La méthode des intervalles est considérée comme universelle pour résoudre les inégalités. Parfois, cette méthode est également appelée méthode des écarts. Il peut être utilisé à la fois pour résoudre des inégalités rationnelles avec une variable et pour des inégalités d'autres types. Dans notre matériel, nous avons essayé de prêter attention à tous les aspects de la question.

Qu'est-ce qui vous attend dans cette rubrique ? Nous analyserons la méthode des intervalles et considérerons les algorithmes permettant de résoudre les inégalités en l'utilisant. Abordons les aspects théoriques sur lesquels repose l'application de la méthode.

Nous accordons une attention particulière aux nuances du sujet qui ne sont généralement pas abordées dans le programme scolaire. Par exemple, considérons les règles de disposition des signes sur les intervalles et la méthode des intervalles elle-même sous forme générale, sans son lien avec les inégalités rationnelles.

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Algorithme

Qui se souvient de la façon dont la méthode des intervalles a été introduite dans un cours d’algèbre scolaire ? Habituellement, tout commence par la résolution d'inéquations de la forme f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ou ≥). Ici, f(x) peut être un polynôme ou un rapport de polynômes. Le polynôme, à son tour, peut être représenté comme suit :

• produit de binômes linéaires de coefficient 1 pour la variable x ;
• le produit de trinômes quadratiques de coefficient dominant 1 et du discriminant négatif de leurs racines.

Voici quelques exemples de telles inégalités :

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Écrivons un algorithme pour résoudre des inégalités de ce type, comme nous l'avons donné dans les exemples, en utilisant la méthode des intervalles :

• nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur, pour cela nous assimilons le numérateur et le dénominateur de l'expression du côté gauche de l'inégalité à zéro et résolvons les équations résultantes ;
• nous déterminons les points qui correspondent aux zéros trouvés et les marquons avec des tirets sur l'axe des coordonnées ;
• définir les signes d'expression f(x) du côté gauche de l'inégalité résolue sur chaque intervalle et placez-les sur le graphique ;
• nous appliquons un ombrage sur les sections requises du graphique, guidés par la règle suivante : si l'inégalité a des signes< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ou ≥ , puis on met en évidence en ombrant les zones marquées du signe « + ».

Le modèle avec lequel nous allons travailler peut avoir une vue schématique. Des détails excessifs peuvent surcharger le dessin et rendre sa résolution difficile. L'échelle nous intéressera peu. Il suffira de respecter l'emplacement correct des points à mesure que les valeurs de leurs coordonnées augmentent.

Lorsque nous travaillons avec des inégalités strictes, nous utiliserons la notation d'un point sous la forme d'un cercle avec un centre non rempli (vide). Dans le cas d'inégalités non strictes, nous représenterons les points qui correspondent aux zéros du dénominateur comme vides, et tout le reste comme du noir ordinaire.

Les points marqués divisent la ligne de coordonnées en plusieurs intervalles numériques. Cela nous permet d’obtenir une représentation géométrique d’un ensemble numérique, qui est en fait une solution à cette inégalité.

La méthode scientifique de l’écart

L'approche qui sous-tend la méthode des intervalles repose sur la propriété suivante d'une fonction continue : la fonction maintient un signe constant sur l'intervalle (a, b) sur lequel cette fonction est continue et ne s'annule pas. La même propriété est caractéristique des rayons numériques (− ∞ , a) et (une, + ∞).

Cette propriété de la fonction est confirmée par le théorème de Bolzano-Cauchy, donné dans de nombreux manuels de préparation aux concours d'entrée.

La constance du signe sur les intervalles peut également être justifiée sur la base des propriétés des inégalités numériques. Par exemple, prenons l'inégalité x - 5 x + 1 > 0. Si nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur et les traçons sur la droite numérique, nous obtiendrons une série d'intervalles : (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) et (5 , + ∞) .

Prenons n'importe lequel des intervalles et montrons dessus que pendant tout l'intervalle, l'expression du côté gauche de l'inégalité aura un signe constant. Soit ceci l'intervalle (− ∞ , − 1) . Prenons n'importe quel nombre t de cet intervalle. Il satisfera aux conditions t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

En utilisant à la fois les inégalités résultantes et la propriété des inégalités numériques, nous pouvons supposer que t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t sur l'intervalle (− ∞ , − 1) .

En utilisant la règle de division des nombres négatifs, on peut affirmer que la valeur de l'expression t - 5 t + 1 sera positive. Cela signifie que la valeur de l'expression x - 5 x + 1 sera positive pour toute valeur X entre (− ∞ , − 1) . Tout cela permet d'affirmer que sur l'intervalle pris comme exemple, l'expression a un signe constant. Dans notre cas, il s'agit du signe « + ».

Trouver les zéros du numérateur et du dénominateur

L'algorithme pour trouver les zéros est simple : nous assimilons les expressions du numérateur et du dénominateur à zéro et résolvons les équations résultantes. Si vous rencontrez des difficultés, vous pouvez vous référer au sujet « Résolution d'équations par factorisation ». Dans cette section, nous nous limiterons à un simple exemple.

