogène - fonction ` à ( X) =C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Nous chercherons une solution à l'équation inhomogène sous la forme

à( X) = AVEC 1 (X)e 3X +C 2 (X)e 2X . (*)

Trouvons le déterminant de Wronski

W[e 3X , e 2X ] = .

Composons un système d'équations (12) pour les dérivées de fonctions inconnues AVEC ¢ 1 (X) Et AVEC¢ 2 (X):

En résolvant le système à l’aide des formules de Cramer, on obtient

En intégrant, on trouve AVEC 1 (X) Et AVEC 2 (X):

Fonctions de substitution AVEC 1 (X) Et AVEC 2 (X) en égalité (*), on obtient une solution générale de l'équation ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = xe 2X :

Dans le cas où le membre droit d'une équation inhomogène linéaire à coefficients constants a une forme particulière, une solution particulière à l'équation inhomogène peut être trouvée sans recourir à la méthode de variation des constantes arbitraires.

Considérons l'équation à coefficients constants

oui (n) + un 1 an (n– 1) +...un n – 1 an " + a n y = f (X), (16)

F( X) = ehache(Pn(X)cosbx + Rm(X)sinbx), (17)

Où Pn(X) Et Chambre(X) - polynômes de degré n Et m respectivement.

Solution privée oui*(X) de l'équation (16) est déterminé par la formule

à* (X) = xse hache(M(X)cosbx + N°(X)sinbx), (18)

Où M(X) Et N°(X) - polynômes de degré r = maximum(n, m) avec des coefficients incertains , UN ségal au multiple de la racine k 0 = a + ib polynôme caractéristique de l’équation (16), et nous supposons s = 0 si k 0 n'est pas une racine caractéristique.

Afin de composer une solution particulière à l'aide de la formule (18), vous devez trouver quatre paramètres - a, b, r Et s. Les trois premiers sont déterminés à partir du côté droit de l’équation, et r- c'est en fait le plus haut degré X, trouvé sur le côté droit. Paramètre s trouvé à partir d'une comparaison de nombres k 0 = a + ib Et l'ensemble de toutes (en tenant compte des multiplicités) les racines caractéristiques de l'équation (16), qui sont trouvées en résolvant l'équation homogène correspondante.

Considérons des cas particuliers de la forme de fonction (17) :

1) à un ¹ 0, b= 0F(X)= e ax P n(X);

2) quand un= 0, b ¹ 0F(X)= Pn(X) Avecosbx + Rm(X)sinbx;

3) quand un = 0, b = 0F(X)=Pn(X).

Remarque 1. Si P n (x) º 0 ou Rm(x)º 0, alors le côté droit de l'équation f(x) = e ax P n (x)с osbx ou f(x) = e ax R m (x)sinbx, c'est-à-dire ne contient qu'une seule des fonctions - cosinus ou sinus. Mais dans l'enregistrement d'une solution particulière, les deux doivent être présents, puisque, selon la formule (18), chacun d'eux est multiplié par un polynôme à coefficients indéterminés de même degré r = max(n, m).

Exemple 11. Déterminer le type de solution partielle d'une équation linéaire homogène du 4ème ordre à coefficients constants si le côté droit de l'équation est connu F(X) = ex(2xcos 3x+(X 2 + 1)péché 3X) et les racines de l'équation caractéristique :

UN ) k 1 =k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3je,k 3, 4 = ± 1;

V ) k 1, 2 = 1 ± 3je,k 3, 4 = 1 ± 3je.

Solution. Du côté droit, nous trouvons que dans la solution particulière à*(X), qui est déterminé par la formule (18), paramètres : un= 1, b= 3, r = 2. Ils restent les mêmes pour les trois cas, d’où le nombre k 0 qui précise le dernier paramètre s la formule (18) est égale à k 0 = 1+ 3je. Dans le cas (a) il n’y a pas de numéro parmi les racines caractéristiques k 0 = 1 + 3je, Moyens, s= 0, et une solution particulière a la forme

oui*(X) = X 0 ex(M 2 (X)parce que 3x+N 2 (X)péché 3X) =

= eX( (Hache 2 +Bx+C)parce que 3x+(UN 1 X 2 +B 1 x+C 1)péché 3X.

Dans le cas (b), le numéro k 0 = 1 + 3je apparaît une fois parmi les racines caractéristiques, ce qui signifie s = 1 Et

oui*(X) = x e x((Hache 2 +Bx+C)parce que 3x+(UN 1 X 2 +B 1 x+C 1)péché 3X.

Pour le cas (c), nous avons s = 2 et

oui*(X) =x 2 ex((Hache 2 +Bx+C)parce que 3x+(Un 1 X 2 +B 1 x+C 1)péché 3X.