Considérons la fraction x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Afin de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur, on les assimile à zéro afin d'obtenir et de résoudre les équations : x (x − 0, 6) = 0 et x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Dans le premier cas, on peut passer à l'ensemble des deux équations x = 0 et x − 0, 6 = 0, ce qui nous donne deux racines 0 et 0, 6. Ce sont les zéros du numérateur.

La deuxième équation est équivalente à l'ensemble des trois équations x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Nous effectuons une série de transformations et obtenons x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. La racine de la première équation est 0, la deuxième équation n'a pas de racine, puisqu'elle a un discriminant négatif, la racine de la troisième équation est 5. Ce sont les zéros du dénominateur.

0 dans ce cas est à la fois le zéro du numérateur et le zéro du dénominateur.

En général, lorsque le membre gauche d’une inégalité contient une fraction qui n’est pas nécessairement rationnelle, le numérateur et le dénominateur sont également égaux à zéro pour obtenir les équations. Résoudre les équations permet de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur.

Déterminer le signe d’un intervalle est simple. Pour ce faire, vous pouvez trouver la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité pour tout point arbitrairement sélectionné dans un intervalle donné. Le signe résultant de la valeur de l'expression en un point arbitrairement choisi dans l'intervalle coïncidera avec le signe de l'intervalle entier.

Regardons cette déclaration avec un exemple.

Prenons l'inégalité x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. L’expression du côté gauche de l’inégalité n’a pas de zéros au numérateur. Le zéro du dénominateur sera le nombre - 3. Nous obtenons deux intervalles sur la droite numérique (− ∞ , − 3) et (− 3 , + ∞) .

Afin de déterminer les signes des intervalles, on calcule la valeur de l'expression x 2 - x + 4 x + 3 pour des points pris arbitrairement sur chacun des intervalles.

Dès le premier écart (− ∞ , − 3) prenons − 4. À x = − 4 nous avons (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Nous avons reçu une valeur négative, ce qui signifie que tout l'intervalle aura le signe « - ».

Pour l'écart (− 3 , + ∞) Effectuons des calculs avec un point ayant une coordonnée nulle. À x = 0 nous avons 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. Nous avons reçu une valeur positive, ce qui signifie que tout l'intervalle aura un signe « + ».

Vous pouvez utiliser une autre façon de déterminer les signes. Pour ce faire, on peut retrouver le signe sur l'un des intervalles et le sauvegarder ou le modifier lors du passage par zéro. Pour tout faire correctement, il faut suivre la règle : en passant par zéro le dénominateur, mais pas le numérateur, ou le numérateur, mais pas le dénominateur, on peut changer le signe par le signe opposé, si le degré de l'expression donnant ce zéro est impaire, et on ne peut pas changer le signe, si le degré est pair. Si nous avons reçu un point qui est à la fois le zéro du numérateur et du dénominateur, alors nous ne pouvons changer le signe en celui opposé que si la somme des puissances des expressions donnant ce zéro est impaire.

Si nous rappelons l'inégalité que nous avons examinée au début du premier paragraphe de ce document, alors sur l'intervalle le plus à droite, nous pouvons mettre un signe « + ».

Regardons maintenant des exemples.

Prenez l'inégalité (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 et résolvez-la en utilisant la méthode des intervalles . Pour ce faire, nous devons trouver les zéros du numérateur et du dénominateur et les marquer sur la ligne de coordonnées. Les zéros du numérateur seront des points 2 , 3 , 4 , point dénominateur 1 , 3 , 4 . Marquons-les sur l'axe des coordonnées avec des tirets.

Nous marquons les zéros du dénominateur avec des points vides.

Puisqu’il s’agit d’une inégalité non stricte, nous remplaçons les tirets restants par des points ordinaires.

Plaçons maintenant des points sur les intervalles. L'espace le plus à droite (4 , + ∞) sera un signe +.

En allant de droite à gauche, nous poserons des panneaux pour les intervalles restants. Nous passons par le point de coordonnée 4. C'est à la fois le zéro du numérateur et du dénominateur. En somme, ces zéros donnent les expressions (x-4) 2 Et x−4. Additionnons leurs puissances 2 + 1 = 3 et obtenons un nombre impair. Cela signifie que le signe pendant la transition change dans ce cas à l'opposé. L'intervalle (3, 4) aura un signe moins.

On passe à l'intervalle (2, 3) passant par le point de coordonnée 3. C'est également un zéro pour le numérateur et le dénominateur. Nous l’avons obtenu grâce à deux expressions (x − 3) 3 et (x-3) 5, dont la somme des puissances est 3 + 5 = 8. Obtenir un nombre pair nous permet de laisser le signe de l’intervalle inchangé.