Dans l'exemple 11, la solution particulière contient deux polynômes de degré 2 à coefficients indéterminés. Pour trouver une solution, vous devez déterminer les valeurs numériques de ces coefficients. Formulons une règle générale.

Déterminer les coefficients inconnus des polynômes M(X) Et N r(X) l'égalité (17) est différenciée le nombre de fois requis et la fonction est substituée oui*(X) et ses dérivées dans l'équation (16). En comparant ses côtés gauche et droit, un système d'équations algébriques est obtenu pour trouver les coefficients.

Exemple 12. Trouver une solution à l'équation ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = xe 2X, après avoir déterminé une solution particulière de l'équation inhomogène par la forme du membre droit.

Solution. La solution générale de l’équation inhomogène a la forme

à( X) = ` à(X)+ oui*(X),

Où ` à ( X) - la solution générale de l'équation homogène correspondante, et oui*(X) - solution particulière d’une équation non homogène.

Nous résolvons d’abord l’équation homogène ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = 0. Son équation caractéristique k 2 - k- 6 = 0 a deux racines k 1 = 3,k 2 = - 2, ainsi, ` à ( X) =C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Utilisons la formule (18) pour déterminer le type de solution particulière à*(X). Fonction F(X) = xe 2X représente un cas particulier (a) de la formule (17), tandis que une = 2,b = 0 Et r = 1, c'est à dire. k 0 = 2 + 0je = 2. En comparant avec les racines caractéristiques, nous concluons que s = 0. En substituant les valeurs de tous les paramètres dans la formule (18), nous avons oui*(X) = (Ah + B)e 2X .

Pour trouver les valeurs UN Et DANS, trouvons les dérivées du premier et du second ordre de la fonction oui*(X) = (Ah + B)e 2X :

oui*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,

oui*¢ ¢ (X) = 2Aé 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .

Après substitution de fonction oui*(X) et ses dérivées dans l’équation que nous avons

(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2X Þ Þ UNE=- 1/4,B =- 3/16.

Ainsi, une solution particulière à l’équation inhomogène a la forme

oui*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

et la solution générale - à ( X) =C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Note 2.Dans le cas où le problème de Cauchy est posé pour une équation inhomogène, il faut d'abord trouver une solution générale à l'équation

à( X) = ,

après avoir déterminé toutes les valeurs numériques des coefficients dans à*(X). Utilisez ensuite les conditions initiales et, en les substituant dans la solution générale (et non dans oui*(X)), trouver les valeurs des constantes C je.

Exemple 13. Trouver une solution au problème de Cauchy :

ࢠ¢ (X) - ࢠ(X) - 6à(X) = xe 2X ,oui(0) = 0, oui ¢ (X) = 0.

Solution. La solution générale de cette équation est

à(X) =C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

a été trouvé dans l'exemple 12. Pour trouver une solution particulière qui satisfait aux conditions initiales de ce problème de Cauchy, on obtient un système d'équations

Pour le résoudre, nous avons C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. La solution du problème de Cauchy est donc la fonction

à(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Note 3(Principe de superposition). Si dans une équation linéaire Ln[oui(X)]=f(X), Où F(X) =f 1 (X)+f 2 (X) Et oui* 1 (X) - solution à l'équation Ln[oui(X)]=f 1 (X), UN oui* 2 (X) - solution à l'équation Ln[oui(X)]=f 2 (X), alors la fonction oui*(X)= oui* 1 (X)+ oui* 2 (X) est résoudre l'équation Ln[oui(X)]=f(X).

Exemple 14. Indiquer le type de solution générale d'une équation linéaire

ࢠ¢ (X) + 4à(X) = x + sinx.

Solution. Solution générale de l'équation homogène correspondante

` à(X) =C 1 parce que 2x + C 2 péché 2X,

puisque l'équation caractéristique k 2 + 4 = 0 a des racines k 1, 2 = ± 2je.Le côté droit de l’équation ne correspond pas à la formule (17), mais si on introduis la notation F 1 (X) =x, F 2 (X) = péché et utiliser le principe de superposition , alors une solution particulière à l'équation inhomogène peut être trouvée sous la forme oui*(X)= oui* 1 (X)+ oui* 2 (X), Où oui* 1 (X) - solution à l'équation ࢠ¢ (X) + 4à(X) =x, UN oui* 2 (X) - solution à l'équation ࢠ¢ (X) + 4à(X) = péché. D'après la formule (18)

oui* 1 (X) = Hache + B,oui* 2 (X) = Ссosx + Dsinx.

Alors la solution particulière

oui*(X) = Axe + B + Ccosx + Dsinx,

donc la solution générale a la forme

à(X) =C 1 parce que 2x + C 2 e - 2X + Un x + B + Ccosx + Dsinx.