Le point de coordonnée 2 est le zéro du numérateur. La puissance de l'expression x - 2 est 1 (impair). Cela signifie qu'en passant par ce point, le signe doit être remplacé par le signe opposé.

Il nous reste le dernier intervalle (− ∞ , 1) . Le point de coordonnée 1 est le zéro du dénominateur. Il est dérivé de l'expression (x-1) 4, avec un degré pair 4 . Le signe reste donc le même. Le dessin final ressemblera à ceci :

La méthode des intervalles est particulièrement efficace lorsque le calcul de la valeur d’une expression implique beaucoup de travail. Un exemple serait la nécessité de calculer la valeur d'une expression

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

à tout moment dans l'intervalle 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Commençons maintenant à mettre en pratique les connaissances et les compétences acquises.

Exemple 1

Résolvez l'inégalité (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

Solution

Il est conseillé d'utiliser la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité. Trouvez les zéros du numérateur et du dénominateur. Les zéros du numérateur sont 1 et - 5, les zéros du dénominateur sont 7 et 1. Marquons-les sur la droite numérique. Nous avons affaire à une inégalité non stricte, nous marquerons donc les zéros du dénominateur avec des points vides, et le zéro du numérateur - 5 - sera marqué d'un point plein régulier.

Mettons les signes des intervalles en utilisant les règles de changement de signe lors du passage par zéro. Commençons par l'intervalle le plus à droite, pour lequel nous calculons la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité en un point arbitrairement pris dans l'intervalle. Nous obtenons le signe «+». Parcourons séquentiellement tous les points de la ligne de coordonnées, en organisant les signes, et obtenons :

On travaille avec une inégalité non stricte de signe ≤. Cela signifie que nous devons marquer en ombrant les espaces marqués du signe « - ».

Répondre: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

La résolution des inégalités rationnelles nécessite dans la plupart des cas leur transformation préalable vers la forme souhaitée. Ce n'est qu'après cela qu'il devient possible d'utiliser la méthode des intervalles. Les algorithmes permettant de réaliser de telles transformations sont discutés dans le document «Résoudre les inégalités rationnelles».

Regardons un exemple de conversion de trinômes quadratiques en inégalités.

Exemple 2

Trouvez la solution de l'inégalité (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

Solution

Voyons si les discriminants des trinômes quadratiques dans la notation des inégalités sont vraiment négatifs. Cela nous permettra de déterminer si la forme de cette inégalité nous permet d'utiliser la méthode des intervalles pour la solution.

Calculons le discriminant du trinôme x 2 + 3 x + 3 : D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Calculons maintenant le discriminant pour le trinôme x 2 + 2 · x − 8 : D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Comme vous pouvez le constater, l’inégalité nécessite une transformation préalable. Pour ce faire, nous représentons le trinôme x 2 + 2 x − 8 comme (x + 4) · (x − 2), puis appliquez la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

Répondre: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

La méthode des intervalles généralisés est utilisée pour résoudre des inégalités de la forme f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , où f (x) est une expression arbitraire avec une variable X.

Toutes les actions sont effectuées selon un certain algorithme. Dans ce cas, l'algorithme de résolution des inégalités à l'aide de la méthode des intervalles généralisés sera légèrement différent de ce dont nous avons discuté précédemment :

• on retrouve le domaine de définition de la fonction f et les zéros de cette fonction ;
• marquer les points limites sur l'axe des coordonnées ;
• tracer les zéros de la fonction sur la droite numérique ;
• déterminer les signes des intervalles ;
• appliquer un ombrage ;
• écrivez la réponse.

Sur la droite numérique, il est nécessaire de marquer, entre autres, les points individuels du domaine de définition. Par exemple, le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Cela signifie que nous devons marquer les points avec des coordonnées − 5, 1, 3, 4 , 7 Et 10 . Points − 5 et 7 seront représentés comme vides, le reste pourra être souligné avec un crayon de couleur afin de les distinguer des zéros de la fonction.

Dans le cas d'inégalités non strictes, les zéros de la fonction sont tracés sous forme de points ordinaires (ombrés), et dans le cas d'inégalités strictes, sous forme de points vides. Si les zéros coïncident avec les points limites ou les points individuels du domaine de définition, ils peuvent alors être repeints en noir, les rendant vides ou ombrés, selon le type d'inégalité.

L'enregistrement de réponse est un ensemble numérique qui comprend :

• espaces ombragés;
• points individuels du domaine de définition avec un signe plus, s'il s'agit d'une inégalité dont le signe est > ou ≥, ou avec un signe moins, si l'inégalité a des signes< или ≤ .

Il est maintenant clair que l'algorithme que nous avons présenté au tout début du sujet est un cas particulier de l'algorithme utilisant la méthode des intervalles généralisés.

Considérons un exemple d'utilisation de la méthode des intervalles généralisés.

Exemple 3

Résoudre l'inégalité x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Solution

Nous introduisons une fonction f telle que f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Trouvons le domaine de définition de la fonction F:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Trouvons maintenant les zéros de la fonction. Pour ce faire, nous allons résoudre l’équation irrationnelle :

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

On obtient la racine x = 12.

Pour indiquer les points limites sur l’axe des coordonnées, nous utilisons l’orange. Points - 6, 4 seront remplis et 7 resteront vides. On a:

Marquons le zéro de la fonction avec un point noir vide, puisque nous travaillons avec une inégalité stricte.

Nous déterminons les signes à intervalles individuels. Pour ce faire, prenez un point de chaque intervalle, par exemple, 16 , 8 , 6 Et − 8 , et calculez la valeur de la fonction qu'ils contiennent F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Nous plaçons les signes nouvellement définis et appliquons un ombrage sur les espaces avec un signe moins :

La réponse sera l'union de deux intervalles avec le signe « - » : (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

En réponse, nous avons inclus un point de coordonnée - 6. Ce n'est pas le zéro de la fonction, que nous n'inclurions pas dans la réponse lors de la résolution d'une inégalité stricte, mais le point limite du domaine de définition, qui est inclus dans le domaine de définition. La valeur de la fonction à ce stade est négative, ce qui signifie qu’elle satisfait l’inégalité.

Nous n'avons pas inclus le point 4 dans la réponse, tout comme nous n'avons pas inclus l'intégralité de l'intervalle [4, 7). À ce stade, comme dans tout l’intervalle indiqué, la valeur de la fonction est positive, ce qui ne satisfait pas l’inégalité à résoudre.

Récrivons cela pour plus de clarté : des points de couleur doivent être inclus dans la réponse dans les cas suivants :

• ces points font partie de l'espace hachuré,
• ces points sont des points individuels dans le domaine de définition de la fonction, les valeurs de la fonction pour lesquelles satisfont l'inégalité en cours de résolution.

Répondre: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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Premier niveau

Méthode d'intervalle. Le guide ultime (2019)

Il vous suffit de comprendre cette méthode et de la connaître comme votre poche ! Ne serait-ce que parce qu’elle est utilisée pour résoudre des inégalités rationnelles et parce que, connaissant bien cette méthode, résoudre ces inégalités est étonnamment simple. Un peu plus tard, je vous dévoilerai quelques secrets pour gagner du temps en résolvant ces inégalités. Eh bien, êtes-vous intrigué ? Alors allons-y!

L'essence de la méthode est de factoriser l'inégalité en facteurs (répéter le sujet) et de déterminer l'ODZ et le signe des facteurs, maintenant je vais tout expliquer ; Prenons l'exemple le plus simple : .

Il n'est pas nécessaire d'écrire ici la plage de valeurs acceptables (), car il n'y a pas de division par variable et aucun radical (racine) n'est observé ici. Tout ici est déjà factorisé pour nous. Mais ne vous détendez pas, tout cela est pour vous rappeler les bases et en comprendre l’essence !

Disons que vous ne connaissez pas la méthode des intervalles, comment résoudriez-vous cette inégalité ? Abordez logiquement et construisez sur ce que vous savez déjà. Premièrement, le côté gauche sera supérieur à zéro si les deux expressions entre parenthèses sont soit supérieures à zéro, soit inférieures à zéro, car "plus" pour "plus" donne "plus" et "moins" pour "moins" donne "plus", n'est-ce pas ? Et si les signes des expressions entre parenthèses sont différents, alors au final le côté gauche sera inférieur à zéro. De quoi avons-nous besoin pour connaître les valeurs auxquelles les expressions entre parenthèses seront négatives ou positives ?

Nous devons résoudre une équation, c'est exactement la même chose qu'une inégalité, seulement au lieu d'un signe il y aura un signe, les racines de cette équation nous permettront de déterminer ces valeurs limites, à partir desquelles les facteurs seront plus grands ou inférieur à zéro.

Et maintenant les intervalles eux-mêmes. Qu'est-ce qu'un intervalle ? Il s'agit d'un certain intervalle de la droite numérique, c'est-à-dire de tous les nombres possibles contenus entre deux nombres - les extrémités de l'intervalle. Ce n’est pas si facile d’imaginer ces intervalles dans sa tête, c’est pourquoi il est courant de dessiner des intervalles, je vais vous l’apprendre maintenant.

Nous dessinons un axe ; toute la série de nombres de et vers se trouve dessus. Les points sont tracés sur l'axe, ce qu'on appelle les zéros de la fonction, les valeurs auxquelles l'expression est égale à zéro. Ces points sont « épinglés » ce qui signifie qu'ils ne font pas partie des valeurs pour lesquelles l'inégalité est vraie. Dans ce cas, ils sont percés car signe dans l'inégalité et non, c'est-à-dire strictement supérieur à et non supérieur ou égal à.