Exemple 15. Un circuit électrique est constitué d'une source de courant connectée en série avec une force électromotrice e(t) = E péchéw t, inductance L et conteneurs AVEC, et

Cet article aborde la question de la résolution d'équations différentielles du second ordre inhomogènes linéaires à coefficients constants. La théorie sera discutée avec des exemples de problèmes donnés. Pour déchiffrer des termes peu clairs, il est nécessaire de se référer au sujet des définitions et concepts de base de la théorie des équations différentielles.

Considérons une équation différentielle linéaire (LDE) du second ordre à coefficients constants de la forme y "" + p · y " + q · y = f (x), où p et q sont des nombres arbitraires, et la fonction existante f (x) est continue sur l'intervalle d'intégration x.

Passons à la formulation du théorème de la solution générale du LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Théorème général de solution pour LDNU

Une solution générale, située sur l'intervalle x, d'une équation différentielle inhomogène de la forme y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) avec coefficients d'intégration continue sur l'intervalle x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) et une fonction continue f (x) est égale à la somme de la solution générale y 0, qui correspond au LOD et à une solution particulière y ~, où l'équation inhomogène d'origine est y = y 0 + oui ~.

Cela montre que la solution d'une telle équation du second ordre a la forme y = y 0 + y ~ . L'algorithme pour trouver y 0 est discuté dans l'article sur les équations différentielles homogènes linéaires du second ordre à coefficients constants. Après quoi nous devrions procéder à la définition de y ~.

Le choix d'une solution particulière du LPDE dépend du type de fonction disponible f (x) située sur le côté droit de l'équation. Pour ce faire, il est nécessaire de considérer séparément les solutions d'équations différentielles linéaires inhomogènes du second ordre à coefficients constants.

Lorsque f (x) est considéré comme un polynôme du nième degré f (x) = P n (x), il s'ensuit qu'une solution particulière du LPDE est trouvée à l'aide d'une formule de la forme y ~ = Q n (x ) x γ, où Q n ( x) est un polynôme de degré n, r est le nombre de racines nulles de l'équation caractéristique. La valeur y ~ est une solution particulière y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , puis les coefficients disponibles qui sont définis par le polynôme
Q n (x), on trouve en utilisant la méthode des coefficients indéfinis à partir de l'égalité y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemple 1

Calculez en utilisant le théorème de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solution

Autrement dit, il faut passer à une solution particulière d'une équation différentielle inhomogène linéaire du second ordre à coefficients constants y "" - 2 y " = x 2 + 1, qui satisfera aux conditions données y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

La solution générale d'une équation inhomogène linéaire est la somme de la solution générale, qui correspond à l'équation y 0 ou à une solution particulière de l'équation inhomogène y ~, c'est-à-dire y = y 0 + y ~.

Nous trouverons d’abord une solution générale pour le LNDU, puis une solution particulière.

Passons à la recherche de y 0. Écrire l’équation caractéristique vous aidera à trouver les racines. Nous obtenons cela

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Nous avons constaté que les racines sont différentes et réelles. Par conséquent, écrivons

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Trouvons y ~ . On voit que le côté droit de l'équation donnée est un polynôme du deuxième degré, alors l'une des racines est égale à zéro. De là, nous obtenons qu'une solution particulière pour y ~ sera

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, où les valeurs de A, B, C prennent des coefficients indéterminés.

Trouvons-les à partir d'une égalité de la forme y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

On obtient alors ça :

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

En égalant les coefficients avec les mêmes exposants de x, nous obtenons un système d'expressions linéaires - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Lors de la résolution par l'une des méthodes, nous trouverons les coefficients et écrirons : A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 et y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Cette entrée est appelée la solution générale de l’équation différentielle inhomogène linéaire originale du second ordre à coefficients constants.

Pour trouver une solution particulière qui satisfait aux conditions y (0) = 2, y" (0) = 1 4, il faut déterminer les valeurs C1 Et C2, basé sur une égalité de la forme y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

On obtient ça :

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Nous travaillons avec le système d'équations résultant de la forme C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, où C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

En appliquant le théorème de Cauchy, on a ça

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Répondre: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Lorsque la fonction f (x) est représentée comme le produit d'un polynôme de degré n et d'un exposant f (x) = P n (x) · e a x , alors on obtient qu'une solution particulière du LPDE du second ordre sera un équation de la forme y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, où Q n (x) est un polynôme du nième degré, et r est le nombre de racines de l'équation caractéristique égale à α.

Les coefficients appartenant à Q n (x) se trouvent par l'égalité y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemple 2

Trouver la solution générale d'une équation différentielle de la forme y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solution

L'équation générale est y = y 0 + y ~ . L'équation indiquée correspond au LOD y "" - 2 y " = 0. De l'exemple précédent, on voit que ses racines sont égales k1 = 0 et k 2 = 2 et y 0 = C 1 + C 2 e 2 x par l'équation caractéristique.

On peut voir que le côté droit de l'équation est x 2 + 1 · e x . De là, le LPDE est trouvé par y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, où Q n (x) est un polynôme du deuxième degré, où α = 1 et r = 0, car l'équation caractéristique ne avoir une racine égale à 1. De là, nous obtenons cela

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sont des coefficients inconnus qui peuvent être trouvés par l'égalité y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

C'est compris

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Nous assimilons les indicateurs avec les mêmes coefficients et obtenons un système d'équations linéaires. De là, nous trouvons A, B, C :

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Répondre: il est clair que y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 est une solution particulière du LNDDE, et y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - une solution générale pour une équation dif inhomogène du second ordre.

Lorsque la fonction s'écrit f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, et Un 1 Et EN 1 sont des nombres, alors une solution partielle du LPDE est considérée comme une équation de la forme y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, où A et B sont considérés comme des coefficients indéterminés, et r est le nombre de racines conjuguées complexes liées à l'équation caractéristique, égales à ± i β . Dans ce cas, la recherche des coefficients s'effectue à l'aide de l'égalité y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemple 3

Trouver la solution générale d'une équation différentielle de la forme y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Solution

Avant d'écrire l'équation caractéristique, on trouve y 0. Alors

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 je , k 2 = - 2 je

Nous avons une paire de racines conjuguées complexes. Transformons et obtenons :

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 péché (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 péché (2 x)

Les racines de l'équation caractéristique sont considérées comme la paire conjuguée ± 2 i, alors f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Cela montre que la recherche de y ~ se fera à partir de y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Inconnues On cherchera les coefficients A et B à partir d'une égalité de la forme y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Convertissons :

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Il est alors clair que

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 péché (2 x)

Il est nécessaire d'assimiler les coefficients des sinus et des cosinus. On obtient un système de la forme :

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Il s'ensuit que y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Répondre: la solution générale du LDDE original du second ordre avec des coefficients constants est considérée

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Lorsque f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), alors y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Nous avons que r est le nombre de paires complexes conjuguées de racines liées à l'équation caractéristique, égale à α ± i β, où P n (x), Q k (x), L m (x) et Nm(x) sont des polynômes de degré n, k, m, m, où m = m a x (n, k). Trouver des coefficients Lm(x) Et Nm(x) est fait sur la base de l'égalité y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemple 4

Trouver la solution générale y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Solution

D'après la condition, il est clair que

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Alors m = m a x (n, k) = 1. On trouve y 0 en écrivant d'abord une équation caractéristique de la forme :

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Nous avons constaté que les racines sont réelles et distinctes. D'où y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Ensuite, il faut chercher une solution générale basée sur l'équation inhomogène y ~ de la forme

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) péché (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) péché (5 x))

On sait que A, B, C sont des coefficients, r = 0, car il n'y a pas de paire de racines conjuguées liées à l'équation caractéristique avec α ± i β = 3 ± 5 · i. On retrouve ces coefficients à partir de l'égalité résultante :

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) péché (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) péché (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Trouver les termes dérivés et similaires donne

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Après avoir égalisé les coefficients, on obtient un système de la forme

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

De tout il résulte que

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) péché (5 x))

Répondre: Nous avons maintenant obtenu une solution générale à l’équation linéaire donnée :

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algorithme de résolution de LDNU

Tout autre type de fonction f (x) pour solution nécessite le respect de l'algorithme de solution :

• trouver une solution générale à l'équation linéaire homogène correspondante, où y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, où et 1 Et et 2 sont des solutions partielles linéairement indépendantes du LODE, C1 Et C2 sont considérés comme des constantes arbitraires ;
• adoption comme solution générale du LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• détermination des dérivées d'une fonction à travers un système de la forme C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , et trouver des fonctions C 1 (x) et C 2 (x) par intégration.

Exemple 5

Trouvez la solution générale pour y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Solution

On procède à l'écriture de l'équation caractéristique, après avoir écrit y 0, y "" + 36 y = 0. Écrivons et résolvons :

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 je , k 2 = - 6 je ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = péché (6 x)

Nous avons que la solution générale de l'équation donnée s'écrira y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Il faut passer à la définition des fonctions dérivées C 1 (x) Et C2(x) selon un système d'équations :

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Une décision doit être prise concernant C 1" (x) Et C2" (x) en utilisant n'importe quelle méthode. Puis nous écrivons :

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Chacune des équations doit être intégrée. Ensuite, nous écrivons les équations résultantes :

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x péché ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x péché (6 x) + C 4

Il s’ensuit que la solution générale aura la forme :

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 péché (6 x)

Répondre: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 fois)

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