Je tiens à dire qu'il n'est pas nécessaire de marquer zéro, c'est ici sans cercles, mais juste pour la compréhension et l'orientation le long de l'axe. D'accord, nous avons dessiné l'axe, mis les points (plus précisément, les cercles), et ensuite, en quoi cela va-t-il m'aider à résoudre ? - tu demandes. Maintenant, prenez simplement la valeur de x dans les intervalles dans l'ordre et remplacez-les dans votre inégalité et voyez quel signe donne la multiplication.

Bref, on prend juste par exemple, on le remplace ici, ça marchera, ce qui veut dire que l'inégalité sera valable sur tout l'intervalle (sur tout l'intervalle) de à, d'où on l'a prise. En d’autres termes, si x vaut de à, alors l’inégalité est vraie.

On fait de même avec l'intervalle de à, prendre ou, par exemple, substituer, déterminer le signe, le signe sera « moins ». Et nous faisons de même avec le dernier et troisième intervalle de à, où le signe s'avère être « plus ». Il y a tellement de texte, mais pas assez de clarté, n'est-ce pas ?

Jetez un autre regard sur les inégalités.

Maintenant, nous appliquons également les signes qui en résulteront sur le même axe. Dans mon exemple, une ligne brisée désigne les sections positives et négatives de l'axe.

Regardez l'inégalité - le dessin, encore l'inégalité - et encore le dessin, est-ce que quelque chose est clair ? Essayez maintenant de dire sur quels intervalles X l’inégalité sera vraie. C'est vrai, de à l'inégalité sera également vraie de à, mais sur l'intervalle de à l'inégalité est nulle et cet intervalle nous intéresse peu, car nous avons un signe dans l'inégalité.

Eh bien, maintenant que vous avez compris, il ne vous reste plus qu'à écrire la réponse ! En réponse, nous écrivons les intervalles pour lesquels le côté gauche est supérieur à zéro, ce qui signifie que X appartient à l'intervalle de moins l'infini à moins un et de deux à plus l'infini. Il convient de préciser que les parenthèses signifient que les valeurs par lesquelles l'intervalle est limité ne sont pas des solutions à l'inégalité, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas incluses dans la réponse, mais indiquent seulement que jusqu'à, par exemple, n'est pas un solution.

Maintenant un exemple dans lequel vous n'aurez pas seulement à tracer l'intervalle :

Selon vous, que faut-il faire avant de mettre des points sur l’axe ? Ouais, tenez-en compte dans les facteurs :

On dessine des intervalles et on place des signes, on remarque que nous avons des points perforés car le signe est strictement inférieur à zéro :

Il est temps de vous confier un secret que j'ai promis au début de ce sujet ! Et si je vous disais qu'il n'est pas nécessaire de substituer les valeurs de chaque intervalle pour déterminer le signe, mais que vous pouvez déterminer le signe dans l'un des intervalles, et simplement alterner les signes dans le reste !

Ainsi, nous avons gagné un peu de temps sur la pose des pancartes - je pense que ce gain de temps à l'examen d'État unifié ne fera pas de mal !

Nous écrivons la réponse :

Considérons maintenant un exemple d'inégalité fractionnaire-rationnelle - une inégalité dont les deux parties sont des expressions rationnelles (voir).

Que pouvez-vous dire de cette inégalité ? Et si vous considérez cela comme une équation fractionnaire-rationnelle, que faisons-nous en premier ? On voit tout de suite qu’il n’y a pas de racines, ce qui veut dire que c’est bien rationnel, mais alors c’est une fraction, et même avec une inconnue au dénominateur !

C'est vrai, nous avons besoin d'ODZ !

Alors allons plus loin, ici tous les facteurs sauf un ont une variable du premier degré, mais il existe un facteur où x a un deuxième degré. Habituellement, notre signe change après avoir traversé l'un des points auxquels le côté gauche de l'inégalité prend une valeur nulle, pour laquelle nous avons déterminé à quoi x devrait être égal dans chaque facteur. Mais ici, c'est toujours positif, parce que n'importe quel nombre au carré > zéro et un terme positif.

Pensez-vous que cela affectera la signification de l’inégalité ? C'est vrai, cela n'affectera pas ! Nous pouvons diviser l’inégalité en deux parties en toute sécurité et ainsi supprimer ce facteur afin qu’il ne soit pas une nuisance visuelle.

Le moment est venu de tracer les intervalles ; pour ce faire, vous devez déterminer les valeurs limites à partir desquelles les multiplicateurs seront supérieurs et inférieurs à zéro. Mais faites attention, il y a un signe ici, cela signifie que nous ne sélectionnerons pas le point où le côté gauche de l'inégalité prend une valeur nulle, il est inclus dans le nombre de solutions, nous n'avons qu'un seul de ces points, c'est le point où x est égal à un. Devons-nous colorer le point où le dénominateur est négatif ? - Bien sûr que non!

Le dénominateur ne doit pas être nul, donc l'intervalle ressemblera à ceci :

À l'aide de ce schéma, vous pouvez facilement écrire la réponse, je dirai simplement que vous disposez désormais d'un nouveau type de support : le carré ! Voici une parenthèse [ dit que la valeur est incluse dans l'intervalle de solution, c'est-à-dire fait partie de la réponse, cette parenthèse correspond à un point rempli (non épinglé) sur l'axe.

Alors, avez-vous eu la même réponse ?

Nous le prenons en compte en facteurs et mettons tout de côté ; après tout, il suffit de laisser zéro à droite pour comparer :

J'attire votre attention sur le fait que dans la dernière transformation, afin d'obtenir au numérateur comme au dénominateur, je multiplie les deux côtés de l'inégalité par. N'oubliez pas que lorsque les deux côtés d'une inégalité sont multipliés par, le signe de l'inégalité change à l'opposé !!!

On écrit ODZ :

Sinon, le dénominateur ira à zéro et, comme vous vous en souvenez, vous ne pouvez pas diviser par zéro !

D’accord, l’inégalité qui en résulte est tentante de réduire le numérateur et le dénominateur ! Cela n'est pas possible ; vous risquez de perdre certaines décisions ou ODZ !

Essayez maintenant de placer vous-même les points sur l'axe. Je noterai seulement que lors du traçage de points, vous devez faire attention au fait qu'un point avec une valeur qui, sur la base du signe, semblerait être tracé sur l'axe comme ombré, ne sera pas ombré, il le sera arraché ! Pourquoi demandez-vous? Et tu te souviens de l'ODZ, tu ne vas pas diviser par zéro comme ça ?

N'oubliez pas qu'ODZ passe en premier ! Si toutes les inégalités et signes égaux disent une chose, et que l'ODZ en dit une autre, faites confiance à l'ODZ, grande et puissante !

Eh bien, vous avez construit les intervalles, je suis sûr que vous avez compris mon allusion à l'alternance et vous l'avez obtenu comme ceci (voir photo ci-dessous). Maintenant, rayez-le et ne faites plus cette erreur ! Quelle erreur ? - tu demandes.

L'axe suivant avec intervalles et signes sera correct :

Et, notez que le signe qui nous intéresse n'est pas celui qui était au début (quand on a vu pour la première fois l'inégalité, le signe était là), après les transformations, le signe a changé en, ce qui veut dire qu'on s'intéresse aux intervalles avec un signe.

Répondre:

Je dirai aussi qu'il y a des situations où il y a des racines d'inégalité qui ne tombent dans aucun intervalle, en réponse elles sont écrites entre accolades, comme ceci, par exemple : . Vous pouvez en savoir plus sur de telles situations dans l'article niveau moyen.

Résumons comment résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles :

1. On déplace tout vers la gauche, ne laissant que zéro à droite ;
2. On retrouve ODZ ;
3. On trace toutes les racines de l'inégalité sur l'axe ;
4. Nous en prenons un arbitraire dans l'un des intervalles et déterminons le signe dans l'intervalle auquel appartient la racine, alternons les signes, en faisant attention aux racines qui se répètent plusieurs fois dans l'inégalité, cela dépend du fait que le signe change en les traversant ; sur l'égalité ou l'impair du nombre de fois qu'ils sont répétés ou non ;
5. En réponse, nous écrivons des intervalles, en observant les points ponctués et non perforés (voir ODZ), en plaçant les types de parenthèses nécessaires entre eux.

Et enfin, notre rubrique préférée, « faites-le vous-même » !

Exemples:

Réponses:

MÉTHODE D'INTERVALLE. NIVEAU MOYEN

Fonction linéaire

Une fonction de la forme est dite linéaire. Prenons une fonction comme exemple. Il est positif à et négatif à. Le point est le zéro de la fonction (). Montrons les signes de cette fonction sur l'axe des nombres :

On dit que « la fonction change de signe en passant par le point ».

On voit que les signes de la fonction correspondent à la position du graphe de la fonction : si le graphe est au dessus de l'axe, le signe est « », si en dessous il est « ».

Si l'on généralise la règle résultante à une fonction linéaire arbitraire, on obtient l'algorithme suivant :

• Trouver le zéro de la fonction ;
• Nous le marquons sur l'axe des nombres ;
• Nous déterminons le signe de la fonction sur les côtés opposés de zéro.

Fonction quadratique

J'espère que vous vous souvenez comment résoudre les inégalités quadratiques ? Sinon, lis le sujet. Je vous rappelle la forme générale d'une fonction quadratique : .

Rappelons maintenant quels signes prend la fonction quadratique. Son graphique est une parabole, et la fonction prend le signe " " pour ceux dans lesquels la parabole est au dessus de l'axe, et " " - si la parabole est en dessous de l'axe :

Si une fonction a des zéros (valeurs auxquelles), la parabole coupe l'axe en deux points - les racines de l'équation quadratique correspondante. Ainsi, l'axe est divisé en trois intervalles, et les signes de la fonction changent alternativement en passant par chaque racine.

Est-il possible d'une manière ou d'une autre de déterminer les signes sans dessiner une parabole à chaque fois ?

Rappelons qu'un trinôme carré peut être factorisé :

Par exemple: .

Marquons les racines sur l'axe :

On rappelle que le signe d'une fonction ne peut changer qu'en passant par la racine. Utilisons ce fait : pour chacun des trois intervalles dans lesquels l'axe est divisé par des racines, il suffit de déterminer le signe de la fonction en un seul point arbitrairement choisi : aux points restants de l'intervalle le signe sera le même .

Dans notre exemple : à les deux expressions entre parenthèses sont positives (remplacer, par exemple :). On met un signe « » sur l'axe :

Eh bien, lorsque (substitut, par exemple), les deux parenthèses sont négatives, ce qui signifie que le produit est positif :

C'est ce que c'est méthode d'intervalle: connaissant les signes des facteurs sur chaque intervalle, on détermine le signe du produit entier.

Considérons également les cas où la fonction n'a pas de zéros, ou un seul.

S’ils ne sont pas là, alors il n’y a pas de racines. Cela signifie qu’il n’y aura pas de « passage par la racine ». Cela signifie que la fonction ne prend qu'un seul signe sur toute la droite numérique. Il peut être facilement déterminé en le substituant à une fonction.

S'il n'y a qu'une seule racine, la parabole touche l'axe, donc le signe de la fonction ne change pas en passant par la racine. Quelle règle pouvons-nous proposer pour de telles situations ?

Si vous factorisez une telle fonction, vous obtenez deux facteurs identiques :

Et toute expression au carré est non négative ! Le signe de la fonction ne change donc pas. Dans de tels cas, nous soulignerons la racine, au passage par laquelle le signe ne change pas, en l'entourant d'un carré :

Nous appellerons une telle racine un multiple.

Méthode d'intervalle dans les inégalités

Désormais, toute inégalité quadratique peut être résolue sans dessiner de parabole. Il suffit de placer les signes de la fonction quadratique sur l'axe et de sélectionner des intervalles en fonction du signe de l'inégalité. Par exemple:

Mesurons les racines sur l'axe et plaçons les signes :

Nous avons besoin de la partie de l'axe avec le signe " ; puisque l'inégalité n'est pas stricte, les racines elles-mêmes sont également incluses dans la solution :

Considérons maintenant une inégalité rationnelle - une inégalité dont les deux côtés sont des expressions rationnelles (voir).

Exemple:

Tous les facteurs sauf un sont ici « linéaires », c’est-à-dire qu’ils contiennent une variable uniquement à la puissance première. Nous avons besoin de tels facteurs linéaires pour appliquer la méthode des intervalles - le signe change en passant par leurs racines. Mais le multiplicateur n’a aucune racine. Cela signifie qu'il est toujours positif (vérifiez cela par vous-même) et n'affecte donc pas le signe de l'ensemble de l'inégalité. Cela signifie que nous pouvons diviser les côtés gauche et droit de l'inégalité par celle-ci, et ainsi nous en débarrasser :

Maintenant, tout est comme avec les inégalités quadratiques : nous déterminons à quels points chacun des facteurs devient nul, marquons ces points sur l'axe et disposons les signes. Je voudrais attirer votre attention sur un fait très important :

Répondre: . Exemple: .

Pour appliquer la méthode des intervalles, l'une des parties de l'inégalité doit avoir. Par conséquent, déplaçons le côté droit vers la gauche :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur, mais ne vous précipitez pas pour le réduire ! Après tout, nous pourrions alors oublier de souligner ce point. Il est préférable de marquer cette racine comme un multiple, c'est-à-dire qu'en la traversant, le signe ne changera pas :

Répondre: .

Et encore un exemple très illustratif :

Encore une fois, nous n’annulons pas les mêmes facteurs du numérateur et du dénominateur, car si nous le faisons, nous devrons spécifiquement penser à percer le point.

• : fois répétées;
• : heures;
• : fois (au numérateur et un au dénominateur).

Dans le cas d'un nombre pair, on fait la même chose que précédemment : on entoure le point d'un carré et on ne change pas de signe en passant par la racine. Mais dans le cas d'un nombre impair, cette règle ne s'applique pas : le signe changera quand même en passant par la racine. Par conséquent, nous ne faisons rien de plus avec une telle racine, comme s'il ne s'agissait pas d'un multiple. Les règles ci-dessus s'appliquent à toutes les puissances paires et impaires.

Que devons-nous écrire dans la réponse ?

Si l'alternance des signes est violée, il faut être très prudent, car si l'inégalité n'est pas stricte, la réponse doit inclure tous les points ombrés. Mais certains d’entre eux se démarquent souvent, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas inclus dans la zone ombrée. Dans ce cas, nous les ajoutons à la réponse sous forme de points isolés (entre accolades) :

Exemples (décidez vous-même) :

Réponses:

1. Si parmi les facteurs c'est simple, c'est une racine, car on peut la représenter comme.
   .

MÉTHODE D'INTERVALLE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La méthode des intervalles est utilisée pour résoudre des inégalités rationnelles. Elle consiste à déterminer le signe du produit à partir des signes des facteurs à différents intervalles.

Algorithme de résolution d'inégalités rationnelles à l'aide de la méthode des intervalles.

• On déplace tout vers la gauche, ne laissant que zéro à droite ;
• On retrouve ODZ ;
• On trace toutes les racines de l'inégalité sur l'axe ;
• Nous en prenons un arbitraire dans l'un des intervalles et déterminons le signe dans l'intervalle auquel appartient la racine, alternons les signes, en faisant attention aux racines qui se répètent plusieurs fois dans l'inégalité, cela dépend du fait que le signe change en les traversant ; sur l'égalité ou l'impair du nombre de fois qu'ils sont répétés ou non ;
• En réponse, nous écrivons des intervalles, en observant les points perforés et non perforés (voir ODZ), en plaçant les types de parenthèses nécessaires entre eux.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

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Méthode d'intervalle est un algorithme spécial conçu pour résoudre des inégalités complexes de la forme f(x) > 0. L'algorithme se compose de 5 étapes :

1. Résolvez l'équation f(x) = 0. Ainsi, au lieu d'une inégalité, nous obtenons une équation beaucoup plus simple à résoudre ;
2. Marquez toutes les racines obtenues sur la ligne de coordonnées. Ainsi, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles ;
3. Trouvez la multiplicité des racines. Si les racines sont de même multiplicité, tracez une boucle au-dessus de la racine. (Une racine est considérée comme un multiple s'il existe un nombre pair de solutions identiques)
4. Découvrez le signe (plus ou moins) de la fonction f(x) sur l'intervalle le plus à droite. Pour ce faire, il suffit de substituer dans f(x) n'importe quel nombre qui se trouvera à droite de toutes les racines marquées ;
5. Marquez les panneaux aux intervalles restants, en les alternant.

Après cela, il ne reste plus qu'à noter les intervalles qui nous intéressent. Ils sont marqués du signe « + » si l'inégalité était de la forme f(x) > 0, ou du signe « - » si l'inégalité était de la forme f(x)< 0.

Dans le cas d'inégalités non strictes (≤ , ≥), il faut inclure dans les intervalles les points qui sont une solution de l'équation f(x) = 0 ;

Exemple 1:

Résoudre les inégalités :

(x-2)(x + 7)< 0

Nous travaillons selon la méthode des intervalles.

Étape 1: remplacez l'inégalité par une équation et résolvez-la :

(x - 2)(x + 7) = 0

Le produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :

x-2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Nous avons deux racines.

Étape 2: Nous marquons ces racines sur la ligne de coordonnées. Nous avons:

Étape 3: on retrouve le signe de la fonction sur l'intervalle le plus à droite (à droite du point marqué x = 2). Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quel nombre supérieur au nombre x = 2. Par exemple, prenons x = 3 (mais personne n'interdit de prendre x = 4, x = 10 et même x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Nous obtenons que f(3) = 10 > 0 (10 est un nombre positif), nous mettons donc un signe plus dans l'intervalle le plus à droite.

Étape 4: vous devez noter les signes sur les intervalles restants. Nous rappelons qu'en passant par chaque racine, le signe doit changer. Par exemple, à droite de la racine x = 2 il y a un plus (nous nous en sommes assurés à l'étape précédente), il doit donc y avoir un moins à gauche. Ce moins s'étend sur tout l'intervalle (−7 ; 2), il y a donc un moins à droite de la racine x = −7. Par conséquent, à gauche de la racine x = −7 il y a un plus. Il reste à marquer ces signes sur l'axe des coordonnées.

Revenons à l'inégalité originelle, qui avait la forme :

(x-2)(x + 7)< 0

La fonction doit donc être inférieure à zéro. Cela signifie que nous nous intéressons au signe moins, qui n'apparaît que sur un seul intervalle : (−7 ; 2). Ce sera la réponse.

Exemple 2 :

Résoudre les inégalités :

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Solution:

Vous devez d’abord trouver les racines de l’équation

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Réduisons la première parenthèse et obtenons :

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x-2 = 0 ; (3x - 1) 2 = 0

En résolvant ces équations, nous obtenons :

Traçons les points sur la droite numérique :

Parce que x 2 et x 3 sont des racines multiples, alors il y aura un point sur la ligne et au-dessus " une boucle”.

Prenons n'importe quel nombre inférieur au point le plus à gauche et substituons-le à l'inégalité d'origine. Prenons le chiffre -1.

N'oubliez pas d'inclure la solution de l'équation (trouvée X), car notre inégalité n’est pas stricte.

Répondre: () U ∪[-6;4]∪\gauche\(6\droite\)\)

Exemple.(Tâche de l'OGE) Résolvez l'inégalité en utilisant la méthode des intervalles \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Solution:

Répondre : \((-∞;-8]∪}